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廣東省深圳市大望學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級下學(xué)期中考模擬數(shù)學(xué)試卷
1．（2025九下·深圳期中）2025的倒數(shù)是（　　）
A．-2025 B． C． D．2025
【答案】C
【知識點】有理數(shù)的倒數(shù)
【解析】【解答】解： 2025的倒數(shù)是 ：
故答案為：C.
【分析】 倒數(shù)的定義是：若兩個數(shù)的乘積為1，則這兩個數(shù)互為倒數(shù)。 根據(jù)2025×=1，即可得出答案。
2．（2025九下·深圳期中）下列車標(biāo)中，屬于中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A：圖案不是中心對稱圖形，所以A不符合題意；
B：圖案是中心對稱圖形，所以B符合題意；
C：圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以C不符合題意；
D：圖案不是對稱圖形，所以D不符合題意。
故答案為：B.
【分析】 中心對稱圖形的定義是圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與原圖形重合。因此，需要逐一分析每個選項的車標(biāo)是否符合這個條件，即可得出答案。
3．（2025九下·深圳期中）2024年深圳GDP總量約3.9萬億元，將數(shù)據(jù)3.9萬億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解： 3.9萬億=3.9 × 1萬億 = 3.9 × 1012 。
故答案為：A.
【分析】首先理解 “萬億”單位對應(yīng)的10的冪次（1012）， 再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的規(guī)范寫法，即可得出答案。
4．（2025九下·深圳期中）下列計算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】完全平方公式及運(yùn)用；二次根式的加減法；合并同類項法則及應(yīng)用；冪的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A：a3+a2無法進(jìn)行合并，所以A不正確；
B：（a-b)2=a2-2ab+b2，所以B不正確；
C：（a3）3=a6，所以C不正確；
D：，所以D計算正確。
故答案為：D.
【分析】根據(jù)合并同類項法則可判定A不正確；根據(jù)乘法計算公式可得B不正確；根據(jù)冪的乘方可得C不正確；根據(jù)合并同類二次根式可得D正確，即可得出答案。
5．（2025九下·深圳期中）2025年春節(jié)檔某影城上映了三部電影：《哪吒之魔童鬧?！?、《唐探1900》和《重啟末來》，若小明和小亮分別從這三部影片中隨機(jī)選擇一部觀看，則這兩人選擇的影片相同的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： 《哪吒之魔童鬧?！贰ⅰ短铺?900》和《重啟末來》分別記為A，B，C.
樹狀圖分析如下：
所以兩人選擇的影片相同的概率為：P=。
故答案為：B.
【分析】用樹狀圖分析所有機(jī)會均等的結(jié)果共有9種，其中小明和小亮選擇影片相同的情況有3種，根據(jù)概率計算公式，即可得出答案。
6．（2025九下·深圳期中）如圖，在Rt中，，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，以下結(jié)論不一定正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】角平分線的性質(zhì)；尺規(guī)作圖-作角的平分線；余角
【解析】【解答】解：根據(jù)尺規(guī)作圖可知：AD平分∠BAC，DE垂直AB于點E，
∴B正確；
又，
∴DE=DC（即C正確），
∵∠B+∠BAC=90°，∠B+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BAC(即D正確）
根據(jù)尺規(guī)作圖，不能得出DA=DB，
∴∠BAD不一定等于∠B（即A不一定正確）
故答案為：A.
【分析】首先根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡得出AD平分∠BAC，DE垂直AB于點E，進(jìn)而可得出B正確；再根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及余角的性質(zhì)可得出C正確，D正確，A不一定正確，即可得出答案。
7．（2025九下·深圳期中）甲乙兩地相距380km，新的高速公路開通后，在甲乙兩地間行駛的長途客車平均速度提高了，而從甲地到乙地的時間縮短了2h．若設(shè)原來的平均速度為，根據(jù)題意，下列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】列分式方程；分式方程的實際應(yīng)用-行程問題
【解析】【解答】解： 若設(shè)原來的平均速度為，根據(jù)題意：
即
故答案為：C.
