資源簡介

高一下學期期末考模擬卷（基礎）
考試內容：必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（貴州省遵義市2025屆高三第三次適應性考試數學試卷）復數的虛部是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投擲一枚質地均勻的骰子試驗中，事件A表示“向上的點數為偶數”，事件B表示“向上的點數是1或3”，事件C表示“向上的點數是4或5或6”，則下列說法正確的是（ ）
A．A與B是對立事件 B．B與C是對立事件 C．A與C是互斥事件 D．A與B是互斥事件
3．（云南“美美與共”民族中學聯盟2024-2025學年高一下學期聯考（二）數學試卷）在中，，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（24-25高一下·廣西桂林·開學考試）設一組樣本數據的平均數為3，方差為4，則數據的標準差為（ ）
A．12 B． C．6 D．36
5．（24-25高一上·甘肅甘南·期末）為了加深師生對黨史的了解，激發廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了“學黨史、育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績取整數）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法不正確的是（ ）
A．的值為0.005 B．估計這組數據的眾數為75
C．估計成績低于60分的有250人 D．估計這組數據的第85百分位數為85
6．（24-25高一下·廣東江門·期中）在中，角的對邊分別為，則（ ）
A．1 B． C． D．
7．（24-25高一下·廣東佛山·期中）在中，角的對邊分別是，且，，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．不確定的
8．（24-25高一下·江蘇連云港·期中）在平行四邊形中，，分別為，中點，與交于點，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高一下·河南駐馬店·階段練習）某同學參加3次不同測試，用事件表示隨機事件“第次測試成績及格”，則下列說法正確的是（ ）
A．表示前兩次測試成績中有且僅有一次及格
B．表示后兩次測試成績均不及格
C．表示三次測試成績均及格
D．表示三次測試成績均不及格
10．（24-25高一下·廣東江門·期中）已知向量，，則下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時，在上的投影向量為 D．當與的夾角為銳角時，的取值范圍為．
11．（24-25高一下·廣東湛江·期中）已知復數是的共軛復數，則下列說法正確的是（ ）
A．的虛部為i B．
C．在復平面內對應的點位于第二象限 D．為方程的一個根
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高一下·福建莆田·階段練習）如圖所示，正方形為一個水平放置的平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖，且，則原平面圖形的面積為 .
13．（24-25高一下·河北邢臺·期中）銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若的面積為，則的取值范圍是 ．
14．（2025·貴州·三模）的內角、、所對的邊分別為、、.若，邊上的高為，則 .
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高一下·江蘇徐州·期中）（1）已知，若與平行，求；
（2）已知與的夾角為，若與垂直，求實數的值．
16．（24-25高一下·山東東營·開學考試）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束． 設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．
(1)求乙獲勝的概率;
(2)求投籃結束時乙只投了2個球的概率．
17．（24-25高一下·北京·期中）2024年奧運會在巴黎舉行，中國代表團獲得了40枚金牌，27枚銀牌，24枚銅牌，共91枚獎牌，取得了境外舉辦奧運會的最好成績，運動員的拼搏精神給人們留下了深刻印象．為了增加學生對奧運知識的了解，弘揚奧運精神，某校組織高二年級學生進行了奧運知識能力測試．根據測試成績，將所得數據按照分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求該樣本的第75百分位數；
(2)試估計本次奧運知識能力測試成績的平均分(同一組中的數據用該組區間的中點值作為代表)；
(3)該校準備對本次奧運知識能力測試成績不及格（60分以下）的學生，采用按比例分配的分層隨機抽樣方法抽出5名同學，再從抽取的這5名同學中隨機抽取2名同學進行情況了解，求這2名同學分數在各一人的概率．
18．（24-25高一下·福建莆田·階段練習）在直三棱柱中，，點為線段的中點.
(1)證明：；
(2)求直線與直線所成角的余弦值.
19．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足 .
請從條件①、條件②中選擇一個條件補充至橫線處，并解決下列問題：
條件：①；②.
(1)證明：；
(2)若的平分線交于，，，求的值；
(3)求的取值范圍.
