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北師大版2024—2025學年八年級下冊數學期末復習綜合訓練
考生注意：本試卷共三道大題，25道小題，滿分120分，時量120分鐘
第I卷
一、選擇題（每題只有一個正確選項，每小題3分，滿分30分）
1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．解分式方程時，去分母正確的是（　　）
A．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1
C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1
3．分式的值為0，則x的值為（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
4．設x為4．不等式組的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若分式中x，y的值同時擴大為原來的2倍，則分式的值（　　）
A．不變 B．擴大為原來的2倍
C．擴大為原來的4倍 D．不能確定
6．為傳承我國傳統節日文化，端午節前夕，某校組織了包粽子活動．已知某班甲組同學平均每小時比乙組多包20個粽子，甲組包150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所用的時間相同．求甲，乙兩組同學平均每小時各包多少個粽子．若設乙組每小時包x個粽子，可列出關于x的方程為（　　）
A． B．
C． D．
7．如圖，點E在AC上，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB的度數是（　　）
A．90° B．180° C．270° D．360°
8．如圖，在 ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周長為40，則 ABCD的面積為（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
9．如圖，△ABC中，M是BC的中點，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，若AB＝4，AC＝6，則MD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
10，已知實數x滿足x2＝3x+1．則的值為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空題（6小題，每題3分，共18分）
11．因式分解：a3﹣9ab2＝　 　 ．
12．如圖，已知點A，B的坐標分別為（2，4），（6，0），將△OAB沿x軸向右平移，使點B平移到點E，得到△DCE，若OE＝8，則點C的坐標為 　 　
13．陽春三月，正值放風箏的好時節．某商店以80元的進價購進一款風箏，標價為120元出售，為擴大銷量，計劃打折出售，但其利潤率不能少于20%．請你幫助該商店老板計算，這款風箏最多可以按　 　 折銷售．
14．若關于x的不等式（2﹣a）x＜3可化為，則a的取值范圍是　 　 ．
15．如圖，在△ABC中，分別作AB、AC的垂直平分線，交BC于點D、E，垂足為F、G，若∠BAC＝110°，則∠DAE＝　 　 度．
16．如圖，在面積為12的△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于點D，直線EF垂直平分AB交AB于點E，交BC于點F，P為直線EF上一動點，則△PBD周長的最小值為 　 　 ．
第II卷
北師大版2024—2025學年八年級下冊數學期末復習綜合訓練
姓名：____________ 學號：____________準考證號：___________
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空題
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答題解答題（17、18、19題每題6分，20、21每題8分，22、23每題9分，24、25每題10分，共計72分，解答題要有必要的文字說明）
17．（1）解不等式組：；
（2）解方程：．
18．先化簡，再求代數式的值，其中．
19．某校為了培養學生良好的閱讀習慣，去年購買了一批圖書．其中科技書的單價比文學書的單價多4元，用1800元購買的科技書與用1200元購買的文學書數量相等．
（1）求去年購買的文學書和科技書的單價各是多少元？
（2）若今年文學書的單價提高到10元，科技書的單價與去年相同，該校今年計劃再購買文學書和科技書共280本，且購買科技書和文學書的總費用不超過3000元，該校今年至少要購買多少本文學書？
20．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD交于點O，點E、F分別為OA、OC的中點，連接BE、DF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，求DF的長．
21．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分別是BC，AC的中點，延長BA到點D，使，連結DE，DF，DE交AF于點M．
（1）求證：AP＝FP；
（2）若BC＝10，求DF的長．
22．如圖，D是等邊內一點，將繞點B順時針旋轉得到，連接，且．
(1)求的度數；
(2)若，求證：．
23．【基礎鞏固】從課本中我們學習了因式分解的常見方法：提取公因式法和公式法
（1）填空：因式分解________
【思考探究】在學習過程中，我們還發現存在某些多項式既沒有公因式，也不能直接運用公式分解因式，但是某些項通過適當的調整能構成可分解的一組，用分組來分解一個多項式的因式，這種方法叫分組分解法．例如：“”，細心觀察這個式子就會發現，前兩項可以因式分解，后兩項也可因式分解，前后兩部分分別分解因式后產生了新的公因式，然后再提取公因式，具體過程為
．
（2）請在上述方法的啟發下，分解下列因式：
①；
②．
【應用嘗試】
（3）已知實數a，b滿足，求的值．
24．已知，關于x的分式方程1．
（1）當a＝2，b＝1時，求分式方程的解；
（2）當a＝1時，求b為何值時分式方程1無解；
（3）若a＝3b，且a、b為正整數，當分式方程1的解為整數時，求b的值．
25．等腰三角形中，，，點，為邊上的兩動點，且．
(1)若，求的長．
(2)若，求的面積．
(3)當點在邊的什么位置時，線段，，滿足．
參考答案
` ‘rt一、選擇題
1—10：ADABB ABDDB
二、填空題
