資源簡介

高一下學期期末考模擬卷（第一、二冊綜合）（提升）
考試內容：必修第一冊、必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（25-26高一上·全國·課后作業）下列命題中，為假命題的是（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的充分條件
C．“”的充要條件是“” D．“”是“”的必要條件
【答案】D
【解析】因為，所以“”是“”的必要條件，A是真命題；因為，所以“”是“”的充分條件，B是真命題；因為，C是真命題；因為，所以“”是“”的充分條件，D是假命題．
2．（25-26高一上·全國·課后作業）設集合．若，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】由
，得，即．因為，所以或，解得或，即實數a的取值范圍是或．
3．（24-25高一下·廣西·期中）已知是定義在上的奇函數，且當時，，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由對數函數和一次函數的單調可得是增函數，且，
所以當時，的解集為，
因為是奇函數，易知是偶函數，當時，可得，
根據偶函數知：當時，可得，
故選：A.
4．（24-25海南?。┮阎瑒t（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，即，
由題意可得，解得，
所以.
因此.
故選：D.
5．（24-25高一下·上海·期中）下列函數圖像所對應的函數解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】對于A：函數的定義域為，又，，
所以，且當時，而，
所以，當或時，所以，則，
又，所以為奇函數，函數圖象關于原點對稱，符合題意，故A正確；
對于B：函數的定義域為，故排除B；
對于C：函數的定義域為，
且，所以為非奇非偶函數，
且當或時，所以，故排除C；
對于D：函數的定義域為，
且，所以為非奇非偶函數，
且當或時，所以，故排除D；
故選：A
6．（24-25高一下·天津·期中）坡屋頂是我國傳統建筑造型之一，蘊含著豐富的數學元素.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形，底面ABCD為矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為 ，則該五面體的體積為（ ）
A．312 B．304 C．192 D．184
【答案】D
【解析】
如圖，過作平面，垂足為，過分別作，，垂足分別為，，連接，，
因為平面，平面，所以，
因為，，平面，，
所以平面，因為平面，所以，
同理，，
則可知等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，
所以．
又，故四邊形是矩形，
所以由得，所以，所以，
即，所以，
所以該五面體的體積為
故選：D.
7．（24-25山東煙臺·期中）某公司有甲，乙兩個部門，每個部門各有7名員工，其中甲部門有5名經驗豐富的員工和2名新員工，乙部門有4名經驗豐富的員工和3名新員工，現從甲部門和乙部門各隨機選出一名員工進行交換，交換完成后，再從甲部門隨機選出一名員工，則該員工是經驗豐富的員工的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】從甲部門和乙部門各隨機選出一名員工進行交換，有以下四種情況：
第一種，甲部門經驗豐富的員工與乙部門經驗豐富的員工交換，則概率為，
第二種，甲部門新員工與乙部門新員工交換，則概率為，
第三種，甲部門經驗豐富的員工與乙部門新員工交換，則概率為，
第四種，甲部門新員工與乙部門經驗豐富的員工交換，則概率為，
第一種與第二種甲部門有5名經驗豐富的員工和2名新員工，則隨機選出一名員工，為經驗豐富的員工的概率為，
第三種甲部門有4名經驗豐富的員工和3名新員工，則隨機選出一名員工，為經驗豐富的員工的概率為，
第四種甲部門有6名經驗豐富的員工和1名新員工，則隨機選出一名員工，為經驗豐富的員工的概率為，
故甲部門隨機選出一名員工，則該員工是經驗豐富的員工的概率為.
故選：C.
8．（24-25高一下·重慶萬州·期中）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理得，且的面積，
由，得，化簡得，
又，，聯立解得，，
所以，
為銳角三角形，有，，得，
則有，可得，所以.
故選：C
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高一下·遼寧大連·期中）已知向量，滿足，，，則下列結論中正確的是（ ）
A． B． C．與夾角為 D．
【答案】BCD
【解析】∵，∴，
∴，即，
∴，選項B正確.
∵，
∴不成立，選項A錯誤.
∵，，
∴與夾角為，選項C正確.
∵，
∴，選項D正確.
故選：BCD.
10．（24-25高一下·吉林延邊·期中）在復平面內，下列說法正確的是（ ）
A．若復數中，i為虛數單位，則
B．已知，其中i是虛數單位，a為實數，則或
C．若，則
D．復數是方程在復數范圍內的一個解
【答案】ACD
【解析】對于A，，所以，故A正確；
對于B，由，可得，即，
所以，解得，故B錯誤；
對于C，設，因為，所以，所以
所以，故C正確；
對于D，因為，
所以復數是方程在復數范圍內的一個解，故D正確.
