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高一年級(jí)第二學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研測(cè)試
數(shù)學(xué)試題
(考試時(shí)間：120分鐘)
單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D C C A B A
1. 在復(fù)平面內(nèi), 復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2, 則z=
A. - 1-i B. - 1+i C. 1-i D. 1+i
2. 在△ABC中, 則AB的長(zhǎng)為
C. D. 5
3.以邊長(zhǎng)為1的正三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為
A. π B.π/2 c. π/3 D.π/4
4. 在梯形ABCD中, AB∥CD, AB=4; AD=2, CD=1, ∠DAB=60°,則
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
5.已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是
A. 若m∥n,n α, 則m∥α B. 若m∥α,m∥β, 則α∥β
C. 若m⊥α,n⊥α, 則m∥n D 若α⊥γ,β⊥γ, 則α∥β
6 若 則sin α=
A.
7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早 1000 多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬，如圖 P-ABCD是陽(yáng)馬, PA⊥平面ABCD, PA=5, AB=3, BC=4.則該陽(yáng)馬的外接球的表面積為
B. 50π C. 100π
8. 已知 則tanθ=
A. B. C. 2 D. 3
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分或3分.
9 10 11
BCD ABD ACD
9. 已知 其中 以下判斷正確的是
10. 已知向量 其中m∈R，下列說法正確的是
A. 若 則 B. 若 則
C.若與的夾角為鈍角，則m<4 D.若m=2，向量在方向上的投影為-1
11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體AC 中，P是線段B D 上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，則
A. CP∥面A BD B. A P與BC是異面直線
C. A P+PD的最小值為 D.三棱錐 P-A BD 的體積為定值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知 則
13.有一個(gè)多邊形水平放置的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，AB=AD=2, DC⊥BC, 則原多邊形面積為 .
14.一個(gè)正四棱臺(tái)型的木塊，上下底面的邊長(zhǎng)分別為 和 高為9；削成一個(gè)球，則所得球的體積最大值為
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.在平行六面體 中,.
(1)求證: AB//平面;
(2)若求證：平面ABB1A1⊥平面A1BC
(3)若底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，A，求異面直線A B與B C所成角的余弦值
(1)在平行六面體ABCD- A1B1C1D1中，AB//A1B1.
因?yàn)锳BC平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，
所以 AB//平面A1B1C
(2)在平行六面體ABCD- A1B1C1D1中，四邊形 ABB1A1為平行四邊形.
因?yàn)锳A1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形。因此AB1⊥A1B.
因?yàn)锳B1⊥B1C1,BC//B1C1，所以AB1⊥BC.
又A1BBC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以 AB1⊥平面A1BC.
因?yàn)锳B1平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
16.在中，D、E分別在邊AB,AC上,且滿足，，F(xiàn)為BC中點(diǎn).
(1)若 求實(shí)數(shù)λ，μ的值；
(2)若 求邊BC的長(zhǎng).
，，，
設(shè)
即解得 (舍)或a=8,
∴BC長(zhǎng)為8.
17. 記的內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c ,已知
(1)求A;
(2)若點(diǎn)D在邊BC上,且 求AD的長(zhǎng).
(1)由正弦定理可得
/
可得
可得
，解得
18．四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，底面ABCD為矩形，且平面PAD⊥平面ABCD, M,N分別為AB, AD的中點(diǎn)，二面角的正切值為2.
(1)求四棱錐 的體積：
(2)證明:
(3)求直線PM與平面PNC所成角的正弦值.
(1)∵△PAD為正三角形， N為AD中點(diǎn)，∴PN⊥AD,
又∵平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD = AD,∴PN⊥平面ABCD,
又NC 平面ABCD,∴PN⊥NC,∴∠DNC為二面角D - PN - C的平面角,
又DN = 1,∴ DC = 2,∴底面ABCD為正方形.
∵ ∴四棱P - ABCD的體積
(2)證明: 由 (1) 知, PN⊥平面ABCD,DM 平面ABCD,∴PN⊥DM
在正方形ABCD中, 易知△DAM≌△CDN,∴∠ADM =∠DCN,
而∠ADM +∠MDC = 90°,∴∠DCN +∠MDC = 90°,∴DM⊥CN,
∵PN∩CN = N,∴DM⊥平面PNC,
∵PC 平面PNC,∴DM⊥PC.
(3)設(shè)DM∩CN = O, 連接PO, MN.
∵ DM⊥平面PNC.
