資源簡介

高一下學期期末考模擬卷（提升）
考試內容：必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（24-25吉林·階段練習）杭州亞運會的三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，如圖，現將三張分別印有“琮蹤”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片（卡片的形狀 大小和質地完全相同）放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】記印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片分別為，
代表依次摸出的卡片，，
則基本事件分別為：，
其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的共有兩種情況：，
所以從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，
則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是.
故選：B.
2．（24-25高一下·北京·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點，DM與AC交于點N，設，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】平行四邊形ABCD中，M是AB的中點，故，
則，所以，
.
故選：A
3．（24-25高一下·河北邢臺·期中）已知點，向量，則在方向上的投影向量的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在方向上的投影向量是．
故選：B
4．（24-25高一下·廣東深圳·期中）若復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
解得，
所以.
故選：B.
5．（24-25高一下·廣東江門·期中）奏唱中華人民共和國國歌需要．某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一個水平面上．要使國歌結束時國旗剛好升到旗桿頂部，則升旗手升旗的速度應為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，由題意可得，，
∴，
在中由正弦定理，，即，解得．
∴，則（）．
故選：B．
6．（24-25高一下·廣東湛江·期中）如圖所示，在棱長為1的正方體中，設分別是線段、上的動點，若平面，則線段長的最小值為（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】過點分別作交于點，交于點，連接，
要想平面，
則四邊形為平行四邊形，故，
設，則，故，
由勾股定理得，
其中，
當且僅當時，等號成立，故.
故選：B.
7．（24-25高一上·陜西·期末）連續拋擲兩次一枚質地均勻的硬幣，分別記錄下每次拋擲的結果，記事件“正面向上的次數大于反面向上的次數”，事件“第次拋擲的結果為正面向上”（其中），則有（ ）
A．事件與事件是互斥事件 B．事件與事件是相互對立事件
C． D．
【答案】D
【解析】根據題意，試驗的結果有：正正，正反，反反，反正.
則事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正.
對于A，事件與事件不是互斥事件， 它們有可能同時發生，故A錯誤；
對于B，試驗結果除了和外，還有其它結果如反反，所以事件與事件不是相互對立事件，故B錯誤；
對于C，，
，
所以，故C錯誤；
對于D，，，所以，故D正確.
故選：D.
8．（24-25高一下·廣東·期中）在中，分別是內角的對邊，若（其中表示的面積），且，則的形狀是（ ）
A．有一個角是30°的等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．有一個角是30°的直角三角形 D．等邊三角形
【答案】D
【解析】，又，
所以，解得，因為，所以.
又，由，可得，，
則，
如圖所示，在邊、上分別取點、，使，，
以，為鄰邊作平行四邊形，則四邊形為菱形，
連接，，，且，
，，，又，
，且，，即，
又，是等邊三角形.
故選：D.
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高一下·廣東江門·期中）若復數，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．的虛部是
C．在復平面內，所對應的點在第四象限
D．在復數范圍內，是方程的根
【答案】ACD
【解析】因為復數，可知，
對于選項A：因為，
所以，故A正確；
對于選項B：的虛部是，故B錯誤；
對于選項C：所對應的點為，在第四象限，故C正確；
對于選項D：因為，則，解得，
所以是方程的根，故D正確；
故選：ACD.
10．（24-25高一下·江西南昌·階段練習）近日，數字化構建社區服務新模式成為一種時尚．某社區為優化數字化社區服務，問卷調查調研數字化社區服務的滿意度，滿意度采用計分制（滿分100分），統計滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中，則下列結論正確的是（ ）
A． B．滿意度計分的眾數為75分
C．滿意度計分的75%分位數是85分 D．滿意度計分的平均分是76
【答案】ABC
【解析】對于A，，解得，故A正確；
對于B，由圖可知，70－80段的頻率/組距值最大，所以眾數為，故B正確；
對于C，前三組的頻率之和為0.1+0.15+0.35=0.6＜0.75，前四組的頻率之和為0.6+0.3=0.9＞0.75，則75%分位數，故，所以C正確；
對于D，，故D錯誤；
故選：ABC.
11．（24-25高一下·廣東湛江·期中）如圖，正方體的棱長為分別是的中點，點是底面內一動點，則下列結論正確的為（ ）
A．不存在點，使得//平面
B．過三點的平面截正方體所得截面面積是
C．三棱錐的體積不為定值
D．三棱錐的外接球表面積為
【答案】BD
【解析】
對于A，當為中點時，由中位線可得，
因為平面，平面，所以平面，故A錯誤；
對于B，由中位線可得，在正方體中，易證，所以，
又因為，所以截面為等腰梯形，，故B正確；
對于C，，為定值，故C不正確；
對于D，三棱錐的外接球可以補形為長方體外接球，半徑，
所以表面積，故D正確.
故選：BD.
