資源簡介

廣東省深圳市南外集團(tuán)2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)4月聯(lián)考（二模）試卷
一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
1．（2025·深圳模擬）我國新能源汽車表現(xiàn)亮眼，連續(xù)9年摘得全球產(chǎn)銷量第一桂冠，產(chǎn)銷量全球占比均超過60%．以下新能源汽車圖標(biāo)既是中心對稱，還是軸對稱的是（　　）
A．極氪 B．小鵬
C．理想 D．蔚來
2．（2025·深圳模擬）下列計算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·深圳模擬）自2025年1月11日，全球上線以來，這款中國AI應(yīng)用以驚人的速度改寫了行業(yè)格局，1月28日單日下載峰值沖至11040000次，創(chuàng)下全球AI應(yīng)用單日下載量新紀(jì)錄.11040000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
4．（2025·深圳模擬）同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面向上 一枚硬幣反面向上的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·深圳模擬）數(shù)軸上點A，B，D分別對應(yīng)2，4，6，分別以A，D為圓心，大于的長度為半徑畫弧，交于點和點，連接，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點；以原點為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，則點對應(yīng)的數(shù)是（　　）
A． B．5 C． D．
6．（2025·深圳模擬）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時的示意圖，圖3是在打開狀態(tài)時的示意圖（此時），相關(guān)數(shù)據(jù)如圖（單位：cm）．從圖2閉合狀態(tài)到圖3打開狀態(tài)，點B，D之間的距離減少了（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．（2025·深圳模擬）數(shù)學(xué)的美無處不在．?dāng)?shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，彈撥琴弦發(fā)出聲音的音調(diào)高低，取決于弦的長度，繃得一樣緊的幾根弦，如果長度的比能夠表示成整數(shù)的比，發(fā)出的聲音就比較和諧．例如，三根弦長度之比是，把它們繃得一樣緊，用同樣的力彈撥，它們將分別發(fā)出很調(diào)和的樂聲．研究15、12、10這三個數(shù)的倒數(shù)發(fā)現(xiàn)：．我們稱15、12、10這三個數(shù)為一組調(diào)和數(shù)．現(xiàn)有一組調(diào)和數(shù)：x、8、5（），則x的值是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
8．（2025·深圳模擬）用米長的圍欄圍成一邊靠墻（墻足夠長）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，小紅提出了圍成矩形、等腰三角形（底邊靠墻）、半圓形這三種方案，最佳方案是（　　）
A．方案 B．方案 C．方案 D．都一樣
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
9．（2025·深圳模擬）有理數(shù)8的算術(shù)平方根為　 　．
10．（2025·深圳模擬）是方程的根，則式子的值為　 　．
11．（2025·深圳模擬）驗光師通過檢測發(fā)現(xiàn)近視眼鏡的度數(shù)（度）與鏡片焦距（米）成反比例，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖所示．小雪的鏡片焦距為0.2米時，眼鏡度數(shù)為500度，經(jīng)過一段時間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距變?yōu)?.5米，此時眼鏡的度數(shù)為　 　度．
12．（2025·深圳模擬）如圖是“神舟十四號”載人航天飛船搭載的機械臂，可以在天宮空間站外進(jìn)行維修作業(yè)．如圖是處于工作狀態(tài)的機械臂示意圖，是垂直于工作臺的移動基座，、為機械臂，，，工作時，機械壁伸展到．則A、兩點之間的距離為　 　m．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）
13．（2025·深圳模擬）如圖，正方形的邊長為3，點E，F(xiàn)，G分別在邊上，且．當(dāng)時，的最小值為　 　．
三、解答題（本題共7小題，共61分）
14．（2025·深圳模擬）計算：
15．（2025·深圳模擬）吳廣同學(xué)計算時，是這樣做的：
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
（1）吳廣同學(xué)的做法從第 ▲ 步開始出現(xiàn)錯誤，正確的計算結(jié)果是 ▲ ．
（2）計算：．
16．（2025·深圳模擬）根據(jù)深圳市教育局印發(fā)的《深圳市義務(wù)教育階段學(xué)校課后服務(wù)實施意見》，某校積極開展課后延時服務(wù)活動，提供了“有趣的生物實驗、經(jīng)典影視欣賞、虛擬機器人競賽、趣味籃球訓(xùn)練、國際象棋大賽……”等課程供學(xué)生自由選擇，一個學(xué)期后，該校為了解學(xué)生對課后延時服務(wù)的滿意情況，隨機對部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果按照“．非常滿意；．比較滿意；．基本滿意；．不滿意”四個等級繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖：請你根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）該校抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 ▲ 人，請補全條形統(tǒng)計圖；
