資源簡介

高一下學(xué)期期末考模擬卷（中等）
考試內(nèi)容：必修第二冊 考試時(shí)間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，8題共40分)
1．（2025·青海海東）已知向量，，若與垂直，則（ ）
A． B． C．3 D．2
2．（24-25高一下·福建莆田·階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為.若的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·廣東廣州·期中）若復(fù)數(shù)z滿足（其中是虛數(shù)單位），則（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·山西·期中）若正四棱錐的高為，且其各側(cè)面的面積之和是底面積的2倍，則該四棱錐的表面積為（ ）
A．12 B．24 C．32 D．48
5．（2025北京）通過調(diào)查某省100家能夠提供兒科夜間急診服務(wù)的醫(yī)療機(jī)構(gòu)，并統(tǒng)計(jì)其夜間提供急診的時(shí)長（單位：h），繪制得到頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A．
B．估計(jì)夜間提供急診時(shí)長的平均數(shù)為12.36
C．估計(jì)夜間提供急診時(shí)長的第三四分位數(shù)為11.33
D．估計(jì)夜間提供急診時(shí)長的眾數(shù)為14
6．（24-25高一下·山西·期中）在中，分別是內(nèi)角的對邊，若，且，則的形狀是（ ）
A．不等邊三角形 B．等邊三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰鈍角三角形
7．（2025·湖南 ）甲，乙兩人在玩擲骰子游戲，各擲一次，設(shè)得到的點(diǎn)數(shù)分別為，表示事件“”，表示事件“為奇數(shù)”，表示事件“”，表示事件“”，則相互獨(dú)立的事件是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
8．（24-25高一下·河北邢臺·期中）如圖，在正方體中，M，N，P分別是，BC，的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是（ ）
A．直線與NM是異面直線 B．
C．平面 D．直線CP，，AM相交于一點(diǎn)
二、多選題（每題至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高一下·廣東深圳·期中）下列說法中正確的是（ ）
A．已知，，則可以作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底
B．已知，，則在上的投影向量的坐標(biāo)是
C．若兩非零向量，滿足，則
D．平面直角坐標(biāo)系中，，，，則為銳角三角形
10．（23-24高一下·廣東東莞·期中）“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們也都是凸多面體，每個(gè)面都是正多邊形，并且所有棱長也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個(gè)面的形狀不全相同．有幾種阿基米德多面體可由正多面體進(jìn)行“截角”得到如圖，正八面體的棱長為3，取各條棱的三等分點(diǎn)，截去六個(gè)角后得到一種阿基米德多面體，則該阿基米德多面體（ ）
A．共有18個(gè)頂點(diǎn) B．共有32條棱
C．表面積為 D．體積為
11．（24-25高一下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．若的周長為，內(nèi)切圓半徑為，則
C．若，，則有兩解
D．若，則外接圓的面積為
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高一下·江西·階段練習(xí)）2025年，從春晚扭秋歌的機(jī)器人，到廣場舞獅的機(jī)器狗，中國人把高科技玩出了新花樣兒.為緊跟社會(huì)熱點(diǎn)，某商場推出了機(jī)器人服務(wù)，其從甲公司購買了3臺不同的機(jī)器人，從乙公司購買了2臺不同的機(jī)器人，現(xiàn)計(jì)劃從這5臺機(jī)器人中隨機(jī)挑選2臺在商場一樓服務(wù)，則這2臺機(jī)器人來自于不同公司的概率為 .
13．（23-24高一下·廣東東莞·期中）東莞市金鰲洲塔是廣東省文物保護(hù)單位，塔處江心陸洲，三面環(huán)水．東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測量塔的高度．如圖選取與塔底D在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)A與B，小組同學(xué)測得，，米，在點(diǎn)A處測得塔頂C的仰角為，則塔高CD為 米．（結(jié)果保留2位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）

（24-25高一下·山東濟(jì)寧·期中）記的內(nèi)角的對邊分別為，，，且，，則的最小值為 .
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高一下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知，，分別是的內(nèi)角，，的對邊，且.
(1)求;
(2)若,且的面積為，求的周長.
16（2025·云南昭通·期末）為了解某校高一年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性表現(xiàn)，年級組織了一次階段測試.已知此次考試共有450名學(xué)生參加，考試成績的頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)以該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.
