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廣東省云浮市新興縣2025年中考一模數學試題
1．（2025·新興模擬）據廣東氣象臺發布，2024年廣東高寒山區最低溫度為℃．下列四個數中，比小的數是（　　）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【知識點】有理數的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：A.，故該選項不符合題意；
B.，故該選項不符合題意；
C.，故該選項不符合題意；
D.，故該選項符合題意；
故選：D．
【分析】
負數比較大小，絕對值大的反而小．
2．（2025·新興模擬）下列字母不屬于軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：選項A、B、D均能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對稱圖形；
選項C不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對稱圖形；
故選：C．
【分析】
一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫它的對稱軸．
3．（2025·新興模擬）若是關于的一元一次方程的解，則的值為（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【知識點】已知一元一次方程的解求參數
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故選：D．
【分析】
由一元一次方程解的概念可把代入方程，再解關于m的一元一次方程即可．
4．（2025·新興模擬）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】同底數冪的乘法；多項式除以單項式；合并同類項法則及應用；積的乘方運算
【解析】【解答】解：A.與不能計算，故此選項錯誤，不符合題意；
B.，故此選項錯誤，不符合題意；
C.，計算正確，符合題意；
D.，故此選項錯誤，不符合題意；
故選：C．
【分析】
A、把包含字母相同、相同字母的指數也相同的單項式叫同類項，只有同類項才可以合并，合并同類項時，只把系數相加減，字母與字母的指數都不變；
B、同底數冪相乘，底數不變，指數相加；
C、多項式除以單項式，用多項式的每一項去除以單項式，并把所得的商相加；
D、積的乘方，先給每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．
5．（2025·新興模擬）不等式組的解集為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式組的解集是；
故選：B.
【分析】
先求出不等式組中的每個不等式的解集，再按照“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中間、大于大的且小于小的無解”取其解集的公共部分即可得解.
6．（2025·新興模擬）如圖，是的直徑，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】圓周角定理；鄰補角
【解析】【解答】解：，
，
．
故選：A．
【分析】
先由鄰補角的概念求得的度數，再由圓周角定理求出即可．
7．（2025·新興模擬）已知點在反比例函數的圖象上，則的大小關系為（　　）
A． B．
C． D．無法比較大小
【答案】A
【知識點】反比例函數的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函數在二、四象限，且在每一象限內，y隨x的增大而增大，
∵，
∴；
故選：A.
【分析】
對于反比例函數，其在每一象限內，y都隨x的增大而增大.
8．（2025·新興模擬）如圖，在中，是的平分線，延長交的延長線于點．若，，則的長為（　　）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【知識點】等腰三角形的判定與性質；平行四邊形的性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：∵四邊形是平行四邊形
∴，，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【分析】
由平行四邊形的性質可得，，則；由角平分線的定義可得，等量代換得，即．
9．（2025·新興模擬）在學校即將舉辦的一場盛大的校園文化節活動中，學校的文藝部計劃從甲、乙、丙、丁四人中隨機選擇兩人擔任本次文化節的主持人，則選中甲和丙的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：畫樹狀圖如下：
∵共有12種等可能性的結果，恰好選中甲和丙的有2種，
∴恰好選中甲和丙的概率是．
故選：B．
【分析】
兩步試驗可利用列表法或樹狀圖法求概率，注意畫樹狀圖時要保證不重復不遺漏，列表時注意對角線欄目上是否填寫數據．
