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浙江省紹興市諸暨市2025年5月初中畢業(yè)班適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（二模）
1．（2025·諸暨二模）在1，-2，π，-四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是(　　)
A．1 B．-2 C．π D．-
2．（2025·諸暨二模）《九章算術(shù)》中的“圓亭”，原指正圓臺(tái)體形建筑物。如圖是一個(gè)“圓亭” 形狀的幾何體，則其俯視圖是(　　)
A． B．
C． D．
3．（2025·諸暨二模）為實(shí)現(xiàn)共同富裕，浙江提出夯實(shí)共同富裕的物質(zhì)基礎(chǔ)，到2025年，人均生產(chǎn)總值達(dá)到13萬(wàn)元。 數(shù)值“13萬(wàn)元”用科學(xué)記數(shù)法可表示為(　　)
A． B． C． D．
4．（2025·諸暨二模）下列式子運(yùn)算正確的是(　　)
A． B． C． D．
5．（2025·諸暨二模）對(duì)于一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)6，7，6，5，6。下列說法錯(cuò)誤的是（　　）
A．平均數(shù)是6 B．中位數(shù)是6 C．眾數(shù)是6 D．方差是6
6．（2025·諸暨二模） 如圖在平面直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O，若點(diǎn)A(3，1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D(6，2)，則的面積與的面積之比是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·諸暨二模） 不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·諸暨二模） 如圖，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) P 是 AB 上一動(dòng)點(diǎn)（不與 A， B 重合），對(duì)角線 AC， BD 相交于點(diǎn) O，過點(diǎn) P 分別作 AC， BD 的垂線，分別交 AC， BD 于點(diǎn) E 與點(diǎn) F，交 AD， BC 于點(diǎn) G 與點(diǎn) H，若正方形的邊長(zhǎng)是 2，則四邊形 OEPF 的周長(zhǎng)是（　　）
A．2 B． C．4 D．
9．（2025·諸暨二模） 已知反比例函數(shù) )，第一象限有一點(diǎn)P，過P向坐標(biāo)軸作垂線，分別交x軸，y軸于A，B點(diǎn)，分別交反比例函數(shù)于C，D點(diǎn)，若，，則（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2025·諸暨二模） 如圖，在平行四邊形ABCD中，的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，滿足，，，，在CE上取一點(diǎn)M，滿足，則（　　）
A．1 B． C． D．2
11．（2025·諸暨二模） 因式分解：a2-1=　 　.
12．（2025·諸暨二模）分式方程=1的解是　 　.
13．（2025·諸暨二模） 如圖，⊙C交⊙O于點(diǎn)D，BC切⊙O于點(diǎn)B，A點(diǎn)在⊙O上，若∠A=30°，則∠C為　 　.
14．（2025·諸暨二模）現(xiàn)將背面完全一樣，正面分別寫有“已”，“蛇”，“五”，“入”的四張卡片，洗勻后背面朝上放在桌面上，任意抽取一張，則抽取的卡片上的文字為“蛇”的概率是　 　.
15．（2025·諸暨二模）如圖，四邊形ABCD中，AB=4，CD=2，連接AC，BD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是BD，AC，BC的中點(diǎn)，則EG+FG=　 　.
16．（2025·諸暨二模）如圖，在第一象限中，連接□AOBC對(duì)角線AB，OC，∠ABC=90°，sin∠AOC=，函數(shù)圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)C，則　 　
17．（2025·諸暨二模） 計(jì)算：
18．（2025·諸暨二模） 解方程組：
19．（2025·諸暨二模）如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高線，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，已知AB=8，AC=6。
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）求cos∠DAE的值。
20．（2025·諸暨二模）某校開展了一項(xiàng)“最喜愛的社團(tuán)活動(dòng)”的調(diào)研，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，本次參加調(diào)研的學(xué)生只選擇一項(xiàng)最喜愛的社團(tuán)活動(dòng)，以下是根據(jù)調(diào)研結(jié)果繪制的不完整統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題。
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）求本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）若該校共有學(xué)生2000人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)信息，估計(jì)該校對(duì)“繪畫”的選擇人數(shù)。
21．（2025·諸暨二模）△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)（圖中網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1。請(qǐng)借助網(wǎng)格和無(wú)刻度直尺按要求作圖。
（1）在圖①中，作出△ABC的中線CD；
（2）在圖②中，作出△ABC的重心，記為點(diǎn)O。
22．（2025·諸暨二模）如圖①，一輛快車和一輛慢車分別從A，B兩站同時(shí)出發(fā)，勻速相向而行。快車到達(dá)B站即停運(yùn)休息；慢車到達(dá)A站即停運(yùn)休息。下圖②表示的是兩車之間的距離y千米)與行駛時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)圖象。請(qǐng)結(jié)合圖象信息，解答下列問題：
（1）求慢車的行駛速度；
（2）求兩車相遇后到快車停運(yùn)休息前，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)t。
23．（2025·諸暨二模） 已知二次函數(shù)y=mx2-mx-12m（m≠0）。
（1）若函數(shù)經(jīng)過（2，5），求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)A（t-1，n)，點(diǎn)B(t，n)均在函數(shù)圖象上，求t的值；
（3）當(dāng)-4≤x≤1時(shí)，函數(shù)最大值為7，求m的值。
24．（2025·諸暨二模）如圖，已知矩形ABCD，在邊BC，CD上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE和BF滿足∠AEB=2∠FBC，△ABE的外接圓交BF于點(diǎn)G，連接AG，CG。
（1）當(dāng)∠FBC=31°時(shí)，求∠GAD的度數(shù)；
（2）猜測(cè)AG和BG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)AB=10，AD=11，AE//CG時(shí)，求EC的長(zhǎng)度。
答案解析部分
1．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的大小比較；有理數(shù)的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：∵-2＜＜0＜1＜π，
∴ 在1，-2，π，-四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是-2；
故答案為：B.
