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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期人教A版2019必修第二冊(cè)數(shù)學(xué)期數(shù)學(xué)期末模擬試卷（適用于湖南省）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若數(shù)據(jù)，，，，的方差為9，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為（ ）
A．2007 B．1989 C．36 D．18
2．設(shè)三個(gè)事件A，B，C兩兩相互獨(dú)立，且事件A發(fā)生的概率是，事件A，B，C同時(shí)發(fā)生的概率是，事件A，B，C都不發(fā)生的概率是，則事件A，B，C中只有一個(gè)發(fā)生的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．在，已知角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，則角的大小為（ ）
A． B． C．或 D．或
4．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求積公式，即的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，則的面積.已知在中，，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) （為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，是復(fù)數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．如圖，一個(gè)正三棱柱形容器中盛有水，且底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為，若側(cè)面水平放置時(shí)，液面高為，若底面水平放置時(shí)，液面高為3，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知圓臺(tái)的高為3，上 下底面圓的半徑分別為1和2，它的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．某高中學(xué)校對(duì)一次高二聯(lián)考物理成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，記錄了學(xué)生的分?jǐn)?shù)，其中分組的區(qū)間為，畫(huà)出頻率分布直方圖，已知隨機(jī)抽取的成績(jī)不低于80分的有300人，若從樣本中隨機(jī)抽取個(gè)體互不影響，把頻率視為概率，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．學(xué)生成績(jī)眾數(shù)估計(jì)為75分 B．學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)大于中位數(shù)
C．此次成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為120人 D．學(xué)生成績(jī)的第45百分位數(shù)為70
10．在△ABC 中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． 是銳角三角形
C．若，則外接圓的半徑為 D．若，則 內(nèi)切圓的半徑為
11．已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的虛部為 B．
C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限 D．
12．如圖，為圓錐底面圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．圓錐的側(cè)面積為
B．三棱錐體積的最大值為
C．的取值范圍是
D．若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知向量的夾角為，且，，則 .
14．已知正三棱臺(tái)，，，，則該正三棱臺(tái)的體積為 ．
15．?dāng)?shù)學(xué)中的“對(duì)稱(chēng)性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問(wèn)題中．請(qǐng)你從“對(duì)稱(chēng)性”的角度完成下面概率問(wèn)題：已知有，，，，，，，八名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，按照下圖進(jìn)行單敗淘汰制（贏者晉級(jí)下一輪，敗者被淘汰）.其中在圖示中①的位置，在圖示中⑤的位置，其余運(yùn)動(dòng)員抽簽決定自己第一輪的比賽位置.已知與除以外的運(yùn)動(dòng)員比賽勝率為，與除以外的運(yùn)動(dòng)員比賽勝率為，除此以外其余場(chǎng)次比賽（包括間的比賽）每位運(yùn)動(dòng)員勝率都為，則運(yùn)動(dòng)員奪得冠軍的概率為 ．
16．如圖，半圓的直徑，為圓心，為半圓上不同于的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分．應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）某學(xué)校為提高學(xué)生對(duì)《紅樓夢(mèng)》的了解，舉辦了"我知紅樓"知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從所有答卷卷面成績(jī)中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，并作出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)求樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)；
(3)若落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是52，方差是6；落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是64，方差是3，求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)和方差.
18．（12分）某校舉辦“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程”知識(shí)能力測(cè)評(píng)，共有1000名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)用分層隨機(jī)抽樣的方法從[80,90)，[90,100]兩個(gè)區(qū)間共抽取出5名學(xué)生，則每個(gè)區(qū)間分別應(yīng)抽取多少人；
(2)在（1）的條件下，該校決定在這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，求第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]的概率；
(3)現(xiàn)需根據(jù)學(xué)生成績(jī)制定評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)定成績(jī)較高的前60%的學(xué)生為良好，請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)良好的最低分?jǐn)?shù)線.（精確到1）
19．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中.
(1)求證：；
(2)若平面，求證：點(diǎn)為的中心；
(3)若點(diǎn)是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求直線與平面所成角正切值.
20．（12分）將連續(xù)正整數(shù)、、、、從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)的位數(shù)（如時(shí)，此數(shù)為，共有個(gè)數(shù)字，），現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，為恰好取到的概率.
