資源簡介

浙江省杭州市濱江2025年中考一模數(shù)學試卷
一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．
1．（2025·濱江模擬）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中對正負數(shù)已有記載．若收入元記為元，則支出元記為（　　）元
A． B． C． D．
2．（2025·濱江模擬）每年的月日是全國愛眼日．為了解某初中學校名學生的視力情況，某興趣小組的同學制定了如下調查方案，最合理的是（　?。?br/>A．抽取八年級名女生進行調查
B．按學籍號隨機抽取名學生進行調查
C．抽取九年級名男生進行調查
D．按學籍號隨機抽取名學生進行調查
3．（2025·濱江模擬）如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體是（　?。?br/>A．三棱柱 B．三棱錐 C．圓柱 D．圓錐
4．（2025·濱江模擬）如圖，以點為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，則點表示的數(shù)為（　?。?br/>A． B． C． D．
5．（2025·濱江模擬）節(jié)約用水，從我做起．小濱把自己家1月份至6月份的用水量繪制成如圖所示的折線圖．則小濱家這6個月用水量的中位數(shù)是（　?。﹪?br/>A．3.5 B．9 C．9.5 D．11
6．（2025·濱江模擬）如圖，是的弦，是的切線，A為切點，經過圓心O，若，則的大小是（　?。?br/>A． B． C． D．
7．（2025·濱江模擬）如圖，小區(qū)物業(yè)規(guī)劃在一個長，寬的矩形場地上，修建一個小型停車場，陰影部分為停車位所在區(qū)域，兩側是寬的道路，中間是寬的道路．如果陰影部分的總面積是，那么x滿足的方程是（　?。?br/>A． B．
C． D．
8．（2025·濱江模擬）如圖，在正方形中，，．現(xiàn)將該正方形先向右平移，使點與原點重合，再將所得正方形繞原點按逆時針方向旋轉，得到四邊形，則點的對應點的坐標是（　?。?br/>A． B． C． D．
9．（2025·濱江模擬）函數(shù)圖象上有兩點（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
10．（2025·濱江模擬）如圖，是的直徑，，點為劣?。ú缓它c）上一點，連接，分別交，于點．若的半徑為1，記，則下列代數(shù)式的值不變的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分．
11．（2025·濱江模擬）分解因式：　 　．
12．（2025·濱江模擬）半徑為的中，圓心角所對的弧長為　 ?。ńY果保留）
13．（2025·濱江模擬）如圖，在中，，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線交于點D，連接，若，則　 ?。?br/>14．（2025·濱江模擬）甲、乙兩人在一次賽跑中，路程（米）與時間（秒）的關系如圖所示．當?shù)谝粋€人到達終點時，第二個人距離終點還?！? 　米．
15．（2025·濱江模擬）一個不透明的布袋里裝有1個①號球和1個②號球，布袋外放有1個③號球，三個球除編號不同外，其余均相同．先從布袋中隨機摸出一個球，不放回，然后將③號球放入布袋中，搖勻，再從布袋中隨機摸出一個球，則布袋里最后剩下的球是①號球的概率是　 　．
16．（2025·濱江模擬）如圖，在菱形中，為銳角，點，分別在邊，上，且滿足，．將菱形沿翻折，使點落在平面內的點處．若菱形的周長和面積分別為12和6，則　 ?。?br/>三、解答題：本大題有8個小題，共72分．
17．（2025·濱江模擬）計算：
（1）．
（2）．
18．（2025·濱江模擬）解方程：
（1）．
（2）．
19．（2025·濱江模擬）為更好地了解居民健身項目，某鎮(zhèn)決定對該鎮(zhèn)居民進行一次抽樣調查．他們將居民日常健身項目分成三類：類：田徑；類：球類；類：游泳．現(xiàn)將調查結果繪制成如下統(tǒng)計圖，請結合下圖所給信息，回答下列問題：
（1）本次抽樣的樣本容量是______．
（2）補全條形統(tǒng)計圖．
（3）若該鎮(zhèn)居民大約有人，請估計該鎮(zhèn)參加類項目的人數(shù)．
20．（2025·濱江模擬）如圖，在中，，若，．
（1）求的長．
（2）若是斜邊上的中線，求的值．
21．（2025·濱江模擬）某市政府計劃建設一項水利工程，工程需要運送的土石方總量為立方米，某運輸公司承擔了運送土石方的任務．
（1）設該公司平均每天運送土石方總量為立方米，完成運送任務所需時間為天．
①求關于的函數(shù)表達式．
②若時，求的取值范圍．
（2）若1輛卡車每天可運送土石方立方米，工期要求在80天內完成，公司至少要安排多少輛相同型號卡車運輸？
22．（2025·濱江模擬）如圖1，在正方形中，過對角線交點的兩條互相垂直的直線，交該正方形各邊于點．求證：與把該正方形分成面積相等的四部分．
小濱、小江在完成上述解答后，進一步思考，若將圖形一般化，是否也會有類似結論？兩位同學進行了如下探究．
（1）如圖2，在矩形中，過對角線交點的兩條直線交該矩形各邊于點，，．
小濱：若．則與把該矩形分成面積相等的四部分．