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較方法：正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，據(jù)此判斷即可.
2．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解：如圖是一個(gè)“圓亭”形狀的幾何體，其俯視圖是兩個(gè)同心圓，
故答案為：A.
【分析】根據(jù)俯視圖的定義：俯視圖是從物體的上面看得到的平面圖形，找到從上面看所得到的圖形即可，注意看得見的輪廓線畫實(shí)線，看不見的畫虛線，判斷即可得出答案.
3．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解：13萬(wàn)=130000=1.3×105，
故答案為：C.
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式即可得出答案.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1 ≤ a < 10，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值< 1時(shí)，n是負(fù)數(shù).
4．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法；同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用；冪的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A.，不能合并，故A錯(cuò)誤，不符合題意；
B.，故B錯(cuò)誤，不符合題意；
C.，故C錯(cuò)誤，不符合題意；
D. ，故D正確，不符合題意；
故答案為：D.
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪相乘，同底數(shù)冪相除，冪的乘方判斷即可得出答案.
5．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平均數(shù)及其計(jì)算；中位數(shù)；方差；眾數(shù)
【解析】【解答】解：A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：（6+7+6+5+6）=6，故A正確，不符合題意；
B.這組數(shù)據(jù)按從小到大排序：5，6，6，6，7，故中位數(shù)為：6，故B正確，不符合題意；
C.這組數(shù)據(jù)6出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為：6，故C正確，不符合題意；
D.方差為：S2=[（6-6）2+（7-6）2+（6-6）2+（5-6）2+（6-6）2]=0.4，故D錯(cuò)誤，符合題意；
故答案為：D.
【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的概念計(jì)算即可判斷得出答案.
6．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)面積；位似圖形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，點(diǎn)A(3，1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D(6，2)，
∴△ABC~△DEF，且相似比為1：2，
∴△ABC的面積與△DEF的面積之比是；
故答案為：C.
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC~△DEF，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出答案.
7．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：，
解①得：，
解②得：，
則x的解集為：，
則在數(shù)軸上表示為：
故答案為：A.
【分析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來(lái)即可得出答案.
8．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長(zhǎng)為2，
∴OB=OD=BD，AC⊥BD，∠ABO=∠BAO=45°，
∴AC=BD=AB=，∠AOB=90°，
∴OB=，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
∴四邊形PEOF是矩形，∠BPF=45°，
∴OF=EP，OE=PF，∠BPF=∠ABO，
∴PF=BF，
∴PF=BF=OE，
∴四邊形 OEPF 的周長(zhǎng)為：
OE+OF+PE+PF=2(OE+OF)=2(BF+OF)=2OB=2×=；
故答案為：B.
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理，可得BD，OB的長(zhǎng)度，再根據(jù)垂線的性質(zhì)可證得四邊形PEOF是矩形，也可得出△PBF為等腰直角三角形，即可得 四邊形 OEPF 的周長(zhǎng)等于OB長(zhǎng)度的二倍，即可得解.
9．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；矩形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵P在第一象限，
設(shè)P(a，b)，則a>0，b>0，
∵PA⊥x軸，PB⊥y軸，
∴四邊形OAPB是矩形，
∴BP=OA=a，AP=OB=b，
∵CA=1，
∴C(a，1)，
∵點(diǎn)C，D在反比例函數(shù)(k>0，x>0)圖象上，
∴，
∴k=a，
∵3BD=DP，
∴BD=BP=，
∴D(，b)，
∴，
∴b=4，
∴CP=AP-CA=4-1=3；
故答案為：B.