(1)求；
(2)當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；
(3)令為這個(gè)數(shù)中數(shù)字的個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)中數(shù)字的個(gè)數(shù)，，，求當(dāng)時(shí)，的最大值.
21．（12分）已知點(diǎn)是銳角的外心，分別為角的對(duì)邊，，
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值；
(3)若，求x的取值范圍．
22．（12分）已知向量令.
(1)求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程；
(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(3)在（2）的條件下，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)且，不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案
1．C
【詳解】因數(shù)據(jù)，，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，，的方差應(yīng)是.
故選：C.
2．B
【詳解】設(shè)事件B發(fā)生的概率為，事件C發(fā)生的概率為，則．又，得解得或故事件A，B，C中只有一個(gè)發(fā)生的概率是．
3．A
【詳解】由正弦定理，，
又，則，所以.
故選：A.
4．C
【詳解】因?yàn)椋?br/>又，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.
則，
所以面積的最大值為.
故選：C.
5．D
【詳解】由題意可得：.
所以其共軛復(fù)數(shù)為
故選：D.
6．B
【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)，若，則成立，同理也成立，
故“”是“”的必要不充分條件，
故選：B．
7．D
【詳解】記側(cè)面水平放置時(shí)，液面與分別交于，
的中點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，的面積為，
由題可知，，則，
所以，則梯形的面積為，
所以直棱柱的體積為，
又底面水平放置時(shí)，液面高為3，所以液體體積為，
所以，解得.
故選：D.
8．A
【詳解】作出圓臺(tái)及外接球的軸截面圖，如圖.
易得球心在圓臺(tái)內(nèi)部，設(shè)球心到上底面圓的距離為，
則球心到下底面圓的距離為，由勾股定理得，解得，
則外接球的半徑，表面積為.
故選：A.
9．ACD
【詳解】由頻率分布直方圖得，成績(jī)?cè)诘念l率最高，
所以學(xué)生成績(jī)眾數(shù)估計(jì)為分，故A正確；
學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為，
∵，
，
∴學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，
由，得到，
∵，∴學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)小于中位數(shù)，故B錯(cuò)誤；
∵成績(jī)不低于80分的頻率為，
又隨機(jī)抽取的成績(jī)不低于80分的有300人，∴學(xué)生總?cè)藬?shù)為，
∵成績(jī)?cè)诘念l率為，
∴此次成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為人，故C正確；
∵，
∴學(xué)生成績(jī)的第45百分位數(shù)為70，故D正確，
故選：ACD.
10．AD
11．ABD
【詳解】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，，所以.
對(duì)于A選項(xiàng)，的虛部為，所以A選項(xiàng)正確.
對(duì)于B選項(xiàng)，已知，則.
所以，B選項(xiàng)正確.
對(duì)于C選項(xiàng)，在復(fù)平面內(nèi)， 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第一象限，而不是第三象限，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于D選項(xiàng)，
則，所以D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
12．BD
【詳解】在中，，則圓錐的母線長(zhǎng)，半徑.
對(duì)于選項(xiàng)A：圓錐的側(cè)面積為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：由圓的幾何性質(zhì)可知，由勾股定理可得，
由基本不等式可得，可得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則三棱錐體積為：，
即三棱錐體積的最大值為，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋剩?br/>當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
又因?yàn)辄c(diǎn)與、不重合，則，
又，可得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br/>由可得.
又，所以為等邊三角形，則.
將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，
得到，則為等邊三角形，.
如圖，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值.
因?yàn)椋?br/>所以，
，故選項(xiàng)D正確.
故選：BD.
13．4
【詳解】由題意知向量的夾角為，且，
故，∴，即，則.
故答案為：.
14．
【詳解】將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，
設(shè)點(diǎn)在平面的射影點(diǎn)為點(diǎn)，則為正的中心，如下圖所示：

由棱臺(tái)的性質(zhì)可知，所以，故，
所以為的中點(diǎn)，所以，
由正弦定理可得，故，
所以，
又因?yàn)椋裕?br/>同理可知，點(diǎn)到平面的距離為，
故，
因此正三棱臺(tái)的體積為.
故答案為：.
