資源簡介

長征中學2024學年第二學期高二年級期中考試試卷數學學科
(時間120分鐘,滿分150分)2025.04
一、填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題,1-6每題4分,7-12每題5分.考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果,每個空格填對得分,否則一律得零分.
1.直線的傾斜角為_____.
2.雙曲線的漸近線方程為_____.
3.拋物線的準線方程為_____.
4.已知直線,則直線與的夾角大小為______.
5.過點,與直線垂直的直線方程為______.
6.若直線與直線平行,則這兩條直線間的距離為_____.
7.若方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數的取值范圍是_____.
8.若雙曲線的虛軸長是實軸長的倍,則_____.
9.以拋物線的焦點為圓心、且與該拋物線的準線相切的圓的方程為______.
10.由直線上的點向圓引切線,則切線長的最小值為_____.
11.設,過定點的動直線和過定點的動直線交于點.則的最大值為_____.
12.已知曲線方程,若過的直線與該曲線恰有三個不同的交點,則直線的傾斜角的取值范圍是_____.
二、選擇題(本大題滿分18分)本大題共有4題,每題有且只有一個正確答案,考生應在答題紙的相應編號上,將代表答案的小方格涂黑,13-14每題4分,15-16每題5分,選對得分,否則一律得零分.
13.如果,且,那么直線不通過.
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
14.到兩定點、的距離之差的絕對值等于的點的軌跡為.
橢圓 兩條射線 雙曲線 線段
15.直線關于點對稱的直線方程是
16.點為橢圓的右頂點,為橢圓上一點(不與重合),若(是坐標原點),則橢圓的離心率的取值范圍是.
三.解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.
17.(本題滿分14分,第(1)題6分,第(2)題8分).
已知雙曲線方程.
求該雙曲線的頂點坐標、焦點坐標、離心率與漸近線方程；
根據的不同取值,討論直線與該雙曲線的交點個數.
18.(本題滿分14分,第(1)題6分,第(2)題8分).
已知點.
求線段垂直平分線所在直線的方程；
若直線過且點、到直線的距離相等,求直線的方程.
19.(本題滿分14分,第(1)題8分,第(2)題6分).
已知直線和圓.
證明:圓與直線恒相交；
求直線被圓截得的弦長的最小值.
20.(本題滿分18分,第(1)題4分,第(2)題6分,第(3)題8分).
已知拋物線,斜率為的直線交拋物線于,兩點,且.
求拋物線的方程；
若動點在拋物線上,為拋物線的焦點,線段的中點為,求點的軌跡方程；
試探究:拋物線上是否存在點使得？若存在,求出點坐標；若不存在,請說明理由.
21.(本題滿分18分,第(1)題4分,第(2)題6分,第(3)題8分).
我們把右半個橢圓和圓弧合成的封閉曲線稱為“曲圓”.如圖,“曲圓”與軸的左、右交點依次記為、,與軸的上、下交點依次記為,過橢圓的右焦點的直線與“曲圓”交于兩點.
當點與重合時,求的周長；
當、兩點都在半橢圓時,是否存在以為直徑的圓恰好經過點若存在,求出直線的方程；若不存在,請說明理由；
當點在第一象限時,求的面積的最大值.
第21題圖
長征中學2024學年第二學期高二年級期中考試試卷數學學科
(時間120分鐘,滿分150分)2025.04
一、填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題,1-6每題4分,7-12每題5分.考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果,每個空格填對得分,否則一律得零分.
1.直線的傾斜角為_____.
解析：設直線的傾斜角為,
直線的斜率為，則,
，.
2.雙曲線的漸近線方程為_____.
解析：令
3.拋物線的準線方程為_____.
解析：由已知,
所以準線方程為
4.已知直線,則直線與的夾角大小為______.
解析：由題意知的方向向量為,的方向向量為,
則直線與的夾角的余弦值為
則直線與的夾角為.
5.過點,與直線垂直的直線方程為______.
解析：設過點,與直線垂直的直線方程為:
把代入,得:
過點,與直線垂直的直線方程為.
6.若直線與直線平行,則這兩條直線間的距離為_____.
解析：直線與直線平行
,求得
所以這兩條平行直線即直線與直線
所以這兩條直線間的距離是
7.若方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數的取值范圍是_____.
解析：,
因為橢圓焦點在軸上
所以.
8.若雙曲線的虛軸長是實軸長的倍,則_____.
解析：因為雙曲線的虛軸長是實軸長的倍
所以,
所以
9.以拋物線的焦點為圓心、且與該拋物線的準線相切的圓的方程為______.
解析：因為拋物線的焦點準線,
所求圓的圓心半徑為
所以圓的方程為.
10.由直線上的點向圓引切線,則切線長的最小值為_____.
解析：根據題意畫出圖形,當垂直于直線時，最短，此時
最小,
由圓的方程得:圓心,半徑,
圓心到直線的距離,
則切線長的最小值.
11.設,過定點的動直線和過定點的動直線交于點.則的最大值為_____.
