資源簡介

高一下學期期末考模擬卷（第一、二冊綜合）（中等）
考試內容：必修第一冊、必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（24-25高一下·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知復數滿足，則（ ）
A． B．i C． D．1
2．（2025遼寧省）已知向量滿足，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25天津濱海新·期中）已知集合，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·廣東）已知函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·天津濱海新·期中）如圖，在中，，，P為上一點，且滿足，若，，則的值為（ ）

A．8 B． C．4 D．
6．（2025遼寧省）如圖所示，是一個正方體的表面展開圖，在正方體中，這4條線段所在的直線滿足垂直關系的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
7．（24-25高一下·江蘇南通·期中）在斜三角形中，角的對邊分別為．若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一下·天津·期中）已知的內角A，B，C所對的邊分別為，下列四個命題中正確個數是（ ）
①若，則定為等腰三角形
②若，則一定是銳角三角形
③若點M是邊BC上的點，且，則的面積是面積的
④若平面內有一點O滿足：，且，則為等邊三角形
⑤若，則點是的內心
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高一上·吉林通化·階段練習）已知關于x的不等式的解集為或，則下列說法正確的是 （ ）
A．
B．的解集為
C．
D．的解集為
10．（2025·陜西渭南）甲 乙兩個體育社團小組成員的某次立定跳遠成績（單位：厘米）如下：
甲組：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252
乙組：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263
則下列說法正確的是（ ）
A．甲組數據的第80百分位數是249
B．乙組數據的中位數是251
C．從甲 乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率是
D．乙組中存在這樣的成員，將他調派到甲組后，甲 乙兩組的跳遠平均成績都有提高
11．（23-24高一下·四川綿陽·階段練習）已知函數，則下列說法正確的有（ ）
A．函數的最大值為
B．當時，函數的對稱軸方程為
C．若向左平移個單位后，關于軸對稱，則的最小值為
D．若在上有且僅有個最大值點，則的取值范圍是
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高一下·山東泰安·期中）如圖，矩形中，邊，分別是上的點，若， 則的取值范圍是 ．

13．（24-25高一下·陜西榆林·期中）如圖，正方體的棱長為2，N為的中點，若過的平面平面，則截該正方體所得截面圖形的面積為 .
14．（24-25高一下·吉林長春·期中）如圖，在平面四邊形中，點與點分別在直線的兩側，，，則 ；若，則的最大值為 ．
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高一上·江西宜春·期末）宜春明月山是國家森林公園、省級風景名勝區.為更好地提升旅游品質，隨機選擇100名游客對景區進行滿意度評分（滿分100分），根據評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據頻率分布直方圖，求的值；
(2)滿意度評分位列前的游客將發紀念品，試估計獲得紀念品的分數至少為多少分；
(3)若采用按比例分層抽樣的方法從評分在的兩組中共抽取3人，再從這3人中隨機抽取2人進行交流，求選取的2人評分分別在和內各1人的概率.
16．（24-25高一下·云南玉溪·期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．
(1)求角A；
(2)若外接圓的半徑為．
（ⅰ）求面積的最大值；
（ⅱ）已知，AD為的角平分線，求AD的長．
17．（24-25高一下·吉林·期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，為等邊三角形.平面平面PCD，，，.
(1)設G，H分別為PB，AC的中點，求證：平面PAD；
(2)求證：平面PCD；
(3)求直線BC與平面PAC所成角的正弦值.
18．（山東省日照市2024-2025學年高一下學期期中校際聯合考試數學試題）已知向量，，其中，函數，且．
(1)求函數的解析式；
(2)若對，關于x的不等式恒成立，求實數m的取值范圍．
19．（24-25高一下·安徽滁州·階段練習）已知函數.
(1)設函數，求在區間上的值域；
(2)設，證明：的圖象是中心對稱圖形；
(3)若函數，且在區間上有零點，求實數的取值范圍.高一下學期期末考模擬卷（第一、二冊綜合）（中等）
考試內容：必修第一冊、必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（24-25高一下·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知復數滿足，則（ ）
A． B．i C． D．1
【答案】A
【解析】因為，
所以，
所以.
故選：A
2．（2025遼寧省）已知向量滿足，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，所以，
又，所以，
則，故．
故選:D．
3．（24-25天津濱海新·期中）已知集合，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當為空集時，時.解不等式，可得.
因為空集是任何集合的子集，所以當時，.
當不為空集時，時，解不等式，可得.
此時，要使，那么集合中的元素都要滿足集合的范圍.

