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四川成都市青羊區2025年中考數學二診試卷
1．（2025·成都模擬）如圖是由4個相同的小立方體搭成的幾何體，這個幾何體的主視圖是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：觀察所給幾何體可發現，從正面看從左到右共有兩列，第一列有一層，第二列有兩層，
∴這個幾何體的主視圖是
故答案為：D ．
【分析】觀察所給幾何體可發現，從正面看從左到右共有兩列，第一列有一層，第二列有兩層，結合主視圖的意義可求解．
2．（2025·成都模擬）若分式有意義，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】分式有無意義的條件
【解析】【解答】解：由題意得，
解得：
故答案為：A．
【分析】根據分式有意義的條件"分母不等于0"可列關于x的不等式，解不等式即可求解．
3．（2025·成都模擬）在平面直角坐標系中，點的坐標為，則點關于軸對稱點的坐標是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】關于坐標軸對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：點 關于軸對稱點的坐標是，
故答案為：A．
【分析】根據關于y軸對稱的點的坐標變化特征"橫坐標互為相反數，縱坐標不變"即可求解．
4．（2025·成都模擬）下列計算結果正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】同底數冪的除法；完全平方公式及運用；平方差公式及應用；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、≠x2-y2，∴此選項不符合題意；
B、≠a6，∴此選項不符合題意；
C、，∴此選項不符合題意；
D、≠a4，∴此選項不符合題意；
故答案為：C．
【分析】A、根據平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”計算即可判斷求解；
B、根據冪的乘方法則“冪的乘方，底數不變，指數相乘”計算即可判斷求解；
C、根據完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”計算即可判斷求解；
D、根據同底數冪的除法法則“同底數冪相除，底數不變，指數相減”計算即可判斷求解.
5．（2025·成都模擬）已知直線，將一個直角三角板如圖放置，使得角的頂點落在上，直角頂點落在上，點落在，之間，當時，的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】三角形內角和定理；兩直線平行，內錯角相等；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：中，，，
，
如圖，過G點作，
，
，
，，
又，
．
故答案為：B．
【分析】根據三角形內角和定理可求得，過G點作，則，根據平行線的性質“兩直線平行，內錯角相等”可得，，然后由角的和差即可求解．
6．（2025·成都模擬）九（1）班同學設計用頻率估計概率的試驗如下：在一個不透明的口袋中，裝有12個球，它們除顏色外其余均相同，搖勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回口袋中．通過大量重復摸球試驗，統計了摸到紅球的頻率，繪出的統計表如圖所示，則口袋中紅球的個數最可能是（　　）
摸球總次數 10 50 100 1000
摸到紅球的頻率
A．3個 B．4個 C．5個 D．10個
【答案】B
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：從給出的表格中可以看到，隨著摸球總次數的增加，摸到紅球的頻率逐漸穩定在左右，
設口袋中紅球有個，
由于摸到紅球的頻率穩定值可近似看作摸到紅球的概率，即，
解得：，
所以口袋中紅球的個數最可能是個，
故答案為：B．
【分析】根據表格中信息并結合用頻率估計概率可得紅球的概率，再根據概率公式即可求解．
7．（2025·成都模擬）下列說法正確的是（　　）
A．有三個角相等的四邊形是矩形
B．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
C．平分弦的直徑垂直于這條弦
D．過一點有且僅有一條直線平行于已知直線
【答案】B
【知識點】平行公理及推論；菱形的判定；矩形的判定；垂徑定理
【解析】【解答】解：A、有三個角相等的四邊形不一定是矩形，如四邊形中，，，
∴這個四邊形不是矩形，
∴此選項不符合題意；
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，正確，
∴此選項符合題意；
C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，
∴此選項不符合題意；
D、過直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線，
∴此選項不符合題意．
故答案為：B．
【分析】A、舉反例并結合矩形的判定可求解；
B、根據菱形的判定可求解；
C、根據垂徑定理可求解；
D、根據平行公理可求解．
8．（2025·成都模擬）在中，，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以的長為半徑作弧，交于點，連接；②以A為圓心，以的長為半徑作弧，以為圓心，以的長為半徑作弧，兩弧在右側交于點；③連接，連接交于點，下列結論錯誤的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】平行四邊形的判定與性質；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：A、由步驟②可知，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴此選項不符合題意；
B、在△DBA和△AED中
∴（SSS）
∴此選項不符合題意；
C、由A可得DE∥BA，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴此選項不符合題意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴此選項符合題意．
故答案為：D．
【分析】A、由步驟②可知，，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形是平行四邊形，根據平行線的性質“兩直線平行，內錯角相等”可求解；
B、由題意，用邊邊邊可得△DBA≌△AED；
C、由A可得DE∥BA，根據平行線的性質“兩直線平行，同位角相等”可得∠CDF=∠CBA，∠CFD=∠CAB，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可得△CDF∽△CBA，由相似三角形的對應邊的比相等可求解；
D、同理可得△CDF∽△AEF，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式≠1，即CF≠AF.
9．（2025·成都模擬）若實數，，滿足：，則的值為　 　．
【答案】4
【知識點】偶次方的非負性；算術平方根的性質（雙重非負性）；絕對值的非負性；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
且，
，，，
，，，
．
故答案為：4.
【分析】根據絕對值的非負性和二次根式的非負性可得關于x、y、z的方程組，解方程組可求得x、y、z的值，將x、y、z的值代入所求代數式計算即可求解．
10．（2025·成都模擬）分式方程：的解為　 　．
【答案】
【知識點】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得，，
解得，，
經檢驗，是原方程的根，
∴分式方程的解為：，
故答案為：.
