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浙江省寧波市南三縣2023-2024學年八年級下學期數學期末試題
1．（2024八下·寧波期末）下列圖形是我國國產品牌汽車的標識，這些汽車標識中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故A符合題意；
既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故B不符合題意；
既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故C不符合題意；
是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項逐一分析，再作出判斷．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
2．（2024八下·寧波期末）下列計算結果正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】二次根式的乘除法；積的乘方運算；求算術平方根
【解析】【解答】解：A、，故錯誤；
B、，故正確；
C、，故錯誤；
D、，故錯誤；
故選：B．
【分析】
A、正數的算術平方根是它的正的平方根，0的算術平方根是0，即算術平方根是非負數，只有一個值；
B、算術平方根的積等于積的算術平方根；
C、算術平方根的積等于積的算術平方根；
D、積的乘方，給各因式分別乘方，再把所得的冪相乘 ．
3．（2024八下·寧波期末）下列方程中為一元二次方程的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：A、 是分式方程，不是一元二次方程；
B、2（x-1）+x=2的未知數的最高次數是1，不是一元二次方程；
C、x2=2+3x只有一個未知數且未知數最高次數為2，是一元二次方程；
D、x2-x3+4=0的未知數的最高次數是3，不是一元二次方程.
故答案為：C.
【分析】含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程稱為一元二次方程，據此判斷.
4．（2024八下·寧波期末）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣”．西山區某中學組織學生參加“我閱讀，我成長”為主題的演講比賽，以下是根據進入決賽的15位選手的比賽成績制成的統計表：
成績（分） 88 90 92 95 96 98
人數 1 2 3 4 3 2
這些學生演講比賽成績的中位數和眾數分別是（　　）
A．92，95 B．95，98 C．95，95 D．96，95
【答案】C
【知識點】中位數；眾數
【解析】【解答】解：∵95出現的次數最多，4次，
∴眾數為95；
∵，
∴中位數是第8個數據：95．
故答案為：C．
【分析】先將數據從大到小從新排列，再根據眾數及中位數的定義求解．
5．（2024八下·寧波期末） 若一個正n邊形的內角和為720°，則它的每個外角度數是（　　）
A．36° B．45° C．72° D．60°
【答案】D
【知識點】多邊形內角與外角
【解析】【解答】解：（n-2)×180°=720°，
所以n=6，
∴它的每個外角度數是 ：360°÷6=60°。
故答案為：D。
【分析】首先根據多邊形內角和求得多邊形的邊數，再根據正多邊形的內角相等，以及多邊形的外交和恒等于360°，即可求得它的每個外角的度數。
6．（2024八下·寧波期末）如圖，平行四邊形的對角線與相交于點，，若，，則的長是（　?。?br/>A．10 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【知識點】勾股定理；平行四邊形的性質
【解析】【解答】解：四邊形是平行四邊形，，
，，
，
，
∵，
，
，
故答案為：C．
【分析】先根據平行四邊形的性質，可求得，，再利用勾股定理求得OB，從而可求得BD．
7．（2024八下·寧波期末）用反證法證明命題：“在△ABC中，∠A，∠B的對邊分別是a，b，若∠A<∠B，則aA．a>b B．a≥b C．a≤b D．a≠b
【答案】B
【知識點】反證法
【解析】【解答】解：用反證法證明命題：“在△ABC中，∠A，∠B的對邊分別是a，b，若∠A<∠B，則a故答案為：B.
【分析】用反證法證明的第一步為：假設結論不成立，據此判斷.