10．（2025·新興模擬）二次函數與一次函數在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：拋物線的對稱軸為直線，對稱軸在軸左側，
A和B選項不正確；
時，拋物線開口向下，一次函數經過第二、三、四象限，與軸正半軸的交于點，
C選項不正確；
時，拋物線開口向上，一次函數經過第一、二、三象限，與軸正半軸的交于點，
D選項正確．
故選：D．
【分析】
對于二次函數，當二次項系數為正時，拋物線開口向上，反之開口向下；當同號時，對稱軸在軸左側，反之，對稱軸在軸右側，當時，對稱軸為軸；當時，拋物線經過原點；對于一次函數，當、時，直線過一、二、三象限；當、時，直線過一、三象限且過原點；當、時，直線過一、三、四象限；當、時，直線過一、二、四象限；當、時，直線過二、四象限且過原點；當、時，直線過二、三、四象限；所以要分和兩種情況討論．
11．（2025·新興模擬）單項式的次數是　 　．
【答案】4
【知識點】單項式的次數與系數
【解析】【解答】解：單項式的次數是，
故答案為：．
【分析】
單項式中的數字因數叫做單項式的系數，一個單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數．
12．（2025·新興模擬）分式方程的解為　 　．
【答案】
【知識點】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
解得：，
檢驗：當時，，
∴原方程的解為．
故答案為：
【分析】
解分式方程的一般步驟是，先去分母，化分式方程為整式方程，再解出整式方程，然后檢驗，最后再寫根．
13．（2025·新興模擬）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是　 　．
【答案】
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，即，
解得：，
故答案為：．
【分析】利用一元二次方程根的判別式列出不等式求解即可。
14．（2025·新興模擬）如圖，這是用卡鉗測量一個集氣瓶的內徑的截面圖．若，，，則該集氣瓶的內徑的長為　 　．
【答案】9
【知識點】相似三角形的應用；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：相交于點，
，
又，
，
故，
又，
故，
故答案為：9．
【分析】
由兩邊對應成比例且夾角相等可證明，再由相似比求解即可．
15．（2025·新興模擬）如圖，在菱形中，，分別是邊，上的動點，連接，，，分別為，的中點，連接．若，，則的最小值為　 　．
【答案】
【知識點】垂線段最短及其應用；勾股定理；菱形的性質；等腰直角三角形；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：如圖，連接，
∵，分別為，的中點，
，
當有最小值時，有最小值，
當時，有最小值，
四邊形是菱形，
，，
當時，，
的最小值，
的最小值為．
故答案為：．
【分析】
連接AN，由三角形中位線定理可得，則當有最小值時，有最小值，顯然當時，有最小值，此時由等腰直角三角形的性質求出即可求解．
16．（2025·新興模擬）計算：．
【答案】解：
．
【知識點】負整數指數冪；實數的混合運算（含開方）；特殊角的三角函數的混合運算
【解析】【分析】實數的混合運算，先分別計算負整數指數冪，立方根，絕對值，特殊角的三角函數值，再進行加減運算即可．
17．（2025·新興模擬）如圖，是的角平分線．
（1）尺規作圖：作的垂直平分線，交于點，交于點，交于點（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）在（1）的條件下，求證：．
【答案】（1）解：如下圖所示即為所求，
（2）證明：是的角平分線，
，
垂直平分，交于點，
，
又，
，
．
【知識點】線段垂直平分線的性質；三角形全等的判定-ASA；角平分線的概念；尺規作圖-垂直平分線；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】
（1）分別以點和為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于兩點，過兩點作直線即可；
（2）由角平分線的概念和垂直平分線的性質可得，，又，可利用ASA證明，則．
（1）解：如下圖所示即為所求，
（2）證明：是的角平分線，
，
垂直平分，交于點，
，
又，
，
．
18．（2025·新興模擬）如圖，某一海域有4個海島A，B，C，D，海島C在海島A的正東方向，海島D位于海島A北偏東方向上，海島B位于海島A南偏東方向上，海島C位于海島B北偏東方向上，海島C位于海島D南偏東方向上，海島A和海島B之間的距離為40海里．
（1）求海島A和海島C之間的距離．（結果保留根號）
（2）一艘船從海島A出發，以每小時40海里的速度沿方向前往海島D處運送物資．求該船到達海島D處所用的時間．（結果保留根號）
【答案】（1）解：過點作于點，如圖，
∴，
根據題意得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵海里，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴海里；