（2）樣本中，學(xué)生對課后延時服務(wù)滿意情況的“中位數(shù)”所在等級為 ▲ ，“眾數(shù)”所在等級為 ▲ ；（填“、、或”）；扇形的圓心角是 ▲ 度；
（3）若該校共有學(xué)生2100人，據(jù)此調(diào)查估計全校學(xué)生對延時服務(wù)滿意（包含、、三個等級）的學(xué)生有多少人？
17．（2025·深圳模擬）據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
如何設(shè)計銷售方案？
素材1 互聯(lián)網(wǎng)時代，越來越多大山里的農(nóng)產(chǎn)品，能夠通過豐富多元的網(wǎng)絡(luò)渠道走出大山、遠(yuǎn)銷全國各地．直播助銷就是運用“互聯(lián)網(wǎng)”的一種銷售方式．小明為當(dāng)?shù)靥厣ㄉc茶葉兩種產(chǎn)品助銷．已知每千克花生的售價比每千克茶葉的售價低40元．
素材2 銷售50千克花生與銷售10千克茶葉的總售價相同．
素材3 花生的成本為6元/千克，茶葉的成本為36元/千克，小明計劃兩種產(chǎn)品共助銷60千克，總成本不高于1260元，且花生的數(shù)量不高于茶葉數(shù)量的2倍．
問題解決
任務(wù)1 假設(shè)每千克茶葉的售價為元/千克，每千克花生的售價為元/千克，請協(xié)助解決右邊問題． 問題： ▲ （用含的代數(shù)式表示）
任務(wù)2 基于任務(wù)1的假設(shè)和素材2的條件，請嘗試求出茶葉和花生的售價．
任務(wù)3 【擬定設(shè)計方案】請結(jié)合素材3中的信息，求出在此次助銷活動中，哪種方案（分別銷售花生、茶葉多少千克）可使商家獲得最大利潤．
18．（2025·深圳模擬）如圖，是的直徑，是上兩點，平分，過點作，垂足為．
（1）求證：是的切線；
（2）已知，，求的長．
19．（2025·深圳模擬）[問題提出]
如圖，在中，，，，為射線上的動點，以為一邊作矩形，其中點E，F(xiàn)分別在射線和射線上，設(shè)長為，矩形面積為（均可以等于0）．
（1）[問題探究]
如圖1，當(dāng)點從點運動到點時，
①用含的代數(shù)式表示的長： ▲ ；
②求關(guān)于的函數(shù)解析式，寫出自變量的取值范圍，并通過列表、描點、連線，在圖2中畫出它的圖象：
0 1 2 3 4
0 1.5 2
表中的值為 ▲ ，的值為 ▲ ；
（2）當(dāng)點運動到線段的延長線上時，直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；
（3）[問題解決]
若從上至下存在三個不同位置的點，，，對應(yīng)的矩形面積均相等，當(dāng)時，求矩形的面積．
20．（2025·深圳模擬）某校數(shù)學(xué)興趣學(xué)習(xí)小組的同學(xué)學(xué)習(xí)了圖形的相似后，對三角形相似進(jìn)行了深入研究．
（1）【合作探究】
如圖1，在中，點為上一點，，求證：．
（2）【內(nèi)化遷移】
如圖2，在中，點為邊上一點，點為延長線上一點，．若，，求的長．
（3）學(xué)以致用】
如圖3，在菱形中，，，點是延長線上一點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過點作交延長線于點，若，求的長．
（4）【綜合拓展】
如圖4，在四邊形中，，點在射線上，，且，過點作于點．當(dāng)時，請直接寫出的最大值 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；
B．是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意；
C．不是軸對稱圖形，不中心對稱圖形，不符合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．
故答案為：B．
【分析】利用軸對稱圖形的定義（如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸）和中心對稱圖形的定義（把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形）逐項分析判斷即可.
2．【答案】B
【知識點】同底數(shù)冪的乘法；同底數(shù)冪的除法；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解： A、a2 a3=a5，故此選項不符合題意；
B、（a2）3=a6，故此選項符合題意；
C、a6÷a3=a3，故此選項不符合題意；
D、（-a3b）2=a6b2，故此選項不符合題意；
故答案為：B.
【分析】 根據(jù)同底數(shù)冪相乘，冪的乘方，同底數(shù)冪相除，積的乘方相關(guān)公式進(jìn)行求解.
3．【答案】D
【知識點】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解： 11040000=1.104×107
故答案為：D.
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù).
4．【答案】C
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：由題意得：
∴一枚硬幣正面向上 一枚硬幣反面向上的概率是 ；
故答案為：C．
【分析】利用概率公式求解即可。
5．【答案】C
【知識點】無理數(shù)在數(shù)軸上表示；最簡二次根式；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；尺規(guī)作圖-直線、射線、線段
【解析】【解答】解：由尺規(guī)作圖可知，是線段的垂直平分線，
，
以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，
，
在中，，，，則由勾股定理可得，
以原點為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，
，
故答案為：C．
【分析】根據(jù)作圖痕跡可得，再利用勾股定理求出OC的長，再結(jié)合“以原點為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點”可得，從而得解.