8．（2024八下·寧波期末）某種植物只有一個主干，該主干上長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是111，設一個主干長出x個支干，則下列方程中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設一個主干長出x個支干，則：1+x+x2=111，
故選：C．
【分析】由一個主干長出x個支干且每個支干又長出同樣數目的小分支，可得出共長出x2個小分支，再結合主干、支干和小分支的總數是111，可列出關于x方程．
9．（2024八下·寧波期末）函數，的圖象如圖所示，下列結論中錯誤的是（　?。?br/>A．兩函數圖象的交點坐標為
B．直線分別與兩函數圖象交于，兩點，則線段的長為3
C．當時，
D．當時，的值隨著x值的增大而增大，的值隨著x值的增大而減小
【答案】C
【知識點】反比例函數的性質；反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：將點分別代入兩個解析式得，，正確，故A不符合題意；
將分別代入兩個函數解析式，，，，正確，故B不符合題意；
當時，，原說法錯誤，故C符合題意；
當時，的值隨著值的增大而增大，的值隨著值的增大而減小，正確，故D不符合題意；
故答案為：C．
【分析】根據正比例函數和反比例函數性質逐一分析，再作出判斷．
10．（2024八下·寧波期末）如圖，點E、F分別是平行四邊形邊上一點，連接，連接交于點P，連接分別交于點G、H，設的面積為，的面積為，四邊形的面積為，若，，，則陰影部分四邊形的面積為（　?。?br/>A．17 B．19 C．18 D．25
【答案】D
【知識點】平行四邊形的性質
【解析】【解答】解：四邊形是平行四邊形，
，
，
∴，
設，，，
∴，，，
∴，解得：，
∴陰影部分四邊形的面積為25.
故答案為：D．
【分析】利用平行四邊形的性質可得，進而求得結果．
11．（2024八下·寧波期末）二次根式有意義，則x的取值范圍是　 ?。?br/>【答案】
【知識點】二次根式有意義的條件
【解析】【解答】解：∵次根式有意義，
∴，
解得，
故答案為：．
【分析】根據二次根式有意義的條件：被開方數大于等于零，據此得到，即可求出答案．
12．（2024八下·寧波期末）在一次射擊比賽中，甲、乙兩名運動員10次射擊的平均成績都是8環，其中甲的成績的方差為，乙的成績的方差為，由此可知　 　的成績更穩定．
【答案】甲
【知識點】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙兩名運動員次射擊的平均成績都是8環，其中甲的成績的方差為，乙的成績的方差為，
∴甲的成績更穩定．
故答案為：甲．
【分析】根據方差的意義求解.若兩組數據的平均數相同，則方差小的更穩定．
13．（2024八下·寧波期末）如圖，在矩形中，對角線相交于點O，，，則　 　．
【答案】10
【知識點】等邊三角形的判定與性質；矩形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∵，
∴．
故答案為：10．
【分析】先根據矩形的性質可得，再證明是等邊三角形，，從而可求得AC．
14．（2024八下·寧波期末）已知關于x的方程為一元二次方程，則m的值是　 ?。?br/>【答案】
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：根據題意得：
，
解得：，，
，
解得：，
即，
故答案為：．
【分析】利用一元二次方程的定義，列出關于的一元二次方程和一元一次不等式求解．
15．（2024八下·寧波期末）如圖，在平行四邊形中，，，是銳角，于點E，F是的中點，連結．若，則的長為　 　．
【答案】
【知識點】勾股定理；平行四邊形的性質；三角形全等的判定-AAS；四邊形的綜合；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：如圖，延長EF交DA的延長線于Q，連接DE，設BE＝x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x＋2，
∵AE⊥BC，BCAD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2 AD2＝AB2 BE2，
∴（x＋2）2 4＝6 x2，
整理得：2x2＋4x 6＝0，
解得x＝1或 3（舍棄），
∴BE＝1，
∴AE＝，
故答案為：．
【分析】
如圖，延長EF交DA的延長線于Q，連接DE，則可利用平行四邊形的對邊平行結合中點的概念可證△QFA≌△EFB，則AQ=BE，FQ=FE，由于，則DF垂直平分EQ，即DE=DQ，設BE＝x．則DQ＝DE＝x＋2，再利用勾股定理構建方程即可解決問題．
16．（2024八下·寧波期末）如圖，點A是平面直角坐標系中第一象限內的點，將線段繞著點A順時針方向旋轉至，以為邊作菱形，邊分別與反比例函數交于點E、F，且軸，，連接，當，時，k的值為　 　．
【答案】
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義；菱形的性質；旋轉的性質
【解析】【解答】解：延長交x軸于點G，過點F作軸于點H，如圖所示，
∵軸，，，
∴軸，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵四邊形是菱形，，
∴，
設，則，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函數的圖象經過點E，