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高二下·河北滄州·階段練習）甲、乙、丙三人進行扳手腕比賽，累計負兩場者淘汰，甲、乙兩人先進行比賽，丙輪空，每次比賽的勝者與輪空者進行比賽，負者輪空，直到有1人被淘汰，剩余兩人繼續比賽，直到其中1人淘汰，另1人最終獲勝，比賽結束.假設每場比賽沒有平局，甲、乙比賽，甲獲勝的概率為，甲、丙比賽，甲獲勝的概率為，乙、丙比賽，乙獲勝的概率為，則甲與乙比賽負1場且最終甲獲勝的概率為 .
【答案】
【解析】設甲乙比賽中甲勝乙負為事件，甲負乙勝為事件；甲丙比賽中甲勝丙負為事件，甲負丙勝為事件;乙丙比賽中乙勝丙負為事件，乙負丙勝為事件.
設甲與乙比賽負1場且最終甲獲勝為事件，
則
故答案為：
13．（24-25高一下·福建莆田·期中）如圖1，某廣場上放置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的正三棱錐得到的，它的所有邊長均相同，數學上我們稱之為半正多面體（semiregular solid），亦稱為阿基米德多面體，如圖2，設，則該多面體的體積為 ，過A、Q、G三點的平面截該多面體所得的截面面積為
【答案】 ；
【解析】該多面體的體積為原正方體的體積去掉8個相同的三棱錐的體積，
注意到該多面體的原正方體邊長為，
所以；
根據平面性質知，過A、Q、G三點的平面截得的截面圖形是一個邊長為1的正六邊形ABGPQE，
故截面面積為.
故答案為：；
14．（24-25高一下·山西·期中）在中，內角的對邊分別是，若，則的最大值是 ．
【答案】4
【解析】由正弦定理，所以，
即，可得．
因為，所以．
由余弦定理，
得，可化為，
由基本不等式可得，
解得，當且僅當時等號成立，
所以的最大值是4．
故答案為：4
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高一下·福建泉州·期中）中，角、、的對邊分別為、、，.
(1)求角；
(2)若為邊上一點，，且，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理及可得，
即，
所以，
因為、，所以，可得，故，則.
（2）如下圖所示：
由題意可知，，即，可得，
所以，
即，
又因為， 所以，整理得，
因為，所以，
由余弦定理得，即，
故的周長為.
16．（24-25高一下·江西·階段練習）某企業以“慶祝春節，迎接新年”為主題的職工歌手大賽決賽如期舉行，滿分100分，共有100人參賽，將參賽歌手的成績分成如下五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據頻率分布直方圖，求的值及參賽歌手的平均成績（同一組數據用該組區間的中點值作代表）；
(2)根據頻率分布直方圖，求參賽歌手成績的分位數；
(3)從參賽成績在和的歌手中，采用分層隨機抽樣方法抽取6名歌手，再從抽取的這6名歌手中隨機抽取2名歌手，求這2名歌手比賽成績在和內各1人的概率.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【解析】（1）第一至第五組對應的頻率分別為；；
；；，
所以，解得，
所以參賽歌手的平均成績為分.
（2）由，，
得參賽歌手成績的分位數為分.
（3）由，得這6人中參賽成績在的人數為人，分別記為，，，；
在的人數為人，分別記為，.
在這6個人中抽取2個人，共，，，，，，，，，，，，，，，15個基本事件，
這2名歌手比賽成績在和內各1人，共，，，，，，，，8個基本事件，
故這2名歌手比賽成績在和內各1人的概率為.
17．（24-25高一下·河北·期末）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．現有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1，若依次收到，則譯碼為1）．
(1)已知．
①若采用單次傳輸方案，重復發送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；
②若采用單次傳輸方案，依次發送，證明：事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數字之和為2”相互獨立．
(2)若發送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率，求的取值范圍．
【答案】(1)① ；②證明見解析
(2)
【解析】（1）①記事件為“至少收到一次0”，則．
②證明：記事件為“第三次收到的信號為1”，則．
記事件為“三次收到的數字之和為2”，
則．
因為，
所以事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數字之和為2”相互獨立．
（2）記事件為“采用三次傳輸方案時譯碼為0”，則．
記事件為“采用單次傳輸方案時譯碼為0”，則．
根據題意可得，即，
因為，所以，
解得，故的取值范圍為．
18．（24-25高一下·天津和平·期中）如圖，在四棱錐中， PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，，.
(1)求證： 平面；
(2)求證： 平面
(3)求直線EC與平面PAC 所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【解析】（1）如圖：取的中點，連接，
則，且，又且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）因為平面，平面，所以，
由題設易知為直角梯形，且，
則，所以，
因為，，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，
因為，平面，所以平面.
（3）如圖：取的中點，連接，
則，由（2）知平面，則平面，
所以為直線與平面所成的角.
又平面，所以，
因為，又，
所以.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
19．（24-25高一下·廣東·期中）已知是銳角三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，在所在平面內以AC為邊向外作如圖所示，，，.

(1)求B；
(2)求的內切圓半徑r；
(3)求的面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由及正弦定理，得，
又由余弦定理，得，所以，得.
因為，所以.
（2）在中，，得，①
又，得.②
聯立①②得，因為，所以，.