注：如果選擇多個條件解答，按第一個解答計分.高一下學期期末考模擬卷（基礎）
考試內容：必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（貴州省遵義市2025屆高三第三次適應性考試數學試卷）復數的虛部是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】復數的虛部是.故選：C
2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投擲一枚質地均勻的骰子試驗中，事件A表示“向上的點數為偶數”，事件B表示“向上的點數是1或3”，事件C表示“向上的點數是4或5或6”，則下列說法正確的是（ ）
A．A與B是對立事件 B．B與C是對立事件 C．A與C是互斥事件 D．A與B是互斥事件
【答案】D
【解析】當向上的點數為5時，事件A與B同時不發生，故A錯誤；
當向上的點數為2時，事件B與C同時不發生，故B錯誤；
當向上的點數是4或6時，事件A與事件C同時發生，故C錯誤；
事件A與事件B不能同時發生，故D正確．
故選：D
3．（云南“美美與共”民族中學聯盟2024-2025學年高一下學期聯考（二）數學試卷）在中，，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】在中，，
即，化簡得，
解得或（不合題意，舍去），
，
故選：C.
4．（24-25高一下·廣西桂林·開學考試）設一組樣本數據的平均數為3，方差為4，則數據的標準差為（ ）
A．12 B． C．6 D．36
【答案】C
【解析】的方差為4，故的方差為，
故標準差為.
故選：C
5．（24-25高一上·甘肅甘南·期末）為了加深師生對黨史的了解，激發廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了“學黨史、育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績取整數）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法不正確的是（ ）
A．的值為0.005 B．估計這組數據的眾數為75
C．估計成績低于60分的有250人 D．估計這組數據的第85百分位數為85
【答案】D
【解析】對于A：由頻率分布直方圖可得，解得，故A正確；
對于B：由圖易得在區間的人最多，故可估計這組數據的眾數為，故B正確；
對于C：，故成績低于分的有人，即C正確；
對于D：由圖中前四組面積之和為：，
圖中前五組面積之和為：，
故這組數據的第85百分位數在第五組數據中，
設這組數據的第85百分位數為，
則有，解得，
即估計這組數據的第85百分位數為86，故D錯誤.
故選：D.
6．（24-25高一下·廣東江門·期中）在中，角的對邊分別為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
由正弦定理可得：.
由余弦定理可得：.
故選：B
7．（24-25高一下·廣東佛山·期中）在中，角的對邊分別是，且，，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．不確定的
【答案】A
【解析】在中，由余弦定理得，
因為，可得，
代入上式，整理得，即，所以，
所以，所以為等腰三角形.
故選：A.
8．（24-25高一下·江蘇連云港·期中）在平行四邊形中，，分別為，中點，與交于點，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在平行四邊形中，因為，分別為，中點，
則，
因為，則，
則，顯然，，
則，而三點共線，
故，則，則，
即
則，則.
故選：C.

二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高一下·河南駐馬店·階段練習）某同學參加3次不同測試，用事件表示隨機事件“第次測試成績及格”，則下列說法正確的是（ ）
A．表示前兩次測試成績中有且僅有一次及格
B．表示后兩次測試成績均不及格
C．表示三次測試成績均及格
D．表示三次測試成績均不及格
【答案】BCD
【解析】因為表示前兩次測試成績中至少有一次及格，故A錯誤；
因為表示第二次和第三次測試成績中至少有一次及格，所以表示后兩次測試成績均不及格，故B正確；
表示同時發生，即表示三次測試成績均及格，故C正確；
表示測試成績均不及格，所以表示三次測試成績均不及格，故D正確；
故選：BCD.
10．（24-25高一下·廣東江門·期中）已知向量，，則下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時，在上的投影向量為 D．當與的夾角為銳角時，的取值范圍為．
【答案】ACD
【解析】對于A：若，則，解得，故A正確；
對于B：若，則，解得，故B錯誤；
對于C：當時，，所以，，
所以在上的投影向量為，故C正確．
對于D：當與夾角為銳角時，則，解得，此時向量不同向，
所以當與的夾角為銳角時，的取值范圍為，故D正確；
故選：ACD．
11．（24-25高一下·廣東湛江·期中）已知復數是的共軛復數，則下列說法正確的是（ ）
A．的虛部為i B．
C．在復平面內對應的點位于第二象限 D．為方程的一個根
【答案】CD
【解析】，對應點為在第二象限，故C對；
又，虛部為，故A錯，
，故B錯；
，故為方程的一個根，D對.
