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2024-2025學(xué)年第二學(xué)期第二次月考
高一年級數(shù)學(xué)試題
時間：120分鐘 分值 ：150分
第I卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．下列命題正確的是（ ）
A．正四棱柱是正方體 B．圓錐的截面是圓
C．一個棱柱至少有5個面 D．正三棱錐的所有面都是全等等邊三角形
2．如圖是水平放置的的直觀圖，=6，=3，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
3．已知三棱錐的所有棱長都是，則這個三棱錐的表面積是（ ）
A． B． C．4 D．
4．在圖示正方體中，O為BD的中點，直線平面，下列說法錯誤的是（ ）
A．與BD異面
B．，M，O三點共線
C．A，C，
D．平面
5．已知向量滿足，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
6．若圓臺的高為2，且圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為3，則圓臺的側(cè)面積為（ ）
A．12 B． C．16 D．24
7．已知一個正四棱錐的底面邊長為2，高為，若該四棱錐的頂點都在球O的球面上，則球O的體積等于（ ）
A． B．256π C． D．600π
8．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量，若，，則AC邊上的中線BD為（ ）
A． B．3 C． D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分.
9．如圖，為正方體的兩個頂點，為所在棱的中點，則直線與平面平行的是（ ）
A．B．C．D．
10．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則下列說法正確的是（ ）
A．z的虛部為 B．
C．若，則 D．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第四象限
11．如圖，圓錐的底面半徑為2，母線為6，是圓錐的一個軸截面，是底面圓周上異于，的一點，則下列說法正確的是（ ）
A．的面積為8
B．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為
C．由點出發(fā)繞圓錐側(cè)面旋轉(zhuǎn)一周，又回到點的細(xì)繩長度最小值為6
D．若，則三棱錐的體積為
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12． ．
13．我國古代有一種容器叫“方斗”，“方斗”的形狀是一種上大下小的正四棱臺，若某方斗的上底面邊長為20cm，下底面邊長為10cm，且高為5cm，則其體積為 .
14．如圖所示的幾何體是一棱長為4 cm的正方體，若在其中一個面的中心位置上，挖一個直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的洞，則挖洞后幾何體的表面積是 ．（取3.14）
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（13分）已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，.
（1）求；
（2）若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；
（3）若為復(fù)數(shù)方程的一個解，求實數(shù)p和q的值.
16．（15分）如圖，在四棱錐中，，底面為平行四邊形，對角線與相交于點，，點B到平面的距離為，為的中點．
(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積．
17．（15分）已知向量.
(1)若 ，求的值；
(2)若，求實數(shù)的值；
(3)若與的夾角是鈍角，求實數(shù)的取值范圍.
18．（17分）某種“籠具”是一個圓柱挖去一個圓錐結(jié)構(gòu)，其中圓柱與圓錐的底面相同，圓柱有上底面，無下底面，由內(nèi)、外兩層網(wǎng)組成．已知圓柱的底面周長為，高為，圓錐的母線長為.
(1)求這種“籠具”的體積；
(2)現(xiàn)用的紗網(wǎng)材料制作這種“籠具”，問至多可以制作多少個“籠具”？（假設(shè)紗網(wǎng)材料沒有浪費，結(jié)果保留整數(shù)．）
19．（17分）如圖，在直三棱柱中，F(xiàn)G分別為的中點.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若△ABC的面積為.
(1)求證： 平面；
(2)求；
(3)求三棱柱的體積.2024-2025學(xué)年第二學(xué)期第二次月考
高一年級數(shù)學(xué)試題答案
時間：120分鐘 分值：150分
一．選擇題（共8小題）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C D B B A C
二．多選題（共3小題）
題號 9 10 11
答案 ABD CD ABC
三．填空題（共3小題）
12．． 13．． 14．102.28．
四．解答題（共7小題）
15．（1）； （2）.（3）p=2，q=2
【詳解】解：（1）∵
∴|z|==………………………………2分
（2）m
m=3-m+(m-4)i，………………4分
其為純虛數(shù)
∴3-m=0且m-4≠0……………………………………6分
∴m=3.………………………………………………7分
（3）因為z-1=1-i,……………………………………8分
所以代入方程得：
.
∴1-2i++p-pi+q=0
∴p+q-(2+p)i=0………………10分
∴p+q=0且2+p=0………………12分
∴p=2，q=2……………………13分
16．(1)證明見解析. (2).
【詳解】（1）因為點分別為的中點，
所以,…………………………………………3分
因為平面,
平面，
所以平面.……………………………………7分
（2）因為,
且為中點，
所以,………………10分
因為點到平面的距離為，
所以三棱錐的高，…………………………12分
所以.
即三棱錐體積為.………………………………15分
17．(1) (2) (3)且
【詳解】（1）因為向量，且 ，
所以，
解得，………………………………………………3分
所以.………………………………5分
（2）易得，……………………6分
因為，
所以，
解得.………………………………9分
（3）因為與的夾角是鈍角，
則且與不共線，……………………11分
即且，……………………13分
所以且.…………………………15分
18．(1) (2)207個
【詳解】（1）設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的母線長為，高為，
由題意，，………………………………1分
則，……………………3分
∴===7680………………………………5分
===1024………………………………7分
這種“籠具”的體積為．………………8分
（2）由（1）可知，
圓柱的底面積為，…………………………10分
圓柱的側(cè)面積為，……………12分
圓錐的側(cè)面積為，………………………………14分
這種“籠具”的表面積為，………………15分
至多可以制作個“籠具”．………………………………17分
19．(1)證明見解析 (2) (3)
【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，………………1分
在直三棱柱中，四邊形為平行四邊形，則為的中點，
又因為為的中點，
則 ，……………………3分
因為平面平面，
因此平面.…………………………6分
（2）…………7分
由余弦定理=可得，…………………………8分
.
所以.………………………………………………10分
又由，
可得，所以.……………………………………12分
（3）由直棱柱可知，三棱錐的高為
在中，為的中點，，
所以.………………15分
因此.…………………………17分

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