由余弦定理得，得.
又，解得.
（3）由（2）知，所以的外接圓半徑，
所以，，
所以的面積
，
因為是銳角三角形，所以得，
所以，，
所以，
所以面積的取值范圍是.高一下學期期末考模擬卷（提升）
考試內容：必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（24-25吉林·階段練習）杭州亞運會的三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，如圖，現將三張分別印有“琮蹤”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片（卡片的形狀 大小和質地完全相同）放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·北京·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點，DM與AC交于點N，設，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·河北邢臺·期中）已知點，向量，則在方向上的投影向量的坐標是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·廣東深圳·期中）若復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·廣東江門·期中）奏唱中華人民共和國國歌需要．某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一個水平面上．要使國歌結束時國旗剛好升到旗桿頂部，則升旗手升旗的速度應為（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·廣東湛江·期中）如圖所示，在棱長為1的正方體中，設分別是線段、上的動點，若平面，則線段長的最小值為（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．（24-25高一上·陜西·期末）連續拋擲兩次一枚質地均勻的硬幣，分別記錄下每次拋擲的結果，記事件“正面向上的次數大于反面向上的次數”，事件“第次拋擲的結果為正面向上”（其中），則有（ ）
A．事件與事件是互斥事件 B．事件與事件是相互對立事件
C． D．
8．（24-25高一下·廣東·期中）在中，分別是內角的對邊，若（其中表示的面積），且，則的形狀是（ ）
A．有一個角是30°的等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．有一個角是30°的直角三角形 D．等邊三角形
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高一下·廣東江門·期中）若復數，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．的虛部是
C．在復平面內，所對應的點在第四象限
D．在復數范圍內，是方程的根
10．（24-25高一下·江西南昌·階段練習）近日，數字化構建社區服務新模式成為一種時尚．某社區為優化數字化社區服務，問卷調查調研數字化社區服務的滿意度，滿意度采用計分制（滿分100分），統計滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中，則下列結論正確的是（ ）
A． B．滿意度計分的眾數為75分
C．滿意度計分的75%分位數是85分 D．滿意度計分的平均分是76
11．（24-25高一下·廣東湛江·期中）如圖，正方體的棱長為分別是的中點，點是底面內一動點，則下列結論正確的為（ ）
A．不存在點，使得//平面
B．過三點的平面截正方體所得截面面積是
C．三棱錐的體積不為定值
D．三棱錐的外接球表面積為
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高二下·河北滄州·階段練習）甲、乙、丙三人進行扳手腕比賽，累計負兩場者淘汰，甲、乙兩人先進行比賽，丙輪空，每次比賽的勝者與輪空者進行比賽，負者輪空，直到有1人被淘汰，剩余兩人繼續比賽，直到其中1人淘汰，另1人最終獲勝，比賽結束.假設每場比賽沒有平局，甲、乙比賽，甲獲勝的概率為，甲、丙比賽，甲獲勝的概率為，乙、丙比賽，乙獲勝的概率為，則甲與乙比賽負1場且最終甲獲勝的概率為 .
13．（24-25高一下·福建莆田·期中）如圖1，某廣場上放置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的正三棱錐得到的，它的所有邊長均相同，數學上我們稱之為半正多面體（semiregular solid），亦稱為阿基米德多面體，如圖2，設，則該多面體的體積為 ，過A、Q、G三點的平面截該多面體所得的截面面積為
14．（24-25高一下·山西·期中）在中，內角的對邊分別是，若，則的最大值是 ．
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高一下·福建泉州·期中）中，角、、的對邊分別為、、，.
(1)求角；
(2)若為邊上一點，，且，求的周長.
16．（24-25高一下·江西·階段練習）某企業以“慶祝春節，迎接新年”為主題的職工歌手大賽決賽如期舉行，滿分100分，共有100人參賽，將參賽歌手的成績分成如下五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據頻率分布直方圖，求的值及參賽歌手的平均成績（同一組數據用該組區間的中點值作代表）；
(2)根據頻率分布直方圖，求參賽歌手成績的分位數；
(3)從參賽成績在和的歌手中，采用分層隨機抽樣方法抽取6名歌手，再從抽取的這6名歌手中隨機抽取2名歌手，求這2名歌手比賽成績在和內各1人的概率.
17．（24-25高一下·河北·期末）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．現有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1，若依次收到，則譯碼為1）．
(1)已知．
①若采用單次傳輸方案，重復發送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；
②若采用單次傳輸方案，依次發送，證明：事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數字之和為2”相互獨立．
(2)若發送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率，求的取值范圍．
18．（24-25高一下·天津和平·期中）如圖，在四棱錐中， PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，，.
(1)求證： 平面；
(2)求證： 平面
(3)求直線EC與平面PAC 所成角的正弦值.
19．（24-25高一下·廣東·期中）已知是銳角三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，在所在平面內以AC為邊向外作如圖所示，，，.

(1)求B；
(2)求的內切圓半徑r；
(3)求的面積的取值范圍.

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