（2）解：根據題意得，，
∴是直角三角形，
又，
在中，，
∴海里，
∴該船到達海島D處所用的時間時．
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣方向角問題；解直角三角形—邊角關系；勾股定理的實際應用-（行駛、航行）方向問題
【解析】【分析】
（1）過點作于點，可得是等腰直角三角形，解得，再解求出即可；
（2）先證明是直角三角形，再解求出的長，再根據時間=路程÷速度可得答案．
（1）解：過點作于點，如圖，
∴，
根據題意得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵海里，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴海里；
（2）解：根據題意得，，
∴是直角三角形，
又，
在中，，
∴海里，
∴該船到達海島D處所用的時間時．
19．（2025·新興模擬）為了深入學習貫徹黨的二十屆三中全會精神，某校舉行了“學三中全會精神，做新時代好少年”為主題的知識競賽．現從八、九年級學生中各隨機抽取10名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績用表示，共分成四組：；；；），現在給出了部分信息如下：
八年級10名學生的競賽成績在組中的數據：93，94，95．
九年級10名學生的競賽成績：81，83，85，89，90，95，99，99，99，100．
抽取的八年級學生競賽成績扇形統計圖
抽取的八、九年級學生競賽成績統計表
年級 八年級 九年級
平均數 92 92
中位數 92.5
眾數 100
根據以上信息，解答下列問題．
（1）填空：______，______，______．
（2）根據以上數據，你認為該校八、九年級中抽取的哪個年級的學生對三中全會知識的掌握程度更好？請說明理由．（寫出一條即可）
（3）若該校八、九年級各有300名學生參加了此次競賽，請估計該校參加此次競賽成績（）為優秀的學生總人數．
【答案】（1），，
（2）解：八年級抽取的學生對三中全會知識的掌握程度更好，
理由：八年級抽取的學生競賽成績的中位數大于九年級抽取的學生競賽成績的中位數；
（3）解：（名），
答：此次競賽成績為優秀的學生的總人數約是240名．
【知識點】扇形統計圖；中位數；分析數據的集中趨勢（平均數、中位數、眾數）；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】（1）解：依題意，，
，
八年級組的有2人，組的有1人，組有3人，
將這10人的成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數是94，95，
因此中位數，
九年級生的競賽成績中99分的最多，則眾數；
【分析】
（1）觀察扇形和統計表，可用1減去其它組的百分比即可求出的值，根據中位數、眾數的計算方法進行計算即可求出和的值；
（2）求中位數，先對八年級所有數據按照從小到大的順序排列，再取第5名和第6名成績的平均值；九年級的眾數，是九年級10名學生中成績出現次數最多的哪個數據，即99；然后再比較中位數、眾數的大小得出答案；
（3）根據樣本中八、九年級優秀人數所占的百分比即可求解．
（1）解：依題意，，
，
八年級組的有2人，組的有1人，組有3人，
將這10人的成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數是94，95，
因此中位數，
九年級生的競賽成績中99分的最多，則眾數；
（2）解：八年級抽取的學生對三中全會知識的掌握程度更好，
理由：八年級抽取的學生競賽成績的中位數大于九年級抽取的學生競賽成績的中位數，（理由不唯一，合理即可）；
（3）解：（名），
答：此次競賽成績為優秀的學生的總人數約是240名．
20．（2025·新興模擬）某工廠有甲、乙兩個車間，甲車間生產產品，乙車間生產產品．已知銷售產品件，產品件，共收入元；銷售產品件，產品件，共收入元．
（1）求，兩種產品的銷售單價．
（2）若該工廠銷售，兩種產品共件，總收入不超過元，則最少要銷售產品多少件？
【答案】（1）解：設產品每件銷售元，產品每件銷售元，根據題意得：
，
解得：，
答：產品每件銷售元，產品每件銷售元．
（2）解：設銷售產品件，則銷售產品件，根據題意得：
，
解得：，
答：最少要銷售產品件．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】
（1）設產品每件銷售元，產品每件銷售元，根據銷售產品件，產品件，共收入元；如果銷售產品件，產品件，共收入元，列出方程組，解方程組即可；
（2）設銷售產品件，則銷售產品件，根據銷售、兩種產品總費用不超過元列出不等式，解不等式即可．
（1）解：設產品每件銷售元，產品每件銷售元，根據題意得：
，
解得：，
答：產品每件銷售元，產品每件銷售元．
（2）解：設銷售產品件，則銷售產品件，根據題意得：
，
解得：，
答：最少要銷售產品件．
21．（2025·新興模擬）綜合與實踐
主題：二次函數與剎車距離的探究
素材1 如圖，剎車距離是指車輛在行駛過程中，從駕駛員開始踩下剎車踏板到車輛完全停止時，所行駛的距離．