故選：CD
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高一下·福建莆田·階段練習）如圖所示，正方形為一個水平放置的平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖，且，則原平面圖形的面積為 .
【答案】
【解析】因為正方形為一個平面圖形的水平直觀圖，
所以可得原圖形是一平行四邊形，且，，，
所以平行四邊形的面積為.
故答案為：.
13．（24-25高一下·河北邢臺·期中）銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若的面積為，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由，得，解得．
因為，所以，所以．
，
所以．
因為，所以，
則，從而．
故答案為：
14．（2025·貴州·三模）的內角、、所對的邊分別為、、.若，邊上的高為，則 .
【答案】
【解析】由題意可得，整理可得，
不妨設，則，
由余弦定理可得，故，
所以，，
因為，故.
故答案為：.
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高一下·江蘇徐州·期中）（1）已知，若與平行，求；
（2）已知與的夾角為，若與垂直，求實數的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因為，
且與平行，
所以，解得，
所以，
所以．
（2）已知與的夾角為，
所以，
因為與垂直，
所以
所以．
16．（24-25高一下·山東東營·開學考試）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束． 設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．
(1)求乙獲勝的概率;
(2)求投籃結束時乙只投了2個球的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）設Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃時投中，
則．
記“乙獲勝”為事件C，
則
；
（2）記“投籃結束時乙只投了2個球”為事件D，
則
．
17．（24-25高一下·北京·期中）2024年奧運會在巴黎舉行，中國代表團獲得了40枚金牌，27枚銀牌，24枚銅牌，共91枚獎牌，取得了境外舉辦奧運會的最好成績，運動員的拼搏精神給人們留下了深刻印象．為了增加學生對奧運知識的了解，弘揚奧運精神，某校組織高二年級學生進行了奧運知識能力測試．根據測試成績，將所得數據按照分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求該樣本的第75百分位數；
(2)試估計本次奧運知識能力測試成績的平均分(同一組中的數據用該組區間的中點值作為代表)；
(3)該校準備對本次奧運知識能力測試成績不及格（60分以下）的學生，采用按比例分配的分層隨機抽樣方法抽出5名同學，再從抽取的這5名同學中隨機抽取2名同學進行情況了解，求這2名同學分數在各一人的概率．
【答案】(1)分；
(2)分；
(3).
【解析】（1）由題設，可得，
由，，
所以樣本的第75百分位數位于區間，設為，則，
所以分.
則其第75百分位數為分.
（2）由題設分；
則平均分為分.
（3）由題設，的頻率比為，
故抽取的5人中有2人為、有3人為，
任抽2人有，共10種情況，
其中分數在各一人有，共6種情況，
所以這2名同學分數在各一人的概率.
18．（24-25高一下·福建莆田·階段練習）在直三棱柱中，，點為線段的中點.
(1)證明：；
(2)求直線與直線所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）由直三棱柱，可得平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又，所以平面，
又平面，所以；
（2）取中點，連接，
因為點為線段的中點，所以，
所以或其補角為直線與直線所成的角，
在中，可得，
在中，則，
在中，則，所以，
在中，則，
在中，由余弦定理可得，
所以直線與直線所成角的余弦值為.
19．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足 .
請從條件①、條件②中選擇一個條件補充至橫線處，并解決下列問題：
條件：①；②.
(1)證明：；
(2)若的平分線交于，，，求的值；
(3)求的取值范圍.
注：如果選擇多個條件解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【解析】（1）若選①：因為，由正弦定理得，
因為，
所以，
所以，
所以，或（舍去），即；
若選②：由正弦定理及，
得，
所以，
所以，
因為，所以，
所以或（舍去），
所以；
（2）因為，為銳角，
所以，，
因為，
所以，
所以，
所以，；
（3）由是銳角三角形，，，，可得，
所以，
，
令，則，在上單調遞增，
而，，
所以，
所以.

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