6．【答案】B
【知識點】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【解答】解：連接，如圖所示：
由題意得，，，
∴，
，
，
，
點，之間的距離減少了，
故答案為：B．
【分析】連接BD，先證出，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，將數(shù)據(jù)代入求出BD的長，最后求解即可.
7．【答案】D
【知識點】分式方程的實際應(yīng)用
【解析】【解答】解： 根據(jù)調(diào)和數(shù)的定義可列分式方程得，
，
解得x=20，
經(jīng)檢驗：x=20是分式方程的解．
所以x的值為20，
故答案為：D.
【分析】 由調(diào)和數(shù)的定義列分式方程求解即可.
8．【答案】C
【知識點】弧長的計算；一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題；二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題
【解析】【解答】解：設(shè)圍成的圖形的面積為，
方案一：設(shè)與墻相鄰的邊長為米，則另一邊為米，
由題意得：，
當(dāng)時，有最大值為；
方案二：如圖：
設(shè)等腰三角形底邊長為，高為，
∵為等腰三角形，
∴，，
∴，即，整理得：，
∵，
∴，
令，則，
∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，
∴當(dāng)時，有最大值，最大值為；
方案三：設(shè)圓的半徑為米，則：，
解得：，
∴，
∵，
故答案為：C．
【分析】先根據(jù)題意求出三種方案中菜園的面積，再比較大小即可.
9．【答案】
【知識點】求算術(shù)平方根
【解析】【解答】解：有理數(shù)8的算術(shù)平方根為．
故答案為：．
【分析】利用算術(shù)平方根的定義及計算方法分析求解即可.
10．【答案】2027
【知識點】求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解： ∵m是方程2x2+3x-1=0的根，
∴2m2+3m-1=0，
則2m2+3m=1，
原式=2（2m2+3m）+2025
=2×1+2025
=2+2025
=2027，
故答案為：2027.
【分析】由一元二次方程解的意義可得2m2+3m-1=0，則2m2+3m=1，將原式變形后整體代入已知數(shù)值計算即可.
11．【答案】200
【知識點】反比例函數(shù)的實際應(yīng)用
【解析】【解答】解：設(shè)，
在圖象上，
，
函數(shù)解析式為：，
當(dāng)時，，
此時眼鏡的度數(shù)為200度．
故答案為：200．
【分析】先利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再將x=0.5代入求出y的值即可.
12．【答案】6.7
【知識點】解直角三角形
【解析】【解答】解： 過點A作AD⊥BC，交CB的延長線于點D，連接AC，
∵∠ABC=143°，
∴∠ABD=37°，
在Rt△ABD中，AB=5，sin37°= ，cos37°=，
解得：AD=5×0.60=3 （m），BD=5×0.80=4（m），
∴CD=BC+BD=6（m）， 在Rt△ABD中，AC=，
故答案為：6.7.
【分析】 先作輔助線，在Rt△ABD中，求出AD，BD，然后根據(jù)勾股定理求出答案即可.
13．【答案】
【知識點】兩點之間線段最短；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如圖所示，過點G作，過點F作，過點G作，設(shè)與交于點N
∵正方形的邊長為3，
∴
∵
∴
∴
∵四邊形是正方形
∴，
∴四邊形是矩形
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴四邊形是平行四邊形
∴
∴
∴當(dāng)點A，G，H三點共線時，取值最小值，即的長度
∵
∴
∴．
故答案為：．
【分析】過點G作，過點F作，過點G作，設(shè)與交于點N，先利用“ASA”證出，再利用全等三角形的性質(zhì)可得，再證出四邊形是平行四邊形，可得，再證出當(dāng)點A，G，H三點共線時，取值最小值，即的長度，最后利用勾股定理求出AH的長即可.
14．【答案】
【知識點】求特殊角的三角函數(shù)值；實數(shù)的混合運算（含開方）
【解析】【分析】 先根據(jù)零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算法則計算，再合并即可.
15．【答案】（1）二；
（2）
【知識點】分式的化簡求值
【解析】【解答】解：（1）解：第二步錯誤
.
故答案為：二；.
【分析】 （1）根據(jù)分式的加減運算，先進(jìn)行通分，再利用平方差公式進(jìn)行計算，即可得到答案；
（2）根據(jù)分式的加減運算，先進(jìn)行通分，再利用平方差公式進(jìn)行計算，即可得到答案.
16．【答案】（1）50；
項的人數(shù)為：（人），
補全條形統(tǒng)計圖如下：
（2）B，A，144
（3）（人），
估計全校學(xué)生對延時服務(wù)滿意（包含A、B、C三個等級）的學(xué)生有1890人
【知識點】扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；分析數(shù)據(jù)的集中趨勢（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）；用樣本所占百分比估計總體數(shù)量
【解析】【解答】解：（1）項的人數(shù)為：（人），
補全條形統(tǒng)計圖如下：
（2）學(xué)生對課后延時服務(wù)滿意情況的“中位數(shù)”是第25、26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而這2個數(shù)均落在B組，
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為B，
A項所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為：360°×40%=144°；A等級人數(shù)最多20人，故眾數(shù)在A組，
故答案為：B，A，144.