小江：若，則與把該矩形分成面積相等的四部分．
請判斷小濱、
是否正確，并說明理由．
（2）請仿照小濱、小江同學的探究過程，寫出一個類似的真命題：如圖3，在中，______．
23．（2025·濱江模擬）在平面直角坐標系中，函數(shù)（為常數(shù)）圖象的頂點坐標是．
（1）判斷點是否在該函數(shù)的圖象上，并說明理由．
（2）求證：．
24．（2025·濱江模擬）已知，是的弦，于點，且，連接．
（1）如圖1，若是的直徑，求的度數(shù)．
（2）如圖2，求證：①，②
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】正數(shù)、負數(shù)的實際應用；用正數(shù)、負數(shù)表示相反意義的量
【解析】【解答】解：若收入元記為元，
則支出元記為，
故選：A．
【分析】
正負數(shù)表示一對相反意義的量．
2．【答案】B
【知識點】抽樣調查的可靠性
【解析】【解答】解：A中，抽取八年級名女生進行調查不具有代表性，不符合題意．
B中，按學籍號隨機抽取名學生進行調查是隨機抽樣，符合題意；
C中，抽取九年級名男生進行調查不具有代表性，不符合題意．
D中，按學籍號隨機抽取名學生進行調查，樣本容量太小，不符合題意；
故選：B．
【分析】
為了獲取能夠客觀反映問題的結果，通常按照總體中每個個體都有相同的被抽取機會的原則抽取樣本，這種抽樣的方法叫做隨機抽樣．樣本的選取應具有隨機性、代表性、容量應足夠大．
3．【答案】A
【知識點】由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：觀察可得，主視圖是長方形，俯視圖是長方形，左視圖是三角形，
所以這個幾何體是三棱柱，
故選：A．
【分析】
根據(jù)幾何體的三視圖確定出幾何體的名稱即可．
4．【答案】C
【知識點】無理數(shù)在數(shù)軸上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由題意得，
∵以點為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，
∴，
∴點表示的數(shù)為，
故選：C．
【分析】
先利用勾股定理求出，則，由于點B在原點右側，即點所表示的數(shù)為．
5．【答案】C
【知識點】折線統(tǒng)計圖；中位數(shù)
【解析】【解答】解：由折線統(tǒng)計圖可得6月份的用水量排列為：6，8，9，10，12，15，
則中位數(shù)為，
故選：C．
【分析】
找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．
6．【答案】C
【知識點】圓周角定理；切線的性質；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：如圖，連接，
∵是的切線，A為切點，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：C．
【分析】
有切線，連半徑是解決圓的計算與證明的常用策略，故連接，則由切線的性質可得，再由圓周角定理得，然后利用直角三角形的兩個銳角互余求解即可．
7．【答案】A
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵矩形場地的長為長，寬，且所修建停車位的兩側是寬x m的道路，中間是寬的道路，
∴停車位（即陰影部分）可合成長為，寬為的矩形．
根據(jù)題意，得，
化簡，得．
故選：A．
【分析】
先利用已知分別表示出陰影部分一個矩形的長和寬，再利用割補法表示出陰影部分的總面積是即可列出關于x的一元二次方程．
8．【答案】B
【知識點】平移的性質；坐標與圖形變化﹣平移；旋轉的性質；坐標與圖形變化﹣旋轉
【解析】【解答】解：如圖，將正方形先向右平移，使點與原點重合，得到正方形，
其中，，，且，，
∵將所得正方形繞原點按逆時針方向旋轉，得到四邊形，
∴點與點重合，
∴點的坐標是，
故選：B．
【分析】
先確定出點A的坐標，由于平移前后對應點的連線平行且相等或在同一條直線上，因此可通過點B與原點是一對對應點可確定平移的方向和距離，從而可確定點A的對應點的坐標；由于旋轉的三要素是旋轉中心、旋轉角度和旋轉方向，則由旋轉的性質知點A`點C平移后的對應點重合．
9．【答案】D
【知識點】反比例函數(shù)的性質；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函數(shù)圖象經過第二、四象限，且在每一個象限內，y隨著x的增大而增大，
A、時，則，則在第二象限，
∵y隨著x的增大而增大，
∴，故A錯誤，不符合題意；
B、可舉反例，若，則，則在第二象限，
∵y隨著x的增大而增大，
∴，故B錯誤，不符合題意；
C、可舉反例，若，則，則在第四象限，
∵y隨著x的增大而增大，
∴，故C錯誤，不符合題意；
D、若，則，則在第四象限，
∵y隨著x的增大而增大，
∴，故D錯誤，符合題意；
故選：D．
【分析】
對于反比例函數(shù)，當時，圖象在一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減??；當時，圖象在二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大．因此需要分類討論，即當時、當時或時分別進行判斷即可.