【分析】設(shè)P(a，b)，則a>0，b>0，得到BP=OA=a，AP=OB=b，推出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入解析式，求出k的值，由3BD=DP得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出b的值，得到CP=AP-CA，即可得到答案.
10．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如圖，
∵∠AEC=∠AFC，
∴∠BEC=∠DFC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴△CEB~△CFD，
∴，
∵AF=CF=4，CE=6，
∴，
設(shè)DF=2a，則EB=3a，
∴BC=AD=4+2a，CD=AE+EB=1+3a，
∴，
即，
解得：a=1，
∴CD=CF=4，CB=CE=6，
∴∠CMF=∠A，∠FME=180°-∠CMF=180°-∠A，
∴∠CEB=∠FME，
∴FM∥AE，
又AE∥CD，
∴AE∥FM∥CD，
，
又∵CE=6，
∴CM=2；
故答案為：D.
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和∠AEC=∠AFC，可證得△CEB~△CFD，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得出AD=BC=EC=6，再根據(jù)平行線的判定證得FM∥AE，根據(jù)平行線分線段成比例，即可求解.
11．【答案】（a+1）（a-1）
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-1 =（a+1）（a-1）；
故答案為：（a+1）（a-1）.
【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可得出答案.
12．【答案】x=3
【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：x-1=2，
解得：x=3，
檢驗(yàn)：將x=3代入（x-1）中得，
3-1=2≠0，
故x=3是原分式方程的解；
故答案為：x=3.
【分析】根據(jù)解分式方程的步驟解方程即可得出答案.
13．【答案】30°
【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵ BC與⊙O相切，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∵ ∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴ ∠C=90°-∠BOC=90°-60°=30°，
故答案為：30°.
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理即可得出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)兩銳角互余計(jì)算即可得出答案.
14．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單事件概率的計(jì)算
【解析】【解答】解：∵有正面分別寫有“巳”“蛇”“五”“入”的四張卡片，
∴任意抽取一張，則抽到卡片正面上的文字是“蛇”的概率是；
故答案為：.
【分析】根據(jù)概率公式：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，求解即可得出答案.
15．【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：∵ 點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是BD，AC，BC的中點(diǎn)，
∴EG，F(xiàn)G分別是△BCD，△ABC的中位線，
∴EG=CD，F(xiàn)G=AB，
∵ AB=4，CD=2，
∴EG=1，F(xiàn)G=2，
∴ EG+FG=1+2=3；
故答案為：3.
【分析】根據(jù)題意可判斷EG，F(xiàn)G分別是△BCD，△ABC的中位線，根據(jù)中位線定理可得EG，F(xiàn)G的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得EG+FG的值.
16．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系
【解析】【解答】解：過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為E，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為F，則四邊形OEDF是矩形，設(shè)AB、OC相交于點(diǎn)Q，
∵四邊形AOBC是平行四邊形，∠ABC=90°，
∴∠OAB=90°，AQ=BQ，OQ=CQ，
∵，即，
∴OA=，
設(shè)AQ=，則OQ=5，BQ=，AB=OA=，
∴△OAB是等腰直角三角形，
設(shè)A(a，b)，即AE=a，OE=b，
∵∠OEA=∠ADB=∠OAB=90°，
∴∠OAE=90°-∠DAB=∠ADB，
∴△OAE≌△ABD(AAS)，
∴BD=AE=a，AD=OE=b，
∴BF=b-a，OF=DE=a+b，
∴B(a+b，b-a)，
作CG⊥x軸于點(diǎn)G，作BH⊥CG于點(diǎn)H，則四邊形BFGH是矩形，
由條件可知OA=BC，
∴△OAE≌△CBH(AAS)，
∴CH=OE=b，BH=AE=a，
∴OG=2a+b，CG=2b-a，
∴C(2a+b，2b-a)，
∵A(a，b)、B(a+b，b-a)在反比例函數(shù)圖象上，
∴k1=ab=(a+b)(b-a)=b2-a2，
∵C(2a+b，2b-a)在反比例函數(shù)圖象上，
∴k2=(2a+b)(2b-a)=3ab+2(b2-a2)=5ab，
∴，
故答案為：.
【分析】過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為E，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為F，則四邊形OEDF是矩形，設(shè)AB、OC相交于點(diǎn)Q，先證明△OAB是等腰直角三角形，設(shè)A(a，b)，通過AAS證明△OAE≌△ABD，得到B(a+b，b-a)，作CG⊥x軸于點(diǎn)G，作BH⊥CG于點(diǎn)H，則四邊形BFGH是矩形，再證明△OAE≌△CBH，可得到C（2a+b，2b-a）再根據(jù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
17．【答案】解：原式==1.