∴，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵點F在反比例函數的圖象上，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
，
解得：，
∵，
∴，
∴點，
∵點F在反比例函數的圖象上，
∴，
故答案為：．
【分析】先證明，再根據全等三角形的性質得到，．然后根據四邊形是菱形，，得到，設，則，根據勾股定理求出OG，求出點，即可求出，證四邊形為矩形，得到，求出點，根據，，，即可求出的值，則可以得出點的坐標，根據點F在反比例函數圖象上，即可得到答案．
17．（2024八下·寧波期末）（1）計算：；
（2）解方程：．
【答案】解：（1）
（2）．
或
，
【知識點】二次根式的混合運算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）先化簡二次根式、運算二次根式的乘法，然后合并解題即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
18．（2024八下·寧波期末）某公司需招聘一名員工，對應聘者甲、乙、丙從筆試、面試、體能三個方面進行量化考核．甲、乙、丙各項得分如下表：
筆試 面試 體能
甲 82 79 91
乙 84 80 76
丙 81 90 72
（1）根據三項得分的平均分，從高到低確定三名應聘者的排名順序；
（2）該公司規定：筆試、面試、體能得分分別不得低于80分、80分、70分，并按的比例計入總分，總分最高者將被錄用．根據規定，請你說明誰將被錄用．
【答案】（1）解：甲、乙、丙三人的平均分分別是，
，，，
∴三人的平均分從高到低是：甲、丙、乙；
（2）解：∵甲的面試分不合格，
∴甲首先被淘汰．
∵乙的加權平均分是：；
丙的加權平均分是：；
∴乙的加權平均分最高，
∴乙將被錄用．
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【分析】（1）利用平均數的公式即可直接求解，即可判斷；
（2）利用加權平均數公式求解，即可判斷．
19．（2024八下·寧波期末）如圖是由邊長為1的小菱形構成的網格，每個小菱形的頂點稱為格點．點A，B均在格點上，請僅用無刻度的直尺作圖．不寫作法，保留作圖痕跡．
（1）在圖1中畫出的中點O；
（2）在圖2中畫一個，使點C在格點上．
【答案】（1）解：如圖所示，連交于點O，
∵四邊形ANBM是菱形，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴和互相平分，
∴點O為線段的中點，
∴點O即為所求；
（2）解：如圖所示，連，與格點交于點C，
∵，，
∴，
∴為直角三角形，
∴點C即為所求．
【知識點】等腰三角形的判定；菱形的性質
【解析】【分析】（1）根據菱形的性質即可得到結論；
（2）根據等腰三角形的性質即可得到結論.
20．（2024八下·寧波期末）如圖，在中，點在上，點在上，且．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若為的角平分線，且，，求的周長．
【答案】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，
∵，
∴，且，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）解：∵為的角平分線，∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周長．
【知識點】等腰三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質；角平分線的概念
【解析】【分析】
（1）根據平行四邊形的對邊平行且相等可得，，因為，所以則四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）由角平分線的定義可得，由平行四邊形的對邊平行可得，根據兩直線平行，內錯角相等可得，等量代換得，則，所以，則的周長為與和的2倍 ．
21．（2024八下·寧波期末）某合作社2021年到2023年每年種植土豆100畝，2021年土豆的平均畝產量為1000千克，2022年到2023年引進先進的種植技術，2023年土豆的平均畝產量達到1440千克．
（1）若2022年和2023年土豆的平均畝產量的年增長率相同，求土豆平均畝產量的年增長率為多少？
（2）2024年該合作社計劃在保證土豆種植的總成本不變的情況下，增加土豆的種植面積，經過統計調查發現，2023年每畝土豆的種植成本為1200元，若土豆的種植面積每增加1畝，則每畝土豆的種植成本將下降10元，求該合作社增加土豆種植面積多少畝，才能保證土豆種植的總成本不變？
【答案】（1）解： 解：設2022年和2023年土豆平均畝產量的年增長率為x．
根據題意，得．
解得，．（不合題意，舍去）
答：土豆平均畝產量的年增長率為．
（2）解：設增加土豆種植面積a畝．
根據題意，得．
解得（不合題意，舍去），．
答：該合作社增加土豆的種植面積20畝時，才能保證土豆種植的總成本保持不變．
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；一元二次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設2022年和2023年土豆平均畝產量的年增長率為x，根據“2021年土豆的平均畝產量為1000千克 ，2023年土豆的平均畝產量達到1440千克”列方程解答即可；
（2）設增加土豆種植面積a畝，根據題意列一元二次方程解答即可．
