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睢寧縣菁華高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級五月診斷測試
數(shù) 學(xué) 答 案
單項選擇
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A C A D B
多項選擇
題號 9 10 11
答案 BCD ABC ACD
填空題
13.大于等于45的5的整數(shù)倍都符合題意 14.
解答題
15.（1）由不等式移項可得，通分得到．
即，解得，故． ······2分
當(dāng)時，，則.······1分
（2）由，可得，······1分
因為，
當(dāng)時，，解得，滿足題意；······1分
當(dāng)時，則，解得，······2分
綜上，，故實數(shù)的取值范圍為.······1分
（3）由題意可得，是的充分不必要條件，故是的真子集，····1分
又，，
則，解得，故實數(shù)的取值范圍是．······4分
16.（1）由題意得，
由得，
所以的定義域為．······4分
（2）因為，定義域關(guān)于原點對稱，
，
所以是偶函數(shù)．······5分
（3）當(dāng)時，．令，則．
令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
易知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．······3分
要使有兩個零點，即有兩個解，
那么，則，所以實數(shù)m的取值范圍是．······3分
17.（1）由題意得，所以當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為3．······3分
（2）由題意可知，當(dāng)時，調(diào)和平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系為，其中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
證明：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
根據(jù)題意，可設(shè)，，，用，，分別替換，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．用，，分別替換，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
（3）設(shè)小正方形的邊長為，則盒子的高，底面邊長為，可得盒子的容積為，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．所以當(dāng)切去的正方形邊長為1時，盒子的容積最大，最大容積為16．
18.（1）設(shè)模型①和②的相關(guān)系數(shù)分別為.
由題意可得：，······2分
.······2分
所以，由相關(guān)系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可得，模型②的擬合程度更好.······2分
（2）因為，
又由，得，
所以，即回歸方程為.······2分
當(dāng)時，，
因此當(dāng)年廣告費為6（百萬元）時，產(chǎn)品的銷售量大概是13（百萬輛）.······2分
（3）凈利潤為，令，······2分
所以.可得在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).
所以，······2分
由題意得：，即，
即該公司年凈利潤大于1000（百萬元）的概率為0.3.······3分
19.（1）因為，則，所以，令，解得，
當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，······2分
又因為，
所以在區(qū)間上的最大值為2，最小值為······3分
（2）（i）令得，故的定義域為，
設(shè)是圖象上任意一點，關(guān)于的對稱點位，
因為在圖象上，所以，
，所以，
所以關(guān)于對稱，
（ii）因為，所以2是的一個零點，
要使有三個零點，只需要在上有且僅有一個零點，
，
由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，，
若，即，此時，所以在單調(diào)遞增，
由可得在沒有零點，不符合題意，舍去，
若，即，，又因為，所以存在，使得，
當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，
所以時，，
時，，
當(dāng)時，，所以在上存在唯一的零點，符合題意，
綜上：睢寧縣菁華高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級五月診斷測試
數(shù) 學(xué) 試 題
單項選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1、命題“”的否定是（ ）
A． B． C． D．
2、已知集合，，則=（ ）
A． B． C． D．
3、已知，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
4、四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（ ）
A． B． C． D．
5、已知函數(shù)同時滿足以下三個條件：①在定義域內(nèi)是奇函數(shù)或偶函數(shù)；②有奇數(shù)個零點；③在內(nèi)單調(diào)遞增．函數(shù)可以是（ ）
A． B． C． D．
6、若（其中）是偶函數(shù)，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
7、已知，不等式對于一切實數(shù)恒成立，又，使，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
8、設(shè).則（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。
9、小張同學(xué)對具有線性相關(guān)的兩個變量x和y進行了統(tǒng)計分析，得到了右表，其中一些數(shù)據(jù)丟失，只記得這組數(shù)據(jù)擬合出的y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為，若成等差數(shù)列，則（ ）
x 4 6 8 10 12
y a 2 b c 6
A．變量x與y的樣本相關(guān)系數(shù) B．
C．當(dāng)時，殘差為 D．當(dāng)時，y的預(yù)測值為
10、已知，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為 B．若，則
C．，則 D．若，則的最大值為2
11、已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)有5個零點
三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分。
12、命題“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是 ★ .
13、[錯題回頭]某校對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有95%的把握判斷是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有 ★ 人.
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
附：
14、函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且關(guān)于的不等式有解．則實數(shù)的取值范圍為 ★ ．
四、解答題：本題共5小題,共77分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15、（本小題共13分）【3+5+5】
已知集合
(1)若，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)命題，命題，若是成立的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
16、（本小題共15分）【4+5+6】
已知函數(shù)，（，且）．
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
(3)當(dāng)時，若有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．
17、（本小題共15分）【3+6+6】
對于基本不等式，即當(dāng)，時，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），我們稱為正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，為它們的幾何平均數(shù)，兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù)．這只是均值不等式的一個簡化版本．均值不等式的歷史可以追溯到19世紀(jì)，由Chebycheff在1882年發(fā)表的論文中首次提出．均值不等式，也稱為平均值不等式或平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個重要公式．它的基本形式包括調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和平方平均數(shù)之間的關(guān)系．它表明：個正數(shù)的平方平均數(shù)不小于它們的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)不小于調(diào)和平均數(shù)，且當(dāng)當(dāng)這些數(shù)全部相等時，等號成立．
(1)請直接運用上述不等式鏈中某個的情形求的最小值．
(2)寫出當(dāng)時，調(diào)和平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系，并證明．
(3)如右上圖，把一塊長為6的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再將它的邊沿虛線折轉(zhuǎn)做成一個無蓋的方底盒子．問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？
18、（本小題共17分）【6+4+7】
[錯題回頭]年廣告費（單位：百萬元）和年銷售量（單位：百萬輛）關(guān)系如圖所示：令，數(shù)據(jù)經(jīng)過初步處理得：
44 4.8 10 40.3 1.608 19.5 8.04
現(xiàn)有①和②兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年廣告費x的回歸分析模型，其中a，b，m，n均為常數(shù).
(1)請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？（精確到小數(shù)點后兩位）
(2)根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測年廣告費為6（百萬元）時，產(chǎn)品的年銷售量是多少？
(3)該公司生產(chǎn)的電動車毛利潤為每輛200元（不含廣告費 研發(fā)經(jīng)費）.該公司在加大廣告投入的同時也加大研發(fā)經(jīng)費的投入，年研發(fā)經(jīng)費為年廣告費的199倍.電動車的年凈利潤受年廣告費和年研發(fā)經(jīng)費影響外還受隨機變量影響，設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，且滿足.在（2）的條件下，求該公司年凈利潤的最大值大于1000（百萬元）的概率.（年凈利潤毛利潤×年銷售量年廣告費年研發(fā)經(jīng)費隨機變量）.
附：①相關(guān)系數(shù)，
回歸直線中；
②參考數(shù)據(jù)：
19、（本小題共17分）【5+6+6】
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求在區(qū)間上的最值；
(2)記.
（i）證明：曲線為中心對稱圖形；
（ii）若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍.

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