解析：動直線即,經過定點,
注意到動直線和動直線始終垂直,又是兩條直線的交點,
則有,.
所以當且僅當時取“=”
12.已知曲線方程,若過的直線與該曲線恰有三個不同的交點,則直線的傾斜角的取值范圍是_____.
解析：當,時,方程化為,其圖象是個單位圓；
當,時,方程化為,其圖象是焦點在軸上的雙曲線的右下支；
當,時,方程化為,其圖象是焦點在軸上的雙曲線的左上支；
當，時,方程化為,即,不可能成立.
作出函數的大致圖象如圖,
設過斜率為的直線方程為,
聯立得.
當時,由,解得（舍去）或.
由圖可知,當時,直線與該曲線恰有三個不同的交點.
二、選擇題(本大題滿分18分)本大題共有4題,每題有且只有一個正確答案,考生應在答題紙的相應編號上,將代表答案的小方格涂黑,13-14每題4分,15-16每題5分,選對得分,否則一律得零分.
13.如果,且,那么直線不通過.
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
解析：直線可化為,
又
,
直線過一、二、四象限,不過第三象限.
所以選
14.到兩定點、的距離之差的絕對值等于的點的軌跡為.
橢圓 兩條射線 雙曲線 線段
解析：到兩定點的距離之差的絕對值等于
因為,
滿足條件的點的軌跡為兩條射線.
所以選
15.直線關于點對稱的直線方程是
解析：設對稱的直線方程上的一點的坐標為，則其關于點對稱的點的坐標為
以代換原直線方程中的
得
即.
所以選:
16.點為橢圓的右頂點,為橢圓上一點(不與重合),若(是坐標原點),則橢圓的離心率的取值范圍是.
解析：設
.
.
則的取值范圍是.
所以選:.
三.解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.
17.(本題滿分14分,第(1)題6分,第(2)題8分).
已知雙曲線方程.
求該雙曲線的頂點坐標、焦點坐標、離心率與漸近線方程；
根據的不同取值,討論直線與該雙曲線的交點個數.
解析：由題意得,
可得,,,
所以頂點坐標為,焦點坐標為
離心率為,漸近線為；
聯立方程
當或時
即或時,有1個交點；
當時,即時,有個交點；
當時,即或時,無交點.
18.(本題滿分14分,第(1)題6分,第(2)題8分).
已知點.
求線段垂直平分線所在直線的方程；
若直線過且點、到直線的距離相等,求直線的方程.
解析：,
故線段的中點為
,
所以線段垂直平分線所在直線方程為,即.
設
由于直線過且、到直線距離相等,
所以有直線和線段平行或經過線段的中點為.
當直線和線段平行時,方程為. ,即.
線經過線段的中點為時；
即.
19.(本題滿分14分,第(1)題8分,第(2)題6分).
已知直線和圓.
證明:圓與直線恒相交；
求直線被圓截得的弦長的最小值.
解析：變形為,
令,解得
所以直線過定點
圓,
則圓心,半徑,
因為,
因為在圓內,
所以圓與直線恒相交；
因為直線過定點,
且在圓內,
所以當直線與垂直時,直線被圓截得的弦長最小
其中,
圓的半徑為
所以弦長最小值為.
20.(本題滿分18分,第(1)題4分,第(2)題6分,第(3)題8分).
已知拋物線,斜率為的直線交拋物線于,兩點,且.
求拋物線的方程；
若動點在拋物線上,為拋物線的焦點,線段的中點為,求點的軌跡方程；
試探究:拋物線上是否存在點使得？若存在,求出點坐標；若不存在,請說明理由.
解析：已知點在拋物線上
代入得:
所以拋物線方程為:
拋物線焦點為,設動點，中點的坐標為:
.
設點在拋物線上,則
直線的方程為
所以存在：
21.(本題滿分18分,第(1)題4分,第(2)題6分,第(3)題8分).
我們把右半個橢圓和圓弧合成的封閉曲線稱為“曲圓”.如圖,“曲圓”與軸的左、右交點依次記為、,與軸的上、下交點依次記為,過橢圓的右焦點的直線與“曲圓”交于兩點.
當點與重合時,求的周長；
當、兩點都在半橢圓時,是否存在以為直徑的圓恰好經過點若存在,求出直線的方程；若不存在,請說明理由；
當點在第一象限時,求的面積的最大值.
第21題圖
解析：圓弧<的左頂點,
剛好是半橢圓的左焦點,
則點與重合時,的周長為；
假設存在直線,
、兩點都在半橢圓上,或,
.
聯立,得,
設、,則恒成立.
.
以為直徑的圓恰好經過點,
,即,
即,
可得,
即,解得.
不存在直線,滿足題意.
由知,當、兩點都在半橢圓時,
設直線的方程為,當在第一象限時,.
當且僅當得時等號成立,即的面積為；
②當、兩點分別在半橢圓與圓弧上時,當與重合時取得最大值,
此時,.
綜上,的面積的最大值為

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