22．（2024八下·寧波期末）配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數能表示成（a、b是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”，理由：因為，所以5是“完美數”．
解決問題：
（1）已知10是“完美數”，請將它寫成（a、b是整數）的形式________；
探究問題：
（2）已知（x、y是整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由．
拓展結論：
（3）已知實數x、y滿足，求的最值．
【答案】（1）；
解：（2）當時，S為“完美數”，理由如下：
，
∵S為“完美數”，
∴，
解得：；
（3）∵，
∴，
∴，
∴
．
當時，的最大值為6．
【知識點】完全平方公式及運用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴10是“完美數”，
故答案為：；
【分析】（1）把10分為兩個整數的平方即可；
（2）根據S為“完美數”，利用完全平方公式配方，確定出k的值即可；
（3）由已知等式表示出y，再代入中，然后運用配方后再利用非負數的性質求出最大值即可．
23．（2024八下·寧波期末）視力表中蘊含著很多數學知識，如：每個“E”形圖都是正方形結構，同一行的“E”是全等圖形且對應著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．
素材1 國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應行的“E”形圖邊長b（），在平面直角坐標系中描點如圖1． 探究1 當檢測距離為5米時，根據圖1中數據，求出視力值n關于“E”形圖邊長b（）的函數表達式，并求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長b．
素材2 圖2為標準視力對照表，在檢測視力時，眼睛能看清的最小“E”形圖所對應的視力值n往往可以判斷視力情況，近年來，隨著電子產品的普及化，我國青少年近視現象越來越普遍，視力測試中大多青少年的視力值n低于1.0，屬于視力不良． 探究2 視力測試中，當檢測距離為5米時，低度近視區的視力值n的范圍為，根據函數增減性直接寫出低度近視的人眼睛能看清的最小“E”形圖的邊長范圍．
素材3 圖3為視網膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角θ．如圖4，當θ確定時，在A處用邊長為的Ⅰ號“E”測得的視力與在B處用邊長為的Ⅱ號“E”測得的視力相同． 探究3 若檢測距離為2.5米，求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．
【答案】解：探究1：∵圖象中的點的坐標規律得到n與b成反比例關系，
∴設，
∵點在反比例函數的圖象上，
∴，解得：
∴反比例函數的解析式為，
將其余各點代入驗證，都符合關系式，
將代入，
，解得：
∴視力值n關于“E”形圖邊長b（）的函數表達式為；
視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長；
探究2：∵
∴當時，，解得：；當時，，解得：；
∴視力值n的范圍為時，“E”形圖的邊長范圍為；
探究3：由素材可知，當某人的視力確定時，其分辨視角也是確定的，
∴
由探究1得：
∴ ，解得：
∴若檢測距離為2.5米，視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長.
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數的實際應用；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】（1）先利用待定系數法求得，再將代入反比例函數，求得b；
（2）根據反比例函數的增減性求解；
（3）當某人的視力確定時，其分辨視角也是確定的，可得，解方程即可．
24．（2024八下·寧波期末）如圖，點、、分別在正方形的邊、、上，與相交于點．
（1）如圖1，當，
①求證：；
①平移圖1中線段，使點與重合，點在延長線上，連接，取中點，連接，如圖2，求證：；
（2）如圖3，當，邊長，，則的長為________（直接寫出結果）．
【答案】（1）證明：①作交的延長線于點，
∵正方形，
∴，，
，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
；
②在上截取一點，使得．則是等腰直角三角形，．
與①同理可得：，
，
，，
，
，
，
，
解得：；
（2）
【知識點】勾股定理；正方形的性質；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：（2）過點作交于點，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD//BC，即DG//HN，
∴四邊形是平行四邊形，
，，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，AD=DC，
∴，
，
∴，
∵，，
，
，
作，交延長線于，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴，
設．則，
∵，
∴，解得：，
．
【分析】（1）①先證明四邊形是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質得出，，然后證明，即可證得結論；