故選：ACD.
11．（24-25吉林?。┤鐖D，一個帶有蓋子的密閉圓臺形鐵桶中裝有兩個實心球（桶壁的厚度忽略不計），其中一個球恰為鐵桶的內切球（與圓臺的上，下底面及每條母線都相切的球），E為該球與母線BC的切點.AB，CD分別為鐵桶上，下底面的直徑，且，，F為的中點，則（ ）
A．鐵桶的母線長為3
B．鐵桶的側面積為
C．過D，E，F三點的平面與桶蓋的交線與直線CD所成角的正切值為
D．桶中另一個球的半徑的最大值為
【答案】ACD
【解析】
由題，鐵桶的軸截面是上底為4,下底為2的等腰梯形且有內切圓，如上圖，
設內切圓半徑為，則梯形兩腰長為，
梯形面積公式可以用兩種方式表示為
，
故鐵桶的母線長為3，A正確；
對于選項B，側面積公式為，故B不正確；
對于選項C.連接DE交AB于G，連接FG交圓O于M，則FM即為過D，E，F三點的平面與桶蓋的交線.，則即為所求角.,所以E為BC的三等分點且靠近C，
由，求得.在中，.
對于選項D.當球與球、桶蓋、桶壁均相切時，球的半徑最大，設為，
如下圖，在軸截面ABCD中，由，
則，
可求得另一個球半徑的最大值為.
故選：ACD.
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高一下·吉林長春·期中）已知非零向量，滿足，，若，則在方向上的投影向量的坐標為 ．
【答案】
【解析】由已知可得，.
因為，
所以，
解得或（舍去），
所以，，
所以，向量在向量方向上的投影向量為，坐標為.
故答案為：.
13．（24-25高一下·上海奉賢·期中）如圖1，西安航天基地攬月閣是一座融合了古代文化與現代科技的標志性建筑，可近似的視為一個正四棱臺，現有一個攬月閣模型（如圖2）、下底面邊長為，上底面邊長為，側棱長為，則該模型的高為 ．

圖1 圖2
【答案】
【解析】由為正四棱臺，，，，
連接，得，，
過作，過作，
所以，，
在直角三角形中，，
所以正四棱臺的高.
故答案為：.
14．（24-25高一下·廣東·期中）已知等腰中，，點D滿足，且，則BD的最小值為 .
【答案】
【解析】取中點，連接，
因為，所以，
因為，所以，
又，故，
且，所以≌，
設，
則，，，
如圖，要使最小，應在同側，
故，
在中，由余弦定理知
，
其中
，
于是
，
當且僅當，即時，取得最小值.
故答案為：
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25北京·階段練習）某地區教育研究部門為了解當前本地區中小學教師在教育教學中運用人工智能的態度、經驗、困難等情況，從該地區2000名中小學教師中隨機抽取100名進行了訪談.在整理訪談結果的過程中，統計他們對“人工智能助力教學”作用的認識，得到的部分數據如下表所示：
沒有幫助 有一些幫助 很有幫助 合計
性別 男 2 10 20
女 35 40 80
年齡 40歲以下（含40歲） 1 35
40歲以上 6 26 45
假設用頻率估計概率，且每位教師對“人工智能助力教學”作用的認識相互獨立.
(1)估計該地區中小學教師中認為人工智能對于教學“沒有幫助”的人數；
(2)現按性別進行分層抽樣，從該地區抽取了5名教師，求這5名教師中恰有1人認為人工智能對于教學“很有幫助”的概率；
(3)對受訪教師關于“人工智能助力教學”的觀點進行賦分：“沒有幫助”記0分，“有一些幫助”記2分，“很有幫助”記4分.統計受訪教師的得分，將這100名教師得分的平均值記為，其中年齡在40歲以下（含40歲）教師得分的平均值記為，年齡在40歲以上教師得分的平均值記為，通過計算比較的大小關系.
