資源簡介

高考模擬測試題(八)
一、單項選擇題:本題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合 題目要求的.
1. 已知集合 ,則 ( )
A. B. C. D.
2. 已知復數(shù) 滿足 ,則 ( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 . 若 ,則
A. 2 B. -1 C. 2 或 -1 D. 3
4. 已知 ,則 ( )
A. B. C. D.
5. 清乾隆云龍紋雙螭龍耳方形爐擺件,是乾隆時期玉雕工藝的杰出代表. 它玉質細膩,古韻十足,線條流暢,造型規(guī)整,雕刻著精美的云龍紋與螭龍耳,底部落“乾隆年制”款,盡顯皇家氣派. 這件方形爐擺件可近似看作臺體,高約 ,上底面與下底面為相似長方形,上底面的長約 ,寬約 ,若下底面的長和寬均為上底面長和寬的 0.8 倍,則該方形爐擺件主體體積約為 ( )
(參考數(shù)據(jù): ,結果保留一位小數(shù))
A. B. C. D.
6. 已知函數(shù) ,其最小正周期為 ,將 的圖象向左平移 個單位長度后得到 的圖象, 的圖象關于點 對稱,則當 時, 的最大值為( )
A. 1 B. 2 C. D.
7. 已知函數(shù) 在 上單調遞減,且 在 上恒成立,則 的取值范圍為 ( )
A.(0,1) B.(1,3) C. D.
8. 在平面直角坐標系中,圓 的方程為 ,斜率為 的直線 過點 且與圓 相交于 兩點. 若 ,則所有滿足條件的直線 的斜率 之和為
A. B. C. DIL D.
二、多項選擇題:本題共 3 小題,每小題 6 分,共 18 分. 在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目 要求. 全部選對的得 6 分, 部分選對但不全的得部分分, 有選錯或不選的得 0 分.
9. 在生物制藥行業(yè),藥品的有效成分含量(單位:毫克/毫升)直接關系到藥品的療效. 經過對生產的藥品進行檢測分析,某款藥品的有效成分含量 服從正態(tài)分布 ,已知 . 為了控制藥品質量,從一批生產的藥品中隨機抽取 3 盒,記有效成分含量在區(qū)間(108,132)的藥品盒數(shù)為 ,則下列說法中正確的是 ( )
A. B.
C. D.
10. 在 中,內角 的對邊分別為 ,已知 ,且 ,則下列結論中正確的是 ( )
A. B.
C. D. 若 ,則 的面積為
11. 設函數(shù) ,則下列結論正確的是 ( )
A. 在 和 處取得極值
B. 當 時,
C. 當 時, 的取值范圍是(-2,1)
D.(2,3)為曲線 的對稱中心
三、填空題:本題共 3 小題,每小題 5 分,共 15 分.
12. 對于 個不同的正整數(shù),依次排列后若第一個數(shù)能整除最后一個數(shù),則稱這樣的排列為 “首末整除排列”. 現(xiàn)有2,3,4,6,8,則它們的“首末整除排列”共有_____種.
13. 已知數(shù)列 ,設 ,函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值比最小值大 1,則 _____.
14. 設雙曲線 的左、右焦點分別為 ,過 的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點 . 若 ,且 的面積為 的面積為 ,且 ,則雙曲線的離心率為_____.
四、解答題:本題共 5 小題,共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. (13 分) 已知遞增等比數(shù)列 中, ,設 .
(1)求 的通項公式；
(2)求 的前 項和 .
16. (15分)《哪吒 2:魔童鬧海》作為 2025 年備受矚目的動畫電影,一經上映便迅速火爆全球,影片在特效制作、角色設計、音樂制作等方面都做到了極致. 假設其電影原聲的音樂制作由甲、乙、丙三個音樂工作室負責. 在音樂錄制過程中,由于各種因素,部分錄制片段會因不符合要求而不被采用. 甲、乙、丙三個工作室錄制音樂片段總數(shù)之比為 ,音樂片段可用率(能被采用的片段數(shù)占錄制片段總數(shù)的比例)分別為0.8,0.6,0.6. 現(xiàn)在從三個工作室錄制的所有音樂片段中隨機抽取,且每個音樂片段被抽到的可能是相同的, 用頻率估計概率.