15．
【詳解】進(jìn)入決賽的概率為，進(jìn)入決賽的概率為，
奪冠有兩種情況，進(jìn)入決賽和沒(méi)進(jìn)入決賽，所以?shī)Z冠的概率為，
奪冠有兩種情況，進(jìn)入決賽和沒(méi)進(jìn)入決賽，所以?shī)Z冠的概率為，
所以或奪冠的概率為，由概率的對(duì)稱(chēng)性可得，奪冠的概率為.
故答案為：.
16．
17.【詳解】（1）由，解得；
（2）因?yàn)椋?br/>所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)在內(nèi)，可得，
所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)為分；
（3）樣本數(shù)據(jù)落在的個(gè)數(shù)為，落在的個(gè)數(shù)為，
，總方差.
18.【詳解】（1）依題意，設(shè)區(qū)間[80,90)中應(yīng)抽人，區(qū)間[90,100]中應(yīng)抽人，得
成績(jī)?cè)赱80,90)區(qū)間樣本中的學(xué)生人數(shù)為：；
成績(jī)?cè)赱90,100]區(qū)間樣本中的學(xué)生人數(shù)為：；
所以，解得，
所以區(qū)間[80,90)中應(yīng)抽人，區(qū)間[90,100]中應(yīng)抽人.
（2）由（1）得，不妨記區(qū)間[80,90)中人為，區(qū)間[90,100]中人為，
則從中抽取2名學(xué)生（注意分先后）的基本事件為共20件，
其中第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]（記為事件）的基本事件為共8件，
故，即第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]的概率為.
（3）由頻率分布直方圖易得，的頻率為，的頻率為，
所以成績(jī)良好的最低分?jǐn)?shù)線落在區(qū)間[80,90)中，不妨記為，
故，解得，
所以成績(jī)良好的最低分?jǐn)?shù)線為.
19.【詳解】（1）如圖，連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，
∵平面，平面，則，
因?yàn)椋矫妫?br/>∴平面，∵平面，∴，
（2）如圖，由（1）知，，同理可證，
∵，平面，平面.
則平面，∵，
∴，∴，
∴E為的外心，∵，
∴是正三角形，∴E為正的中心.
（3）如圖，由（2）知E為正的中心，，
在中，由正弦定理得，，
，
∵，∴，
∵平面，平面，∴，
即，，∵，
即，
∵，解得：，
所以，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)E為圓心，半徑為1的圓，
∵平面，所以，與平面所成的角為，
而，∵，
故直線與平面所成角正切值為.
20.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，一位數(shù)有，二位數(shù)個(gè)，三位數(shù)個(gè)，
這個(gè)數(shù)中總共有個(gè)數(shù)字，
其中數(shù)字的數(shù)有、、、、、，數(shù)字的個(gè)數(shù)為，
所以恰好取到的概率為.
（2）當(dāng)時(shí)，全是一位數(shù)，；
當(dāng)時(shí)，一位數(shù)個(gè)數(shù)為，二位數(shù)的個(gè)數(shù)為，；
當(dāng)時(shí)，一位數(shù)的個(gè)數(shù)為，二位數(shù)的個(gè)數(shù)為，三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，
；
當(dāng)時(shí)，一位數(shù)的個(gè)數(shù)為，二位數(shù)的個(gè)數(shù)為，三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，
四位數(shù)的個(gè)數(shù)為，.
綜上所述，.
（3）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以，，
同理可得，
由可知，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
由隨著的增大而增大，故當(dāng)時(shí)，的最大值為，
又，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.
21.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，
由余弦定理可得，
因?yàn)椋裕?br/>（2）因?yàn)椋瑒t，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
所以面積的最大值為.
（3）分別取AB，BC的中點(diǎn)D，E，連接OD，OE，
可得，
同理可得，
由得，，
所以，
即，
在中，由正弦定理得：，（為的外接圓的半徑）
代入上式得，
則，
由正弦定理得，，
代入上式得，；所以，
所以，即，
因?yàn)椋覟殇J角三角形，，所以，
所以，所以，
即的取值范圍．
22.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄?br/>所以，
由，得，
所以函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸方程為
（2）由（1）得，
因?yàn)?br/>所以
令，因?yàn)椋?br/>所以 ，
則，
對(duì)稱(chēng)軸為，
當(dāng)，即，可得在上單調(diào)遞增，
所以，
當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以
所以
（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可得
所以
而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以
所以 ，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為
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