(1)求a的值；
(2)估計(jì)這次數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；
(3)估計(jì)該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的第70百分位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.
17．（24-25 重慶·階段練習(xí)）甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，其中甲投籃一次命中的概率為，甲、乙兩人各投籃一次且都命中的概率為，乙、丙兩人各投籃一次且都命中的概率為，且任意兩次投籃互不影響.
(1)分別計(jì)算乙，丙兩人各投籃一次且都命中的概率；
(2)求甲、乙、丙各投籃一次且恰有兩人命中的概率；
(3)若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投籃多少次？（參考數(shù)據(jù)：，）
18．（24-25高一下·天津津南·期中）如圖，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證: 平面平面;
(3)求直線AC與平面所成角的正弦值.
19．（24-25高一下·浙江·期中）已知的內(nèi)角，，的對邊為，，，且.
(1)求；
(2)若的面積為；
①為的中點(diǎn)，求底邊上中線長的最小值；
②求內(nèi)角的角平分線長的最大值.高一下學(xué)期期末考模擬卷（中等）
考試內(nèi)容：必修第二冊 考試時(shí)間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，8題共40分)
1．（2025·青海海東）已知向量，，若與垂直，則（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【解析】向量，，則，
又與垂直，則，解得，，
所以.
故選：A
2．（24-25高一下·福建莆田·階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為.若的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題知，，即，
由正弦定理，，
其中是外接圓半徑，
由于，兩邊約分后可得.
故選：A
3．（24-25高一下·廣東廣州·期中）若復(fù)數(shù)z滿足（其中是虛數(shù)單位），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得
故選：C
4．（24-25高一下·山西·期中）若正四棱錐的高為，且其各側(cè)面的面積之和是底面積的2倍，則該四棱錐的表面積為（ ）
A．12 B．24 C．32 D．48
【答案】D
【解析】如圖，是正四棱錐的高，所以，
是斜高，由可得，
所以，在中，，
，所以，所以，
所以，
所以．
故選：D
5．（2025北京）通過調(diào)查某省100家能夠提供兒科夜間急診服務(wù)的醫(yī)療機(jī)構(gòu)，并統(tǒng)計(jì)其夜間提供急診的時(shí)長（單位：h），繪制得到頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A．
B．估計(jì)夜間提供急診時(shí)長的平均數(shù)為12.36
C．估計(jì)夜間提供急診時(shí)長的第三四分位數(shù)為11.33
D．估計(jì)夜間提供急診時(shí)長的眾數(shù)為14
【答案】C
【解析】對于A，由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，
解得，所以A正確；
對于B，估計(jì)夜間提供急診時(shí)長的平均數(shù)為
，所以B正確；
對于C，第三四分位數(shù)為第75百分位數(shù)，
因?yàn)椋缘谌姆治粩?shù)一定位于內(nèi)，
由，則估計(jì)夜間提供急診時(shí)長的第三四分位數(shù)為14，所以C錯(cuò)誤；
對于D，估計(jì)夜間提供急診時(shí)長的眾數(shù)為，所以D正確.
故選：C.
6．（24-25高一下·山西·期中）在中，分別是內(nèi)角的對邊，若，且，則的形狀是（ ）
A．不等邊三角形 B．等邊三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰鈍角三角形
【答案】C
【解析】由正弦定理得，所以，又，所以．
由，得，可化為，
所以，所以，所以，
所以是等腰直角三角形．
故選：C.
7．（2025·湖南 ）甲，乙兩人在玩擲骰子游戲，各擲一次，設(shè)得到的點(diǎn)數(shù)分別為，表示事件“”，表示事件“為奇數(shù)”，表示事件“”，表示事件“”，則相互獨(dú)立的事件是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】D
【解析】由題意得：事件“”的情況有：共12種，
所以．
事件“為奇數(shù)”的情況有：
共18種，
所以；
事件“”的情況有：
共10種，
所以；
事件“”的情況有：共6種，
所以.
對于A，因，則與不獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；
對于B，因，則與不獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；
對于C，因事件C與D不能同時(shí)發(fā)生，則，故C錯(cuò)誤；
對于D， ，則與相互獨(dú)立，故D正確.
故選：D.