、【分析】（1）根據(jù)A．非常滿意的人數(shù)和所占的百分比，可以求得本次調(diào)查的人數(shù)；用總?cè)藬?shù)-A，B，D，的人數(shù)和=C的人數(shù)，即可補全條形圖；
（2）360°×A的百分比，可以計算出A的圓心角的度數(shù)，找到中位數(shù)、眾數(shù)即可得答案；
（3）用2100乘以樣本中“A+B+C”的學(xué)生所占比例即可求解.

17．【答案】任務(wù)1：（）
任務(wù)2：根據(jù)題意得：，
解得：，
（）（元），
答：每千克茶葉50元，每千克花生10元；
任務(wù)3：設(shè)花生銷售千克，茶葉銷售（60－m）千克獲利最大，利潤元，
由題意得：，
解得：，
，
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時，利潤最大，
此時花生銷售30千克，茶葉銷售60－30千克，
當(dāng)花生銷售30千克，茶葉銷售30千克時利潤最大
【知識點】二元一次方程組的實際應(yīng)用-圖表信息問題
【解析】【分析】 （1）利用花生的售價=茶葉的售價-40，即可用含x的代數(shù)式表示出y值；
（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合銷售50千克花生與銷售10千克茶葉的總售價相同，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)小明助銷m千克茶葉，則助銷（60-m）千克花生，根據(jù)“總成本不高于1260元，且花生的數(shù)量不高于茶葉數(shù)量的2倍”，可列出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，設(shè)在此次助銷活動中商家獲得的總利潤為w元，利用總利潤=每千克的銷售利潤×銷售數(shù)量，可找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題.
18．【答案】（1）證明：，
，
平分，
（角平分線的定義），
，
，
，
（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
，
，
，
是的半徑，
是的切線.
（2）解：是的直徑，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知識點】圓周角定理；切線的判定；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【分析】（1）先利用角平分線的定義、角的運算和平行線的性質(zhì)求出，再結(jié)合OC是的半徑，即可證出CE是的切線；
（2）先證出，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，將數(shù)據(jù)代入求出AE的長即可.
（1）證明：，
，
平分，
（角平分線的定義），
，
，
，
（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：是的直徑，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．【答案】（1）①
②由題意得：，
的值為1.5
的值為0
通過列表、描點、連線，在圖2中畫出它的圖象如下：

（2）當(dāng)點運動到線段AC的延長線上時，
（3）若從上至下存在三個不同位置的點，對應(yīng)的矩形CDEF面積均相等，
如圖：由函數(shù)的對稱性得：，
當(dāng)時，即，
設(shè)，
則，
由題意得，和時，函數(shù)值相等，
故，
整理得：，
解得：，
則，
即矩形的面積
【知識點】四邊形的綜合；用代數(shù)式表示幾何圖形的數(shù)量關(guān)系；作圖-二次函數(shù)圖象
【解析】【分析】（1）利用△ADE∽△ACB，得到DE=，而DC=4-x，即可表示面積y；
（2）由y=DE CD，即可求解；
（3）由函數(shù)的對稱性得：x1+x2=4，當(dāng)AD3=2AD2-AD1時，即x1+x3=2x2，由題意得，x=x2和x=x3時，函數(shù)值相等，即可求解．
20．【答案】（1）證明：如圖1，，
，
，
（2）如圖2，四邊形ABCD是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）方法一：如圖3，連接AC交BD于點，
四邊形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
過點作于，過點作于，
Rt中，，
，
Rt中，，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，
，
（負(fù)值舍），
，
，
．
方法二（思路）：
分別延長EF、AD相交于點，易證四邊形BDGE是平行四邊形
易求
易證，
進(jìn)而求解AE，
再求BE
（4）
【知識點】菱形的性質(zhì)；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：（4）
如圖，作和交于點，作于點，連接BG、CG，
，
，
，
，
，
－，
，
作的外接圓，記圓心為，連接OA、OD、OG，
則，
，
，
設(shè)圓與AB交于，則，
是等邊三角形，
，
是等邊三角形，
三點共線，即是圓的直徑，
，
圓的半徑為1，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
作于點于點，則，
則，
，
，
四邊形ONEM是矩形，
，
設(shè)，則，
，
在Rt中，，
，
令，則，
則，
整理得：，
，
整理得，
令，
則，
的解集為，
的最大值為，
即的最大值為，
故答案為：.
【分析】 （1）證明△ACD∽△ABC即可得結(jié)論；
（2）證明△CEF∽△CFB即可解答；
（3）如圖3，連接AC交BD于點O，根據(jù)菱形的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)得：EF=4，過點A作AM⊥BC于M，過點E作EN⊥AF于N，設(shè)AE=2b，則EN=b，證明∠AFE=∠AEB，根據(jù)三角函數(shù)列式即可解答.