【知識(shí)點(diǎn)】求特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算（含開方）
【解析】【分析】先計(jì)算三角函數(shù)、立方根、零指數(shù)冪，再加減即可.
18．【答案】解： ，
將①式變形為x=5+y，
代入②式得y=-1，
代入①式得x=4，
∴此方程組的解為
【知識(shí)點(diǎn)】代入消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程組即可.
19．【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6
∴BC=10
（2）解：∵E是BC的中點(diǎn)
∴AE=5
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，再利用面積法計(jì)算即可得出AD的長(zhǎng)度；
（2）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出AE的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角函數(shù)計(jì)算即可得解.
20．【答案】（1）解： 人
（2）解：人；
補(bǔ)全圖形如圖所示：
（3）解：人
【知識(shí)點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體；條形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本所占百分比估計(jì)總體數(shù)量
【解析】【分析】(1)根據(jù)舞蹈的人數(shù)和舞蹈所占百分比得出總?cè)藬?shù)；
(2)用總?cè)藬?shù)乘40%，即可得出書法人數(shù)，即可補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
(3)用“繪畫”所占百分比乘總?cè)藬?shù)可得答案.
21．【答案】（1）解：如圖，CD為所求作點(diǎn)。
（2）解：如圖，點(diǎn)O為所求作點(diǎn)。
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的重心及應(yīng)用；尺規(guī)作圖-中線；三角形的中線
【解析】【分析】(1)取AB的中點(diǎn)D，連接CD即可；
(2)作△ABC的三條中線，相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)即為所求.
22．【答案】（1）解：
（2）解：D（6，0）E（10，800）
設(shè)y=kx+b
（3）解：由(2)可得
∴
∴
【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-行程問題
【解析】【分析】(1)由圖②可求出慢車速度；
(2)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
(3)先求出甲車速度，再根據(jù)路程相等列出方程，解方程求出t的值.
23．【答案】（1）解：將（2，5）代入得，
4m-2m-12m=5，
-10m=5，
解得：，
∴
（2）解： ，
，
（3）解：①m>0時(shí)，x=-4時(shí)，
y=16m+4m-12m=7
②m<0時(shí)，x=時(shí)，
綜上所述，或
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】（1）直接將點(diǎn) （2，5） 代入解析式，解出m的值，即可得出二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)的特征及拋物線的對(duì)稱性即可解得t的值；
（3）根據(jù)開口方向判斷最值的位置，結(jié)合區(qū)間的端點(diǎn)及頂點(diǎn)處的函數(shù)值分情況討論即可求解.
24．【答案】（1）解：∵矩形ABCD
∴AD//BC
∴∠DAE=∠AEB
又∵∠FBC=∠GAE，∠AEB=2∠FBC
∴∠DAG=∠FBC=31°
（2）解：（方法不唯一）（注：（2）中利用（1）中31°條件則扣除（2）題中所有分?jǐn)?shù)）
猜測(cè)：AG=BG
理由如下：
設(shè)∠DAG=∠GAE=∠FBC=α
則∠AEB=2α=∠AGB
∵ABCD為矩形
∴∠ABE=90°，∠BAE=90°-2α
∴∠GAB=90°-α=∠ABG
∴AG=BG
（3）解：方法1：延長(zhǎng)AG，BC交于點(diǎn)P
∵∠EAP=α，∠AEB=2α
∴∠P=α=∠GAP，AE=EP
∵AG=BG
∴G是AP中點(diǎn)
∵CG//AE
∴C是EP中點(diǎn)
設(shè)CE=x，AE=EP=2x
在Rt△ABE中
（舍去）
故EC的長(zhǎng)度為
【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；圓周角定理
【解析】【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)可得∠DAE=∠AEB，再根據(jù)圓周角定理結(jié)合∠AEB=2∠FBC，即可解答；
(2)同理(1)得∠DAG=∠FBC，設(shè)∠DAG=∠GAE=∠FBC=α，由圓周角定理得到∠AEB-2α=∠AGB，再根據(jù)矩形的性質(zhì)求出∠BAE=90°-2α，∠GAB=90°-α=∠ABG即可得出結(jié)論；
(3)延長(zhǎng)AG，BC交于點(diǎn)P，根據(jù)∠EAP=∠FBO∠AEB=2∠FBC，推出∠AEB=2∠EAP，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)推出∠EAP=∠P，進(jìn)而得到AE=EP，由(2)知AG=BG，推出G是AP中點(diǎn)，C是EP中點(diǎn)，設(shè)CE=α，AE=EP=2α，利用勾股定理建立方程求解即可.
