資源簡介

高一下學期期末考模擬卷（第一、二冊綜合）（基礎）
考試內容：必修第一冊、必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（2025·甘肅）已知集合，集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為集合，集合，
所以，則，故A，B，D項錯誤，C項正確.
故選：C.
2．（24-25河北省）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，
故
故選：A.
3．（24-25高一下·天津濱海新·期中）袁隆平院士是中國雜交水稻事業的開創者和領導者，他在農業科學的第一線辛勤耕耘、不懈探索，為人類運用科技手段戰勝饑餓帶來了綠色的希望和金色的收獲．在雜交水稻試驗田中隨機抽取了100株水稻，統計每株水稻的稻穗數（單位：顆）得到如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），則下列說法錯誤的是（ ）
A．
B．這100株水稻的稻穗數的眾數約為250
C．這100株水稻的稻穗數的平均數約為256
D．這100株水稻的稻穗數的中位數約為252
【答案】D
【解析】對于選項A: 由頻率直方圖可知組距為則
化簡得因此選項A是正確的.
對于選項B：從圖中可以看出,頻率最高的矩形對應的區間是[240, 260],
其中點為，即選項B是正確的.
對于選項C：易知
，可得C是正確的.
對于選項D：從圖中可以看出, 前兩個區間的累計頻率為，
前三個區間的累計頻率為
因此中位數位于第三個區間，設中位數為 ,
則可得
解得，即選項D是錯誤的.
故選：D.
4．（24-25高一下·河南駐馬店·階段練習）先將函數的圖象向右平移個最小正周期，再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函數的最小正周期為，
將函數的圖象向右平移個最小正周期，可得到函數的圖象，
再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，
故.
故選：A.
5．（2026北京）設M，N為兩個隨機事件，則以下命題是真命題的為（ ）
A．若M，N為互斥事件，且，則
B．若，則事件M，N相互獨立
C．若，則事件M，N相互獨立
D．若，則事件相互獨立
【答案】B
【解析】對于A，由互斥事件的概率加法公式得，故A是假命題；
對于B，因為，所以事件相互獨立，故B是真命題；
對于C，由得，，
所以事件不相互獨立，故C是假命題；
對于D，由題意得，，若相互獨立，則，故D是假命題．
故選：B.
6．（24-25高一下·天津濱海新·期中）山西應縣木塔，始建于1056年，是世界上現存最高大、最古老的純木樓閣式建筑，與意大利比薩斜塔、巴黎埃菲爾鐵塔并稱“世界三大奇塔”．某同學為了估算水塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高為10m，在地面上點C處（B，C，N在同一水平面上且三點共線）測得木塔頂部M，建筑物頂部A的仰角分別為60°和15°，在A處測得木塔頂部M的仰角為30°，則可估算木塔的高度為（ ）m．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
在中，，
在中，，
則，
由正弦定理，得，所以，
在中，.
故選：D.
7．（24-25吉林省）已知正四棱錐的底面邊長為，側棱與底面所成角為，則該正四棱錐的體積為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】
因為正四棱錐底面是邊長為的正方形，其對角線長為，
那么底面正方形中心到底面頂點的距離為對角線長的一半，為.
設正四棱錐為，為底面的中心，則底面，
故就是側棱與底面所成角，已知側棱與底面所成角為，即.
在中，，又，則，即正四棱錐的高.
已知正四棱錐底面邊長為，可得底面面積.
由棱錐體積公式，則.
故選：A.
8．（24-25高一下·福建·期中）已知函數，若在R上有2個零點，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當時，有1個零點，
則當時，只有一個零點，
即方程在時有一個解，即方程在時有一個解，
因為函數為增函數，且當時，，則，即.
故選：A.
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知圓臺的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，母線長為2，點為的中點，則（ ）
A．圓臺的軸截面積為
B．圓臺的體積為
C．圓臺的側面積為
D．在圓臺的側面上，從C點到E點的最短路徑長為5
【答案】AD
【解析】對于A，圓臺的高即軸截面等腰梯形的高，
因此圓臺的軸截面面積為，A正確；
對于B，圓臺的體積，B錯誤；
對于C，圓臺的側面積，C錯誤；
對于D，圓臺側面展開圖是半圓環，如圖，
在圓臺的側面上，從到的最短路徑的長度為線段長，
，由為中點，得，
所以，D正確.