素材2 在汽車行駛安全研究中，汽車的剎車距離是重要的研究指標．經大量實驗和數據分析，發現某品牌汽車的剎車距離（單位：米）與剎車時汽車的速度（單位：千米/小時）之間存在二次函數關系．
素材3 當汽車的速度為0千米/小時，剎車距離為0米；當汽車的速度為40千米/小時，剎車距離為16米；當汽車的速度為60千米/小時，剎車距離為30米．
請根據上述素材，解答下列問題．
（1）求與的二次函數關系式．
（2）在高速公路上，一輛該品牌汽車前方70米處突然出現落石，為了避免撞到該落石，汽車剎車時的速度不能超過多少？（不考慮汽車變道和司機的反應時間）
【答案】（1）解：由題意，設剎車距離與速度的二次函數關系為，∵當時，
∴．
∴．
又 ∵當時，；當時，，
∴．
∴．
∴解析式為．
（2）解：由題意，∵要求剎車距離不超過 70米，
∴令．
∴．
∴解得正根（負根舍去）．
∴剎車時速度不能超過．
【知識點】配方法解一元二次方程；待定系數法求二次函數解析式；二次函數的其他應用
【解析】【分析】
（1）依據題意，設剎車距離與速度的二次函數關系為，再利用待定系數法求解即可；
（2）依據題意，可得要求剎車距離不超過，從而結合（1）可令，故，求出后即可判斷得解．
（1）解：由題意，設剎車距離與速度的二次函數關系為，
∵當時，
∴．
∴．
又 ∵當時，；當時，，
∴．
∴．
∴解析式為．
（2）解：由題意，∵要求剎車距離不超過 70米，
∴令．
∴．
∴解得正根（負根舍去）．
∴剎車時速度不能超過．
22．（2025·新興模擬）如圖，是正方形的外接圓．
（1）如圖1，若是上的一點，Q是上的一點，且．
①求證：．
②若，求的直徑．
（2）如圖2，若點P在上，過點作，求證：．
【答案】（1）①證明：∵，∴，
又∵，在正方形中，，
∴，
∴，
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如圖，連接，
∵，
∴是直徑，
∴，
又∵，
∴
（2）證明：如圖2，過點作，交于點
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
、
∵，
∴．
【知識點】勾股定理；正方形的性質；圓周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】
（1）①由圓周角定理知，則由正方形的四邊相等結合已知DQ=BP，可利用SAS證明即可；
② 由可證明，則由勾股定理可求出，則；由于正方形中，連接BD，則BD為的直徑，再在中應用勾股定理即可．
（2）同①，可過點作交于點，則可利用ASA證明，可得，即為等腰直角三角形，再由等腰三角形三線合一知AH是斜邊PQ上的中線，最后再等量代換即可得出結論．
（1）①證明：∵，
∴，
又∵，在正方形中，，
∴，
∴，
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如圖，連接，
∵，
∴是直徑，
∴，
又∵，
∴
（2）證明：如圖2，連接，過點作，交于點
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，即：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．（2025·新興模擬）【模型建立】
如圖1，三個直角三角形的直角頂點都在同一條直線上，這一模型叫作“一線三垂直”型．這種模型是證明三角形全等的常見模型，在數學解題中被廣泛使用．如圖，一次函數的圖象與軸、軸分別交于兩點．
【模型探索】
（1）如圖2，求證：是等腰直角三角形．
（2）如圖3，是直線上的兩動點，連接．若，求的長的最小值．
【模型應用】
（3）如圖4，經過點的直線與軸交于點，為線段上的一點，作射線．若，求直線的函數解析式．
【答案】（1）證明：對于，
當時，，當時，，
即點、的坐標分別為：、，
，
為直角，
是等腰直角三角形；
（2）解：如圖，當時，最小，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
即的長的最小值為8；
（3）解：如圖，過點作于點，過點作軸交于點，交過點和軸的平行線于點，
，
為等腰直角三角形，，
同（2）中原理可得，，
，
四邊形為矩形，
，
當時，，
，即，
設，
，，
根據，，
可得，
解得：，即點，
設直線的解析式為
把代入可得，
解得，
所以直線的解析式為．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；三角形全等及其性質；同側一線三垂直全等模型；一次函數中的線段周長問題；一次函數中的角度問題
【解析】【分析】
（1）對于，當時，；當時，，即，又，故結論成立；
（2）由“一線三垂直”模型知，，則，即可求解；
（3）如圖，過點作于點，過點作軸交于點，交過點和軸的平行線于點，由“一線三垂直”模型知，，設點，則，，即且，解得：，即點，進而求解．
1 / 1廣東省云浮市新興縣2025年中考一模數學試題
1．（2025·新興模擬）據廣東氣象臺發布，2024年廣東高寒山區最低溫度為℃．下列四個數中，比小的數是（　　）
A．1 B．0 C． D．