1 / 1浙江省紹興市諸暨市2025年5月初中畢業(yè)班適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（二模）
1．（2025·諸暨二模）在1，-2，π，-四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是(　　)
A．1 B．-2 C．π D．-
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的大小比較；有理數(shù)的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：∵-2＜＜0＜1＜π，
∴ 在1，-2，π，-四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是-2；
故答案為：B.
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較方法：正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，據(jù)此判斷即可.
2．（2025·諸暨二模）《九章算術(shù)》中的“圓亭”，原指正圓臺(tái)體形建筑物。如圖是一個(gè)“圓亭” 形狀的幾何體，則其俯視圖是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解：如圖是一個(gè)“圓亭”形狀的幾何體，其俯視圖是兩個(gè)同心圓，
故答案為：A.
【分析】根據(jù)俯視圖的定義：俯視圖是從物體的上面看得到的平面圖形，找到從上面看所得到的圖形即可，注意看得見的輪廓線畫實(shí)線，看不見的畫虛線，判斷即可得出答案.
3．（2025·諸暨二模）為實(shí)現(xiàn)共同富裕，浙江提出夯實(shí)共同富裕的物質(zhì)基礎(chǔ)，到2025年，人均生產(chǎn)總值達(dá)到13萬(wàn)元。 數(shù)值“13萬(wàn)元”用科學(xué)記數(shù)法可表示為(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解：13萬(wàn)=130000=1.3×105，
故答案為：C.
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式即可得出答案.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1 ≤ a < 10，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值< 1時(shí)，n是負(fù)數(shù).
4．（2025·諸暨二模）下列式子運(yùn)算正確的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法；同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用；冪的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A.，不能合并，故A錯(cuò)誤，不符合題意；
B.，故B錯(cuò)誤，不符合題意；
C.，故C錯(cuò)誤，不符合題意；
D. ，故D正確，不符合題意；
故答案為：D.
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪相乘，同底數(shù)冪相除，冪的乘方判斷即可得出答案.
5．（2025·諸暨二模）對(duì)于一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)6，7，6，5，6。下列說法錯(cuò)誤的是（　　）
A．平均數(shù)是6 B．中位數(shù)是6 C．眾數(shù)是6 D．方差是6
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平均數(shù)及其計(jì)算；中位數(shù)；方差；眾數(shù)
【解析】【解答】解：A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：（6+7+6+5+6）=6，故A正確，不符合題意；
B.這組數(shù)據(jù)按從小到大排序：5，6，6，6，7，故中位數(shù)為：6，故B正確，不符合題意；
C.這組數(shù)據(jù)6出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為：6，故C正確，不符合題意；
D.方差為：S2=[（6-6）2+（7-6）2+（6-6）2+（5-6）2+（6-6）2]=0.4，故D錯(cuò)誤，符合題意；
故答案為：D.
【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的概念計(jì)算即可判斷得出答案.
6．（2025·諸暨二模） 如圖在平面直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O，若點(diǎn)A(3，1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D(6，2)，則的面積與的面積之比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)面積；位似圖形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，點(diǎn)A(3，1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D(6，2)，
∴△ABC~△DEF，且相似比為1：2，
∴△ABC的面積與△DEF的面積之比是；
故答案為：C.
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC~△DEF，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出答案.
7．（2025·諸暨二模） 不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：，
解①得：，
解②得：，
則x的解集為：，
則在數(shù)軸上表示為：
故答案為：A.
【分析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來(lái)即可得出答案.
8．（2025·諸暨二模） 如圖，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) P 是 AB 上一動(dòng)點(diǎn)（不與 A， B 重合），對(duì)角線 AC， BD 相交于點(diǎn) O，過點(diǎn) P 分別作 AC， BD 的垂線，分別交 AC， BD 于點(diǎn) E 與點(diǎn) F，交 AD， BC 于點(diǎn) G 與點(diǎn) H，若正方形的邊長(zhǎng)是 2，則四邊形 OEPF 的周長(zhǎng)是（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長(zhǎng)為2，
∴OB=OD=BD，AC⊥BD，∠ABO=∠BAO=45°，
∴AC=BD=AB=，∠AOB=90°，
∴OB=，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
∴四邊形PEOF是矩形，∠BPF=45°，
∴OF=EP，OE=PF，∠BPF=∠ABO，
∴PF=BF，
∴PF=BF=OE，
∴四邊形 OEPF 的周長(zhǎng)為：
OE+OF+PE+PF=2(OE+OF)=2(BF+OF)=2OB=2×=；
故答案為：B.