(1)若只取 1 個音樂片段,求它是由乙工作室錄制的概率；
(2)若抽取 2 個音樂片段,其中由甲工作室錄制的音樂片段數(shù)記為 ,求 的分布列和數(shù)學期望；
(3)假設以往電影原聲音樂片段的平均可用率為 0.65 ,計算此次《哪吒 2:魔童鬧海》電影原聲音樂片段的可用率,并判斷此次音樂片段的可用率是否高于以往平均可用率.
17. (15 分) 已知函數(shù) .
(1) 當 時,求曲線 在 處的切線方程;
(2)當 時,討論函數(shù) 的單調性；
(3)若 ,求證:當 時, .
18.(17分)如圖,在四棱錐 中,底面 是矩形, 底面 , , , 是 的中點.
(1)求證: 平面 ；
(2)求直線 與平面 所成角的正弦值；
(3)若點 在棱 上運動,當點 到平面 的距離為 時,求 的長度.
19. (17分)在平面直角坐標系 中,橢圓 的離心率 ,短軸長為 4 .
(1)求橢圓 的方程；
(2)設直線 與橢圓 交于兩個不同的點 ,且 ,求 的值；
(3)定義:對于橢圓 上的點 ,若點 滿足 ,則稱點 為橢圓 的“特殊點”, 求橢圓 的 “特殊點” 的個數(shù).
答案速查及評分標準
一、單項選擇題:本題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分. 在每 小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
B C C A A B D B
二、多項選擇題:本題共 3 小題,每小題 6 分,共 18 分. 在每小題給出的四個選項中, 有多項符合題目要求. 全部選對的得 6 分, 部分選對但不全的得部分分, 有選錯或不選的得 0 分.
9 10 11
AB ABC AD
三、填空題:本題共 3 小題, 每小題 5 分, 共 15 分.
12.30 13.
四、解答題:本題共 5 小題,共 77 分. 解答應寫出文字說明、 證明過程或演算步驟.
15. (13 分) (1) (5 分,按步給分,具體見詳細解析)
(2) (8 分,按步給分,具體見詳細解析)
16. (15 分) (1) (2 分,具體見詳細解析)
(2)分布列見解析, 分,按步給分,具體見詳細解析)
(3)0.67,高于(5 分,按步給分,具體見詳細解析)
17. 分,按步給分,具體見詳細解析)
(2)答案見解析(4 分,按步給分,具體見詳細解析)
(3)證明見解析(7 分,按步給分,具體見詳細解析)
18. (17 分) (1) 證明見解析 (5 分, 按步給分, 具體見詳細解析)
(2) (7 分,按步給分,具體見詳細解析)
(3) (5 分,按步給分,具體見詳細解析)
19. (17 分) (1) (4 分,按步給分,具體見詳細解析)
(2) (6 分,按步給分,具體見詳細解析)
(3)8 個(7 分,按步給分,具體見詳細解析)
詳細解析
1.B 90 分必答 (集合交集的運算與指數(shù)不等式求解)
因為 ,即 ,解得 ,
所以 ,又 ,
所以 ,故選 B.
2. C 90 分必答 (復數(shù)的運算)
因為 ,所以 ,
即 ,
所以 ,又 ,
所以 ,故選 C.
3. C 90 分必答 (向量模的問題)
因為 ,所以 .
因為 ,
所以 .
因為 ,所以 ,
解得 或 ,故選 C.
4. A 90 分必答 (同角三角函數(shù)關系與和差角公式應用)
由 得 ,即 .
根據(jù)兩角和與差的正弦公式 ,因為 ,所以 ,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,故選 A.
5. A 90 分必答 (傳統(tǒng)文化與臺體體積的計算)
上底面面積 ,下底面的長為 ,寬為 ,下底面面積 ,高 . 根據(jù)臺體的體積公式 ,
得
446. ,故選 A.
空間幾何體的表面積和體積
幾何體 表面積 體積
柱體 (棱柱和圓柱)
錐體 (棱錐和圓錐)
臺體 (棱臺和圓臺)
球
6. B 120 分必答 (三角函數(shù)的圖象與性質)
由題意可得, ,所以 ,
所以 .
將 的圖象向左平移 個單位長度得 的圖象,
則 .
因為 的圖象關于點 對稱,
所以 ,解得 .