【分析】若設(shè)原來的平均速度為，則 速度提升后 為x+30%x，然后根據(jù) 從甲地到乙地的時間縮短了2h ，即可得出方程，故而得出答案。
8．（2025九下·深圳期中）某公司準(zhǔn)備從大樓點處掛一塊大型條幅到點，公司進(jìn)行實地測量，工作人員從大樓底部點沿水平直線步行40米到達(dá)自動扶梯底端點，在點用儀器測得條幅下端點的仰角為；然后他再沿著坡度長度為50米的自動扶梯到達(dá)扶梯頂端點，又沿水平直線行走了80米到達(dá)點，在點測得條幅上端點的仰角為，F(xiàn)，G在同一個平面內(nèi)，且C，D和A，B，F(xiàn)分別在同一水平線上），則GE的高度約為（　?。ńY(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)）
A．188.5米 B．178.5米 C．167.3米 D．189.3米
【答案】D
【知識點】解直角三角形；解直角三角形的實際應(yīng)用﹣坡度坡角問題；解直角三角形的實際應(yīng)用﹣仰角俯角問題；解直角三角形—邊角關(guān)系
【解析】【解答】解： 過點D作DM⊥AB于M，DN⊥GE于N，形成矩形DMFN。
設(shè)DM=4x，AM=3x， 則：AD= 5x=50 ，解得：x=10，
∴ DM=40米，AM=30米，
∵FM = AF + AM = 40米 + 30米 = 70米，
∴DN=FM=70米，
∵CD=80米，
∴ CN = CD + DN = 80米 + 70米 = 150米，
在Rt△CGN中，tan50°≈1.19，GN = CN·tan50° ≈150×1.19=178.5米 ，
GF = GN + NF = 178.5米 + 40米 = 218.5米 ，
在Rt△AEF中，tan36°≈0.73，EF = AF·tan36° ≈40×0.73=29.2米 ，
∴ GE = GF - EF ≈218.5 -29.2≈189.3米。
故答案為：D.
【分析】 過點D作DM⊥AB于M，DN⊥GE于N，形成矩形DMFN，根據(jù)AD的坡度，可設(shè)設(shè)DM=4x，AM=3x， 則：AD= 5x=50 ，解得：x=10，進(jìn)一步即可得出 DM=40米，AM=30米，進(jìn)而得出DN和CN的長度，然后解Rt△CGN可得GN的長，在Rt△AEF中可得EF的長，最后根據(jù)GE=GF - EF，即可得出GE的長度。
9．（2025九下·深圳期中）分解因式： =　 　.
【答案】
【知識點】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法
【解析】【解答】 = = ．
故填： .
【分析】本題考查提取公因式法和公式法分解因式．
10．（2025九下·深圳期中）一個不透明的箱子里裝有僅顏色不同的紅色卡片和藍(lán)色卡片共10張，隨機(jī)從箱子里摸出1張卡片，記下顏色后再放回，經(jīng)過多次的重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在0.4附近，由此估計箱子中藍(lán)色卡片有　 　張．
【答案】4
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解： 藍(lán)色卡片的張數(shù)=10×0.4=4（張）。
故答案為：4.
【分析】根據(jù)頻率估計概率可得 摸到藍(lán)色卡片的概率為0.4，從而得出藍(lán)色卡片的張數(shù)為10×0.4=4（張）。
11．（2025九下·深圳期中）如圖，AB為的直徑，點C、D在上，若，則的度數(shù)是　 ?。?br/>【答案】70°
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理
【解析】【解答】解：連接OD，
∵，
∴∠AOD=2∠C=40°，
∵OA=OD，
∴∠BAD=。
故答案為：70°.
【分析】連接OD，首先根據(jù)圓周角定理得出∠AOD=2∠C=40°，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理，即可得出∠BAD=。
12．（2025九下·深圳期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的點在軸正半軸上，底邊BC與軸平行，是BC邊上一點，且，函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，若點的橫坐標(biāo)為的面積為6，則的值是　 　．
【答案】12
【知識點】三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，b），則點C的坐標(biāo)為(6，0)，則點B的坐標(biāo)為(6， 2b)，
∵的面積為6，
∴，
又∵，
∴點D的坐標(biāo)為（6，），
∵A，D在 函數(shù)的圖象 上，
∴ab=6×，
∴a=4，
∴，
∴b=3，
∴k=4×3=12.
故答案為：12.
【分析】設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，b），則點C的坐標(biāo)為(6，0)，則點B的坐標(biāo)為(6， 2b)，點D的坐標(biāo)為（6，），然后根據(jù)的面積為6，可得，根據(jù)A，D在 函數(shù)的圖象 上，可得ab=6×，進(jìn)而得出a=4，b=3，進(jìn)而得出k=4×3=12.
13．（2025九下·深圳期中）如圖，已知是平行四邊形ABCD的邊BC上一點，將沿直線AP折疊，點落在平行四邊形ABCD內(nèi)的點處，且，如果，那么BP的長為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】平行四邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；坐標(biāo)系中的兩點距離公式；正弦的概念
【解析】【解答】解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，
∵ sinB=，AB=5，
∴AF=4，
∴BF=3，
∴A(0，0)；B(-3，-4）；D（8，0）
又沿直線AP折疊，點落在平行四邊形ABCD內(nèi)的點處，
∴AE=AB=5，
又，
∴點E到AD的距離為3，
∴點E的坐標(biāo)為（4，-3），
設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，-4），
∵BP=EP，
∴a-(-3）=，
解得：a=，
∴BP=.