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理，可得BD，OB的長(zhǎng)度，再根據(jù)垂線的性質(zhì)可證得四邊形PEOF是矩形，也可得出△PBF為等腰直角三角形，即可得 四邊形 OEPF 的周長(zhǎng)等于OB長(zhǎng)度的二倍，即可得解.
9．（2025·諸暨二模） 已知反比例函數(shù) )，第一象限有一點(diǎn)P，過P向坐標(biāo)軸作垂線，分別交x軸，y軸于A，B點(diǎn)，分別交反比例函數(shù)于C，D點(diǎn)，若，，則（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；矩形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵P在第一象限，
設(shè)P(a，b)，則a>0，b>0，
∵PA⊥x軸，PB⊥y軸，
∴四邊形OAPB是矩形，
∴BP=OA=a，AP=OB=b，
∵CA=1，
∴C(a，1)，
∵點(diǎn)C，D在反比例函數(shù)(k>0，x>0)圖象上，
∴，
∴k=a，
∵3BD=DP，
∴BD=BP=，
∴D(，b)，
∴，
∴b=4，
∴CP=AP-CA=4-1=3；
故答案為：B.
【分析】設(shè)P(a，b)，則a>0，b>0，得到BP=OA=a，AP=OB=b，推出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入解析式，求出k的值，由3BD=DP得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出b的值，得到CP=AP-CA，即可得到答案.
10．（2025·諸暨二模） 如圖，在平行四邊形ABCD中，的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，滿足，，，，在CE上取一點(diǎn)M，滿足，則（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如圖，
∵∠AEC=∠AFC，
∴∠BEC=∠DFC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴△CEB~△CFD，
∴，
∵AF=CF=4，CE=6，
∴，
設(shè)DF=2a，則EB=3a，
∴BC=AD=4+2a，CD=AE+EB=1+3a，
∴，
即，
解得：a=1，
∴CD=CF=4，CB=CE=6，
∴∠CMF=∠A，∠FME=180°-∠CMF=180°-∠A，
∴∠CEB=∠FME，
∴FM∥AE，
又AE∥CD，
∴AE∥FM∥CD，
，
又∵CE=6，
∴CM=2；
故答案為：D.
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和∠AEC=∠AFC，可證得△CEB~△CFD，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得出AD=BC=EC=6，再根據(jù)平行線的判定證得FM∥AE，根據(jù)平行線分線段成比例，即可求解.
11．（2025·諸暨二模） 因式分解：a2-1=　 　.
【答案】（a+1）（a-1）
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-1 =（a+1）（a-1）；
故答案為：（a+1）（a-1）.
【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可得出答案.
12．（2025·諸暨二模）分式方程=1的解是　 　.
【答案】x=3
【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：x-1=2，
解得：x=3，
檢驗(yàn)：將x=3代入（x-1）中得，
3-1=2≠0，
故x=3是原分式方程的解；
故答案為：x=3.
【分析】根據(jù)解分式方程的步驟解方程即可得出答案.
13．（2025·諸暨二模） 如圖，⊙C交⊙O于點(diǎn)D，BC切⊙O于點(diǎn)B，A點(diǎn)在⊙O上，若∠A=30°，則∠C為　 　.
【答案】30°
【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵ BC與⊙O相切，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∵ ∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴ ∠C=90°-∠BOC=90°-60°=30°，
故答案為：30°.
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理即可得出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)兩銳角互余計(jì)算即可得出答案.
14．（2025·諸暨二模）現(xiàn)將背面完全一樣，正面分別寫有“已”，“蛇”，“五”，“入”的四張卡片，洗勻后背面朝上放在桌面上，任意抽取一張，則抽取的卡片上的文字為“蛇”的概率是　 　.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單事件概率的計(jì)算
【解析】【解答】解：∵有正面分別寫有“巳”“蛇”“五”“入”的四張卡片，
∴任意抽取一張，則抽到卡片正面上的文字是“蛇”的概率是；
故答案為：.
【分析】根據(jù)概率公式：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，求解即可得出答案.
15．（2025·諸暨二模）如圖，四邊形ABCD中，AB=4，CD=2，連接AC，BD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是BD，AC，BC的中點(diǎn)，則EG+FG=　 　.
【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：∵ 點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是BD，AC，BC的中點(diǎn)，
∴EG，F(xiàn)G分別是△BCD，△ABC的中位線，
∴EG=CD，F(xiàn)G=AB，
∵ AB=4，CD=2，
∴EG=1，F(xiàn)G=2，
∴ EG+FG=1+2=3；
故答案為：3.