又 ,當 時, ,
所以 .
當 時, ,
根據(jù)正弦函數(shù)性質, 在 上單調遞增,
在 上單調遞減,
所以當 ,即 時, 取得最大值 2,故選 B.
7. D 120 分必答 (分段函數(shù)的單調性與不等式恒成立問題)
因為 在 上單調遞減,
所以 解得 .
又 在 上恒成立,
所以不等式 在 上恒成立
令 ,所以 ,
因為 ,所以 在 上單調遞減,
即 ,解得 ,故選 D.
技巧點撥
若分段函數(shù)在定義域上具有一種單調性, 則要求分段函數(shù)在每段定義域上的單調性保持一致, 還要對分界處的函數(shù)值的大小有要求. 若是增函數(shù), 則在分界處左邊的函數(shù)值 右邊的函數(shù)值; 若是減函數(shù),則在分界處左邊的函數(shù)值 右邊的函數(shù)值.
8. B 120 分必答 (直線與圓的位置關系)
如圖,由題意得,圓心 ,半徑 .
因為 ,
且 ,
所以 ,解得 ,
所以 .
設圓心 到直線 的距離為 ,由垂徑定理可得
,即 ,所以 .
由題意知直線 的方程為 ,即 , 所以圓心 到直線 的距離
即 ,
兩邊平方,得 ,
展開,得 ,
化簡,得 .
設方程的兩根分別為 ,
由根與系數(shù)關系,得 ,故選 B.
9. AB 90 分必答 正態(tài)分布的應用與二項分布的期望和方差的計算)
已知 服從正態(tài)分布 ,則正態(tài)曲線的對稱軸為直線 ,
因為 ,
所以 ,
那么 ,故選項 正確;
從一批藥品中隨機抽取 3 盒, 每盒藥品有效成分含量在區(qū)間(108,132)的概率為 0.8,且各盒之間相互獨立,所以 ,所以 ,所以 ,故選項 正確;
所以 ,則 ,故選項 錯誤; ,故選項 錯誤.
故選 AB.
10. ABC 90 分必答 (正弦定理、輔助角公式、兩角和與差公式及三角形面積的計算)
由 ,可得
,即 ,
所以 ,
即 ,因為 ,
所以 ,所以 ,即 ,
又 ,所以 ,故選項 正確;
因為 ,所以 ,
所以 ,即 ,
因為 ,所以 ,
則 ,解得 ,故選項 正確；
因為 ,
所以 ,故選項 C 正確;
若 ,則由正弦定理,可得 , 所以
,故選項 錯誤.
故選 ABC.
知識鏈接
三角形面積公式
(1) ；
(2) .
11. AD 150 分必答 (函數(shù)極值、對稱性及導數(shù)的應用)
對于 ,由 ,可得
令 ,即 ,化簡為 , 即 ,解得 或 ,
當 時, 單調遞增; 當 時, 單調遞減；當 時, 單調遞增. 所以 是極大值點, 是極小值點,故選項 正確.
對于 ,當 時, , 即 在同一個區(qū)間(1,2)內. 又 在(1,2)上單調遞減,所以當 ,即 時, ; 當 ,即 時, ; 當 ,即 時, ,故選項
B 錯誤.
對于 ,令 ,當 時, , 由 知當 時, 單調遞減, 當 時, , 當 時, , 所以當 時, , 即當 時, ,故選項 錯誤. 對于 為三次函數(shù),故其圖象的對稱中心為 ,即 ,又 ,所以(2,3)為曲線 的對稱中心,故選項 D 正確.
故選 AD.
知識鏈接
對于三次函數(shù) ,其圖象的對稱中心為 .
12.30 90 分必答 (排列與組合)
當?shù)谝粋€數(shù)為 2 時,最后一個數(shù)可以是4,6,8,其余 3 個數(shù)全排列,有 (種); 當?shù)谝粋€數(shù)為 3 時,最后一個數(shù)只能是 6,其余 3 個數(shù)全排列,有 (種); 當?shù)谝粋€數(shù)為 4 時, 最后一個數(shù)只能是 8 , 其余 3 個數(shù)全排列, 有 (種)；當?shù)谝粋€數(shù)為 6 時,2,3,4,8這些數(shù)中無滿足條件的；當?shù)谝粋€數(shù)為 8 時,2,3,4,6這些數(shù)中無滿足條件的. 所以共有 (種).