10．【答案】D
【知識點】勾股定理；圓周角定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：如圖，
∵是的直徑，，，
∴，，
設，
則，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故D符合題意，而A、B、C代數(shù)式的值均不能證明不變，故不符合題意，
故選：D．
【分析】
如圖，連接AC，可得，，由圓周角定理可得、則由三角形外角的性質可得，則可證明，由相似比可得，即，整理得．
11．【答案】
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：
．
【分析】
先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
12．【答案】
【知識點】弧長的計算
【解析】【解答】解：弧長為，
故答案為：．
【分析】
弧長公式．
13．【答案】
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；尺規(guī)作圖-垂直平分線
【解析】【解答】解：，，
，
，
分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，作直線交于點連接，
是線段的垂直平分線，
，
，
．
故答案為：．
【分析】
由基本尺規(guī)作圖知，MN是AB的垂直平分線，則，所以；由于AB=AC，則，由三角形內角和定理得，則可求．
14．【答案】4
【知識點】通過函數(shù)圖象獲取信息
【解析】【解答】解：由圖象可得第二個人的速度為，
第一個人到達終點用時，此時第二個人跑了，
∴第二個人距離終點還剩，
故答案為：4．
【分析】
觀察圖象先求出第二個人的跑步速度，再乘以12秒，即可得出其與終點的距離．
15．【答案】
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：由題意可畫樹狀圖為：
由樹狀圖可知一共有4種等可能性的結果數(shù)，布袋里最后剩下的球是①號球的只有最后1種情況，
∴布袋里最后剩下的球是①號球的概率是，
故答案為：．
【分析】
兩步試驗可通過畫樹狀圖或列表法求概率，注意畫樹狀圖時要不重復不遺漏，列表時注意對角線欄目上是否填寫數(shù)據(jù)．
16．【答案】
【知識點】勾股定理；菱形的性質；矩形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】解：連接，過點作于點H，交于點，交于點，
∵菱形的周長和面積分別為12和6，
∴，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵折疊，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵折疊，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵折疊，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】
如圖，連接，過點作于點H，交于點，交于點，由題意得可得菱形邊長為3，高，由勾股定理求出，由菱形的性質以及折疊的性質可證明四邊形是矩形，以及四邊形為矩形，則，由平行線分線段成比例定理結合折疊可得，最后在中，由勾股定理即可求解．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知識點】整式的混合運算；實數(shù)的混合運算（含開方）
【解析】【分析】
（1）實數(shù)的運算，先利用絕對值，負整數(shù)指數(shù)冪，開立方化簡，再進行加減即可；
（2）整式的混合運算，先利用乘法公式分別計算出括號內的乘法算式，再合并同類項，最后再利用多項式除以單項式的運算法則計算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：
，
解得：；
（2）解：，
解得：，
經檢驗，是原方程的根，
∴原方程的根為．
【知識點】配方法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】
（1）當一元二次方程的二次項系數(shù)為1時可利用配方法求解，其步驟是先把常數(shù)項移至等號右邊，再給兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方化左邊為完全平方式，最后再開平方即可；
（2）解分式方程，先去分母化分式方程為整式方程，再解整式方程，再驗根，最后再寫根．
（1）解：
，
解得：；
（2）解：
，
解得：，
經檢驗，是原方程的根，
∴原方程的根為．
19．【答案】（1）1000
（2）解：由題意得類人數(shù)為（人），
則補全統(tǒng)計圖為：
（3）解：估計該鎮(zhèn)參加類項目的人數(shù)為（人）．
【知識點】扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；用樣本所占百分比估計總體數(shù)量
【解析】【解答】
（1）
解：由統(tǒng)計圖可知類人數(shù)為人，由扇形圖可知類占樣本的百分比為，
則本次抽樣的樣本容量是（人），
故答案為：；
【分析】
（1）觀察條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，可根據(jù)類人數(shù)和所占百分比可求出本次抽樣的樣本容量；
（2）根據(jù)樣本容量和其余類的人數(shù)求出類人數(shù)，然后補全條形統(tǒng)計圖即可；
（3）用該鎮(zhèn)居民總人數(shù)乘以類項目所占的百分比即可．
（1）解：由統(tǒng)計圖可知類人數(shù)為人，由扇形圖可知類占樣本的百分比為，
則本次抽樣的樣本容量是（人），
故答案為：；
（2）解：由題意得類人數(shù)為（人），
則補全統(tǒng)計圖為：
（3）解：估計該鎮(zhèn)參加類項目的人數(shù)為（人）．
20．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
設，則，
∴，
∴；
（2）解：如圖，過點作于點，
∵是斜邊上的中線，
∴，
設，則，
∵，
即，
解得：，
∴，
∴．
【知識點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線；解直角三角形—邊角關系；解直角三角形—構造直角三角形
【解析】【分析】
（1）先由銳角三角形函數(shù)的概念表示出AB與AC的數(shù)量關系，再分別設出AB與AC，再結合已知BC的長度應用勾股定理即可求解；