2．（2025·新興模擬）下列字母不屬于軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·新興模擬）若是關于的一元一次方程的解，則的值為（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．（2025·新興模擬）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·新興模擬）不等式組的解集為（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·新興模擬）如圖，是的直徑，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·新興模擬）已知點在反比例函數的圖象上，則的大小關系為（　　）
A． B．
C． D．無法比較大小
8．（2025·新興模擬）如圖，在中，是的平分線，延長交的延長線于點．若，，則的長為（　　）
A．12 B．15 C．18 D．21
9．（2025·新興模擬）在學校即將舉辦的一場盛大的校園文化節活動中，學校的文藝部計劃從甲、乙、丙、丁四人中隨機選擇兩人擔任本次文化節的主持人，則選中甲和丙的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·新興模擬）二次函數與一次函數在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·新興模擬）單項式的次數是　 　．
12．（2025·新興模擬）分式方程的解為　 　．
13．（2025·新興模擬）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是　 　．
14．（2025·新興模擬）如圖，這是用卡鉗測量一個集氣瓶的內徑的截面圖．若，，，則該集氣瓶的內徑的長為　 　．
15．（2025·新興模擬）如圖，在菱形中，，分別是邊，上的動點，連接，，，分別為，的中點，連接．若，，則的最小值為　 　．
16．（2025·新興模擬）計算：．
17．（2025·新興模擬）如圖，是的角平分線．
（1）尺規作圖：作的垂直平分線，交于點，交于點，交于點（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）在（1）的條件下，求證：．
18．（2025·新興模擬）如圖，某一海域有4個海島A，B，C，D，海島C在海島A的正東方向，海島D位于海島A北偏東方向上，海島B位于海島A南偏東方向上，海島C位于海島B北偏東方向上，海島C位于海島D南偏東方向上，海島A和海島B之間的距離為40海里．
（1）求海島A和海島C之間的距離．（結果保留根號）
（2）一艘船從海島A出發，以每小時40海里的速度沿方向前往海島D處運送物資．求該船到達海島D處所用的時間．（結果保留根號）
19．（2025·新興模擬）為了深入學習貫徹黨的二十屆三中全會精神，某校舉行了“學三中全會精神，做新時代好少年”為主題的知識競賽．現從八、九年級學生中各隨機抽取10名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績用表示，共分成四組：；；；），現在給出了部分信息如下：
八年級10名學生的競賽成績在組中的數據：93，94，95．
九年級10名學生的競賽成績：81，83，85，89，90，95，99，99，99，100．
抽取的八年級學生競賽成績扇形統計圖
抽取的八、九年級學生競賽成績統計表
年級 八年級 九年級
平均數 92 92
中位數 92.5
眾數 100
根據以上信息，解答下列問題．
（1）填空：______，______，______．
（2）根據以上數據，你認為該校八、九年級中抽取的哪個年級的學生對三中全會知識的掌握程度更好？請說明理由．（寫出一條即可）
（3）若該校八、九年級各有300名學生參加了此次競賽，請估計該校參加此次競賽成績（）為優秀的學生總人數．
20．（2025·新興模擬）某工廠有甲、乙兩個車間，甲車間生產產品，乙車間生產產品．已知銷售產品件，產品件，共收入元；銷售產品件，產品件，共收入元．
（1）求，兩種產品的銷售單價．
（2）若該工廠銷售，兩種產品共件，總收入不超過元，則最少要銷售產品多少件？
21．（2025·新興模擬）綜合與實踐
主題：二次函數與剎車距離的探究
素材1 如圖，剎車距離是指車輛在行駛過程中，從駕駛員開始踩下剎車踏板到車輛完全停止時，所行駛的距離．
素材2 在汽車行駛安全研究中，汽車的剎車距離是重要的研究指標．經大量實驗和數據分析，發現某品牌汽車的剎車距離（單位：米）與剎車時汽車的速度（單位：千米/小時）之間存在二次函數關系．
素材3 當汽車的速度為0千米/小時，剎車距離為0米；當汽車的速度為40千米/小時，剎車距離為16米；當汽車的速度為60千米/小時，剎車距離為30米．
請根據上述素材，解答下列問題．
（1）求與的二次函數關系式．
（2）在高速公路上，一輛該品牌汽車前方70米處突然出現落石，為了避免撞到該落石，汽車剎車時的速度不能超過多少？（不考慮汽車變道和司機的反應時間）
22．（2025·新興模擬）如圖，是正方形的外接圓．
（1）如圖1，若是上的一點，Q是上的一點，且．
①求證：．
②若，求的直徑．
（2）如圖2，若點P在上，過點作，求證：．