【分析】由題意，去分母將分式方程轉化為整式方程，解整式方程求出x的值，檢驗即可判斷求解．
11．（2025·成都模擬）如圖，在扇形中，，，則扇形的面積為　 　．
【答案】
【知識點】扇形面積的計算
【解析】【解答】解：由題意，該扇形的面積為：，
故答案為：．
【分析】根據扇形的面積公式（n為扇形圓心角的度數）計算即可求解．
12．（2025·成都模擬）2025年中國迎來了諸多科技成果的爆發，人形機器人便是其中之一．據稱，某前沿科技公司研發的人形機器人的交互反應的時間在秒左右，將用科學記數法表示為　 　．
【答案】
【知識點】科學記數法表示大于0且小于1的數
【解析】【解答】解：，
故答案為：．
【分析】根據“大于0且小于1的數用科學記數法的表示形式為的形式，其中，為負整數．”并結合題意即可求解．
13．（2025·成都模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知一次函數分別交軸，軸于點，，點是直線上一動點，連接，則線段的最小值為　 　．
【答案】
【知識點】勾股定理；一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【解答】解：∵一次函數分別交軸，軸于點，，
當時，，解得：，則
當時，，則，
∴
∴
∵點是直線上一動點，連接，當時，最小，
此時
∴
故答案為：．
【分析】根據一次函數分別于x軸、y軸交于點A、B，令y=0、x=0分別求出對應的x、y的值，則可得的坐標，用勾股定理求得的長，連接，當時，最小，根據等面積法即可求解．
14．（2025·成都模擬）（1）計算：；
（2）解不等式組：．
【答案】解：（1）
（2）解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式組的解集為．
【知識點】零指數冪；解一元一次不等式組；實數的混合運算（含開方）；特殊角的三角函數的混合運算
【解析】【分析】
（1）先計算特殊角的三角函數值可得tan30°=，由0指數冪的意義“任何一個不為0的數的0次冪等于1”可得（2025-π）0=1，由絕對值的非負性可得，然后根據實數的運算法則計算即可求解；
（2）先解不等式①，再解不等式②，再根據“同大取大、同小取小、大小小大取中間、大大小小無解”找出它們的公共部分即為不等式組的解集．
15．（2025·成都模擬）某學校準備組織學生進行周末游湖研學活動，有滄浪湖、北湖、錦城湖、青龍湖4個目的地選擇，為了解學生的參與情況，該校隨機抽取了部分學生的報名情況（每人選報一個目的地），小強根據調查結果繪制了兩幅不完整的統計圖，請你根據圖中信息，解答下列問題：
（1）本次抽樣調查的總人數為______，請將條形統計圖補充完整．
（2）扇形統計圖中“青龍湖”對應的圓心角為______°，若該學校共有學生1200名，請估計參加“滄浪湖游湖研學”的學生有多少人？
（3）研學活動有文藝類的：“現場繪畫”，：“情境寫作”和實踐類的：“水質調研”，：“植被調研”共4項活動，為平衡活動方案，以班級為單位隨機選擇2種活動參加，請用畫樹狀圖或列表法求出某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的概率．
【答案】（1）20，
補全條形統計圖如圖所示：
（2），420人
（3）解：解：列表如下：
A B C D
A
（A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A）
（B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B）
（C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12種等可能的結果，其中某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的結果有：（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B），共8種，
∴某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的概率為．
【知識點】扇形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；簡單事件概率的計算；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】
（1）
解：本次抽樣調查的總人數為（人），
參加北湖人數為（人），
補全條形統計圖如圖所示：
（2）
解：扇形統計圖中“青龍湖”對應的圓心角為；
估計參加“滄浪湖游湖研學”的學生有（人）；
【分析】
（1）根據樣本容量=頻數÷百分比可知：用參加錦城湖的人數除以其所占的百分比可求得調查人數，再根據頻數=樣本容量×百分比可求得參加北湖人數，然后可補全條形統計圖；
（2）根據圓心角=百分比×360°可知：用乘以“青龍湖”所占的比例可求得對應圓心角的度數；用總人數乘以樣本中參加“滄浪湖游湖研學”的學生所占的比例即可求解；
（3）由題意畫出樹狀圖，根據樹狀圖中的信息可知總共等可能的結果數，再從中找出滿足條件的結果數，然后根據概率公式計算即可求解．
（1）解：本次抽樣調查的總人數為（人），
參加北湖人數為（人），
補全條形統計圖如圖所示：
（2）解：扇形統計圖中“青龍湖”對應的圓心角為；
估計參加“滄浪湖游湖研學”的學生有（人）；
（3）解：列表如下：
　 A B C D
A 　 （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） 　 （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） 　 （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） 　
共有12種等可能的結果，其中某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的結果有：（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B），共8種，
∴某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的概率為．
16．（2025·成都模擬）數學興趣小組的成員小王在觀察點測得觀察點在的正北方向，成員小劉在觀察點測得觀察點在的北偏西的方向上，距離為130米，成員小紅在觀察點測得觀察點在的南偏東的方向上，求觀測點，之間的距離．（結果精確到米，參考數據：，，，，，）
【答案】解：延長，過點C作于點D，如圖所示：
則，
∵米，，
∴（米），
（米），
∵，
∴（米），
∴（米），
答：觀測點，之間的距離為74米．
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣方向角問題
【解析】【分析】延長，過點C作于點D，根據銳角三角函數sin∠CBD=求出CD的值，cos∠CBD=求出BD的值，在Rt△ACD中，同理根據tan∠CAD=求出AD的值，再根據線段的和差AB=AD-BD可求解．
17．（2025·成都模擬）如圖，，是⊙的直徑，連接，，過點作于點，交于點，交⊙于另一點，過點作⊙的切線交的延長線于點．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若，，求⊙的半徑．
【答案】（1）證明：∵與⊙的相切于點C，是⊙的直徑，
∴，
則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：∵是⊙的直徑，
∴，
則，
∵，，
∴，又，
∴；
（3）解：由可設，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，即⊙的半徑是4．
【知識點】圓的綜合題；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】
（1）根據切線的性質和等腰三角形的性質，結合等角的余角相等可得，然后根據等角對等邊可求解；
（2）根據直徑所對的圓周角是直角可得，再由等角的余角相等得，然后根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可求解；
（3）設，，則，，，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可得，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式將BG用含x的代數式表示出來，再由等腰三角形的性質得到，根據線段的和差列關于x的方程，解方程求出x的值，然后根據CO=2x即可求解．
（1）證明：∵與⊙的相切于點C，是⊙的直徑，
∴，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：∵是⊙的直徑，
∴，則，
∵，，
∴，又，
∴；
（3）解：由可設，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，即⊙的半徑是4．
18．（2025·成都模擬）在平面直角坐標系中，一次函數：的圖象與軸交于點，與反比例函數：的圖象交于，兩點（點在點的右側），過的中點作線段的垂線交軸于點，交軸于點，連接，，．
（1）如圖1，當，點的坐標為時，求反比例函數的表達式和點坐標：
（2）如圖2，當，連接時，，求的值；
（3）當時，若，求的值．
【答案】（1）解：當時，一次函數解析式為，
∴，
∵點是的中點，且，
∴，
解得，，
∴，
把點代入反比例函數解析式得，
，
解得，，
∴反比例函數解析式為，
把點代入一次函數解析式得，
，
解得，，
∴一次函數解析式為，
聯立反比例函數、一次函數解析式得，
，
解得，，
∴；
（2）解：當時，同理，，，
∵點是的中點，且，
∴點的橫坐標為，縱坐標為，即，
∵點在一次函數的圖象上，在反比例函數的圖象上，
∴，，
解得，，，
∴一次函數解析式為：，反比例函數解析式為，
聯立方程組得，
解得，，
∴，
如圖所示，過點作軸于點，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
當時，，即，
∴，
∴
，
整理得，，
∴，
解得，或，
∴或，
解得，或；
（3）解：當時，一次函數解析式為，把點代入得，
，
∴，則，
∴，則點，，
∴，
把點代入得，，
∴，
∴反比例函數解析式為，
∴，
解得，，
∴，
當時，，即設一次函數與軸交點，
∴，
同理，，
∴，
∴，則，
設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
當時，，即，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
當時，，
∴，，如圖所示，
當時，，
∴，，如圖所示，
∴若，的值為或．
答：的值為或.