【答案】(1)140
(2)
(3)
【解析】（1）根據表格中數據，完善表格，
沒有幫助 有一些幫助 很有幫助 合計
性別 男 2 10 8 20
女 5 35 40 80
年齡 40歲以下（含40歲） 1 19 35 55
40歲以上 6 26 13 45
可以得到100名教師中，認為人工智能對于教學“沒有幫助”的頻率為，
用頻率估計概率，估計該地區中小學教師中認為人工智能對于教學“沒有幫助”的人數為；
（2）男女比例為，故抽取的5名教師，有1名男教師，4名女教師，
用頻率估計概率，估計該地區中小學教師中男教師認為對于教學“很有幫助”的概率為，
女教師認為對于教學“很有幫助”的概率為，
抽取的5名教師中，恰有1人認為人工智能對于教學“很有幫助”，
則1名男教師認為人工智能對于教學“很有幫助”的概率為，
1名女教師認為人工智能對于教學“很有幫助”的概率為，
故這5名教師中恰有1人認為人工智能對于教學“很有幫助”的概率為；
（3），
，
，
因為，所以.
16．（24-25高一下·山東青島·期中）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，當的周長取最大值時，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因為，由正弦定理得，
因為，所以，
又因為，且，所以，
又因為，，
所以，即.
（2）在中，由余弦定理，
得，即，
所以，當且僅當時取等號，
所以周長的最大值為，
此時面積.
17．（24-25高一上·重慶·期中）已知函數是定義在上的奇函數，滿足，當時，有
(1)求函數的解析式；
(2)判斷的單調性，并利用定義證明；
(3)若對，都有對恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)在上為增函數，證明見解析
(3)
【解析】（1）函數是定義在上的奇函數，
則，即，解得，
又因為，即，解得，
經檢驗可得，符合題意．
所以當時，，
令則，
所以，
則當
綜上所述，；
（2）函數在上是增函數．
證明如下：
任取，且，
則
，
因為，
所以，，
則，即，
故在上為增函數；
（3）由（2）可知，函數在區間上單調遞增，
所以，
由于對恒成立，
則對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
構造函數，其中，
所以，即，
解得或或，
所以實數的取值范圍是.
18．（24-25高一下·天津濱海新·期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，F為CP上的點，且平面.
(1)求證：平面平面；
(2)求直線PC與平面所成角的正弦值；
(3)在棱PD上是否存在一點G，使平面，若存在，求PG的長；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
(3)
【解析】（1）因為平面，平面，所以，
又因為，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
又因為底面是邊長為2的正方形，所以，
且平面，
所以平面，
又因為平面，
所以平面平面；
（2）
作，垂足為，連接，
因為平面平面，平面，平面平面，
所以平面，所以為直線與平面所成的角，
因為，，，所以，
因為平面，平面，所以，
所以在直角三角形中，由勾股定理可得，
所以；
（3）
作，交于，連接，
因為，，所以，
因為平面，平面，所以平面，
因為平面，平面，所以，
因為，，
所以，解得，所以，
因為平面，平面，所以，
又因為，所以，
又因為，所以.
19．（24-25高一下·四川南充·階段練習）已知函數
(1)求函數的最小正周期和單調遞減區間；
(2)將函數的圖像向左平移單位長度，再將所得圖像上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖像，求在上的值域．
(3)若函數在上有三個不同零點，求實數取值范圍．
【答案】(1)，單調遞減區間為，；
(2)
(3)
【解析】（1）因為，
所以的最小正周期為，
令，，解得，，
所以函數的單調遞減區間為，．
（2）由（1）知，，
將函數的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，
再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到的圖象，
∵，則，
∴，則，
∴在上的值域為．
（3）由（1）知，
由，可得，
令，則，，
若函數在有三個零點，
即在有三個不相等的實數根，
又的圖象如圖，
所以關于t的方程在區間有一個實根，另一個實根在上，或一個實根是1，另一個實根在，
當一個根在，另一個實根在，令，
所以，即，解得，
當一個根為0時，即，所以，此時方程為，所以，不合題意，
當一個根是，即，解得，所以，
令，得另一根，所以符合題意，
當一個根是1，另一個實根在，由得，
此時方程為，解得或，這兩個根都不屬于，不合題意，
綜上a的取值范圍是．高一下學期期末考模擬卷（第一、二冊綜合）（提升）
考試內容：必修第一冊、必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（25-26高一上·全國·課后作業）下列命題中，為假命題的是（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的充分條件
C．“”的充要條件是“” D．“”是“”的必要條件
2．（25-26高一上·全國·課后作業）設集合．若，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C．或 D．