已知，，所以需滿足.
解不等式，可得.
綜合可得，又因為前提是，所以取交集得.
綜合兩種情況，將和兩種情況綜合起來，取并集可得.
能使成立的所有組成的集合為，
故選： C.
4．（2025·廣東）已知函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為在上單調遞增，由函數在上單調遞增，
可得在上單調遞增且恒成立，
，解得，
即實數的取值范圍是.
故選：C.
5．（24-25高一下·天津濱海新·期中）如圖，在中，，，P為上一點，且滿足，若，，則的值為（ ）

A．8 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】因為，所以，
所以，所以，
又，
所以
．
故選：C
6．（2025遼寧省）如圖所示，是一個正方體的表面展開圖，在正方體中，這4條線段所在的直線滿足垂直關系的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】C
【解析】還原正方體如圖所示：
連接，， ，
在正方體中，因為，則為與所成角或其補角，因為，所以與不垂直，故A不符合題意；
因為，所以為與所成角或其補角，因為，所以與不垂直，故B不符合題意；
因為，且正方體每個面均為正方形，故，所以與互相垂直，故C符合題意；
因為，所以與共面，且,故D不符合題意.
故選：C
7．（24-25高一下·江蘇南通·期中）在斜三角形中，角的對邊分別為．若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由三角形為斜三角形且，故，
又，，，
則，而，
所以，則，
所以
令，則，
所以，故.
故選：D
8．（24-25高一下·天津·期中）已知的內角A，B，C所對的邊分別為，下列四個命題中正確個數是（ ）
①若，則定為等腰三角形
②若，則一定是銳角三角形
③若點M是邊BC上的點，且，則的面積是面積的
④若平面內有一點O滿足：，且，則為等邊三角形
⑤若，則點是的內心
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】對于①，在中，由，得或，
即或，則是等腰三角形或直角三角形，①錯誤；
對于②，由及余弦定理，得，則為銳角，
而是否為銳角不確定，②錯誤；
對于③，由，得，即，
則，的面積是面積的，③錯誤；
對于④，由，得是的重心，
由，得是的外心，
即的重心、外心重合，則為等邊三角形，④正確；
對于⑤，由，得，
則，則，
則，即平分，
由，同理得平分，
因此點O是的內心，⑤正確，
所以正確命題的個數是2.
故選：B
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高一上·吉林通化·階段練習）已知關于x的不等式的解集為或，則下列說法正確的是 （ ）
A．
B．的解集為
C．
D．的解集為
【答案】AD
【解析】由題意得是方程的兩根，且，A正確；
故，即，，
所以，B錯誤；
，C錯誤；
，
解得，D正確.
故選：AD
10．（2025·陜西渭南）甲 乙兩個體育社團小組成員的某次立定跳遠成績（單位：厘米）如下：
甲組：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252
乙組：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263
則下列說法正確的是（ ）
A．甲組數據的第80百分位數是249
B．乙組數據的中位數是251
C．從甲 乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率是
D．乙組中存在這樣的成員，將他調派到甲組后，甲 乙兩組的跳遠平均成績都有提高
【答案】BCD
【解析】由題意得甲組數據共有10個數字，而，
則甲組數據的第80百分位數是第8個數和第9個數的平均數，
即甲組數據的第80百分位數是，故選項A錯誤；
乙組數據共有12個數字，故乙組數據的中位數是第6個數和第7個數的平均數，
即乙組數據的中位數是，故選項B正確；
設“從甲組抽取的人跳遠成績在250厘米以上”為事件，
∵甲組中跳遠成績在250厘米以上的有2人，∴；
設“從乙組抽取的人跳遠成績在250厘米以上”為事件，
∵乙組中跳遠成績在250厘米以上的有7人，∴，
而從甲，乙兩組各隨機選取一個成員，則事件，事件相互獨立，
所以由獨立事件的概率乘法公式可知：“兩人跳遠成績均在250厘米以上”概率為
，故選項C正確；
甲組的跳遠平均成績為，
乙組的跳遠平均成績為，
則將乙組中跳遠成績為248厘米的成員調派到甲組后，甲，乙兩組的跳遠平均成績都有提高，故選項D正確.
故選：BCD.
11．（23-24高一下·四川綿陽·階段練習）已知函數，則下列說法正確的有（ ）
A．函數的最大值為
B．當時，函數的對稱軸方程為
C．若向左平移個單位后，關于軸對稱，則的最小值為
D．若在上有且僅有個最大值點，則的取值范圍是
【答案】BD
【解析】對于A，函數，
所以函數的最大值為2，故A錯誤；
對于B，當時，由A得，令，
所以當時，函數的對稱軸方程為，故B正確；
對于C，向左平移個單位后得到的函數圖象解析式為，
因為其圖象關于軸對稱，所以，
因為，所以的最小值為，故C錯誤；
對于D，當時，，
因為在上有且僅有個最大值點，
所以，故D正確.
故選：BD
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高一下·山東泰安·期中）如圖，矩形中，邊，分別是上的點，若， 則的取值范圍是 ．