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；解直角三角形；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】（1）根據題意易得，根據中點坐標公式可得點，然后用待定系數法即可求解；
（2）根據題意得，根據點在一次函數的圖象上，在反比例函數的圖象上，得到一次函數解析式為：，反比例函數解析式為，則，如圖所示，過點作軸于點，根據可將EG和OE用含yA的代數式表示出來，則，則直線的解析式為，，然后根據三角形ABF的面積=5可得關于yA的方程，解方程即可求解；
（3）根據題意得到，則，，則點，，，設一次函數與軸交點，，直線的解析式為，即，根據兩點之間距離的計算得到，，，，根據相似三角形的對應邊的比相等可得比例式求解 ．
（1）解：當時，一次函數解析式為，
∴，
∵點是的中點，且，
∴，
解得，，
∴，
把點代入反比例函數解析式得，，
解得，，
∴反比例函數解析式為，
把點代入一次函數解析式得，，
解得，，
∴一次函數解析式為，
聯立反比例函數、一次函數解析式得，，
解得，，
∴；
（2）解：當時，同理，，，
∵點是的中點，且，
∴點的橫坐標為，縱坐標為，即，
∵點在一次函數的圖象上，在反比例函數的圖象上，
∴，，
解得，，，
∴一次函數解析式為：，反比例函數解析式為，
聯立方程組得，
解得，，
∴，
如圖所示，過點作軸于點，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
當時，，即，
∴，
∴
，
整理得，，
∴，
解得，或，
∴或，
解得，或；
（3）解：當時，一次函數解析式為，把點代入得，，
∴，則，
∴，則點，，
∴，
把點代入得，，
∴，
∴反比例函數解析式為，
∴，
解得，，
∴，
當時，，即設一次函數與軸交點，
∴，
同理，，
∴，
∴，則，
設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
當時，，即，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
當時，，
∴，，如圖所示，
當時，，
∴，，如圖所示，
∴若，的值為或．
19．（2025·成都模擬）如圖，，，點在邊上，則的度數為　 　．
【答案】
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等及其性質；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】根據全等三角形的性質“全等三角形的對應邊相等”可得，根據等邊對頂角可得，然后根據三角形內角和定理即可求解．
20．（2025·成都模擬）若，是一元二次方程的兩個不相等的實數根，則的值為　 　．
【答案】
【知識點】分式的加減法；分式的化簡求值；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的兩個不相等的實數根，
∴，
，
∴原式，
故答案為： ．
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系“若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根，則x1+x2=，x1x2=”可得，根據分式的性質將分式化簡，再整體代換即可求解．
21．（2025·成都模擬）如圖，在矩形中，，，點是線段上的動點，點是線段延長線上的動點，連接，將四邊形沿所在直線翻折，若的中點落在點處，則線段的長度是　 　．
【答案】或
【知識點】勾股定理；矩形的性質；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如圖，過點做，點為的中點，連接交于點，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∵四邊形沿所在直線翻折，若的中點落在點處，
∴，，
∴，
∴，，
設，
則，，，
∴，
在中，
，
即，
∴，
在中，
，
即，
∴，
在中，
，
即，
整理得：，
即，
解得：或，
∴或，
故答案為：或．
【分析】根據題意畫出圖形，過點作，點為的中點，連接交于點，用角邊角可證，由全等三角形的對應邊相等可得，，設，則，，，，根據勾股定理將FM、MN用含x的代數式表示出來，再Rt△FMN 中，根據勾股定理可得關于的一元二次方程，解方程求出x的值，然后根據DF=2x即可求解．
22．（2025·成都模擬）問題情境：玩家在電腦上玩猜數字游戲，游戲規則是：從1到的自然數中猜數字，當玩家輸入程序的數字正確的時候，電腦會恭喜玩家回答正確；當玩家輸入的數字錯誤的時候，電腦會提示玩家正確的答案比輸入的數字大或則小并繼續游戲．
解決策略：小聰借助“二分法”原理，先將從1到的自然數由小到大排列，選取最中間的數或盡量靠中間的數將個數分成兩部分，根據電腦提示逐步縮小范圍，直至猜中數字．例如：
①當時，小聰先輸入中間的數字“2”，如果答案錯誤系統會提示正確答案與輸入數字的大小關系，即再輸入1次可一定正確，所以時輸入2次一定能猜中數字：
②當時，小聰先輸入中間的數字“3”，如果錯誤并提示正確答案比“3”小，再輸入“2”，如果錯誤再輸入“1”則一定正確；所以時輸入3次一定能猜中數字：
③當時，小聰先輸入盡量靠中間的數字“4”，如果正確答案比“4”大，再輸入“7”，如果錯誤并提示正確答案比“7”小，再輸入“6”，如果錯誤并提示正確答案比“6”小，再輸入“5”則一定正確；所以當時輸入4次一定能猜中數字．
問題解決：借助“二分法”的原理，當時，最少輸入　 　次可一定正確；當最少輸入8次才能保證一定正確時，則的最大值為　 　．
【答案】5；255
【知識點】探索數與式的規律
【解析】【解答】解：當時，先輸入盡量靠中間的數字“8”，如果正確答案比“8”大，再輸入“12”，如果正確答案比“12”大，再輸入“14”，如果錯誤并提示正確答案比“14”大，再輸入“15”，如果錯誤并提示正確答案比“15”大，再輸入“16”則一定正確；所以當時最少輸入5次可一定正確．
由題意，
當時，輸入1次一定能猜中數字：
當時，輸入2次一定能猜中數字：
當時，先輸入中間的數字“4”，如果錯誤并提示正確答案比“4”小，再輸入“2”，如果錯誤再輸入“1”則一定正確；所以時輸入3次一定能猜中數字：
當時，先輸入中間的數字“8”，如果正確答案比“8”大，再輸入“12”，如果錯誤并提示正確答案比“12”大，再輸入“14”，如果錯誤并提示正確答案比“14”大，再輸入“15”則一定正確；所以當時輸入4次一定能猜中數字．
以此類推，
當時，輸入8次一定能猜中數字．
故當最少輸入8次才能保證一定正確時，則的最大值為255，
故答案為：5，255．
【分析】根據“二分法”的原理，模仿題中例子方法計算，觀察計算結果，找出規律，根據變化規律即可求解．
23．（2025·成都模擬）已知一次函數：，二次函數：，當時，恒成立，則的取值范圍是　 　．
【答案】且
【知識點】二次函數與不等式（組）的綜合應用；一次函數的性質
【解析】【解答】解：由得：
整理，得，
解得，，
由題意，，
當時，一次函數y隨x的增大而增大，二次函數圖象開口向上，
若時，恒成立，
則，
解得，即；
當時，一次函數y隨x的增大而減小，二次函數圖象開口向下，
若時，恒成立，
則，
解得，即，
綜上，滿足條件的a的取值范圍為且，
故答案為：且．
【分析】由題意，先將y1、y2聯立方程組求得兩個函數的交點橫坐標為，，然后分和兩種情況，根據一次函數和二次函數的性質即可求解．
24．（2025·成都模擬）2025年甲乙兩家車商分別推出了型和型家用電車，已知一輛型家用電車比一輛型家用電車落地價貴11萬元，若購買2輛型家用電車和3輛型家用電車落地價共247萬元．（落地價是指消費者購買一輛車到上牌為止所花的所有費用）
（1）求型家用電車和型家用電車落地單價分別是多少萬元？
（2）為擴大市場占有率，甲車商決定對型家用電車降價萬元，乙車商也決定對型家用電車跟隨降價銷售，現甲車商利用大模型進行數據深度分析得出以下結論：
①乙車商對型家用電車降價的金額是甲車商對型家用電車降價金額的一半；
②為保證型家用電車在消費者心目中的高端定位，型家用電車落地單價不得低于型家用電車落地單價的；
為保證型家用電車的高端定位，求的最大值．
【答案】（1）解：設型家用電落地單價為萬元，則型家用電車落地單價為萬元，
由題意得：，
解得：，
則
答：型家用電落地單價為56萬元，則型家用電車落地單價為45萬元；
（2）解：由題意得，，
解得：，
∴的最大值為5．
【知識點】一元一次不等式的應用；一元一次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】