1 / 1廣東省深圳市南外集團(tuán)2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)4月聯(lián)考（二模）試卷
一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
1．（2025·深圳模擬）我國新能源汽車表現(xiàn)亮眼，連續(xù)9年摘得全球產(chǎn)銷量第一桂冠，產(chǎn)銷量全球占比均超過60%．以下新能源汽車圖標(biāo)既是中心對稱，還是軸對稱的是（　　）
A．極氪 B．小鵬
C．理想 D．蔚來
【答案】B
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；
B．是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意；
C．不是軸對稱圖形，不中心對稱圖形，不符合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．
故答案為：B．
【分析】利用軸對稱圖形的定義（如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸）和中心對稱圖形的定義（把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形）逐項分析判斷即可.
2．（2025·深圳模擬）下列計算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】同底數(shù)冪的乘法；同底數(shù)冪的除法；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解： A、a2 a3=a5，故此選項不符合題意；
B、（a2）3=a6，故此選項符合題意；
C、a6÷a3=a3，故此選項不符合題意；
D、（-a3b）2=a6b2，故此選項不符合題意；
故答案為：B.
【分析】 根據(jù)同底數(shù)冪相乘，冪的乘方，同底數(shù)冪相除，積的乘方相關(guān)公式進(jìn)行求解.
3．（2025·深圳模擬）自2025年1月11日，全球上線以來，這款中國AI應(yīng)用以驚人的速度改寫了行業(yè)格局，1月28日單日下載峰值沖至11040000次，創(chuàng)下全球AI應(yīng)用單日下載量新紀(jì)錄.11040000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】D
【知識點】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解： 11040000=1.104×107
故答案為：D.
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù).
4．（2025·深圳模擬）同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面向上 一枚硬幣反面向上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：由題意得：
∴一枚硬幣正面向上 一枚硬幣反面向上的概率是 ；
故答案為：C．
【分析】利用概率公式求解即可。
5．（2025·深圳模擬）數(shù)軸上點A，B，D分別對應(yīng)2，4，6，分別以A，D為圓心，大于的長度為半徑畫弧，交于點和點，連接，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點；以原點為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，則點對應(yīng)的數(shù)是（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【知識點】無理數(shù)在數(shù)軸上表示；最簡二次根式；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；尺規(guī)作圖-直線、射線、線段
【解析】【解答】解：由尺規(guī)作圖可知，是線段的垂直平分線，
，
以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，
，
在中，，，，則由勾股定理可得，
以原點為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，
，
故答案為：C．
【分析】根據(jù)作圖痕跡可得，再利用勾股定理求出OC的長，再結(jié)合“以原點為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點”可得，從而得解.
6．（2025·深圳模擬）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時的示意圖，圖3是在打開狀態(tài)時的示意圖（此時），相關(guān)數(shù)據(jù)如圖（單位：cm）．從圖2閉合狀態(tài)到圖3打開狀態(tài)，點B，D之間的距離減少了（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知識點】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【解答】解：連接，如圖所示：
由題意得，，，
∴，
，
，
，
點，之間的距離減少了，
故答案為：B．
【分析】連接BD，先證出，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，將數(shù)據(jù)代入求出BD的長，最后求解即可.
7．（2025·深圳模擬）數(shù)學(xué)的美無處不在．?dāng)?shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，彈撥琴弦發(fā)出聲音的音調(diào)高低，取決于弦的長度，繃得一樣緊的幾根弦，如果長度的比能夠表示成整數(shù)的比，發(fā)出的聲音就比較和諧．例如，三根弦長度之比是，把它們繃得一樣緊，用同樣的力彈撥，它們將分別發(fā)出很調(diào)和的樂聲．研究15、12、10這三個數(shù)的倒數(shù)發(fā)現(xiàn)：．我們稱15、12、10這三個數(shù)為一組調(diào)和數(shù)．現(xiàn)有一組調(diào)和數(shù)：x、8、5（），則x的值是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】D
【知識點】分式方程的實際應(yīng)用
【解析】【解答】解： 根據(jù)調(diào)和數(shù)的定義可列分式方程得，
，
解得x=20，
經(jīng)檢驗：x=20是分式方程的解．
所以x的值為20，
故答案為：D.
【分析】 由調(diào)和數(shù)的定義列分式方程求解即可.
8．（2025·深圳模擬）用米長的圍欄圍成一邊靠墻（墻足夠長）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，小紅提出了圍成矩形、等腰三角形（底邊靠墻）、半圓形這三種方案，最佳方案是（　　）
A．方案 B．方案 C．方案 D．都一樣
【答案】C
【知識點】弧長的計算；一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題；二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題
【解析】【解答】解：設(shè)圍成的圖形的面積為，
方案一：設(shè)與墻相鄰的邊長為米，則另一邊為米，
由題意得：，
當(dāng)時，有最大值為；
方案二：如圖：
設(shè)等腰三角形底邊長為，高為，
∵為等腰三角形，
∴，，
∴，即，整理得：，
∵，
∴，
令，則，
∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，
∴當(dāng)時，有最大值，最大值為；
方案三：設(shè)圓的半徑為米，則：，
解得：，
∴，
∵，
故答案為：C．
【分析】先根據(jù)題意求出三種方案中菜園的面積，再比較大小即可.