【分析】根據(jù)題意可判斷EG，F(xiàn)G分別是△BCD，△ABC的中位線，根據(jù)中位線定理可得EG，F(xiàn)G的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得EG+FG的值.
16．（2025·諸暨二模）如圖，在第一象限中，連接□AOBC對(duì)角線AB，OC，∠ABC=90°，sin∠AOC=，函數(shù)圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)C，則　 　
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系
【解析】【解答】解：過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為E，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為F，則四邊形OEDF是矩形，設(shè)AB、OC相交于點(diǎn)Q，
∵四邊形AOBC是平行四邊形，∠ABC=90°，
∴∠OAB=90°，AQ=BQ，OQ=CQ，
∵，即，
∴OA=，
設(shè)AQ=，則OQ=5，BQ=，AB=OA=，
∴△OAB是等腰直角三角形，
設(shè)A(a，b)，即AE=a，OE=b，
∵∠OEA=∠ADB=∠OAB=90°，
∴∠OAE=90°-∠DAB=∠ADB，
∴△OAE≌△ABD(AAS)，
∴BD=AE=a，AD=OE=b，
∴BF=b-a，OF=DE=a+b，
∴B(a+b，b-a)，
作CG⊥x軸于點(diǎn)G，作BH⊥CG于點(diǎn)H，則四邊形BFGH是矩形，
由條件可知OA=BC，
∴△OAE≌△CBH(AAS)，
∴CH=OE=b，BH=AE=a，
∴OG=2a+b，CG=2b-a，
∴C(2a+b，2b-a)，
∵A(a，b)、B(a+b，b-a)在反比例函數(shù)圖象上，
∴k1=ab=(a+b)(b-a)=b2-a2，
∵C(2a+b，2b-a)在反比例函數(shù)圖象上，
∴k2=(2a+b)(2b-a)=3ab+2(b2-a2)=5ab，
∴，
故答案為：.
【分析】過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為E，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為F，則四邊形OEDF是矩形，設(shè)AB、OC相交于點(diǎn)Q，先證明△OAB是等腰直角三角形，設(shè)A(a，b)，通過AAS證明△OAE≌△ABD，得到B(a+b，b-a)，作CG⊥x軸于點(diǎn)G，作BH⊥CG于點(diǎn)H，則四邊形BFGH是矩形，再證明△OAE≌△CBH，可得到C（2a+b，2b-a）再根據(jù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
17．（2025·諸暨二模） 計(jì)算：
【答案】解：原式==1.
【知識(shí)點(diǎn)】求特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算（含開方）
【解析】【分析】先計(jì)算三角函數(shù)、立方根、零指數(shù)冪，再加減即可.
18．（2025·諸暨二模） 解方程組：
【答案】解： ，
將①式變形為x=5+y，
代入②式得y=-1，
代入①式得x=4，
∴此方程組的解為
【知識(shí)點(diǎn)】代入消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程組即可.
19．（2025·諸暨二模）如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高線，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，已知AB=8，AC=6。
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）求cos∠DAE的值。
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6
∴BC=10
（2）解：∵E是BC的中點(diǎn)
∴AE=5
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，再利用面積法計(jì)算即可得出AD的長(zhǎng)度；
（2）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出AE的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角函數(shù)計(jì)算即可得解.
20．（2025·諸暨二模）某校開展了一項(xiàng)“最喜愛的社團(tuán)活動(dòng)”的調(diào)研，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，本次參加調(diào)研的學(xué)生只選擇一項(xiàng)最喜愛的社團(tuán)活動(dòng)，以下是根據(jù)調(diào)研結(jié)果繪制的不完整統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題。
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）求本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）若該校共有學(xué)生2000人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)信息，估計(jì)該校對(duì)“繪畫”的選擇人數(shù)。
【答案】（1）解： 人
（2）解：人；
補(bǔ)全圖形如圖所示：
（3）解：人
【知識(shí)點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體；條形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本所占百分比估計(jì)總體數(shù)量
【解析】【分析】(1)根據(jù)舞蹈的人數(shù)和舞蹈所占百分比得出總?cè)藬?shù)；
(2)用總?cè)藬?shù)乘40%，即可得出書法人數(shù)，即可補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
(3)用“繪畫”所占百分比乘總?cè)藬?shù)可得答案.
21．（2025·諸暨二模）△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)（圖中網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1。請(qǐng)借助網(wǎng)格和無(wú)刻度直尺按要求作圖。
（1）在圖①中，作出△ABC的中線CD；
（2）在圖②中，作出△ABC的重心，記為點(diǎn)O。
【答案】（1）解：如圖，CD為所求作點(diǎn)。
（2）解：如圖，點(diǎn)O為所求作點(diǎn)。
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的重心及應(yīng)用；尺規(guī)作圖-中線；三角形的中線
【解析】【分析】(1)取AB的中點(diǎn)D，連接CD即可；
(2)作△ABC的三條中線，相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)即為所求.