（2）如圖，可過點作于點構造直角三角形，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半先求出CD的長，此時可設，則，利用勾股定理建立關于的方程并求出，再求即可．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
設，則，
∴，
∴；
（2）解：如圖，過點作于點，
∵是斜邊上的中線，
∴，
設，則，
∵，
即，
解得：，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：①由題意得：，
②∵函數(shù)在上遞減，
∴當x=80時，函數(shù)值最小，此時，
∴y≥12500；
（2）解：由（1）可知：若工期要在80天內完成，則每天至少要運送12500立方米，
∴至少需要卡車：12500÷100=125輛；
【知識點】反比例函數(shù)的實際應用
【解析】【分析】（1）①直接利用待定系數(shù)法即可；
②對于反比例函數(shù)，當時，在每一個分支內，都隨的增大而減小；因此令，則可得；則當時，；
（2）直接用每天最低運輸量除以每輛卡車的載重量即可．
（1）解：①由題意得：，
②∵函數(shù)在上遞減，
∴當x=80時，函數(shù)值最小，此時，
∴y≥12500；
（2）解：由（1）可知：若工期要在80天內完成，則每天至少要運送12500立方米，
∴至少需要卡車：12500÷100=125輛；
22．【答案】（1）解：小濱的猜想正確，小江的猜想錯誤，理由如下：過點作，垂足為點，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形是中心對稱圖形，
∴，
∴，
∴與把該矩形分成面積相等的四部分，
故小濱的猜想正確；
如圖：過點作，垂足為點，
∵，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∵，但不一定全等，
∴不一定等于，
故不一定等于，
∴不一定等于，
∴與不一定把該矩形分成面積相等的四部分，
∴小江的猜想錯誤；
（2）在 中，過對角線交點的兩條直線交其各邊于點，，，若，則與把該平行四邊形分成面積相等的四部分．
【知識點】平行四邊形的性質；矩形的判定與性質；平行四邊形的面積；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】
（2）
解：寫出的真命題為：在 中，過對角線交點的兩條直線交其各邊于點，，，若，則與把該平行四邊形分成面積相等的四部分．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴與把該矩形分成面積相等的四部分．
【分析】
（1）如圖2所示，分別過點O作AB、AD的垂線段OT、OP，由于矩形的對角線互相平分且相等，則可證T、P分別為AB和AD的中點，由三角形中位線定理得OP等于AB的一半、OT等于AD的一半，則，同理，化比例式為等積式可得，則四邊形OEAG的面積等于三角形AOB的面積等于矩形ABCD面積的四分之一，故小濱說法正確；
由于，則可利用同角的余角相等結合垂直的概念證明，當且僅當相似比為1時才有，故不一定等于，即不一定等于，故小江的說法有誤；
（2）如圖3所示，由小濱的作法知，對于任意平行四邊形ABCD，經過對角線交點的直線EF和GH分別交四邊形的兩組對邊于點E、F、G、H ，若滿足，則EF與GH等分四邊形ABCD的面積．
（1）解：小濱的猜想正確，小江的猜想錯誤，理由如下：
過點作，垂足為點，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形是中心對稱圖形，
∴，
∴，
∴與把該矩形分成面積相等的四部分，
故小濱的猜想正確；
如圖：過點作，垂足為點，
∵，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∵，但不一定全等，
∴不一定等于，
故不一定等于，
∴不一定等于，
∴與不一定把該矩形分成面積相等的四部分，
∴小江的猜想錯誤；
（2）解：寫出的真命題為：在中，過對角線交點的兩條直線交該平行四邊形各邊于點，，，若，則與把該平行四邊形分成面積相等的四部分．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴與把該矩形分成面積相等的四部分．
23．【答案】（1）解：點在該函數(shù)的圖象上，理由如下：
當時，，
則點在該函數(shù)的圖象上；
（2）解：∵函數(shù)（為常數(shù)）圖象的頂點坐標是，
∴，，
∴，
∵為常數(shù)，
∴，
∴．
【知識點】二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質
【解析】【分析】
（1）計算當時的函數(shù)值是否等于即可判斷；
（2）對于二次函數(shù)，其頂點坐標為，即分別用含k的代數(shù)式表示出h和m，則h+m是關于k的二次函數(shù)，由于該二次函數(shù)的二次項系數(shù)為負，則h+m有最大值．
（1）解：點在該函數(shù)的圖象上，理由如下：
當時，，
則點在該函數(shù)的圖象上；
（2）解：∵函數(shù)（為常數(shù)）圖象的頂點坐標是，
∴，，
∴，
∵為常數(shù)，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：①連接，
設，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②在上取點，使得，連接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理
【解析】【分析】
（1）由于同弧所對的圓周角是圓心角的一半，即，因此可連接OD，由于AB是直徑且，則，再由鄰補角的概念求得的度數(shù)即可；
（2）①如圖，連接BD，為便于計算，可設，因為，則，由于，則由直角三角形兩銳互余得，，由三角形外角的性質得，則即可證明；
②如圖，在上取點，使得，連接，則垂直平分，那么，則，由外角性質可得，則，故，那么，而，再等量代換即可求證．
（1）解：連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：①連接，
設，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②在上取點，使得，連接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
1 / 1浙江省杭州市濱江2025年中考一模數(shù)學試卷
一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．