（1）設型家用電落地單價為萬元，則型家用電車落地單價為萬元，由“購買2輛型家用電車和3輛型家用電車落地價共247萬元”列關于x的一元一次方程，解方程即可求解；
（2）型家用電車降價后的價格為萬元，型家用電車降價后的價格為，再根據不等關系“型家用電車落地單價≥型家用電車落地單價的”列關于m的一元一次不等式，解不等式即可求解．
（1）解：設型家用電落地單價為萬元，則型家用電車落地單價為萬元，
由題意得：，
解得：，
則
答：型家用電落地單價為56萬元，則型家用電車落地單價為45萬元；
（2）解：由題意得，，
解得：，
∴的最大值為5．
25．（2025·成都模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線：（）與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，連接，作直線，點的坐標為且．
（1）求拋物線的表達式；
（2）若點在拋物線第一象限圖象上，線段（點在點的左側）是直線上一段長度為2的動線段，軸上一點，連接，，，，若四邊形為平行四邊形，求點的橫坐標；
（3）一次函數：（）圖象交二次函數于，兩點，拋物線上是否存在定點，連接，，當點與點，不重合時，總有，若存在，求定點的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）解：拋物線：（），
當時，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
代入得，，
解得：，
∴拋物線的表達式為．
（2）解：如圖，連接交于點，
設直線的解析式為，
代入得，
，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
設，
∵，
∴，
∵點在直線上，
∴，
解得：，，
當時，，
設，則，
解得：，，
∵點在點的左側，
∴；
當時，，
設，則，
解得：，，
∵點在點的左側，
∴；
∴綜上所述，點的橫坐標為或．
（3）存在，理由如下：
解：如圖，過點作軸的平行線，過點分別作此平行線的垂線，垂足為，
設，，
聯立，
消去整理得：，
∴，，
∴，
，
設，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵點是定點，
∴，，，
解得：，，
經檢驗，在拋物線上，符合題意；
∴拋物線上存在定點，點的坐標為．
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊；二次函數-角度的存在性問題
【解析】【分析】（1）根據題意得到，，由三角形面積得到，，再用待定系數法即可求解；
（2）連接交于點，用待定系數法求出直線的解析式，根據平行四邊形的性質“平行四邊形的對角線互相平分”可得，，設，由中點坐標公式可得，將點的坐標代入直線AC的解析式可得關于t的方程，解方程求出t的值，可得點的坐標，設，用勾股定理列出關于n的方程，解方程求出的值即可求解；
（3）過點作軸的平行線，過點分別作此平行線的垂線，垂足為，設，，聯立一次函數和拋物線的解析式，整理得，根據一元二次方程根與系數的關系得，，則可表示出，，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可證，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式，設，根據圖形的坐標列出等式，結合點是定點，求出的值，可得點的坐標，再檢驗是否符合題意即可求解．
（1）解：拋物線：（），
當時，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
代入得，，
解得：，
∴拋物線的表達式為．
（2）解：如圖，連接交于點，
設直線的解析式為，
代入得，，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
設，
∵，
∴，
∵點在直線上，
∴，
解得：，，
當時，，
設，則，
解得：，，
∵點在點的左側，
∴；
當時，，
設，則，
解得：，，
∵點在點的左側，
∴；
∴綜上所述，點的橫坐標為或．
（3）解：如圖，過點作軸的平行線，過點分別作此平行線的垂線，垂足為，
設，，
聯立，
消去整理得：，
∴，，
∴，
，
設，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵點是定點，
∴，，，
解得：，，
經檢驗，在拋物線上，符合題意；
∴拋物線上存在定點，點的坐標為．
26．（2025·成都模擬）在中，，，點在過點的直線上運動，連接，在右側作，使得．
（1）如圖1，連接，求證：；
（2）當，時，連接；
若時，交線段于點，如圖2，當時，求的度數：
當時，射線交于點，當的中點落在上時，連接，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如圖，連接，過點作于點，
∵，，，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴點，，共線，
設，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
設，以為原點，為正半軸建立平面直角坐標系，設直線交軸于點，過點作于點，
∵，，
∴，，，，
當點在軸右側時，如圖，
∵，
∴，
∴，，
∴，
設，
∵為的中點，
∴，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
設直線解析式為，
代入，
得，
∴直線解析式為，
∵在直線上，
∴，
化簡得，
解得：（負值舍），
∴，，
則；
當在軸左側時，如圖，
同理求得，
同理得，，
則；
綜上所述，或．
【知識點】三角形-動點問題；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式，，然后由相似三角形的判定“兩邊的比相等且這兩邊的夾角也相等的兩個三角形相似”即可求解；
（2）連接，過點作于點，由題意易得和是等腰直角三角形，由，并結合（1）中的相似三角形可求得，則可得點，，共線，設，由等邊對等角和角的和差可求得，由等角對等邊可得，解可得，則，可得，即可求解；
設，以為原點，為正半軸建立平面直角坐標系，設直線交軸于點，過點作于點， 得出，，，，分兩種情況：①當點在軸右側時， 得出，設，則，證明，得出，，則可得，求出直線解析式為，由在直線上，得出，求解得出，得出，，即可求解；
②當在軸左側時，同理可求解．
（1）解：∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如圖，連接，過點作于點，
∵，，，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴點，，共線，
設，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
設，以為原點，為正半軸建立平面直角坐標系，設直線交軸于點，過點作于點，
∵，，
∴，，，，
當點在軸右側時，如圖，
∵，
∴，
∴，，
∴，
設，
∵為的中點，
∴，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
設直線解析式為，
代入，
得，
∴直線解析式為，
∵在直線上，
∴，
化簡得，
解得：（負值舍），
∴，，
則；
當在軸左側時，如圖，
同理求得，
同理得，，
則；
綜上所述，或．
1 / 1四川成都市青羊區2025年中考數學二診試卷
1．（2025·成都模擬）如圖是由4個相同的小立方體搭成的幾何體，這個幾何體的主視圖是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·成都模擬）若分式有意義，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·成都模擬）在平面直角坐標系中，點的坐標為，則點關于軸對稱點的坐標是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·成都模擬）下列計算結果正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·成都模擬）已知直線，將一個直角三角板如圖放置，使得角的頂點落在上，直角頂點落在上，點落在，之間，當時，的度數是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·成都模擬）九（1）班同學設計用頻率估計概率的試驗如下：在一個不透明的口袋中，裝有12個球，它們除顏色外其余均相同，搖勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回口袋中．通過大量重復摸球試驗，統計了摸到紅球的頻率，繪出的統計表如圖所示，則口袋中紅球的個數最可能是（　　）