11．【解答】解：a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）．
故答案為：a（a﹣3b）（a+3b）．
12．【解答】解：∵B（6，0），
∴OB＝6，
∵OE＝8，
∴BE＝OE﹣OB＝2，
即△OAB沿x軸正方向平移2個單位長度得到△DCE，
∵A（2，4），
∴點C的坐標為（4，4）．
故答案為：（4，4）．
13．【解答】解：設打x折銷售，則售價為120×0.1x元，利潤為（120×0.1x﹣80）元，
由題意得：120×0.1x﹣80≥80×20%，
解得x≥8，
∴此種商品可以按最多打8折銷售，
故答案是：8．
14．【解答】解：∵不等式（2﹣a）x＜3可化為，
∴2﹣a＜0，
解得：a＞2，
故答案為：a＞2．
15．【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵邊AB，AC的垂直平分線分別交BC于點D，E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAE＝110°﹣70°＝40°，
故選：40．
16．【解答】解：如圖，連接PA，
∵AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC，
∴，
∵△ABC的面積為12，
∴，
∴AD＝4，
∵EF垂直平分AB，
∴PB＝PA，
∵P為直線EF上一動點，
∴PB+PD＝PA+PD≥AD，
∴PA+PD≥4，
∴BD+PB+PD＝BD+PA+PD≥BD+AD＝3+4＝7，
∴△PBD周長的最小值為7．
故答案為：7．
三、解答題
17.【解答】解：（1），
解不等式①，得x＜3，
解不等式②，得x≥﹣2，
所以不等式組的解集是﹣2≤x＜3；
（2），
方程兩邊同乘x（x﹣2），得3（x﹣2）＝5x，
解得x＝﹣3，
檢驗：當x＝﹣3時，x（x﹣2）≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣3．
18.【解答】解：
，
當時，原式．
19.【解答】解：（1）設去年文學書單價為x元，則科技書單價為（x+4）元，根據題意得：
，
解得：x＝8，
經檢驗x＝8是原方程的解，當x＝8時x+4＝12，
答：去年文學書單價為8元，則科技書單價為12元；
（2）設這所學校今年購買y本文學書，
根據題意得：10×y+12（280﹣y）≤3000，
y≥180，
∴y最小值是180；
答：該校今年至少要購買180本文學書．
20．【解答】（1）證明：∵平行四邊形ABCD，
∴AB＝CD，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵點E，F分別為OA，OC的中點，
∴，，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，
∴BD＝40，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴△DCO為等腰三角形，
∵點F是CO的中點，
∴DF⊥AC，
在Rt△CDF中，CF＝12，CD＝20，
由勾股定理得：．
21．【解答】（1）證明：連接EF，AE．
∵點E，F分別為BC，AC的中點，
∴EF∥AB，EFAB．
又∵ADAB，
∴EF＝AD．
又∵EF∥AD，
∴四邊形AEFD是平行四邊形．
∴AF與DE互相平分，
∴AP＝FP；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵E為BC的中點，BC＝10，
∴AEBC＝5．
又∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴DF＝AE＝5．
22.【解答】解：（1）解：由旋轉的性質得：，
，
是等邊三角形，
，
，
，
；
（2）根據題意得：，
，
，
，
∵為等邊三角形，
∴，
∴垂直平分，
．
23.【解答】解：（1）
，
故答案為：．
（2）①
．
②
．
（3）
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得，
方程兩邊同時乘以（2x+3）（x﹣5），
2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15，
10x＝﹣2，
x，
檢驗：把x 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x．
答：分式方程的解是x．
（2）把a＝1代入分式方程 得，
方程兩邊同時乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
（11﹣2b）x＝3b﹣10，
①當11﹣2b＝0時，即，方程無解；
②當11﹣2b≠0時，，
時，分式方程無解，即，b不存在；
x＝5時，分式方程無解，即，b＝5．
綜上所述，或b＝5時，分式方程 無解．
（3）把a＝3b代入分式方程 中，得：
方程兩邊同時乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：（10+b）x＝18b﹣15，
∴，
∵，且b為正整數，x為整數，
∴10+b必為195的因數，10+b≥11，
∵195＝3×5×13，
∴195的因數有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5 小于11，不合題意，故10+b可以取13、15、39、65、195這五個數．
對應地，方程的解x為3、5、13、15、17，
由于x＝5為分式方程的增根，故應舍去．
對應地，b只可以取3、29、55、185，
所以滿足條件的b可取3、29、55、185這四個數．
25.【解答】解：（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
，，
∴，
∴；
（2）解：如圖，將繞點順時針旋轉至，使與重合，連接，過點作于點，過點作于點，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由旋轉得，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
設，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴；
（3）解：同（2）作法可得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同（2）可得，
∴，
∵，
∴，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即點在距離點處．
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