8．（24-25高一下·河北邢臺·期中）如圖，在正方體中，M，N，P分別是，BC，的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是（ ）
A．直線與NM是異面直線 B．
C．平面 D．直線CP，，AM相交于一點(diǎn)
【答案】C
【解析】連接，
點(diǎn)，，均在平面上，點(diǎn)不在平面上，所以與是異面直線，A正確．
連接，因?yàn)椋裕珺正確．
平面，平面平面，
因?yàn)镃M與不平行，所以CM不平行于平面，C錯(cuò)誤．
連接，由，知共面，且平面平面，
如圖1，因?yàn)椋?
如圖2，因?yàn)椋裕瑒t兩點(diǎn)重合，所以，，相交于一點(diǎn)，D正確．
故選：C
二、多選題（每題至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高一下·廣東深圳·期中）下列說法中正確的是（ ）
A．已知，，則可以作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底
B．已知，，則在上的投影向量的坐標(biāo)是
C．若兩非零向量，滿足，則
D．平面直角坐標(biāo)系中，，，，則為銳角三角形
【答案】BC
【解析】對于A，因?yàn)椋耘c不可以作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；
對于B，在上的投影向量的坐標(biāo)為，故B正確；
對于C，因?yàn)椋裕喌茫郑欠橇阆蛄浚裕蔆正確；
對于D，因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，所以不是銳角三角形，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．（23-24高一下·廣東東莞·期中）“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們也都是凸多面體，每個(gè)面都是正多邊形，并且所有棱長也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個(gè)面的形狀不全相同．有幾種阿基米德多面體可由正多面體進(jìn)行“截角”得到如圖，正八面體的棱長為3，取各條棱的三等分點(diǎn)，截去六個(gè)角后得到一種阿基米德多面體，則該阿基米德多面體（ ）
A．共有18個(gè)頂點(diǎn) B．共有32條棱
C．表面積為 D．體積為
【答案】CD
【解析】由圖知該多面體有24個(gè)頂點(diǎn)，36條棱，AB錯(cuò)誤；
該多面體的棱長為1，且表面由6個(gè)正方形和8個(gè)正六邊形組成，
則該多面體的表面積為，C正確；
正八面體可分為兩個(gè)全等的正四面體，其棱長為，
過作平面于，連接，如下圖：

由平面，且平面，得，
正方形中，由邊長為，則對角線長為，則，
在中，，則，
正八面體的體積為，
切割掉6個(gè)棱長均為1的正四棱錐，減少的體積為，
所以該阿基米德多面體的體積為，D正確．
故選：CD
11．（24-25高一下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．若的周長為，內(nèi)切圓半徑為，則
C．若，，則有兩解
D．若，則外接圓的面積為
【答案】ABC
【解析】在中，由及正弦定理得，
則，
整理得，
即，而，則，
則，而，，
解得，因此，A正確；
對于B，若的周長為6，內(nèi)切圓半徑為，由，得，B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，滿足，有兩解，
此時(shí)，即，有兩解，C正確；
對于D，由，得外接圓半徑，此圓面積為，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高一下·江西·階段練習(xí)）2025年，從春晚扭秋歌的機(jī)器人，到廣場舞獅的機(jī)器狗，中國人把高科技玩出了新花樣兒.為緊跟社會(huì)熱點(diǎn)，某商場推出了機(jī)器人服務(wù)，其從甲公司購買了3臺不同的機(jī)器人，從乙公司購買了2臺不同的機(jī)器人，現(xiàn)計(jì)劃從這5臺機(jī)器人中隨機(jī)挑選2臺在商場一樓服務(wù)，則這2臺機(jī)器人來自于不同公司的概率為 .
【答案】/0.6
【解析】設(shè)從甲公司購買的3臺記為，從乙公司購買的2臺記為，
從中任取2臺的情況為共10種，
其中這2臺來自于不同公司的情況分別為，共6種，
故概率.
故答案為：
13．（23-24高一下·廣東東莞·期中）東莞市金鰲洲塔是廣東省文物保護(hù)單位，塔處江心陸洲，三面環(huán)水．東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測量塔的高度．如圖選取與塔底D在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)A與B，小組同學(xué)測得，，米，在點(diǎn)A處測得塔頂C的仰角為，則塔高CD為 米．（結(jié)果保留2位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】50.76
【解析】在中，由，，得，而，
由正弦定理得，
在中，，，
所以塔高CD為約為50.76米.