1．（2025·濱江模擬）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中對正負數(shù)已有記載．若收入元記為元，則支出元記為（　?。┰?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】正數(shù)、負數(shù)的實際應用；用正數(shù)、負數(shù)表示相反意義的量
【解析】【解答】解：若收入元記為元，
則支出元記為，
故選：A．
【分析】
正負數(shù)表示一對相反意義的量．
2．（2025·濱江模擬）每年的月日是全國愛眼日．為了解某初中學校名學生的視力情況，某興趣小組的同學制定了如下調查方案，最合理的是（　?。?br/>A．抽取八年級名女生進行調查
B．按學籍號隨機抽取名學生進行調查
C．抽取九年級名男生進行調查
D．按學籍號隨機抽取名學生進行調查
【答案】B
【知識點】抽樣調查的可靠性
【解析】【解答】解：A中，抽取八年級名女生進行調查不具有代表性，不符合題意．
B中，按學籍號隨機抽取名學生進行調查是隨機抽樣，符合題意；
C中，抽取九年級名男生進行調查不具有代表性，不符合題意．
D中，按學籍號隨機抽取名學生進行調查，樣本容量太小，不符合題意；
故選：B．
【分析】
為了獲取能夠客觀反映問題的結果，通常按照總體中每個個體都有相同的被抽取機會的原則抽取樣本，這種抽樣的方法叫做隨機抽樣．樣本的選取應具有隨機性、代表性、容量應足夠大．
3．（2025·濱江模擬）如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體是（　?。?br/>A．三棱柱 B．三棱錐 C．圓柱 D．圓錐
【答案】A
【知識點】由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：觀察可得，主視圖是長方形，俯視圖是長方形，左視圖是三角形，
所以這個幾何體是三棱柱，
故選：A．
【分析】
根據(jù)幾何體的三視圖確定出幾何體的名稱即可．
4．（2025·濱江模擬）如圖，以點為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，則點表示的數(shù)為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】無理數(shù)在數(shù)軸上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由題意得，
∵以點為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，
∴，
∴點表示的數(shù)為，
故選：C．
【分析】
先利用勾股定理求出，則，由于點B在原點右側，即點所表示的數(shù)為．
5．（2025·濱江模擬）節(jié)約用水，從我做起．小濱把自己家1月份至6月份的用水量繪制成如圖所示的折線圖．則小濱家這6個月用水量的中位數(shù)是（　?。﹪?br/>A．3.5 B．9 C．9.5 D．11
【答案】C
【知識點】折線統(tǒng)計圖；中位數(shù)
【解析】【解答】解：由折線統(tǒng)計圖可得6月份的用水量排列為：6，8，9，10，12，15，
則中位數(shù)為，
故選：C．
【分析】
找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．
6．（2025·濱江模擬）如圖，是的弦，是的切線，A為切點，經過圓心O，若，則的大小是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】圓周角定理；切線的性質；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：如圖，連接，
∵是的切線，A為切點，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：C．
【分析】
有切線，連半徑是解決圓的計算與證明的常用策略，故連接，則由切線的性質可得，再由圓周角定理得，然后利用直角三角形的兩個銳角互余求解即可．
7．（2025·濱江模擬）如圖，小區(qū)物業(yè)規(guī)劃在一個長，寬的矩形場地上，修建一個小型停車場，陰影部分為停車位所在區(qū)域，兩側是寬的道路，中間是寬的道路．如果陰影部分的總面積是，那么x滿足的方程是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵矩形場地的長為長，寬，且所修建停車位的兩側是寬x m的道路，中間是寬的道路，
∴停車位（即陰影部分）可合成長為，寬為的矩形．
根據(jù)題意，得，
化簡，得．
故選：A．
【分析】
先利用已知分別表示出陰影部分一個矩形的長和寬，再利用割補法表示出陰影部分的總面積是即可列出關于x的一元二次方程．
8．（2025·濱江模擬）如圖，在正方形中，，．現(xiàn)將該正方形先向右平移，使點與原點重合，再將所得正方形繞原點按逆時針方向旋轉，得到四邊形，則點的對應點的坐標是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】平移的性質；坐標與圖形變化﹣平移；旋轉的性質；坐標與圖形變化﹣旋轉
【解析】【解答】解：如圖，將正方形先向右平移，使點與原點重合，得到正方形，
其中，，，且，，
∵將所得正方形繞原點按逆時針方向旋轉，得到四邊形，
∴點與點重合，
∴點的坐標是，
故選：B．
【分析】
先確定出點A的坐標，由于平移前后對應點的連線平行且相等或在同一條直線上，因此可通過點B與原點是一對對應點可確定平移的方向和距離，從而可確定點A的對應點的坐標；由于旋轉的三要素是旋轉中心、旋轉角度和旋轉方向，則由旋轉的性質知點A`點C平移后的對應點重合．
9．（2025·濱江模擬）函數(shù)圖象上有兩點（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【知識點】反比例函數(shù)的性質；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函數(shù)圖象經過第二、四象限，且在每一個象限內，y隨著x的增大而增大，
A、時，則，則在第二象限，
∵y隨著x的增大而增大，
∴，故A錯誤，不符合題意；
B、可舉反例，若，則，則在第二象限，
∵y隨著x的增大而增大，
∴，故B錯誤，不符合題意；
C、可舉反例，若，則，則在第四象限，
∵y隨著x的增大而增大，
∴，故C錯誤，不符合題意；
D、若，則，則在第四象限，
∵y隨著x的增大而增大，
∴，故D錯誤，符合題意；
故選：D．
【分析】
對于反比例函數(shù)，當時，圖象在一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減?。划敃r，圖象在二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大．因此需要分類討論，即當時、當時或時分別進行判斷即可.