②先得出是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質得出．然后利用三角形的中位線求解即可；
（2）先證明四邊形是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質得出，，然后利用勾股定理求得，從而可求得，再證明，根據全等三角形的性質可證得，，，從而可證得，根據全等三角形的性質可證得，從而證得，根據勾股定理得到關于x的方程求得，再利用勾股定理求得．
1 / 1浙江省寧波市南三縣2023-2024學年八年級下學期數學期末試題
1．（2024八下·寧波期末）下列圖形是我國國產品牌汽車的標識，這些汽車標識中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的（　?。?br/>A． B．
C． D．
2．（2024八下·寧波期末）下列計算結果正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
3．（2024八下·寧波期末）下列方程中為一元二次方程的是（　?。?br/>A． B． C． D．
4．（2024八下·寧波期末）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣”．西山區某中學組織學生參加“我閱讀，我成長”為主題的演講比賽，以下是根據進入決賽的15位選手的比賽成績制成的統計表：
成績（分） 88 90 92 95 96 98
人數 1 2 3 4 3 2
這些學生演講比賽成績的中位數和眾數分別是（　?。?br/>A．92，95 B．95，98 C．95，95 D．96，95
5．（2024八下·寧波期末） 若一個正n邊形的內角和為720°，則它的每個外角度數是（　?。?br/>A．36° B．45° C．72° D．60°
6．（2024八下·寧波期末）如圖，平行四邊形的對角線與相交于點，，若，，則的長是（　?。?br/>A．10 B．18 C．20 D．22
7．（2024八下·寧波期末）用反證法證明命題：“在△ABC中，∠A，∠B的對邊分別是a，b，若∠A<∠B，則aA．a>b B．a≥b C．a≤b D．a≠b
8．（2024八下·寧波期末）某種植物只有一個主干，該主干上長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是111，設一個主干長出x個支干，則下列方程中正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
9．（2024八下·寧波期末）函數，的圖象如圖所示，下列結論中錯誤的是（　?。?br/>A．兩函數圖象的交點坐標為
B．直線分別與兩函數圖象交于，兩點，則線段的長為3
C．當時，
D．當時，的值隨著x值的增大而增大，的值隨著x值的增大而減小
10．（2024八下·寧波期末）如圖，點E、F分別是平行四邊形邊上一點，連接，連接交于點P，連接分別交于點G、H，設的面積為，的面積為，四邊形的面積為，若，，，則陰影部分四邊形的面積為（　?。?br/>A．17 B．19 C．18 D．25
11．（2024八下·寧波期末）二次根式有意義，則x的取值范圍是　 ?。?br/>12．（2024八下·寧波期末）在一次射擊比賽中，甲、乙兩名運動員10次射擊的平均成績都是8環，其中甲的成績的方差為，乙的成績的方差為，由此可知　 　的成績更穩定．
13．（2024八下·寧波期末）如圖，在矩形中，對角線相交于點O，，，則　 　．
14．（2024八下·寧波期末）已知關于x的方程為一元二次方程，則m的值是　 ?。?br/>15．（2024八下·寧波期末）如圖，在平行四邊形中，，，是銳角，于點E，F是的中點，連結．若，則的長為　 ?。?br/>16．（2024八下·寧波期末）如圖，點A是平面直角坐標系中第一象限內的點，將線段繞著點A順時針方向旋轉至，以為邊作菱形，邊分別與反比例函數交于點E、F，且軸，，連接，當，時，k的值為　 ?。?br/>17．（2024八下·寧波期末）（1）計算：；
（2）解方程：．
18．（2024八下·寧波期末）某公司需招聘一名員工，對應聘者甲、乙、丙從筆試、面試、體能三個方面進行量化考核．甲、乙、丙各項得分如下表：
筆試 面試 體能
甲 82 79 91
乙 84 80 76
丙 81 90 72
（1）根據三項得分的平均分，從高到低確定三名應聘者的排名順序；
（2）該公司規定：筆試、面試、體能得分分別不得低于80分、80分、70分，并按的比例計入總分，總分最高者將被錄用．根據規定，請你說明誰將被錄用．
19．（2024八下·寧波期末）如圖是由邊長為1的小菱形構成的網格，每個小菱形的頂點稱為格點．點A，B均在格點上，請僅用無刻度的直尺作圖．不寫作法，保留作圖痕跡．
（1）在圖1中畫出的中點O；
（2）在圖2中畫一個，使點C在格點上．
20．（2024八下·寧波期末）如圖，在中，點在上，點在上，且．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若為的角平分線，且，，求的周長．
21．（2024八下·寧波期末）某合作社2021年到2023年每年種植土豆100畝，2021年土豆的平均畝產量為1000千克，2022年到2023年引進先進的種植技術，2023年土豆的平均畝產量達到1440千克．
（1）若2022年和2023年土豆的平均畝產量的年增長率相同，求土豆平均畝產量的年增長率為多少？