3．（24-25高一下·廣西·期中）已知是定義在上的奇函數，且當時，，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25海南?。┮阎瑒t（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·上?！て谥校┫铝泻瘮祱D像所對應的函數解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高一下·天津·期中）坡屋頂是我國傳統建筑造型之一，蘊含著豐富的數學元素.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形，底面ABCD為矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為 ，則該五面體的體積為（ ）
A．312 B．304 C．192 D．184
7．（24-25山東煙臺·期中）某公司有甲，乙兩個部門，每個部門各有7名員工，其中甲部門有5名經驗豐富的員工和2名新員工，乙部門有4名經驗豐富的員工和3名新員工，現從甲部門和乙部門各隨機選出一名員工進行交換，交換完成后，再從甲部門隨機選出一名員工，則該員工是經驗豐富的員工的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一下·重慶萬州·期中）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高一下·遼寧大連·期中）已知向量，滿足，，，則下列結論中正確的是（ ）
A． B． C．與夾角為 D．
10．（24-25高一下·吉林延邊·期中）在復平面內，下列說法正確的是（ ）
A．若復數中，i為虛數單位，則
B．已知，其中i是虛數單位，a為實數，則或
C．若，則
D．復數是方程在復數范圍內的一個解
11．（24-25吉林?。┤鐖D，一個帶有蓋子的密閉圓臺形鐵桶中裝有兩個實心球（桶壁的厚度忽略不計），其中一個球恰為鐵桶的內切球（與圓臺的上，下底面及每條母線都相切的球），E為該球與母線BC的切點.AB，CD分別為鐵桶上，下底面的直徑，且，，F為的中點，則（ ）
A．鐵桶的母線長為3
B．鐵桶的側面積為
C．過D，E，F三點的平面與桶蓋的交線與直線CD所成角的正切值為
D．桶中另一個球的半徑的最大值為
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高一下·吉林長春·期中）已知非零向量，滿足，，若，則在方向上的投影向量的坐標為 ．
13．（24-25高一下·上海奉賢·期中）如圖1，西安航天基地攬月閣是一座融合了古代文化與現代科技的標志性建筑，可近似的視為一個正四棱臺，現有一個攬月閣模型（如圖2）、下底面邊長為，上底面邊長為，側棱長為，則該模型的高為 ．

圖1 圖2
14．（24-25高一下·廣東·期中）已知等腰中，，點D滿足，且，則BD的最小值為 .
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25北京·階段練習）某地區教育研究部門為了解當前本地區中小學教師在教育教學中運用人工智能的態度、經驗、困難等情況，從該地區2000名中小學教師中隨機抽取100名進行了訪談.在整理訪談結果的過程中，統計他們對“人工智能助力教學”作用的認識，得到的部分數據如下表所示：
沒有幫助 有一些幫助 很有幫助 合計
性別 男 2 10 20
女 35 40 80
年齡 40歲以下（含40歲） 1 35
40歲以上 6 26 45
假設用頻率估計概率，且每位教師對“人工智能助力教學”作用的認識相互獨立.
(1)估計該地區中小學教師中認為人工智能對于教學“沒有幫助”的人數；
(2)現按性別進行分層抽樣，從該地區抽取了5名教師，求這5名教師中恰有1人認為人工智能對于教學“很有幫助”的概率；
(3)對受訪教師關于“人工智能助力教學”的觀點進行賦分：“沒有幫助”記0分，“有一些幫助”記2分，“很有幫助”記4分.統計受訪教師的得分，將這100名教師得分的平均值記為，其中年齡在40歲以下（含40歲）教師得分的平均值記為，年齡在40歲以上教師得分的平均值記為，通過計算比較的大小關系.
16．（24-25高一下·山東青島·期中）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知.
(1)求角的大?。?br/>(2)若，當的周長取最大值時，求的面積.
17．（24-25高一上·重慶·期中）已知函數是定義在上的奇函數，滿足，當時，有
(1)求函數的解析式；
(2)判斷的單調性，并利用定義證明；
(3)若對，都有對恒成立，求實數的取值范圍．
18．（24-25高一下·天津濱海新·期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，F為CP上的點，且平面.
(1)求證：平面平面；
(2)求直線PC與平面所成角的正弦值；
(3)在棱PD上是否存在一點G，使平面，若存在，求PG的長；若不存在，說明理由.
19．（24-25高一下·四川南充·階段練習）已知函數
(1)求函數的最小正周期和單調遞減區間；
(2)將函數的圖像向左平移單位長度，再將所得圖像上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖像，求在上的值域．
(3)若函數在上有三個不同零點，求實數取值范圍．

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