10．（2025·濱江模擬）如圖，是的直徑，，點為劣弧（不含端點）上一點，連接，分別交，于點．若的半徑為1，記，則下列代數(shù)式的值不變的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】勾股定理；圓周角定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：如圖，
∵是的直徑，，，
∴，，
設，
則，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故D符合題意，而A、B、C代數(shù)式的值均不能證明不變，故不符合題意，
故選：D．
【分析】
如圖，連接AC，可得，，由圓周角定理可得、則由三角形外角的性質可得，則可證明，由相似比可得，即，整理得．
二、填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分．
11．（2025·濱江模擬）分解因式：　 ?。?br/>【答案】
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：
．
【分析】
先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
12．（2025·濱江模擬）半徑為的中，圓心角所對的弧長為　 　．（結果保留）
【答案】
【知識點】弧長的計算
【解析】【解答】解：弧長為，
故答案為：．
【分析】
弧長公式．
13．（2025·濱江模擬）如圖，在中，，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線交于點D，連接，若，則　 　．
【答案】
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；尺規(guī)作圖-垂直平分線
【解析】【解答】解：，，
，
，
分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，作直線交于點連接，
是線段的垂直平分線，
，
，
．
故答案為：．
【分析】
由基本尺規(guī)作圖知，MN是AB的垂直平分線，則，所以；由于AB=AC，則，由三角形內角和定理得，則可求．
14．（2025·濱江模擬）甲、乙兩人在一次賽跑中，路程（米）與時間（秒）的關系如圖所示．當?shù)谝粋€人到達終點時，第二個人距離終點還剩　 　米．
【答案】4
【知識點】通過函數(shù)圖象獲取信息
【解析】【解答】解：由圖象可得第二個人的速度為，
第一個人到達終點用時，此時第二個人跑了，
∴第二個人距離終點還剩，
故答案為：4．
【分析】
觀察圖象先求出第二個人的跑步速度，再乘以12秒，即可得出其與終點的距離．
15．（2025·濱江模擬）一個不透明的布袋里裝有1個①號球和1個②號球，布袋外放有1個③號球，三個球除編號不同外，其余均相同．先從布袋中隨機摸出一個球，不放回，然后將③號球放入布袋中，搖勻，再從布袋中隨機摸出一個球，則布袋里最后剩下的球是①號球的概率是　 　．
【答案】
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：由題意可畫樹狀圖為：
由樹狀圖可知一共有4種等可能性的結果數(shù)，布袋里最后剩下的球是①號球的只有最后1種情況，
∴布袋里最后剩下的球是①號球的概率是，
故答案為：．
【分析】
兩步試驗可通過畫樹狀圖或列表法求概率，注意畫樹狀圖時要不重復不遺漏，列表時注意對角線欄目上是否填寫數(shù)據(jù)．
16．（2025·濱江模擬）如圖，在菱形中，為銳角，點，分別在邊，上，且滿足，．將菱形沿翻折，使點落在平面內的點處．若菱形的周長和面積分別為12和6，則　 　．
【答案】
【知識點】勾股定理；菱形的性質；矩形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】解：連接，過點作于點H，交于點，交于點，
∵菱形的周長和面積分別為12和6，
∴，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵折疊，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵折疊，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵折疊，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】
如圖，連接，過點作于點H，交于點，交于點，由題意得可得菱形邊長為3，高，由勾股定理求出，由菱形的性質以及折疊的性質可證明四邊形是矩形，以及四邊形為矩形，則，由平行線分線段成比例定理結合折疊可得，最后在中，由勾股定理即可求解．
三、解答題：本大題有8個小題，共72分．
17．（2025·濱江模擬）計算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知識點】整式的混合運算；實數(shù)的混合運算（含開方）
【解析】【分析】
（1）實數(shù)的運算，先利用絕對值，負整數(shù)指數(shù)冪，開立方化簡，再進行加減即可；
（2）整式的混合運算，先利用乘法公式分別計算出括號內的乘法算式，再合并同類項，最后再利用多項式除以單項式的運算法則計算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025·濱江模擬）解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
，
解得：；