∴∠MPO為直線PM與平面PNC所成的角,可求得
又
∴直線PM與平面PNC所成角的正弦值為
19.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得創(chuàng)作的一部傳世巨著，該書以基本定義、公設(shè)和公理作為推理的出發(fā)點(diǎn)，第一次實(shí)現(xiàn)了幾何學(xué)的系繞化、條理化，成為用公理化方法建立數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范.書中第I卷第47號(hào)命題是著名的畢達(dá)哥拉斯(勾股定理)，證明過程中以直角三角形ABC中的各邊為邊分別向外作了正方形 (如圖1).某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)上述圖形結(jié)構(gòu)作拓廣探究，提出了如下問題，請(qǐng)幫忙解答.
問題：如圖2，已知 滿足 設(shè) 四邊形ABGF、四邊形ACED、四邊形BCQP都是正方形.
(1)當(dāng) 時(shí)，求EQ的長(zhǎng)度：
(2)求AQ長(zhǎng)度的最大值.
(1) 在 中， 則
因?yàn)?所以 ,
在 中，
由余弦定理 A
所以EQ的長(zhǎng)度為6.
(2)在 中， 所以.
設(shè) 在 中， ,
所以 nα①,
在 中，由正弦定理得 所以 sinθ,
代入①可得
,
因?yàn)?br/>所以
當(dāng) 即 時(shí)， 的最大值為
所以AQ長(zhǎng)度的最大值為6.高一年級(jí)第二學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研測(cè)試
數(shù)學(xué)試題
(考試時(shí)間：120分鐘)
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。
1. 在復(fù)平面內(nèi), 復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2, 則z=
A. - 1-i B. - 1+i C. 1-i D. 1+i
2. 在△ABC中, 則AB的長(zhǎng)為
C. D. 5
3.以邊長(zhǎng)為1的正三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為
A. π B.π/2 c. π/3 D.π/4
4. 在梯形ABCD中, AB∥CD, AB=4; AD=2, CD=1, ∠DAB=60°,則
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
5.已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是
A. 若m∥n,n α, 則m∥α B. 若m∥α,m∥β, 則α∥β
C. 若m⊥α,n⊥α, 則m∥n D 若α⊥γ,β⊥γ, 則α∥β
6 若 則sin α=
A.
7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早 1000 多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬，如圖 P-ABCD是陽(yáng)馬, PA⊥平面ABCD, PA=5, AB=3, BC=4.則該陽(yáng)馬的外接球的表面積為
B. 50π C. 100π
8. 已知 則tanθ=
A. B. C. 2 D. 3
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分或3分.
9. 已知 其中 以下判斷正確的是
10. 已知向量 其中m∈R，下列說法正確的是
A. 若 則 B. 若 則
C.若與的夾角為鈍角，則m<4 D.若m=2，向量在方向上的投影為-1
11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體AC 中，P是線段B D 上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，則
A. CP∥面A BD B. A P與BC是異面直線
C. A P+PD的最小值為 D.三棱錐 P-A BD 的體積為定值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知 則
13.有一個(gè)多邊形水平放置的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，AB=AD=2, DC⊥BC, 則原多邊形面積為 .
14.一個(gè)正四棱臺(tái)型的木塊，上下底面的邊長(zhǎng)分別為 和 高為9；削成一個(gè)球，則所得球的體積最大值為
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.在平行六面體 中,.
(1)求證: AB//平面;
(2)若求證：平面ABB1A1⊥平面A1BC
(3)若底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，A，求異面直線A B與B C所成角的余弦值
16.在中，D、E分別在邊AB,AC上,且滿足，，F(xiàn)為BC中點(diǎn).
(1)若 求實(shí)數(shù)λ，μ的值；
(2)若 求邊BC的長(zhǎng).
17. 記的內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c ,已知
(1)求A;
(2)若點(diǎn)D在邊BC上,且 求AD的長(zhǎng).
18．四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，底面ABCD為矩形，且平面PAD⊥平面ABCD, M,N分別為AB, AD的中點(diǎn),二面角. 的正切值為2.
(1)求四棱錐 的體積：
(2)證明:
(3)求直線PM與平面PNC所成角的正弦值.
19.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得創(chuàng)作的一部傳世巨著，該書以基本定義、公設(shè)和公理作為推理的出發(fā)點(diǎn)，第一次實(shí)現(xiàn)了幾何學(xué)的系繞化、條理化，成為用公理化方法建立數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范.書中第I卷第47號(hào)命題是著名的畢達(dá)哥拉斯(勾股定理)，證明過程中以直角三角形ABC中的各邊為邊分別向外作了正方形 (如圖1).某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)上述圖形結(jié)構(gòu)作拓廣探究，提出了如下問題，請(qǐng)幫忙解答.
問題：如圖2，已知 滿足 設(shè) 四邊形ABGF、四邊形ACED、四邊形BCQP都是正方形.
(1)當(dāng) 時(shí)，求EQ的長(zhǎng)度：
(2)求AQ長(zhǎng)度的最大值.

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