13. 分必答 (周期數(shù)列與對數(shù)函數(shù)性質的綜合) 已知 ,根據(jù) ,可得 ,
所以數(shù)列 是以 3 為周期的周期數(shù)列,即 . 因為 ,所以 , ,數(shù)列 也是以 3 為周期的周期數(shù)列,且 .
因為函數(shù) 在 上單調遞增,所以 在區(qū)間 上的最大值為 ,最小值為 ,
所以 ,可得 ,所以 ,
所以 .
技巧點撥
解周期數(shù)列題時, 關鍵在于確定周期. 可通過計算數(shù)列前幾項, 依據(jù)定義判斷周期; 或對遞推公式變形推導. 求數(shù)列項的值時, 把項數(shù)表示為 “周期倍數(shù) + 余數(shù)” 的形式, 利用周期的性質求解. 求和時, 按周期分組, 算出每組和與組數(shù)及剩余項, 進而得出總和.
14. 分必答 (雙曲線定義與幾何性質、離心率的計算)
因為 與 有相同的高 (點 到直線 的距離),且 ,所以可得 ,即
設 ,則 .
根據(jù)雙曲線的定義,點 在雙曲線右支上,則 ,
點 在雙曲線左支上,則 ,
所以 .
又因為 ,所以 ,
解得 ,所以 ,
進而可得 .
因為 ,所以 .
在 中, ,
即 ,所以 ,所以 .
15. (1)
90 分必答 (等比數(shù)列的通項公式及裂項相消法求和)
解:(1)設遞增等比數(shù)列 的公比為 ,則 .
因為 ,
所以 ,
所以 . (3 分)
所以 ,解得 , (4 分)
所以 . (5 分)
(2) 因為 ,
所以 (9 分)
. (13 分)
技巧點撥
裂項相消法求和的實質是將數(shù)列中的通項分解, 然后重新組合, 使之能消去一些項, 最終達到求和的目的, 其解題的關鍵就是準確裂項和消項.
(1)裂項原則:一般是前邊裂幾項,后邊就裂幾項,直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止;
(2)消項規(guī)律:消項后前邊剩幾項,后邊就剩幾項,前邊剩第幾項,后邊就剩倒數(shù)第幾項.
16. (1) (2)分布列見解析, (3)0.67,高于 (1)(2)問 90 分必答,(3)問 120 分必答(概率、二項分布的分布列和數(shù)學期望及數(shù)據(jù)推斷) 解:(1)由題意知,每個音樂片段被抽到的可能是相同的. 因為甲、乙、丙三個工作室錄制音樂片段總數(shù)之比為
所以若只取 1 個音樂片段,它是由乙工作室錄制的概率為 . (2 分)
(2)設事件 分別表示隨機抽取的 1 個音樂片段分別是由甲、乙、丙工作室錄制的,
若只取 1 個音樂片段,則
所以由乙或丙工作室錄制的概率為 . (4 分)
依題意可知, 的可能取值為0,1,2,且 . (5 分)
所以 , (8 分)
所以 的分布列為
0 1 2
數(shù)學期望 (10 分)
(3)設事件 表示音樂片段被錄用,由(1)(2)知 . (11 分)
所以 .
(12 分)
又
,即 《哪吒 2: 魔童
鬧海》電影原聲音樂片段的可用率約為 0.67 . (14分)
又 ,所以此次音樂片段的可用率高于以往平均可用率. (15 分)
技巧點撥
區(qū)別超幾何分布與二項分布的六個方面
(1)看總體數(shù)是否給出, 若未給出或給出總體數(shù)較大, 則
一般考查二項分布, 此時往往會出現(xiàn)重要的題眼“將頻率視為概率”；
(2)看一次抽取抽中“次品”概率是否給出, 若給出或可求
出, 則一般考查二項分布;
(3)看一次抽取的結果是否只有兩個結果,若只有兩個對立的結果, 則一般考查二項分布;
(4)看抽樣方法,若是有放回抽樣,則一定是二項分布；若是不放回抽樣,則需要考慮總體數(shù)再確定;
(5)看每一次抽樣試驗中,事件是否相互獨立,事件發(fā)生的概率是否不變, 若事件相互獨立且概率不變, 則一定考查二項分布,這也是判斷二項分布的最根本依據(jù)；
(6)把握住超幾何分布與二項分布在定義敘述中的區(qū)別, 超幾何分布多與分層抽樣結合, 會出現(xiàn)“先抽, 再抽”的題千信息.