（2）解：，
解得：，
經檢驗，是原方程的根，
∴原方程的根為．
【知識點】配方法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】
（1）當一元二次方程的二次項系數(shù)為1時可利用配方法求解，其步驟是先把常數(shù)項移至等號右邊，再給兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方化左邊為完全平方式，最后再開平方即可；
（2）解分式方程，先去分母化分式方程為整式方程，再解整式方程，再驗根，最后再寫根．
（1）解：
，
解得：；
（2）解：
，
解得：，
經檢驗，是原方程的根，
∴原方程的根為．
19．（2025·濱江模擬）為更好地了解居民健身項目，某鎮(zhèn)決定對該鎮(zhèn)居民進行一次抽樣調查．他們將居民日常健身項目分成三類：類：田徑；類：球類；類：游泳．現(xiàn)將調查結果繪制成如下統(tǒng)計圖，請結合下圖所給信息，回答下列問題：
（1）本次抽樣的樣本容量是______．
（2）補全條形統(tǒng)計圖．
（3）若該鎮(zhèn)居民大約有人，請估計該鎮(zhèn)參加類項目的人數(shù)．
【答案】（1）1000
（2）解：由題意得類人數(shù)為（人），
則補全統(tǒng)計圖為：
（3）解：估計該鎮(zhèn)參加類項目的人數(shù)為（人）．
【知識點】扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；用樣本所占百分比估計總體數(shù)量
【解析】【解答】
（1）
解：由統(tǒng)計圖可知類人數(shù)為人，由扇形圖可知類占樣本的百分比為，
則本次抽樣的樣本容量是（人），
故答案為：；
【分析】
（1）觀察條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，可根據(jù)類人數(shù)和所占百分比可求出本次抽樣的樣本容量；
（2）根據(jù)樣本容量和其余類的人數(shù)求出類人數(shù)，然后補全條形統(tǒng)計圖即可；
（3）用該鎮(zhèn)居民總人數(shù)乘以類項目所占的百分比即可．
（1）解：由統(tǒng)計圖可知類人數(shù)為人，由扇形圖可知類占樣本的百分比為，
則本次抽樣的樣本容量是（人），
故答案為：；
（2）解：由題意得類人數(shù)為（人），
則補全統(tǒng)計圖為：
（3）解：估計該鎮(zhèn)參加類項目的人數(shù)為（人）．
20．（2025·濱江模擬）如圖，在中，，若，．
（1）求的長．
（2）若是斜邊上的中線，求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
設，則，
∴，
∴；
（2）解：如圖，過點作于點，
∵是斜邊上的中線，
∴，
設，則，
∵，
即，
解得：，
∴，
∴．
【知識點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線；解直角三角形—邊角關系；解直角三角形—構造直角三角形
【解析】【分析】
（1）先由銳角三角形函數(shù)的概念表示出AB與AC的數(shù)量關系，再分別設出AB與AC，再結合已知BC的長度應用勾股定理即可求解；
（2）如圖，可過點作于點構造直角三角形，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半先求出CD的長，此時可設，則，利用勾股定理建立關于的方程并求出，再求即可．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
設，則，
∴，
∴；
（2）解：如圖，過點作于點，
∵是斜邊上的中線，
∴，
設，則，
∵，
即，
解得：，
∴，
∴．
21．（2025·濱江模擬）某市政府計劃建設一項水利工程，工程需要運送的土石方總量為立方米，某運輸公司承擔了運送土石方的任務．
（1）設該公司平均每天運送土石方總量為立方米，完成運送任務所需時間為天．
①求關于的函數(shù)表達式．
②若時，求的取值范圍．
（2）若1輛卡車每天可運送土石方立方米，工期要求在80天內完成，公司至少要安排多少輛相同型號卡車運輸？
【答案】（1）解：①由題意得：，
②∵函數(shù)在上遞減，
∴當x=80時，函數(shù)值最小，此時，
∴y≥12500；
（2）解：由（1）可知：若工期要在80天內完成，則每天至少要運送12500立方米，
∴至少需要卡車：12500÷100=125輛；
【知識點】反比例函數(shù)的實際應用
【解析】【分析】（1）①直接利用待定系數(shù)法即可；
②對于反比例函數(shù)，當時，在每一個分支內，都隨的增大而減??；因此令，則可得；則當時，；
（2）直接用每天最低運輸量除以每輛卡車的載重量即可．
（1）解：①由題意得：，
②∵函數(shù)在上遞減，
∴當x=80時，函數(shù)值最小，此時，
∴y≥12500；
（2）解：由（1）可知：若工期要在80天內完成，則每天至少要運送12500立方米，
∴至少需要卡車：12500÷100=125輛；
22．（2025·濱江模擬）如圖1，在正方形中，過對角線交點的兩條互相垂直的直線，交該正方形各邊于點．求證：與把該正方形分成面積相等的四部分．
小濱、小江在完成上述解答后，進一步思考，若將圖形一般化，是否也會有類似結論？兩位同學進行了如下探究．
（1）如圖2，在矩形中，過對角線交點的兩條直線交該矩形各邊于點，，．
小濱：若．則與把該矩形分成面積相等的四部分．
小江：若，則與把該矩形分成面積相等的四部分．
請判斷小濱、
是否正確，并說明理由．