23．（2025·新興模擬）【模型建立】
如圖1，三個直角三角形的直角頂點都在同一條直線上，這一模型叫作“一線三垂直”型．這種模型是證明三角形全等的常見模型，在數學解題中被廣泛使用．如圖，一次函數的圖象與軸、軸分別交于兩點．
【模型探索】
（1）如圖2，求證：是等腰直角三角形．
（2）如圖3，是直線上的兩動點，連接．若，求的長的最小值．
【模型應用】
（3）如圖4，經過點的直線與軸交于點，為線段上的一點，作射線．若，求直線的函數解析式．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】有理數的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：A.，故該選項不符合題意；
B.，故該選項不符合題意；
C.，故該選項不符合題意；
D.，故該選項符合題意；
故選：D．
【分析】
負數比較大小，絕對值大的反而小．
2．【答案】C
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：選項A、B、D均能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對稱圖形；
選項C不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對稱圖形；
故選：C．
【分析】
一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫它的對稱軸．
3．【答案】D
【知識點】已知一元一次方程的解求參數
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故選：D．
【分析】
由一元一次方程解的概念可把代入方程，再解關于m的一元一次方程即可．
4．【答案】C
【知識點】同底數冪的乘法；多項式除以單項式；合并同類項法則及應用；積的乘方運算
【解析】【解答】解：A.與不能計算，故此選項錯誤，不符合題意；
B.，故此選項錯誤，不符合題意；
C.，計算正確，符合題意；
D.，故此選項錯誤，不符合題意；
故選：C．
【分析】
A、把包含字母相同、相同字母的指數也相同的單項式叫同類項，只有同類項才可以合并，合并同類項時，只把系數相加減，字母與字母的指數都不變；
B、同底數冪相乘，底數不變，指數相加；
C、多項式除以單項式，用多項式的每一項去除以單項式，并把所得的商相加；
D、積的乘方，先給每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．
5．【答案】B
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式組的解集是；
故選：B.
【分析】
先求出不等式組中的每個不等式的解集，再按照“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中間、大于大的且小于小的無解”取其解集的公共部分即可得解.
6．【答案】A
【知識點】圓周角定理；鄰補角
【解析】【解答】解：，
，
．
故選：A．
【分析】
先由鄰補角的概念求得的度數，再由圓周角定理求出即可．
7．【答案】A
【知識點】反比例函數的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函數在二、四象限，且在每一象限內，y隨x的增大而增大，
∵，
∴；
故選：A.
【分析】
對于反比例函數，其在每一象限內，y都隨x的增大而增大.
8．【答案】C
【知識點】等腰三角形的判定與性質；平行四邊形的性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：∵四邊形是平行四邊形
∴，，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【分析】
由平行四邊形的性質可得，，則；由角平分線的定義可得，等量代換得，即．
9．【答案】B
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：畫樹狀圖如下：
∵共有12種等可能性的結果，恰好選中甲和丙的有2種，
∴恰好選中甲和丙的概率是．
故選：B．
【分析】
兩步試驗可利用列表法或樹狀圖法求概率，注意畫樹狀圖時要保證不重復不遺漏，列表時注意對角線欄目上是否填寫數據．
10．【答案】D
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：拋物線的對稱軸為直線，對稱軸在軸左側，
A和B選項不正確；
時，拋物線開口向下，一次函數經過第二、三、四象限，與軸正半軸的交于點，
C選項不正確；
時，拋物線開口向上，一次函數經過第一、二、三象限，與軸正半軸的交于點，
D選項正確．
故選：D．
【分析】
對于二次函數，當二次項系數為正時，拋物線開口向上，反之開口向下；當同號時，對稱軸在軸左側，反之，對稱軸在軸右側，當時，對稱軸為軸；當時，拋物線經過原點；對于一次函數，當、時，直線過一、二、三象限；當、時，直線過一、三象限且過原點；當、時，直線過一、三、四象限；當、時，直線過一、二、四象限；當、時，直線過二、四象限且過原點；當、時，直線過二、三、四象限；所以要分和兩種情況討論．