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
9．（2025·深圳模擬）有理數(shù)8的算術(shù)平方根為　 　．
【答案】
【知識點】求算術(shù)平方根
【解析】【解答】解：有理數(shù)8的算術(shù)平方根為．
故答案為：．
【分析】利用算術(shù)平方根的定義及計算方法分析求解即可.
10．（2025·深圳模擬）是方程的根，則式子的值為　 　．
【答案】2027
【知識點】求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解： ∵m是方程2x2+3x-1=0的根，
∴2m2+3m-1=0，
則2m2+3m=1，
原式=2（2m2+3m）+2025
=2×1+2025
=2+2025
=2027，
故答案為：2027.
【分析】由一元二次方程解的意義可得2m2+3m-1=0，則2m2+3m=1，將原式變形后整體代入已知數(shù)值計算即可.
11．（2025·深圳模擬）驗光師通過檢測發(fā)現(xiàn)近視眼鏡的度數(shù)（度）與鏡片焦距（米）成反比例，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖所示．小雪的鏡片焦距為0.2米時，眼鏡度數(shù)為500度，經(jīng)過一段時間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距變?yōu)?.5米，此時眼鏡的度數(shù)為　 　度．
【答案】200
【知識點】反比例函數(shù)的實際應(yīng)用
【解析】【解答】解：設(shè)，
在圖象上，
，
函數(shù)解析式為：，
當(dāng)時，，
此時眼鏡的度數(shù)為200度．
故答案為：200．
【分析】先利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再將x=0.5代入求出y的值即可.
12．（2025·深圳模擬）如圖是“神舟十四號”載人航天飛船搭載的機械臂，可以在天宮空間站外進(jìn)行維修作業(yè)．如圖是處于工作狀態(tài)的機械臂示意圖，是垂直于工作臺的移動基座，、為機械臂，，，工作時，機械壁伸展到．則A、兩點之間的距離為　 　m．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】6.7
【知識點】解直角三角形
【解析】【解答】解： 過點A作AD⊥BC，交CB的延長線于點D，連接AC，
∵∠ABC=143°，
∴∠ABD=37°，
在Rt△ABD中，AB=5，sin37°= ，cos37°=，
解得：AD=5×0.60=3 （m），BD=5×0.80=4（m），
∴CD=BC+BD=6（m）， 在Rt△ABD中，AC=，
故答案為：6.7.
【分析】 先作輔助線，在Rt△ABD中，求出AD，BD，然后根據(jù)勾股定理求出答案即可.
13．（2025·深圳模擬）如圖，正方形的邊長為3，點E，F(xiàn)，G分別在邊上，且．當(dāng)時，的最小值為　 　．
【答案】
【知識點】兩點之間線段最短；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如圖所示，過點G作，過點F作，過點G作，設(shè)與交于點N
∵正方形的邊長為3，
∴
∵
∴
∴
∵四邊形是正方形
∴，
∴四邊形是矩形
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴四邊形是平行四邊形
∴
∴
∴當(dāng)點A，G，H三點共線時，取值最小值，即的長度
∵
∴
∴．
故答案為：．
【分析】過點G作，過點F作，過點G作，設(shè)與交于點N，先利用“ASA”證出，再利用全等三角形的性質(zhì)可得，再證出四邊形是平行四邊形，可得，再證出當(dāng)點A，G，H三點共線時，取值最小值，即的長度，最后利用勾股定理求出AH的長即可.
三、解答題（本題共7小題，共61分）
14．（2025·深圳模擬）計算：
【答案】
【知識點】求特殊角的三角函數(shù)值；實數(shù)的混合運算（含開方）
【解析】【分析】 先根據(jù)零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算法則計算，再合并即可.
15．（2025·深圳模擬）吳廣同學(xué)計算時，是這樣做的：
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
（1）吳廣同學(xué)的做法從第 ▲ 步開始出現(xiàn)錯誤，正確的計算結(jié)果是 ▲ ．
（2）計算：．
【答案】（1）二；
（2）
【知識點】分式的化簡求值
【解析】【解答】解：（1）解：第二步錯誤
.
故答案為：二；.
【分析】 （1）根據(jù)分式的加減運算，先進(jìn)行通分，再利用平方差公式進(jìn)行計算，即可得到答案；
（2）根據(jù)分式的加減運算，先進(jìn)行通分，再利用平方差公式進(jìn)行計算，即可得到答案.