（2）請仿照小濱、小江同學的探究過程，寫出一個類似的真命題：如圖3，在中，______．
【答案】（1）解：小濱的猜想正確，小江的猜想錯誤，理由如下：過點作，垂足為點，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形是中心對稱圖形，
∴，
∴，
∴與把該矩形分成面積相等的四部分，
故小濱的猜想正確；
如圖：過點作，垂足為點，
∵，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∵，但不一定全等，
∴不一定等于，
故不一定等于，
∴不一定等于，
∴與不一定把該矩形分成面積相等的四部分，
∴小江的猜想錯誤；
（2）在 中，過對角線交點的兩條直線交其各邊于點，，，若，則與把該平行四邊形分成面積相等的四部分．
【知識點】平行四邊形的性質；矩形的判定與性質；平行四邊形的面積；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】
（2）
解：寫出的真命題為：在 中，過對角線交點的兩條直線交其各邊于點，，，若，則與把該平行四邊形分成面積相等的四部分．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴與把該矩形分成面積相等的四部分．
【分析】
（1）如圖2所示，分別過點O作AB、AD的垂線段OT、OP，由于矩形的對角線互相平分且相等，則可證T、P分別為AB和AD的中點，由三角形中位線定理得OP等于AB的一半、OT等于AD的一半，則，同理，化比例式為等積式可得，則四邊形OEAG的面積等于三角形AOB的面積等于矩形ABCD面積的四分之一，故小濱說法正確；
由于，則可利用同角的余角相等結合垂直的概念證明，當且僅當相似比為1時才有，故不一定等于，即不一定等于，故小江的說法有誤；
（2）如圖3所示，由小濱的作法知，對于任意平行四邊形ABCD，經過對角線交點的直線EF和GH分別交四邊形的兩組對邊于點E、F、G、H ，若滿足，則EF與GH等分四邊形ABCD的面積．
（1）解：小濱的猜想正確，小江的猜想錯誤，理由如下：
過點作，垂足為點，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形是中心對稱圖形，
∴，
∴，
∴與把該矩形分成面積相等的四部分，
故小濱的猜想正確；
如圖：過點作，垂足為點，
∵，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∵，但不一定全等，
∴不一定等于，
故不一定等于，
∴不一定等于，
∴與不一定把該矩形分成面積相等的四部分，
∴小江的猜想錯誤；
（2）解：寫出的真命題為：在中，過對角線交點的兩條直線交該平行四邊形各邊于點，，，若，則與把該平行四邊形分成面積相等的四部分．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴與把該矩形分成面積相等的四部分．
23．（2025·濱江模擬）在平面直角坐標系中，函數(shù)（為常數(shù)）圖象的頂點坐標是．
（1）判斷點是否在該函數(shù)的圖象上，并說明理由．
（2）求證：．
【答案】（1）解：點在該函數(shù)的圖象上，理由如下：
當時，，
則點在該函數(shù)的圖象上；
（2）解：∵函數(shù)（為常數(shù)）圖象的頂點坐標是，
∴，，
∴，
∵為常數(shù)，
∴，
∴．
【知識點】二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質
【解析】【分析】
（1）計算當時的函數(shù)值是否等于即可判斷；
（2）對于二次函數(shù)，其頂點坐標為，即分別用含k的代數(shù)式表示出h和m，則h+m是關于k的二次函數(shù)，由于該二次函數(shù)的二次項系數(shù)為負，則h+m有最大值．
（1）解：點在該函數(shù)的圖象上，理由如下：
當時，，
則點在該函數(shù)的圖象上；
（2）解：∵函數(shù)（為常數(shù)）圖象的頂點坐標是，
∴，，
∴，
∵為常數(shù)，
∴，
∴．
24．（2025·濱江模擬）已知，是的弦，于點，且，連接．
（1）如圖1，若是的直徑，求的度數(shù)．
（2）如圖2，求證：①，②
【答案】（1）解：連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：①連接，
設，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②在上取點，使得，連接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理
【解析】【分析】
（1）由于同弧所對的圓周角是圓心角的一半，即，因此可連接OD，由于AB是直徑且，則，再由鄰補角的概念求得的度數(shù)即可；
（2）①如圖，連接BD，為便于計算，可設，因為，則，由于，則由直角三角形兩銳互余得，，由三角形外角的性質得，則即可證明；
②如圖，在上取點，使得，連接，則垂直平分，那么，則，由外角性質可得，則，故，那么，而，再等量代換即可求證．
（1）解：連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：①連接，
設，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②在上取點，使得，連接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
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