故選：AD
10．（24-25高一下·山西·期中）已知為坐標原點，設，則下列說法正確的是（ ）
A．若且，則
B．若單位向量，則
C．若點在直線上，且，則點的坐標為
D．若，則四邊形為平行四邊形
【答案】AD
【解析】由題得，
對于A，因為，所以，解得，故A正確；
對于B，設，則，解得或，
所以或，故B錯誤；
對于C，設點坐標為，
當在線段上時，，
所以，
所以，解得，所以點坐標為．
當在線段延長線上時，，
所以，
所以解得所以點坐標為．
綜上點坐標為或，故C錯誤；
對于D，因為，所以四邊形為平行四邊形，故D正確．
故選：AD.
11．（25-26高一上·全國·課后作業）下列結論正確的是（ ）
A．若，則的最大值為1
B．若，則的最小值為2
C．若，則有最大值1
D．若，則的最小值為2
【答案】ACD
【解析】因為，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為1，故A正確；因為的等號成立條件是，不成立，所以B錯誤；當時，，當時，，當且僅當時，等號成立，當時，，故有最大值1，故C正確；因為，當且僅當，即時，等號成立，所以D正確．
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（2025遼寧）在三棱臺中，是正三角形，，平面平面，則三棱臺的體積為 ．
【答案】/0.875
【解析】過點分別作⊥于點，
因為平面平面，交線為，
平面，故⊥平面，
因為，
所以，
又，所以，
，，
則三棱臺的體積為.
故答案為：
13．（24-25高一下·天津·期中）在中，點D為的中點，點 E 為上一點，且滿足，則 的最大值為 .
【答案】
【解析】
因為點D為的中點，所以有，
即，又因為點 E 為上一點，
所以，
由，
所以
設三角形中角所對的邊分別是，又因為
所以由余弦定理得：，
而，
又因為，
所以，
取等號條件是.
14．（24-25遼寧）在中，內角所對的邊分別為，且，則面積的最大值為 ．
【答案】
【解析】由利用正弦定理得
，
因為，所以，所以，
的面積，所以
，
當且僅當時等號成立，．
故答案為：．
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25山西·期中）“科學技術是第一生產力”.科技進步能夠更好地推動高質量發展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部門有員工100名，公司擬開展DeepSeek培訓，分三輪進行，每位員工一輪至三輪培訓達到“優秀”的概率分別為，，，每輪相互獨立，有兩輪及兩輪以上獲得“優秀”的員工才能應用DeepSeek.
(1)估計部門員工經過培訓能應用DeepSeek的人數（去尾法精確到個位）；
(2)已知開展DeepSeek培訓前，員工每人每年為公司創造利潤6萬元；開展DeepSeek培訓后，能應用DeepSeek的員工每人每年平均為公司創造利潤10萬元.DeepSeek培訓平均每人每年成本為1萬元.根據公司發展需要，計劃先將部門的部分員工隨機調至公司其他部門，然后對其余員工開展DeepSeek培訓.要保證培訓后部門的年利潤不低于員工調整前的年利潤，部門最多可以調多少人到其他部門？
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由題意每個員工“優秀”的概率
，
則估計部門員工經過培訓能應用DeepSeek的人數為個，
按去尾法取整，有人；
（2）設調出人，
調整前的利潤為（萬元），
調整后的利潤為，
要保證培訓后部門的年利潤不低于員工調整前的年利潤，
則，解得，
因為為整數，所以最大值為，
即部門最多可以調人到其他部門.
16．（24-25安徽）在中，角的對邊分別為，且滿足.
(1)求角；
(2)已知面積為，為7，求邊上中線長.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因為，
由正弦定理邊化角得
利用三角形內角和定理可得
即
因為所以，即
因為，所以.
（2）由得①
由得②
由①②得
由，
得.
17．（24-25高一下·天津濱海新·期中）如圖，在直三棱柱中，底面為正三角形，側面為正方形，，且，分別是，的中點.

(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）連接，則是，的交點，
∵，分別是，的中點，∴，
∵平面，平面，∴平面.