17. (1) 答案見解析(3)證明見解析
(1) 問 90 分必答, (2) 問 120 分必答, (3) 問 150 分必答 (導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)單調性及證明不等式)
(1) 解: 當 時,
(2 分)
所以曲線 在 處的切線方程為 (x - 0),即 . (4 分)
(2)解: . (5 分)
若 ,令 ,即 ,
因為 ,所以 ,解得 .
當 時, 單調遞減;
當 時, 單調遞增. (6 分)
若 ,令 ,解得 .
當 時, 單調遞減;
當 時, 單調遞增. (7 分)
綜上所述,當 時, 在 上單調遞減,在 上單調遞增. (8 分)
(3) 證明: 當 時,要證 ,
即證 . (10 分)
令 ,
所以 , (11 分)
令 ,
所以 . (12 分)
因為 ,所以 ,
所以 在 上單調遞增, (13 分)
則 ,即 ,
所以 在 上單調遞增.
所以 , (14 分)
即 .
所以當 時, . (15 分)
18.(1)證明見解析
(1) 問 90 分必答, (2) 問 120 分必答, (3) 問 150 分必答
(線面平行的判定、用向量法求解線面角及點面距離)
(1)證明:連接 交 于點 ,連接 ,如圖 1 所示.
(1 分)
因為底面 是矩形,所以 是 的中點.
因為 是 的中點,所以在 中,
是中位線,所以 . (3 分)
因為 平面 平面 , (4 分)
所以 平面 . (5 分)
圖 1
(2) 解: 如圖 2,因為 底面 ,所以 , ,
又在矩形 中, ,所以 兩兩垂直. 以點 為原點,分別以 所在直線為 軸, 軸, 軸,建立空間直角坐標系,則 ,
. (7 分)
因為 是 的中點,所以 .
圖2
所以 .
設平面 的法向量為 ,則
令 ,則 ,所以 . (9分)
設直線 與平面 所成的角為 ,
則 ,
所以 .
即直線 與平面 所成角的正弦值為 . (12分) (3) 解:由(2)知平面 的一個法向量為 , 設 ,
又 ,
則 . (15 分)
令點 到平面 的距離為 .
由 ,得 ,
解得 或 (舍去). (16 分)
又 ,故 ,
所以 的長度為 . (17 分)
知識鏈接
1. 空間角的向量求法
角的分類 向量求法 范圍
兩異面直 線 與 所成的角 設 與 的方向向量分別為 , ,則
直線 與 平面 所 成的角 設 的方向向量為 ,平面 的 法向量為 ,則
平面 與 平面 的 夾角 設平面 的法向量分別為 , ,則
2. 空間距離的向量求法
分類 向量求法
兩點距 設 為空間中的任 意兩點,則距離
點線距 設直線 的單位方向向量為 , ,則點 到直線 的距離
點面距 已知平面 的法向量為 ,則點 到平面 的距離
19. (1) (2) (3)8個
(1)問 90 分必答,(2)問 120 分必答,(3)問 150 分必答 (橢圓方程求解、直線與橢圓的位置關系及新定義 “特殊點”問題)
解:(1)已知短軸長 ,則 .
由離心率 ,得 .
又 ,
所以 ,解得 . (3 分)
所以橢圓 的方程為 . (4 分)
(2)設 ,
聯(lián)立直線與橢圓方程,得 消去 ,得
所以 . (6 分)
所以 .
因為 ,所以 , (7 分)
則 .
所以 ,
即 ,
化簡,得 ,所以 . (10 分)
(3)因為點 在橢圓 上,
所以 ,變形得 .
將 代入 ,
得 ,即 ,
所以 ,
化簡,得 . (12 分)
令 ,方程變?yōu)?br/>即 ,解得 . (14 分)
當 時, ,此時 ;
當 時, ,此時 . (15 分)
所以橢圓 的 “特殊點” 有 8 個. (17 分)

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