摸球總次數 10 50 100 1000
摸到紅球的頻率
A．3個 B．4個 C．5個 D．10個
7．（2025·成都模擬）下列說法正確的是（　　）
A．有三個角相等的四邊形是矩形
B．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
C．平分弦的直徑垂直于這條弦
D．過一點有且僅有一條直線平行于已知直線
8．（2025·成都模擬）在中，，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以的長為半徑作弧，交于點，連接；②以A為圓心，以的長為半徑作弧，以為圓心，以的長為半徑作弧，兩弧在右側交于點；③連接，連接交于點，下列結論錯誤的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·成都模擬）若實數，，滿足：，則的值為　 　．
10．（2025·成都模擬）分式方程：的解為　 　．
11．（2025·成都模擬）如圖，在扇形中，，，則扇形的面積為　 　．
12．（2025·成都模擬）2025年中國迎來了諸多科技成果的爆發，人形機器人便是其中之一．據稱，某前沿科技公司研發的人形機器人的交互反應的時間在秒左右，將用科學記數法表示為　 　．
13．（2025·成都模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知一次函數分別交軸，軸于點，，點是直線上一動點，連接，則線段的最小值為　 　．
14．（2025·成都模擬）（1）計算：；
（2）解不等式組：．
15．（2025·成都模擬）某學校準備組織學生進行周末游湖研學活動，有滄浪湖、北湖、錦城湖、青龍湖4個目的地選擇，為了解學生的參與情況，該校隨機抽取了部分學生的報名情況（每人選報一個目的地），小強根據調查結果繪制了兩幅不完整的統計圖，請你根據圖中信息，解答下列問題：
（1）本次抽樣調查的總人數為______，請將條形統計圖補充完整．
（2）扇形統計圖中“青龍湖”對應的圓心角為______°，若該學校共有學生1200名，請估計參加“滄浪湖游湖研學”的學生有多少人？
（3）研學活動有文藝類的：“現場繪畫”，：“情境寫作”和實踐類的：“水質調研”，：“植被調研”共4項活動，為平衡活動方案，以班級為單位隨機選擇2種活動參加，請用畫樹狀圖或列表法求出某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的概率．
16．（2025·成都模擬）數學興趣小組的成員小王在觀察點測得觀察點在的正北方向，成員小劉在觀察點測得觀察點在的北偏西的方向上，距離為130米，成員小紅在觀察點測得觀察點在的南偏東的方向上，求觀測點，之間的距離．（結果精確到米，參考數據：，，，，，）
17．（2025·成都模擬）如圖，，是⊙的直徑，連接，，過點作于點，交于點，交⊙于另一點，過點作⊙的切線交的延長線于點．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若，，求⊙的半徑．
18．（2025·成都模擬）在平面直角坐標系中，一次函數：的圖象與軸交于點，與反比例函數：的圖象交于，兩點（點在點的右側），過的中點作線段的垂線交軸于點，交軸于點，連接，，．
（1）如圖1，當，點的坐標為時，求反比例函數的表達式和點坐標：
（2）如圖2，當，連接時，，求的值；
（3）當時，若，求的值．
19．（2025·成都模擬）如圖，，，點在邊上，則的度數為　 　．
20．（2025·成都模擬）若，是一元二次方程的兩個不相等的實數根，則的值為　 　．
21．（2025·成都模擬）如圖，在矩形中，，，點是線段上的動點，點是線段延長線上的動點，連接，將四邊形沿所在直線翻折，若的中點落在點處，則線段的長度是　 　．
22．（2025·成都模擬）問題情境：玩家在電腦上玩猜數字游戲，游戲規則是：從1到的自然數中猜數字，當玩家輸入程序的數字正確的時候，電腦會恭喜玩家回答正確；當玩家輸入的數字錯誤的時候，電腦會提示玩家正確的答案比輸入的數字大或則小并繼續游戲．
解決策略：小聰借助“二分法”原理，先將從1到的自然數由小到大排列，選取最中間的數或盡量靠中間的數將個數分成兩部分，根據電腦提示逐步縮小范圍，直至猜中數字．例如：
①當時，小聰先輸入中間的數字“2”，如果答案錯誤系統會提示正確答案與輸入數字的大小關系，即再輸入1次可一定正確，所以時輸入2次一定能猜中數字：
②當時，小聰先輸入中間的數字“3”，如果錯誤并提示正確答案比“3”小，再輸入“2”，如果錯誤再輸入“1”則一定正確；所以時輸入3次一定能猜中數字：
③當時，小聰先輸入盡量靠中間的數字“4”，如果正確答案比“4”大，再輸入“7”，如果錯誤并提示正確答案比“7”小，再輸入“6”，如果錯誤并提示正確答案比“6”小，再輸入“5”則一定正確；所以當時輸入4次一定能猜中數字．
問題解決：借助“二分法”的原理，當時，最少輸入　 　次可一定正確；當最少輸入8次才能保證一定正確時，則的最大值為　 　．
23．（2025·成都模擬）已知一次函數：，二次函數：，當時，恒成立，則的取值范圍是　 　．
24．（2025·成都模擬）2025年甲乙兩家車商分別推出了型和型家用電車，已知一輛型家用電車比一輛型家用電車落地價貴11萬元，若購買2輛型家用電車和3輛型家用電車落地價共247萬元．（落地價是指消費者購買一輛車到上牌為止所花的所有費用）
（1）求型家用電車和型家用電車落地單價分別是多少萬元？
（2）為擴大市場占有率，甲車商決定對型家用電車降價萬元，乙車商也決定對型家用電車跟隨降價銷售，現甲車商利用大模型進行數據深度分析得出以下結論：
①乙車商對型家用電車降價的金額是甲車商對型家用電車降價金額的一半；
②為保證型家用電車在消費者心目中的高端定位，型家用電車落地單價不得低于型家用電車落地單價的；
為保證型家用電車的高端定位，求的最大值．
25．（2025·成都模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線：（）與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，連接，作直線，點的坐標為且．
（1）求拋物線的表達式；
（2）若點在拋物線第一象限圖象上，線段（點在點的左側）是直線上一段長度為2的動線段，軸上一點，連接，，，，若四邊形為平行四邊形，求點的橫坐標；
（3）一次函數：（）圖象交二次函數于，兩點，拋物線上是否存在定點，連接，，當點與點，不重合時，總有，若存在，求定點的坐標，若不存在，請說明理由．
26．（2025·成都模擬）在中，，，點在過點的直線上運動，連接，在右側作，使得．
（1）如圖1，連接，求證：；
（2）當，時，連接；
若時，交線段于點，如圖2，當時，求的度數：
當時，射線交于點，當的中點落在上時，連接，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：觀察所給幾何體可發現，從正面看從左到右共有兩列，第一列有一層，第二列有兩層，
∴這個幾何體的主視圖是
故答案為：D ．
【分析】觀察所給幾何體可發現，從正面看從左到右共有兩列，第一列有一層，第二列有兩層，結合主視圖的意義可求解．
2．【答案】A
【知識點】分式有無意義的條件
【解析】【解答】解：由題意得，
解得：
故答案為：A．
【分析】根據分式有意義的條件"分母不等于0"可列關于x的不等式，解不等式即可求解．
3．【答案】A
【知識點】關于坐標軸對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：點 關于軸對稱點的坐標是，
故答案為：A．
【分析】根據關于y軸對稱的點的坐標變化特征"橫坐標互為相反數，縱坐標不變"即可求解．
4．【答案】C
【知識點】同底數冪的除法；完全平方公式及運用；平方差公式及應用；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、≠x2-y2，∴此選項不符合題意；
B、≠a6，∴此選項不符合題意；
C、，∴此選項不符合題意；
D、≠a4，∴此選項不符合題意；
故答案為：C．
【分析】A、根據平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”計算即可判斷求解；
B、根據冪的乘方法則“冪的乘方，底數不變，指數相乘”計算即可判斷求解；
C、根據完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”計算即可判斷求解；
D、根據同底數冪的除法法則“同底數冪相除，底數不變，指數相減”計算即可判斷求解.