16．（2025·深圳模擬）根據(jù)深圳市教育局印發(fā)的《深圳市義務(wù)教育階段學(xué)校課后服務(wù)實施意見》，某校積極開展課后延時服務(wù)活動，提供了“有趣的生物實驗、經(jīng)典影視欣賞、虛擬機器人競賽、趣味籃球訓(xùn)練、國際象棋大賽……”等課程供學(xué)生自由選擇，一個學(xué)期后，該校為了解學(xué)生對課后延時服務(wù)的滿意情況，隨機對部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果按照“．非常滿意；．比較滿意；．基本滿意；．不滿意”四個等級繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖：請你根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）該校抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 ▲ 人，請補全條形統(tǒng)計圖；
（2）樣本中，學(xué)生對課后延時服務(wù)滿意情況的“中位數(shù)”所在等級為 ▲ ，“眾數(shù)”所在等級為 ▲ ；（填“、、或”）；扇形的圓心角是 ▲ 度；
（3）若該校共有學(xué)生2100人，據(jù)此調(diào)查估計全校學(xué)生對延時服務(wù)滿意（包含、、三個等級）的學(xué)生有多少人？
【答案】（1）50；
項的人數(shù)為：（人），
補全條形統(tǒng)計圖如下：
（2）B，A，144
（3）（人），
估計全校學(xué)生對延時服務(wù)滿意（包含A、B、C三個等級）的學(xué)生有1890人
【知識點】扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；分析數(shù)據(jù)的集中趨勢（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）；用樣本所占百分比估計總體數(shù)量
【解析】【解答】解：（1）項的人數(shù)為：（人），
補全條形統(tǒng)計圖如下：
（2）學(xué)生對課后延時服務(wù)滿意情況的“中位數(shù)”是第25、26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而這2個數(shù)均落在B組，
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為B，
A項所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為：360°×40%=144°；A等級人數(shù)最多20人，故眾數(shù)在A組，
故答案為：B，A，144.
、【分析】（1）根據(jù)A．非常滿意的人數(shù)和所占的百分比，可以求得本次調(diào)查的人數(shù)；用總?cè)藬?shù)-A，B，D，的人數(shù)和=C的人數(shù)，即可補全條形圖；
（2）360°×A的百分比，可以計算出A的圓心角的度數(shù)，找到中位數(shù)、眾數(shù)即可得答案；
（3）用2100乘以樣本中“A+B+C”的學(xué)生所占比例即可求解.

17．（2025·深圳模擬）據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
如何設(shè)計銷售方案？
素材1 互聯(lián)網(wǎng)時代，越來越多大山里的農(nóng)產(chǎn)品，能夠通過豐富多元的網(wǎng)絡(luò)渠道走出大山、遠(yuǎn)銷全國各地．直播助銷就是運用“互聯(lián)網(wǎng)”的一種銷售方式．小明為當(dāng)?shù)靥厣ㄉc茶葉兩種產(chǎn)品助銷．已知每千克花生的售價比每千克茶葉的售價低40元．
素材2 銷售50千克花生與銷售10千克茶葉的總售價相同．
素材3 花生的成本為6元/千克，茶葉的成本為36元/千克，小明計劃兩種產(chǎn)品共助銷60千克，總成本不高于1260元，且花生的數(shù)量不高于茶葉數(shù)量的2倍．
問題解決
任務(wù)1 假設(shè)每千克茶葉的售價為元/千克，每千克花生的售價為元/千克，請協(xié)助解決右邊問題． 問題： ▲ （用含的代數(shù)式表示）
任務(wù)2 基于任務(wù)1的假設(shè)和素材2的條件，請嘗試求出茶葉和花生的售價．
任務(wù)3 【擬定設(shè)計方案】請結(jié)合素材3中的信息，求出在此次助銷活動中，哪種方案（分別銷售花生、茶葉多少千克）可使商家獲得最大利潤．
【答案】任務(wù)1：（）
任務(wù)2：根據(jù)題意得：，
解得：，
（）（元），
答：每千克茶葉50元，每千克花生10元；
任務(wù)3：設(shè)花生銷售千克，茶葉銷售（60－m）千克獲利最大，利潤元，
由題意得：，
解得：，
，
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時，利潤最大，
此時花生銷售30千克，茶葉銷售60－30千克，
當(dāng)花生銷售30千克，茶葉銷售30千克時利潤最大
【知識點】二元一次方程組的實際應(yīng)用-圖表信息問題
【解析】【分析】 （1）利用花生的售價=茶葉的售價-40，即可用含x的代數(shù)式表示出y值；
（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合銷售50千克花生與銷售10千克茶葉的總售價相同，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)小明助銷m千克茶葉，則助銷（60-m）千克花生，根據(jù)“總成本不高于1260元，且花生的數(shù)量不高于茶葉數(shù)量的2倍”，可列出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，設(shè)在此次助銷活動中商家獲得的總利潤為w元，利用總利潤=每千克的銷售利潤×銷售數(shù)量，可找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題.