（2）2024年該合作社計劃在保證土豆種植的總成本不變的情況下，增加土豆的種植面積，經過統計調查發現，2023年每畝土豆的種植成本為1200元，若土豆的種植面積每增加1畝，則每畝土豆的種植成本將下降10元，求該合作社增加土豆種植面積多少畝，才能保證土豆種植的總成本不變？
22．（2024八下·寧波期末）配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數能表示成（a、b是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”，理由：因為，所以5是“完美數”．
解決問題：
（1）已知10是“完美數”，請將它寫成（a、b是整數）的形式________；
探究問題：
（2）已知（x、y是整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由．
拓展結論：
（3）已知實數x、y滿足，求的最值．
23．（2024八下·寧波期末）視力表中蘊含著很多數學知識，如：每個“E”形圖都是正方形結構，同一行的“E”是全等圖形且對應著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．
素材1 國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應行的“E”形圖邊長b（），在平面直角坐標系中描點如圖1． 探究1 當檢測距離為5米時，根據圖1中數據，求出視力值n關于“E”形圖邊長b（）的函數表達式，并求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長b．
素材2 圖2為標準視力對照表，在檢測視力時，眼睛能看清的最小“E”形圖所對應的視力值n往往可以判斷視力情況，近年來，隨著電子產品的普及化，我國青少年近視現象越來越普遍，視力測試中大多青少年的視力值n低于1.0，屬于視力不良． 探究2 視力測試中，當檢測距離為5米時，低度近視區的視力值n的范圍為，根據函數增減性直接寫出低度近視的人眼睛能看清的最小“E”形圖的邊長范圍．
素材3 圖3為視網膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角θ．如圖4，當θ確定時，在A處用邊長為的Ⅰ號“E”測得的視力與在B處用邊長為的Ⅱ號“E”測得的視力相同． 探究3 若檢測距離為2.5米，求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．
24．（2024八下·寧波期末）如圖，點、、分別在正方形的邊、、上，與相交于點．
（1）如圖1，當，
①求證：；
①平移圖1中線段，使點與重合，點在延長線上，連接，取中點，連接，如圖2，求證：；
（2）如圖3，當，邊長，，則的長為________（直接寫出結果）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故A符合題意；
既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故B不符合題意；
既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故C不符合題意；
是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項逐一分析，再作出判斷．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
2．【答案】B
【知識點】二次根式的乘除法；積的乘方運算；求算術平方根
【解析】【解答】解：A、，故錯誤；
B、，故正確；
C、，故錯誤；
D、，故錯誤；
故選：B．
【分析】
A、正數的算術平方根是它的正的平方根，0的算術平方根是0，即算術平方根是非負數，只有一個值；
B、算術平方根的積等于積的算術平方根；
C、算術平方根的積等于積的算術平方根；
D、積的乘方，給各因式分別乘方，再把所得的冪相乘 ．
3．【答案】C
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：A、 是分式方程，不是一元二次方程；
B、2（x-1）+x=2的未知數的最高次數是1，不是一元二次方程；
C、x2=2+3x只有一個未知數且未知數最高次數為2，是一元二次方程；
D、x2-x3+4=0的未知數的最高次數是3，不是一元二次方程.
故答案為：C.
【分析】含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程稱為一元二次方程，據此判斷.
4．【答案】C
【知識點】中位數；眾數
【解析】【解答】解：∵95出現的次數最多，4次，
∴眾數為95；
∵，
∴中位數是第8個數據：95．
故答案為：C．
【分析】先將數據從大到小從新排列，再根據眾數及中位數的定義求解．
5．【答案】D
【知識點】多邊形內角與外角
【解析】【解答】解：（n-2)×180°=720°，
所以n=6，
∴它的每個外角度數是 ：360°÷6=60°。
故答案為：D。
【分析】首先根據多邊形內角和求得多邊形的邊數，再根據正多邊形的內角相等，以及多邊形的外交和恒等于360°，即可求得它的每個外角的度數。
6．【答案】C
【知識點】勾股定理；平行四邊形的性質
【解析】【解答】解：四邊形是平行四邊形，，
，，
，
，
∵，
，
，
故答案為：C．
【分析】先根據平行四邊形的性質，可求得，，再利用勾股定理求得OB，從而可求得BD．
7．【答案】B
【知識點】反證法
【解析】【解答】解：用反證法證明命題：“在△ABC中，∠A，∠B的對邊分別是a，b，若∠A<∠B，則a故答案為：B.