5．【答案】B
【知識點】三角形內角和定理；兩直線平行，內錯角相等；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：中，，，
，
如圖，過G點作，
，
，
，，
又，
．
故答案為：B．
【分析】根據三角形內角和定理可求得，過G點作，則，根據平行線的性質“兩直線平行，內錯角相等”可得，，然后由角的和差即可求解．
6．【答案】B
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：從給出的表格中可以看到，隨著摸球總次數的增加，摸到紅球的頻率逐漸穩定在左右，
設口袋中紅球有個，
由于摸到紅球的頻率穩定值可近似看作摸到紅球的概率，即，
解得：，
所以口袋中紅球的個數最可能是個，
故答案為：B．
【分析】根據表格中信息并結合用頻率估計概率可得紅球的概率，再根據概率公式即可求解．
7．【答案】B
【知識點】平行公理及推論；菱形的判定；矩形的判定；垂徑定理
【解析】【解答】解：A、有三個角相等的四邊形不一定是矩形，如四邊形中，，，
∴這個四邊形不是矩形，
∴此選項不符合題意；
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，正確，
∴此選項符合題意；
C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，
∴此選項不符合題意；
D、過直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線，
∴此選項不符合題意．
故答案為：B．
【分析】A、舉反例并結合矩形的判定可求解；
B、根據菱形的判定可求解；
C、根據垂徑定理可求解；
D、根據平行公理可求解．
8．【答案】D
【知識點】平行四邊形的判定與性質；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：A、由步驟②可知，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴此選項不符合題意；
B、在△DBA和△AED中
∴（SSS）
∴此選項不符合題意；
C、由A可得DE∥BA，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴此選項不符合題意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴此選項符合題意．
故答案為：D．
【分析】A、由步驟②可知，，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形是平行四邊形，根據平行線的性質“兩直線平行，內錯角相等”可求解；
B、由題意，用邊邊邊可得△DBA≌△AED；
C、由A可得DE∥BA，根據平行線的性質“兩直線平行，同位角相等”可得∠CDF=∠CBA，∠CFD=∠CAB，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可得△CDF∽△CBA，由相似三角形的對應邊的比相等可求解；
D、同理可得△CDF∽△AEF，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式≠1，即CF≠AF.
9．【答案】4
【知識點】偶次方的非負性；算術平方根的性質（雙重非負性）；絕對值的非負性；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
且，
，，，
，，，
．
故答案為：4.
【分析】根據絕對值的非負性和二次根式的非負性可得關于x、y、z的方程組，解方程組可求得x、y、z的值，將x、y、z的值代入所求代數式計算即可求解．
10．【答案】
【知識點】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得，，
解得，，
經檢驗，是原方程的根，
∴分式方程的解為：，
故答案為：.
【分析】由題意，去分母將分式方程轉化為整式方程，解整式方程求出x的值，檢驗即可判斷求解．
11．【答案】
【知識點】扇形面積的計算
【解析】【解答】解：由題意，該扇形的面積為：，
故答案為：．
【分析】根據扇形的面積公式（n為扇形圓心角的度數）計算即可求解．
12．【答案】
【知識點】科學記數法表示大于0且小于1的數
【解析】【解答】解：，
故答案為：．
【分析】根據“大于0且小于1的數用科學記數法的表示形式為的形式，其中，為負整數．”并結合題意即可求解．
13．【答案】
【知識點】勾股定理；一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【解答】解：∵一次函數分別交軸，軸于點，，
當時，，解得：，則
當時，，則，
∴
∴
∵點是直線上一動點，連接，當時，最小，
此時
∴
故答案為：．
【分析】根據一次函數分別于x軸、y軸交于點A、B，令y=0、x=0分別求出對應的x、y的值，則可得的坐標，用勾股定理求得的長，連接，當時，最小，根據等面積法即可求解．
14．【答案】解：（1）
（2）解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式組的解集為．
【知識點】零指數冪；解一元一次不等式組；實數的混合運算（含開方）；特殊角的三角函數的混合運算
【解析】【分析】
（1）先計算特殊角的三角函數值可得tan30°=，由0指數冪的意義“任何一個不為0的數的0次冪等于1”可得（2025-π）0=1，由絕對值的非負性可得，然后根據實數的運算法則計算即可求解；
（2）先解不等式①，再解不等式②，再根據“同大取大、同小取小、大小小大取中間、大大小小無解”找出它們的公共部分即為不等式組的解集．
15．【答案】（1）20，
補全條形統計圖如圖所示：
（2），420人
（3）解：解：列表如下：
A B C D
A
（A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A）
（B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B）
（C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12種等可能的結果，其中某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的結果有：（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B），共8種，
∴某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的概率為．
【知識點】扇形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；簡單事件概率的計算；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】
（1）
解：本次抽樣調查的總人數為（人），
參加北湖人數為（人），
補全條形統計圖如圖所示：
（2）
解：扇形統計圖中“青龍湖”對應的圓心角為；
估計參加“滄浪湖游湖研學”的學生有（人）；
【分析】
（1）根據樣本容量=頻數÷百分比可知：用參加錦城湖的人數除以其所占的百分比可求得調查人數，再根據頻數=樣本容量×百分比可求得參加北湖人數，然后可補全條形統計圖；
（2）根據圓心角=百分比×360°可知：用乘以“青龍湖”所占的比例可求得對應圓心角的度數；用總人數乘以樣本中參加“滄浪湖游湖研學”的學生所占的比例即可求解；
（3）由題意畫出樹狀圖，根據樹狀圖中的信息可知總共等可能的結果數，再從中找出滿足條件的結果數，然后根據概率公式計算即可求解．
（1）解：本次抽樣調查的總人數為（人），
參加北湖人數為（人），
補全條形統計圖如圖所示：
（2）解：扇形統計圖中“青龍湖”對應的圓心角為；
估計參加“滄浪湖游湖研學”的學生有（人）；
（3）解：列表如下：
　 A B C D
A 　 （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） 　 （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） 　 （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） 　