18．（2025·深圳模擬）如圖，是的直徑，是上兩點，平分，過點作，垂足為．
（1）求證：是的切線；
（2）已知，，求的長．
【答案】（1）證明：，
，
平分，
（角平分線的定義），
，
，
，
（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
，
，
，
是的半徑，
是的切線.
（2）解：是的直徑，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知識點】圓周角定理；切線的判定；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【分析】（1）先利用角平分線的定義、角的運算和平行線的性質(zhì)求出，再結(jié)合OC是的半徑，即可證出CE是的切線；
（2）先證出，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，將數(shù)據(jù)代入求出AE的長即可.
（1）證明：，
，
平分，
（角平分線的定義），
，
，
，
（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：是的直徑，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．（2025·深圳模擬）[問題提出]
如圖，在中，，，，為射線上的動點，以為一邊作矩形，其中點E，F(xiàn)分別在射線和射線上，設(shè)長為，矩形面積為（均可以等于0）．
（1）[問題探究]
如圖1，當(dāng)點從點運動到點時，
①用含的代數(shù)式表示的長： ▲ ；
②求關(guān)于的函數(shù)解析式，寫出自變量的取值范圍，并通過列表、描點、連線，在圖2中畫出它的圖象：
0 1 2 3 4
0 1.5 2
表中的值為 ▲ ，的值為 ▲ ；
（2）當(dāng)點運動到線段的延長線上時，直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；
（3）[問題解決]
若從上至下存在三個不同位置的點，，，對應(yīng)的矩形面積均相等，當(dāng)時，求矩形的面積．
【答案】（1）①
②由題意得：，
的值為1.5
的值為0
通過列表、描點、連線，在圖2中畫出它的圖象如下：

（2）當(dāng)點運動到線段AC的延長線上時，
（3）若從上至下存在三個不同位置的點，對應(yīng)的矩形CDEF面積均相等，
如圖：由函數(shù)的對稱性得：，
當(dāng)時，即，
設(shè)，
則，
由題意得，和時，函數(shù)值相等，
故，
整理得：，
解得：，
則，
即矩形的面積
【知識點】四邊形的綜合；用代數(shù)式表示幾何圖形的數(shù)量關(guān)系；作圖-二次函數(shù)圖象
【解析】【分析】（1）利用△ADE∽△ACB，得到DE=，而DC=4-x，即可表示面積y；
（2）由y=DE CD，即可求解；
（3）由函數(shù)的對稱性得：x1+x2=4，當(dāng)AD3=2AD2-AD1時，即x1+x3=2x2，由題意得，x=x2和x=x3時，函數(shù)值相等，即可求解．
20．（2025·深圳模擬）某校數(shù)學(xué)興趣學(xué)習(xí)小組的同學(xué)學(xué)習(xí)了圖形的相似后，對三角形相似進(jìn)行了深入研究．
（1）【合作探究】
如圖1，在中，點為上一點，，求證：．
（2）【內(nèi)化遷移】
如圖2，在中，點為邊上一點，點為延長線上一點，．若，，求的長．
（3）學(xué)以致用】
如圖3，在菱形中，，，點是延長線上一點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過點作交延長線于點，若，求的長．
（4）【綜合拓展】
如圖4，在四邊形中，，點在射線上，，且，過點作于點．當(dāng)時，請直接寫出的最大值 ▲ ．
【答案】（1）證明：如圖1，，
，
，
（2）如圖2，四邊形ABCD是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）方法一：如圖3，連接AC交BD于點，
四邊形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
過點作于，過點作于，
Rt中，，
，
Rt中，，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，
，
（負(fù)值舍），
，
，
．
方法二（思路）：
分別延長EF、AD相交于點，易證四邊形BDGE是平行四邊形
易求
易證，
進(jìn)而求解AE，
再求BE
（4）
【知識點】菱形的性質(zhì)；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：（4）
如圖，作和交于點，作于點，連接BG、CG，
，
，
，
，
，
－，
，
作的外接圓，記圓心為，連接OA、OD、OG，
則，
，
，
設(shè)圓與AB交于，則，
是等邊三角形，
，
是等邊三角形，
三點共線，即是圓的直徑，
，
圓的半徑為1，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
作于點于點，則，
則，
，
，
四邊形ONEM是矩形，
，
設(shè)，則，
，
在Rt中，，
，
令，則，
則，
整理得：，
，
整理得，
令，
則，
的解集為，
的最大值為，
即的最大值為，
故答案為：.
【分析】 （1）證明△ACD∽△ABC即可得結(jié)論；
（2）證明△CEF∽△CFB即可解答；
（3）如圖3，連接AC交BD于點O，根據(jù)菱形的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)得：EF=4，過點A作AM⊥BC于M，過點E作EN⊥AF于N，設(shè)AE=2b，則EN=b，證明∠AFE=∠AEB，根據(jù)三角函數(shù)列式即可解答.
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