【答案】
【解析】由題意以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

邊，，
所以，
所以，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
13．（24-25高一下·陜西榆林·期中）如圖，正方體的棱長為2，N為的中點，若過的平面平面，則截該正方體所得截面圖形的面積為 .
【答案】
【解析】如圖，取BC的中點E，的中點F，連接DE，，，FD，
因為E，F分別為BC，的中點，所以，，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又因為平面，平面，所以平面，
同理平面，
又，，平面，所以平面平面，
即四邊形為截正方體所得截面圖形.
由正方體的棱長為2，易得四邊形是邊長為的菱形，
對角線即為正方體的體對角線，
又，
所求截面的面積.
故答案為：
14．（24-25高一下·吉林長春·期中）如圖，在平面四邊形中，點與點分別在直線的兩側，，，則 ；若，則的最大值為 ．
【答案】 / /
【解析】連接，中，，，
由余弦定理得，
則，所以是等腰三角形，所以，
所以；
設，在中，，
所以是等腰三角形，在中，有，
所以，在中，，
由余弦定理得：，
則
，
當且僅當，即時取等號，
所以當時，，
所以的最大值是.
故答案為：；.
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高一上·江西宜春·期末）宜春明月山是國家森林公園、省級風景名勝區.為更好地提升旅游品質，隨機選擇100名游客對景區進行滿意度評分（滿分100分），根據評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據頻率分布直方圖，求的值；
(2)滿意度評分位列前的游客將發紀念品，試估計獲得紀念品的分數至少為多少分；
(3)若采用按比例分層抽樣的方法從評分在的兩組中共抽取3人，再從這3人中隨機抽取2人進行交流，求選取的2人評分分別在和內各1人的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由圖可知：，解得，，
故的值為；
（2）滿意度評分位列前，即滿意度評分達到以上，
因為，
，
所以分位數在區間內，令其為，
則，解得：，
所以滿意度評分位列前的游客將發紀念品，獲得紀念品的分數至少為分；
（3）因為評分在的頻率分別為，
則在中抽取人，設為；
在中抽取人，設為；
從這3人中隨機抽取2人，則有：共有3個基本事件，
選取的2人評分分別在和內各1人有，2個基本事件，
所以.
即選取的2人評分分別在和內各1人的概率為.
16．（24-25高一下·云南玉溪·期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．
(1)求角A；
(2)若外接圓的半徑為．
（ⅰ）求面積的最大值；
（ⅱ）已知，AD為的角平分線，求AD的長．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】（1）由得，，
所以，
又，所以，
所以，因為，所以；
（2）因外接圓的半徑為，由正弦定理，可得，
（ⅰ）由余弦定理，可得，即．
所以，解得，當且僅當時取等號，
所以，
故面積的最大值為．
（ⅱ）由，得，即，
由（ⅰ）可得：，聯立解得：
因為，所以，
所以．
17．（24-25高一下·吉林·期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，為等邊三角形.平面平面PCD，，，.
(1)設G，H分別為PB，AC的中點，求證：平面PAD；
(2)求證：平面PCD；
(3)求直線BC與平面PAC所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【解析】（1）連接，如圖所示，

因為底面為平行四邊形，為的中點，
所以為的中點，
又為的中點，所以，
又因為平面，平面，
所以平面.
（2）取棱的中點，連接，如圖所示，
為等邊三角形，得，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，故，
又，，平面，
所以平面.
（3）連接，如圖所示，

因為，所以BC，AD與平面PAC所成的角相等，
由（2）中平面，可知為直線與平面所成的角.
因為為等邊三角形，且為的中點，所以，
又，在中，，
所以，直線BC與平面所成角的正弦值為.
18．（山東省日照市2024-2025學年高一下學期期中校際聯合考試數學試題）已知向量，，其中，函數，且．
(1)求函數的解析式；
(2)若對，關于x的不等式恒成立，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）依題意，
．
由得，
即．
又，所以．
所以
（2）因在恒成立，
則，
而
，
所以，
即在恒成立，
記，
，
又；
設，則在上單調遞增，
，
，即．
故的取值范圍為
19．（24-25高一下·安徽滁州·階段練習）已知函數.
(1)設函數，求在區間上的值域；
(2)設，證明：的圖象是中心對稱圖形；
(3)若函數，且在區間上有零點，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【解析】（1）
，
當時，單調遞增，
又，
故在區間上的值域為.
（2）因為，
所以
，
故的圖象關于點對稱.
（3）由題意得.
設，當時，.
則在區間上有零點，等價于函數在區間上有零點，
即在時有實數解，
即在時有實數解，
即在時有實數解.
設，則，
易知在時單調遞增，
且當時，，
當時，，
所以，
故實數的取值范圍是.

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