共有12種等可能的結果，其中某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的結果有：（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B），共8種，
∴某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的概率為．
16．【答案】解：延長，過點C作于點D，如圖所示：
則，
∵米，，
∴（米），
（米），
∵，
∴（米），
∴（米），
答：觀測點，之間的距離為74米．
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣方向角問題
【解析】【分析】延長，過點C作于點D，根據銳角三角函數sin∠CBD=求出CD的值，cos∠CBD=求出BD的值，在Rt△ACD中，同理根據tan∠CAD=求出AD的值，再根據線段的和差AB=AD-BD可求解．
17．【答案】（1）證明：∵與⊙的相切于點C，是⊙的直徑，
∴，
則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：∵是⊙的直徑，
∴，
則，
∵，，
∴，又，
∴；
（3）解：由可設，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，即⊙的半徑是4．
【知識點】圓的綜合題；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】
（1）根據切線的性質和等腰三角形的性質，結合等角的余角相等可得，然后根據等角對等邊可求解；
（2）根據直徑所對的圓周角是直角可得，再由等角的余角相等得，然后根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可求解；
（3）設，，則，，，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可得，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式將BG用含x的代數式表示出來，再由等腰三角形的性質得到，根據線段的和差列關于x的方程，解方程求出x的值，然后根據CO=2x即可求解．
（1）證明：∵與⊙的相切于點C，是⊙的直徑，
∴，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：∵是⊙的直徑，
∴，則，
∵，，
∴，又，
∴；
（3）解：由可設，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，即⊙的半徑是4．
18．【答案】（1）解：當時，一次函數解析式為，
∴，
∵點是的中點，且，
∴，
解得，，
∴，
把點代入反比例函數解析式得，
，
解得，，
∴反比例函數解析式為，
把點代入一次函數解析式得，
，
解得，，
∴一次函數解析式為，
聯立反比例函數、一次函數解析式得，
，
解得，，
∴；
（2）解：當時，同理，，，
∵點是的中點，且，
∴點的橫坐標為，縱坐標為，即，
∵點在一次函數的圖象上，在反比例函數的圖象上，
∴，，
解得，，，
∴一次函數解析式為：，反比例函數解析式為，
聯立方程組得，
解得，，
∴，
如圖所示，過點作軸于點，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
當時，，即，
∴，
∴
，
整理得，，
∴，
解得，或，
∴或，
解得，或；
（3）解：當時，一次函數解析式為，把點代入得，
，
∴，則，
∴，則點，，
∴，
把點代入得，，
∴，
∴反比例函數解析式為，
∴，
解得，，
∴，
當時，，即設一次函數與軸交點，
∴，
同理，，
∴，
∴，則，
設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
當時，，即，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
當時，，
∴，，如圖所示，
當時，，
∴，，如圖所示，
∴若，的值為或．
答：的值為或.
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；解直角三角形；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】（1）根據題意易得，根據中點坐標公式可得點，然后用待定系數法即可求解；
（2）根據題意得，根據點在一次函數的圖象上，在反比例函數的圖象上，得到一次函數解析式為：，反比例函數解析式為，則，如圖所示，過點作軸于點，根據可將EG和OE用含yA的代數式表示出來，則，則直線的解析式為，，然后根據三角形ABF的面積=5可得關于yA的方程，解方程即可求解；
（3）根據題意得到，則，，則點，，，設一次函數與軸交點，，直線的解析式為，即，根據兩點之間距離的計算得到，，，，根據相似三角形的對應邊的比相等可得比例式求解 ．
（1）解：當時，一次函數解析式為，
∴，
∵點是的中點，且，
∴，
解得，，
∴，
把點代入反比例函數解析式得，，
解得，，
∴反比例函數解析式為，
把點代入一次函數解析式得，，
解得，，
∴一次函數解析式為，
聯立反比例函數、一次函數解析式得，，
解得，，
∴；
（2）解：當時，同理，，，
∵點是的中點，且，
∴點的橫坐標為，縱坐標為，即，
∵點在一次函數的圖象上，在反比例函數的圖象上，
∴，，
解得，，，
∴一次函數解析式為：，反比例函數解析式為，
聯立方程組得，
解得，，
∴，
如圖所示，過點作軸于點，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
當時，，即，
∴，
∴
，
整理得，，
∴，
解得，或，
∴或，
解得，或；
（3）解：當時，一次函數解析式為，把點代入得，，
∴，則，
∴，則點，，
∴，
把點代入得，，
∴，
∴反比例函數解析式為，
∴，
解得，，
∴，
當時，，即設一次函數與軸交點，
∴，
同理，，
∴，
∴，則，
設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
當時，，即，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
當時，，
∴，，如圖所示，
當時，，
∴，，如圖所示，
∴若，的值為或．
19．【答案】
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等及其性質；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】根據全等三角形的性質“全等三角形的對應邊相等”可得，根據等邊對頂角可得，然后根據三角形內角和定理即可求解．
20．【答案】
【知識點】分式的加減法；分式的化簡求值；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的兩個不相等的實數根，
∴，
，
∴原式，
故答案為： ．
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系“若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根，則x1+x2=，x1x2=”可得，根據分式的性質將分式化簡，再整體代換即可求解．
21．【答案】或
【知識點】勾股定理；矩形的性質；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如圖，過點做，點為的中點，連接交于點，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∵四邊形沿所在直線翻折，若的中點落在點處，
∴，，
∴，
∴，，
設，
則，，，
∴，
在中，
，
即，
∴，
在中，
，
即，
∴，
在中，
，
即，
整理得：，
即，
解得：或，
∴或，
故答案為：或．
【分析】根據題意畫出圖形，過點作，點為的中點，連接交于點，用角邊角可證，由全等三角形的對應邊相等可得，，設，則，，，，根據勾股定理將FM、MN用含x的代數式表示出來，再Rt△FMN 中，根據勾股定理可得關于的一元二次方程，解方程求出x的值，然后根據DF=2x即可求解．
22．【答案】5；255
【知識點】探索數與式的規律
【解析】【解答】解：當時，先輸入盡量靠中間的數字“8”，如果正確答案比“8”大，再輸入“12”，如果正確答案比“12”大，再輸入“14”，如果錯誤并提示正確答案比“14”大，再輸入“15”，如果錯誤并提示正確答案比“15”大，再輸入“16”則一定正確；所以當時最少輸入5次可一定正確．