11．【答案】4
【知識點】單項式的次數與系數
【解析】【解答】解：單項式的次數是，
故答案為：．
【分析】
單項式中的數字因數叫做單項式的系數，一個單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數．
12．【答案】
【知識點】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
解得：，
檢驗：當時，，
∴原方程的解為．
故答案為：
【分析】
解分式方程的一般步驟是，先去分母，化分式方程為整式方程，再解出整式方程，然后檢驗，最后再寫根．
13．【答案】
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，即，
解得：，
故答案為：．
【分析】利用一元二次方程根的判別式列出不等式求解即可。
14．【答案】9
【知識點】相似三角形的應用；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：相交于點，
，
又，
，
故，
又，
故，
故答案為：9．
【分析】
由兩邊對應成比例且夾角相等可證明，再由相似比求解即可．
15．【答案】
【知識點】垂線段最短及其應用；勾股定理；菱形的性質；等腰直角三角形；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：如圖，連接，
∵，分別為，的中點，
，
當有最小值時，有最小值，
當時，有最小值，
四邊形是菱形，
，，
當時，，
的最小值，
的最小值為．
故答案為：．
【分析】
連接AN，由三角形中位線定理可得，則當有最小值時，有最小值，顯然當時，有最小值，此時由等腰直角三角形的性質求出即可求解．
16．【答案】解：
．
【知識點】負整數指數冪；實數的混合運算（含開方）；特殊角的三角函數的混合運算
【解析】【分析】實數的混合運算，先分別計算負整數指數冪，立方根，絕對值，特殊角的三角函數值，再進行加減運算即可．
17．【答案】（1）解：如下圖所示即為所求，
（2）證明：是的角平分線，
，
垂直平分，交于點，
，
又，
，
．
【知識點】線段垂直平分線的性質；三角形全等的判定-ASA；角平分線的概念；尺規作圖-垂直平分線；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】
（1）分別以點和為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于兩點，過兩點作直線即可；
（2）由角平分線的概念和垂直平分線的性質可得，，又，可利用ASA證明，則．
（1）解：如下圖所示即為所求，
（2）證明：是的角平分線，
，
垂直平分，交于點，
，
又，
，
．
18．【答案】（1）解：過點作于點，如圖，
∴，
根據題意得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵海里，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴海里；
（2）解：根據題意得，，
∴是直角三角形，
又，
在中，，
∴海里，
∴該船到達海島D處所用的時間時．
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣方向角問題；解直角三角形—邊角關系；勾股定理的實際應用-（行駛、航行）方向問題
【解析】【分析】
（1）過點作于點，可得是等腰直角三角形，解得，再解求出即可；
（2）先證明是直角三角形，再解求出的長，再根據時間=路程÷速度可得答案．
（1）解：過點作于點，如圖，
∴，
根據題意得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵海里，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴海里；
（2）解：根據題意得，，
∴是直角三角形，
又，
在中，，
∴海里，
∴該船到達海島D處所用的時間時．
19．【答案】（1），，
（2）解：八年級抽取的學生對三中全會知識的掌握程度更好，
理由：八年級抽取的學生競賽成績的中位數大于九年級抽取的學生競賽成績的中位數；
（3）解：（名），
答：此次競賽成績為優秀的學生的總人數約是240名．
【知識點】扇形統計圖；中位數；分析數據的集中趨勢（平均數、中位數、眾數）；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】（1）解：依題意，，
，
八年級組的有2人，組的有1人，組有3人，
將這10人的成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數是94，95，
因此中位數，
九年級生的競賽成績中99分的最多，則眾數；
【分析】
（1）觀察扇形和統計表，可用1減去其它組的百分比即可求出的值，根據中位數、眾數的計算方法進行計算即可求出和的值；
（2）求中位數，先對八年級所有數據按照從小到大的順序排列，再取第5名和第6名成績的平均值；九年級的眾數，是九年級10名學生中成績出現次數最多的哪個數據，即99；然后再比較中位數、眾數的大小得出答案；