22．（2025·諸暨二模）如圖①，一輛快車和一輛慢車分別從A，B兩站同時(shí)出發(fā)，勻速相向而行。快車到達(dá)B站即停運(yùn)休息；慢車到達(dá)A站即停運(yùn)休息。下圖②表示的是兩車之間的距離y千米)與行駛時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)圖象。請(qǐng)結(jié)合圖象信息，解答下列問題：
（1）求慢車的行駛速度；
（2）求兩車相遇后到快車停運(yùn)休息前，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)t。
【答案】（1）解：
（2）解：D（6，0）E（10，800）
設(shè)y=kx+b
（3）解：由(2)可得
∴
∴
【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-行程問題
【解析】【分析】(1)由圖②可求出慢車速度；
(2)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
(3)先求出甲車速度，再根據(jù)路程相等列出方程，解方程求出t的值.
23．（2025·諸暨二模） 已知二次函數(shù)y=mx2-mx-12m（m≠0）。
（1）若函數(shù)經(jīng)過（2，5），求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)A（t-1，n)，點(diǎn)B(t，n)均在函數(shù)圖象上，求t的值；
（3）當(dāng)-4≤x≤1時(shí)，函數(shù)最大值為7，求m的值。
【答案】（1）解：將（2，5）代入得，
4m-2m-12m=5，
-10m=5，
解得：，
∴
（2）解： ，
，
（3）解：①m>0時(shí)，x=-4時(shí)，
y=16m+4m-12m=7
②m<0時(shí)，x=時(shí)，
綜上所述，或
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】（1）直接將點(diǎn) （2，5） 代入解析式，解出m的值，即可得出二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)的特征及拋物線的對(duì)稱性即可解得t的值；
（3）根據(jù)開口方向判斷最值的位置，結(jié)合區(qū)間的端點(diǎn)及頂點(diǎn)處的函數(shù)值分情況討論即可求解.
24．（2025·諸暨二模）如圖，已知矩形ABCD，在邊BC，CD上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE和BF滿足∠AEB=2∠FBC，△ABE的外接圓交BF于點(diǎn)G，連接AG，CG。
（1）當(dāng)∠FBC=31°時(shí)，求∠GAD的度數(shù)；
（2）猜測(cè)AG和BG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)AB=10，AD=11，AE//CG時(shí)，求EC的長(zhǎng)度。
【答案】（1）解：∵矩形ABCD
∴AD//BC
∴∠DAE=∠AEB
又∵∠FBC=∠GAE，∠AEB=2∠FBC
∴∠DAG=∠FBC=31°
（2）解：（方法不唯一）（注：（2）中利用（1）中31°條件則扣除（2）題中所有分?jǐn)?shù)）
猜測(cè)：AG=BG
理由如下：
設(shè)∠DAG=∠GAE=∠FBC=α
則∠AEB=2α=∠AGB
∵ABCD為矩形
∴∠ABE=90°，∠BAE=90°-2α
∴∠GAB=90°-α=∠ABG
∴AG=BG
（3）解：方法1：延長(zhǎng)AG，BC交于點(diǎn)P
∵∠EAP=α，∠AEB=2α
∴∠P=α=∠GAP，AE=EP
∵AG=BG
∴G是AP中點(diǎn)
∵CG//AE
∴C是EP中點(diǎn)
設(shè)CE=x，AE=EP=2x
在Rt△ABE中
（舍去）
故EC的長(zhǎng)度為
【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；圓周角定理
【解析】【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)可得∠DAE=∠AEB，再根據(jù)圓周角定理結(jié)合∠AEB=2∠FBC，即可解答；
(2)同理(1)得∠DAG=∠FBC，設(shè)∠DAG=∠GAE=∠FBC=α，由圓周角定理得到∠AEB-2α=∠AGB，再根據(jù)矩形的性質(zhì)求出∠BAE=90°-2α，∠GAB=90°-α=∠ABG即可得出結(jié)論；
(3)延長(zhǎng)AG，BC交于點(diǎn)P，根據(jù)∠EAP=∠FBO∠AEB=2∠FBC，推出∠AEB=2∠EAP，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)推出∠EAP=∠P，進(jìn)而得到AE=EP，由(2)知AG=BG，推出G是AP中點(diǎn)，C是EP中點(diǎn)，設(shè)CE=α，AE=EP=2α，利用勾股定理建立方程求解即可.
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