由題意，
當時，輸入1次一定能猜中數字：
當時，輸入2次一定能猜中數字：
當時，先輸入中間的數字“4”，如果錯誤并提示正確答案比“4”小，再輸入“2”，如果錯誤再輸入“1”則一定正確；所以時輸入3次一定能猜中數字：
當時，先輸入中間的數字“8”，如果正確答案比“8”大，再輸入“12”，如果錯誤并提示正確答案比“12”大，再輸入“14”，如果錯誤并提示正確答案比“14”大，再輸入“15”則一定正確；所以當時輸入4次一定能猜中數字．
以此類推，
當時，輸入8次一定能猜中數字．
故當最少輸入8次才能保證一定正確時，則的最大值為255，
故答案為：5，255．
【分析】根據“二分法”的原理，模仿題中例子方法計算，觀察計算結果，找出規律，根據變化規律即可求解．
23．【答案】且
【知識點】二次函數與不等式（組）的綜合應用；一次函數的性質
【解析】【解答】解：由得：
整理，得，
解得，，
由題意，，
當時，一次函數y隨x的增大而增大，二次函數圖象開口向上，
若時，恒成立，
則，
解得，即；
當時，一次函數y隨x的增大而減小，二次函數圖象開口向下，
若時，恒成立，
則，
解得，即，
綜上，滿足條件的a的取值范圍為且，
故答案為：且．
【分析】由題意，先將y1、y2聯立方程組求得兩個函數的交點橫坐標為，，然后分和兩種情況，根據一次函數和二次函數的性質即可求解．
24．【答案】（1）解：設型家用電落地單價為萬元，則型家用電車落地單價為萬元，
由題意得：，
解得：，
則
答：型家用電落地單價為56萬元，則型家用電車落地單價為45萬元；
（2）解：由題意得，，
解得：，
∴的最大值為5．
【知識點】一元一次不等式的應用；一元一次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】
（1）設型家用電落地單價為萬元，則型家用電車落地單價為萬元，由“購買2輛型家用電車和3輛型家用電車落地價共247萬元”列關于x的一元一次方程，解方程即可求解；
（2）型家用電車降價后的價格為萬元，型家用電車降價后的價格為，再根據不等關系“型家用電車落地單價≥型家用電車落地單價的”列關于m的一元一次不等式，解不等式即可求解．
（1）解：設型家用電落地單價為萬元，則型家用電車落地單價為萬元，
由題意得：，
解得：，
則
答：型家用電落地單價為56萬元，則型家用電車落地單價為45萬元；
（2）解：由題意得，，
解得：，
∴的最大值為5．
25．【答案】（1）解：拋物線：（），
當時，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
代入得，，
解得：，
∴拋物線的表達式為．
（2）解：如圖，連接交于點，
設直線的解析式為，
代入得，
，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
設，
∵，
∴，
∵點在直線上，
∴，
解得：，，
當時，，
設，則，
解得：，，
∵點在點的左側，
∴；
當時，，
設，則，
解得：，，
∵點在點的左側，
∴；
∴綜上所述，點的橫坐標為或．
（3）存在，理由如下：
解：如圖，過點作軸的平行線，過點分別作此平行線的垂線，垂足為，
設，，
聯立，
消去整理得：，
∴，，
∴，
，
設，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵點是定點，
∴，，，
解得：，，
經檢驗，在拋物線上，符合題意；
∴拋物線上存在定點，點的坐標為．
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊；二次函數-角度的存在性問題
【解析】【分析】（1）根據題意得到，，由三角形面積得到，，再用待定系數法即可求解；
（2）連接交于點，用待定系數法求出直線的解析式，根據平行四邊形的性質“平行四邊形的對角線互相平分”可得，，設，由中點坐標公式可得，將點的坐標代入直線AC的解析式可得關于t的方程，解方程求出t的值，可得點的坐標，設，用勾股定理列出關于n的方程，解方程求出的值即可求解；
（3）過點作軸的平行線，過點分別作此平行線的垂線，垂足為，設，，聯立一次函數和拋物線的解析式，整理得，根據一元二次方程根與系數的關系得，，則可表示出，，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可證，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式，設，根據圖形的坐標列出等式，結合點是定點，求出的值，可得點的坐標，再檢驗是否符合題意即可求解．
（1）解：拋物線：（），
當時，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
代入得，，
解得：，
∴拋物線的表達式為．
（2）解：如圖，連接交于點，
設直線的解析式為，
代入得，，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
設，
∵，
∴，
∵點在直線上，
∴，
解得：，，
當時，，
設，則，
解得：，，
∵點在點的左側，
∴；
當時，，
設，則，
解得：，，
∵點在點的左側，
∴；
∴綜上所述，點的橫坐標為或．
（3）解：如圖，過點作軸的平行線，過點分別作此平行線的垂線，垂足為，
設，，
聯立，
消去整理得：，
∴，，
∴，
，
設，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵點是定點，
∴，，，
解得：，，
經檢驗，在拋物線上，符合題意；
∴拋物線上存在定點，點的坐標為．
26．【答案】（1）解：∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如圖，連接，過點作于點，
∵，，，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴點，，共線，
設，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
設，以為原點，為正半軸建立平面直角坐標系，設直線交軸于點，過點作于點，
∵，，
∴，，，，
當點在軸右側時，如圖，
∵，
∴，
∴，，
∴，
設，
∵為的中點，
∴，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
設直線解析式為，
代入，
得，
∴直線解析式為，
∵在直線上，
∴，
化簡得，
解得：（負值舍），
∴，，
則；
當在軸左側時，如圖，
同理求得，
同理得，，
則；
綜上所述，或．
【知識點】三角形-動點問題；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式，，然后由相似三角形的判定“兩邊的比相等且這兩邊的夾角也相等的兩個三角形相似”即可求解；
（2）連接，過點作于點，由題意易得和是等腰直角三角形，由，并結合（1）中的相似三角形可求得，則可得點，，共線，設，由等邊對等角和角的和差可求得，由等角對等邊可得，解可得，則，可得，即可求解；
設，以為原點，為正半軸建立平面直角坐標系，設直線交軸于點，過點作于點， 得出，，，，分兩種情況：①當點在軸右側時， 得出，設，則，證明，得出，，則可得，求出直線解析式為，由在直線上，得出，求解得出，得出，，即可求解；
②當在軸左側時，同理可求解．
（1）解：∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如圖，連接，過點作于點，
∵，，，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴點，，共線，
設，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
設，以為原點，為正半軸建立平面直角坐標系，設直線交軸于點，過點作于點，
∵，，
∴，，，，
當點在軸右側時，如圖，
∵，
∴，
∴，，
∴，
設，
∵為的中點，
∴，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
設直線解析式為，
代入，
得，
∴直線解析式為，
∵在直線上，
∴，
化簡得，
解得：（負值舍），
∴，，
則；
當在軸左側時，如圖，
同理求得，
同理得，，
則；
綜上所述，或．
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