【分析】用反證法證明的第一步為：假設結論不成立，據此判斷.
8．【答案】C
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設一個主干長出x個支干，則：1+x+x2=111，
故選：C．
【分析】由一個主干長出x個支干且每個支干又長出同樣數目的小分支，可得出共長出x2個小分支，再結合主干、支干和小分支的總數是111，可列出關于x方程．
9．【答案】C
【知識點】反比例函數的性質；反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：將點分別代入兩個解析式得，，正確，故A不符合題意；
將分別代入兩個函數解析式，，，，正確，故B不符合題意；
當時，，原說法錯誤，故C符合題意；
當時，的值隨著值的增大而增大，的值隨著值的增大而減小，正確，故D不符合題意；
故答案為：C．
【分析】根據正比例函數和反比例函數性質逐一分析，再作出判斷．
10．【答案】D
【知識點】平行四邊形的性質
【解析】【解答】解：四邊形是平行四邊形，
，
，
∴，
設，，，
∴，，，
∴，解得：，
∴陰影部分四邊形的面積為25.
故答案為：D．
【分析】利用平行四邊形的性質可得，進而求得結果．
11．【答案】
【知識點】二次根式有意義的條件
【解析】【解答】解：∵次根式有意義，
∴，
解得，
故答案為：．
【分析】根據二次根式有意義的條件：被開方數大于等于零，據此得到，即可求出答案．
12．【答案】甲
【知識點】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙兩名運動員次射擊的平均成績都是8環，其中甲的成績的方差為，乙的成績的方差為，
∴甲的成績更穩定．
故答案為：甲．
【分析】根據方差的意義求解.若兩組數據的平均數相同，則方差小的更穩定．
13．【答案】10
【知識點】等邊三角形的判定與性質；矩形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∵，
∴．
故答案為：10．
【分析】先根據矩形的性質可得，再證明是等邊三角形，，從而可求得AC．
14．【答案】
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：根據題意得：
，
解得：，，
，
解得：，
即，
故答案為：．
【分析】利用一元二次方程的定義，列出關于的一元二次方程和一元一次不等式求解．
15．【答案】
【知識點】勾股定理；平行四邊形的性質；三角形全等的判定-AAS；四邊形的綜合；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：如圖，延長EF交DA的延長線于Q，連接DE，設BE＝x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x＋2，
∵AE⊥BC，BCAD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2 AD2＝AB2 BE2，
∴（x＋2）2 4＝6 x2，
整理得：2x2＋4x 6＝0，
解得x＝1或 3（舍棄），
∴BE＝1，
∴AE＝，
故答案為：．
【分析】
如圖，延長EF交DA的延長線于Q，連接DE，則可利用平行四邊形的對邊平行結合中點的概念可證△QFA≌△EFB，則AQ=BE，FQ=FE，由于，則DF垂直平分EQ，即DE=DQ，設BE＝x．則DQ＝DE＝x＋2，再利用勾股定理構建方程即可解決問題．
16．【答案】
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義；菱形的性質；旋轉的性質
【解析】【解答】解：延長交x軸于點G，過點F作軸于點H，如圖所示，
∵軸，，，
∴軸，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵四邊形是菱形，，
∴，
設，則，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函數的圖象經過點E，
∴，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵點F在反比例函數的圖象上，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
，
解得：，
∵，
∴，
∴點，
∵點F在反比例函數的圖象上，
∴，
故答案為：．
【分析】先證明，再根據全等三角形的性質得到，．然后根據四邊形是菱形，，得到，設，則，根據勾股定理求出OG，求出點，即可求出，證四邊形為矩形，得到，求出點，根據，，，即可求出的值，則可以得出點的坐標，根據點F在反比例函數圖象上，即可得到答案．
17．【答案】解：（1）
（2）．
或
，
【知識點】二次根式的混合運算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）先化簡二次根式、運算二次根式的乘法，然后合并解題即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
18．【答案】（1）解：甲、乙、丙三人的平均分分別是，
，，，
∴三人的平均分從高到低是：甲、丙、乙；
（2）解：∵甲的面試分不合格，
∴甲首先被淘汰．
∵乙的加權平均分是：；
丙的加權平均分是：；
∴乙的加權平均分最高，
∴乙將被錄用．
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【分析】（1）利用平均數的公式即可直接求解，即可判斷；
（2）利用加權平均數公式求解，即可判斷．
19．【答案】（1）解：如圖所示，連交于點O，
∵四邊形ANBM是菱形，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴和互相平分，
∴點O為線段的中點，
∴點O即為所求；
（2）解：如圖所示，連，與格點交于點C，
∵，，
∴，
∴為直角三角形，
∴點C即為所求．
【知識點】等腰三角形的判定；菱形的性質
【解析】【分析】（1）根據菱形的性質即可得到結論；
（2）根據等腰三角形的性質即可得到結論.