故答案為：50.76
14．（24-25高一下·山東濟(jì)寧·期中）記的內(nèi)角的對邊分別為，，，且，，則的最小值為 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋遥?br/>則，
利用正弦定理可得，
整理可得，
由余弦定理可得，
且，則，
又因?yàn)椋傻玫耐饨訄A半徑為，
可知點(diǎn)在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），
過外接圓圓心作，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，在方向上的投影最小，
此時(shí)，，.
根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可知：的最小值為.
故答案為：.
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高一下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知，，分別是的內(nèi)角，，的對邊，且.
(1)求;
(2)若,且的面積為，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在中，，
由正弦定理得:，則，
即，即，
由正弦定理得，即;
（2）由，,得，
則，得，
由余弦定理得，
即，整理得，
即，解得，
則，
所以的周長為.
16（2025·云南昭通·期末）為了解某校高一年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性表現(xiàn)，年級組織了一次階段測試.已知此次考試共有450名學(xué)生參加，考試成績的頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)以該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.
(1)求a的值；
(2)估計(jì)這次數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；
(3)估計(jì)該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的第70百分位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.
【答案】(1)
(2)眾數(shù)為65，中位數(shù)為67.69，平均成績?yōu)?7.60
(3)第70的分位數(shù)為75.83
【解析】（1）由，解得.
（2）由頻率分布直方圖知：眾數(shù)為65，設(shè)中位數(shù)為x，
因?yàn)椋手形粩?shù)位于內(nèi)，
則有，解得.
所以中位數(shù)為67.69.
這次數(shù)學(xué)考試的平均成績?yōu)?br/>.
（3）成績小于70分所占的比例為，
成績小于80分所占的比例為，
所以第70的分位數(shù)在內(nèi)，
所以第70的分位數(shù)為.
17．（24-25 重慶·階段練習(xí)）甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，其中甲投籃一次命中的概率為，甲、乙兩人各投籃一次且都命中的概率為，乙、丙兩人各投籃一次且都命中的概率為，且任意兩次投籃互不影響.
(1)分別計(jì)算乙，丙兩人各投籃一次且都命中的概率；
(2)求甲、乙、丙各投籃一次且恰有兩人命中的概率；
(3)若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投籃多少次？（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)乙射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，丙射擊一次擊中目標(biāo)的概率為；
(2)；
(3)23次.
【解析】（1）記甲投籃一次命中為事件，乙投籃一次命中為事件，丙投籃一次命中為事件，
依題意，，，則，
，解得，
所以乙投籃一次命中的概率為，丙投籃一次命中的概率為.
（2）記甲、乙、丙各投籃一次恰有兩人命中為事件，則，
則
，
所以甲、乙、丙各投籃一次恰有一人命中的概率.
（3）設(shè)乙投籃次，則至少有一命擊中的概率為，
由，得，兩邊取常用對數(shù)得，
因此，則，
所以乙至少要投籃次.
18．（24-25高一下·天津津南·期中）如圖，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證: 平面平面;
(3)求直線AC與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3).
【解析】（1）在三棱柱 中，連接交于O，連接OD，
則O是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，
而平面，OD平面，
所以平面.
（2）由，是的中點(diǎn)，得，
由平面，得平面，又AD平面，則，
又 BC是平面內(nèi)的兩條相交直線，因此平面，而AD平面，
所以平面平面
（3）在平面內(nèi)過C作CE于E，連AE，
由（2）知，平面平面，平面平面，
則平面，是AC與平面所成的角，
在直角中，令，則，，
在直角中，，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
19．（24-25高一下·浙江·期中）已知的內(nèi)角，，的對邊為，，，且.
(1)求；
(2)若的面積為；
①為的中點(diǎn)，求底邊上中線長的最小值；
②求內(nèi)角的角平分線長的最大值.
【答案】(1)
(2)①；②
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，即，
由余弦定理，因?yàn)椋裕?br/>所以；
（2）①由（1）知，
因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，
由為的中點(diǎn)，所以，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號取得到，
所以，則，故的最小值為；
②因?yàn)闉榻堑慕瞧椒志€，所以，
由于，
所以，
所以，
又，所以
由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號取得到，
故，故，故的最大值為

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