（2）分別取的中點，連接，
∵分別是的中點，∴，
又∵，∴，
∴為平行四邊形，∴，
∴直線與平面所成角與直線與平面所成角相等，
∵平面，∴為直線與平面所成角，
∵在直角三角形中，，
∴，∴，
∴直線與平面所成角為.
18．（24-25高一下·上海閔行·期中）已知、、分別是銳角三個內角、、的對邊，面積為，且．
(1)求；
(2)求取最大值時角的大小.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：由題知， 則有①，
在中，由余弦定理可得，
代入①式可得，即，
由輔助角公式可得，
因為，則，所以，，解得.
（2）解：因為是銳角三角形，且，
由，解得，
所以，
，
因為，則，
故當時，即當時，取最大值.
19．（24-25高一下·浙江·期中）已知為奇函數，且定義域為，.
(1)求的值，判斷的單調性，并用定義法證明；
(2)若，求的取值范圍；
(3)若存在兩個不相等的實數，，使，且.求實數的取值范圍.
【答案】(1)，增函數，證明見解析；
(2)；
(3).
【解析】（1）因為為奇函數，定義域為，
所以，得，經驗證滿足題設，
在定義域上為增函數，證明如下：
任取，，且，，
，
所以，在定義域上為增函數；
（2）由（1）得，解得；
（3），
，
，即，
，
，，
令，，，
，
，則存在一個實數，使成立，
只需或，解得或，
綜上：.高一下學期期末考模擬卷（第一、二冊綜合）（基礎）
考試內容：必修第一冊、必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（2025·甘肅）已知集合，集合，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25河北省）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·天津濱海新·期中）袁隆平院士是中國雜交水稻事業的開創者和領導者，他在農業科學的第一線辛勤耕耘、不懈探索，為人類運用科技手段戰勝饑餓帶來了綠色的希望和金色的收獲．在雜交水稻試驗田中隨機抽取了100株水稻，統計每株水稻的稻穗數（單位：顆）得到如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），則下列說法錯誤的是（ ）
A．
B．這100株水稻的稻穗數的眾數約為250
C．這100株水稻的稻穗數的平均數約為256
D．這100株水稻的稻穗數的中位數約為252
4．（24-25高一下·河南駐馬店·階段練習）先將函數的圖象向右平移個最小正周期，再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026北京）設M，N為兩個隨機事件，則以下命題是真命題的為（ ）
A．若M，N為互斥事件，且，則
B．若，則事件M，N相互獨立
C．若，則事件M，N相互獨立
D．若，則事件相互獨立
6．（24-25高一下·天津濱海新·期中）山西應縣木塔，始建于1056年，是世界上現存最高大、最古老的純木樓閣式建筑，與意大利比薩斜塔、巴黎埃菲爾鐵塔并稱“世界三大奇塔”．某同學為了估算水塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高為10m，在地面上點C處（B，C，N在同一水平面上且三點共線）測得木塔頂部M，建筑物頂部A的仰角分別為60°和15°，在A處測得木塔頂部M的仰角為30°，則可估算木塔的高度為（ ）m．
A． B． C． D．
7．（24-25吉林省）已知正四棱錐的底面邊長為，側棱與底面所成角為，則該正四棱錐的體積為（ ）
A． B．1 C． D．2
8．（24-25高一下·福建·期中）已知函數，若在R上有2個零點，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知圓臺的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，母線長為2，點為的中點，則（ ）
A．圓臺的軸截面積為
B．圓臺的體積為
C．圓臺的側面積為
D．在圓臺的側面上，從C點到E點的最短路徑長為5
10．（24-25高一下·山西·期中）已知為坐標原點，設，則下列說法正確的是（ ）
A．若且，則
B．若單位向量，則
C．若點在直線上，且，則點的坐標為
D．若，則四邊形為平行四邊形
11．（25-26高一上·全國·課后作業）下列結論正確的是（ ）
A．若，則的最大值為1
B．若，則的最小值為2
C．若，則有最大值1
D．若，則的最小值為2
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（2025遼寧）在三棱臺中，是正三角形，，平面平面，則三棱臺的體積為 ．
13．（24-25高一下·天津·期中）在中，點D為的中點，點 E 為上一點，且滿足，則 的最大值為 .
14．（24-25遼寧）在中，內角所對的邊分別為，且，則面積的最大值為 ．
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25山西·期中）“科學技術是第一生產力”.科技進步能夠更好地推動高質量發展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部門有員工100名，公司擬開展DeepSeek培訓，分三輪進行，每位員工一輪至三輪培訓達到“優秀”的概率分別為，，，每輪相互獨立，有兩輪及兩輪以上獲得“優秀”的員工才能應用DeepSeek.
(1)估計部門員工經過培訓能應用DeepSeek的人數（去尾法精確到個位）；
(2)已知開展DeepSeek培訓前，員工每人每年為公司創造利潤6萬元；開展DeepSeek培訓后，能應用DeepSeek的員工每人每年平均為公司創造利潤10萬元.DeepSeek培訓平均每人每年成本為1萬元.根據公司發展需要，計劃先將部門的部分員工隨機調至公司其他部門，然后對其余員工開展DeepSeek培訓.要保證培訓后部門的年利潤不低于員工調整前的年利潤，部門最多可以調多少人到其他部門？
16．（24-25安徽）在中，角的對邊分別為，且滿足.
(1)求角；
(2)已知面積為，為7，求邊上中線長.
17．（24-25高一下·天津濱海新·期中）如圖，在直三棱柱中，底面為正三角形，側面為正方形，，且，分別是，的中點.

(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角.
18．（24-25高一下·上海閔行·期中）已知、、分別是銳角三個內角、、的對邊，面積為，且．
(1)求；
(2)求取最大值時角的大小.
19．（24-25高一下·浙江·期中）已知為奇函數，且定義域為，.
(1)求的值，判斷的單調性，并用定義法證明；
(2)若，求的取值范圍；
(3)若存在兩個不相等的實數，，使，且.求實數的取值范圍.

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