（3）根據樣本中八、九年級優秀人數所占的百分比即可求解．
（1）解：依題意，，
，
八年級組的有2人，組的有1人，組有3人，
將這10人的成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數是94，95，
因此中位數，
九年級生的競賽成績中99分的最多，則眾數；
（2）解：八年級抽取的學生對三中全會知識的掌握程度更好，
理由：八年級抽取的學生競賽成績的中位數大于九年級抽取的學生競賽成績的中位數，（理由不唯一，合理即可）；
（3）解：（名），
答：此次競賽成績為優秀的學生的總人數約是240名．
20．【答案】（1）解：設產品每件銷售元，產品每件銷售元，根據題意得：
，
解得：，
答：產品每件銷售元，產品每件銷售元．
（2）解：設銷售產品件，則銷售產品件，根據題意得：
，
解得：，
答：最少要銷售產品件．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】
（1）設產品每件銷售元，產品每件銷售元，根據銷售產品件，產品件，共收入元；如果銷售產品件，產品件，共收入元，列出方程組，解方程組即可；
（2）設銷售產品件，則銷售產品件，根據銷售、兩種產品總費用不超過元列出不等式，解不等式即可．
（1）解：設產品每件銷售元，產品每件銷售元，根據題意得：
，
解得：，
答：產品每件銷售元，產品每件銷售元．
（2）解：設銷售產品件，則銷售產品件，根據題意得：
，
解得：，
答：最少要銷售產品件．
21．【答案】（1）解：由題意，設剎車距離與速度的二次函數關系為，∵當時，
∴．
∴．
又 ∵當時，；當時，，
∴．
∴．
∴解析式為．
（2）解：由題意，∵要求剎車距離不超過 70米，
∴令．
∴．
∴解得正根（負根舍去）．
∴剎車時速度不能超過．
【知識點】配方法解一元二次方程；待定系數法求二次函數解析式；二次函數的其他應用
【解析】【分析】
（1）依據題意，設剎車距離與速度的二次函數關系為，再利用待定系數法求解即可；
（2）依據題意，可得要求剎車距離不超過，從而結合（1）可令，故，求出后即可判斷得解．
（1）解：由題意，設剎車距離與速度的二次函數關系為，
∵當時，
∴．
∴．
又 ∵當時，；當時，，
∴．
∴．
∴解析式為．
（2）解：由題意，∵要求剎車距離不超過 70米，
∴令．
∴．
∴解得正根（負根舍去）．
∴剎車時速度不能超過．
22．【答案】（1）①證明：∵，∴，
又∵，在正方形中，，
∴，
∴，
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如圖，連接，
∵，
∴是直徑，
∴，
又∵，
∴
（2）證明：如圖2，過點作，交于點
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
、
∵，
∴．
【知識點】勾股定理；正方形的性質；圓周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】
（1）①由圓周角定理知，則由正方形的四邊相等結合已知DQ=BP，可利用SAS證明即可；
② 由可證明，則由勾股定理可求出，則；由于正方形中，連接BD，則BD為的直徑，再在中應用勾股定理即可．
（2）同①，可過點作交于點，則可利用ASA證明，可得，即為等腰直角三角形，再由等腰三角形三線合一知AH是斜邊PQ上的中線，最后再等量代換即可得出結論．
（1）①證明：∵，
∴，
又∵，在正方形中，，
∴，
∴，
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如圖，連接，
∵，
∴是直徑，
∴，
又∵，
∴
（2）證明：如圖2，連接，過點作，交于點
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，即：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】（1）證明：對于，
當時，，當時，，
即點、的坐標分別為：、，
，
為直角，
是等腰直角三角形；
（2）解：如圖，當時，最小，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
即的長的最小值為8；
（3）解：如圖，過點作于點，過點作軸交于點，交過點和軸的平行線于點，
，
為等腰直角三角形，，
同（2）中原理可得，，
，
四邊形為矩形，
，
當時，，
，即，
設，
，，
根據，，
可得，
解得：，即點，
設直線的解析式為
把代入可得，
解得，
所以直線的解析式為．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；三角形全等及其性質；同側一線三垂直全等模型；一次函數中的線段周長問題；一次函數中的角度問題
【解析】【分析】
（1）對于，當時，；當時，，即，又，故結論成立；
（2）由“一線三垂直”模型知，，則，即可求解；
（3）如圖，過點作于點，過點作軸交于點，交過點和軸的平行線于點，由“一線三垂直”模型知，，設點，則，，即且，解得：，即點，進而求解．
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