20．【答案】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，
∵，
∴，且，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）解：∵為的角平分線，∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周長．
【知識點】等腰三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質；角平分線的概念
【解析】【分析】
（1）根據平行四邊形的對邊平行且相等可得，，因為，所以則四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）由角平分線的定義可得，由平行四邊形的對邊平行可得，根據兩直線平行，內錯角相等可得，等量代換得，則，所以，則的周長為與和的2倍 ．
21．【答案】（1）解： 解：設2022年和2023年土豆平均畝產量的年增長率為x．
根據題意，得．
解得，．（不合題意，舍去）
答：土豆平均畝產量的年增長率為．
（2）解：設增加土豆種植面積a畝．
根據題意，得．
解得（不合題意，舍去），．
答：該合作社增加土豆的種植面積20畝時，才能保證土豆種植的總成本保持不變．
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；一元二次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設2022年和2023年土豆平均畝產量的年增長率為x，根據“2021年土豆的平均畝產量為1000千克 ，2023年土豆的平均畝產量達到1440千克”列方程解答即可；
（2）設增加土豆種植面積a畝，根據題意列一元二次方程解答即可．
22．【答案】（1）；
解：（2）當時，S為“完美數”，理由如下：
，
∵S為“完美數”，
∴，
解得：；
（3）∵，
∴，
∴，
∴
．
當時，的最大值為6．
【知識點】完全平方公式及運用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴10是“完美數”，
故答案為：；
【分析】（1）把10分為兩個整數的平方即可；
（2）根據S為“完美數”，利用完全平方公式配方，確定出k的值即可；
（3）由已知等式表示出y，再代入中，然后運用配方后再利用非負數的性質求出最大值即可．
23．【答案】解：探究1：∵圖象中的點的坐標規律得到n與b成反比例關系，
∴設，
∵點在反比例函數的圖象上，
∴，解得：
∴反比例函數的解析式為，
將其余各點代入驗證，都符合關系式，
將代入，
，解得：
∴視力值n關于“E”形圖邊長b（）的函數表達式為；
視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長；
探究2：∵
∴當時，，解得：；當時，，解得：；
∴視力值n的范圍為時，“E”形圖的邊長范圍為；
探究3：由素材可知，當某人的視力確定時，其分辨視角也是確定的，
∴
由探究1得：
∴ ，解得：
∴若檢測距離為2.5米，視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長.
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數的實際應用；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】（1）先利用待定系數法求得，再將代入反比例函數，求得b；
（2）根據反比例函數的增減性求解；
（3）當某人的視力確定時，其分辨視角也是確定的，可得，解方程即可．
24．【答案】（1）證明：①作交的延長線于點，
∵正方形，
∴，，
，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
；
②在上截取一點，使得．則是等腰直角三角形，．
與①同理可得：，
，
，，
，
，
，
，
解得：；
（2）
【知識點】勾股定理；正方形的性質；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：（2）過點作交于點，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD//BC，即DG//HN，
∴四邊形是平行四邊形，
，，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，AD=DC，
∴，
，
∴，
∵，，
，
，
作，交延長線于，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴，
設．則，
∵，
∴，解得：，
．
【分析】（1）①先證明四邊形是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質得出，，然后證明，即可證得結論；
②先得出是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質得出．然后利用三角形的中位線求解即可；
（2）先證明四邊形是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質得出，，然后利用勾股定理求得，從而可求得，再證明，根據全等三角形的性質可證得，，，從而可證得，根據全等三角形的性質可證得，從而證得，根據勾股定理得到關于x的方程求得，再利用勾股定理求得．
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