故答案為：.
【分析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，即可得出A(0，0)；B(-3，-4）；D（8，0）及點E的坐標(biāo)為（4，-3），可設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，-4），由折疊性質(zhì)知BP=EP，即可得出a-(-3）=，解方程即可得出a=，進(jìn)而得出BP=.
14．（2025九下·深圳期中）計算．
【答案】解：原式
【知識點】零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；求特殊角的三角函數(shù)值；實數(shù)的絕對值
【解析】【分析】首先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，以及絕對值的性質(zhì)，60°的正切值進(jìn)行化簡，然后再合并同類二次根式即可得出答案。
15．（2025九下·深圳期中）先化簡，再求值：，其中．
【答案】解：原式
.
當(dāng)時，原式
【知識點】因式分解﹣提公因式法；分式的混合運(yùn)算；分式的化簡求值-直接代入；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】首先計算括號內(nèi)的異分母分式加法，同時把分式除法變換成分式的乘法，然后再進(jìn)行分式的乘法運(yùn)算，分子分母是多項式且能進(jìn)行因式分解的，先進(jìn)行因式分解，能約分的進(jìn)行約分，即可得出化簡結(jié)果.然后把 代入中，進(jìn)行化簡，即可得出最后結(jié)果。
16．（2025九下·深圳期中）人工智能是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動力量，DeepSeek等模型的發(fā)布，給人們的工作生活帶來極大的便利．某校為了激發(fā)同學(xué)們對人工智能的興趣，普及人工智能知識，組織七，八年級學(xué)生參加了人工智能科普測試．現(xiàn)從七，八兩個年級各抽取10人記錄下他們的測試得分并進(jìn)行整理和分析（積分用表示，共分為四組：：，下面給出了部分信息：
七年級10人的得分：47，56，68，71，83，83，85，90，91，94；
八年級10人的得分在組中的分?jǐn)?shù)為：83，84，87，84；
兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)如下表所示：
年級 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)
七 76.8 83
八 76.8 84
八年級得分等級扇形統(tǒng)計圖
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空： ▲ ， ▲ ， ▲ ；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪個年級在此次人工智能科普測試中表現(xiàn)更好，請說明理由（一條理由即可）；
（3）若七年級有360人參與測試，八年級有400人參與測試，請估計七，八兩個年級得分在組的人數(shù)之和．
【答案】（1）83，83.5，20
（2）八年級掌握垃圾分類知識比較好，
理由：八年級的眾數(shù)高于七年級的眾數(shù)
（或八年級的中位數(shù)高于七年級的中位數(shù)）
（3）人，人，
七，八兩個年級得分在組的人數(shù)之和為：人．
【知識點】中位數(shù)；眾數(shù)；用樣本所占百分比估計總體數(shù)量
【解析】【解答】解：（1） 七年級10人的得分中，83出現(xiàn)了2次，其他數(shù)據(jù)都是1次，所以眾數(shù)a=83；
八年級C，D兩組人數(shù)之和為：10×（30%+10%）=4（人），B組有4人，所以八年級10人得分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)為：；
所以A組人數(shù)為：10-4-4=2，所以m=20；
故答案為：83；83.5；20；
【分析】（1）首先根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義分別求得a和b的值；然后從八年級10人中減去B，C，D三組人數(shù)，可得出B組人數(shù)，即可求得m的值；
（2）根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)的特征，即可得出答案（言之有理即可）
（3）根據(jù)七八年級樣本數(shù)據(jù)中得分在組所占的比例，估計總體的比例，然后分別估算出七八年級 得分在組的人數(shù)分別為：360×=108（人）和400×20%=80（人），然后在計算它們的和即可得出答案。
17．（2025九下·深圳期中）某校準(zhǔn)備購買一批文具袋和水性筆，已知文具袋的單價是水性筆單價的5倍，購買5支水性筆和3個文具袋共需60元．
（1）求文具袋和水性筆的單價；
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買文具袋10個，水性筆若干支（超過10支）．文具店給出兩種優(yōu)惠方案：A：購買一個文具袋，贈送1支水性筆；B：購買水性筆10支以上，超過10支的部分按原價八折優(yōu)惠，文具袋不打折。
①設(shè)購買水性筆支，方案A的總費(fèi)用為 ▲ 元，方案的總費(fèi)用為 ▲ 元；
②該學(xué)校選擇哪種方案更合算？請說明理由．
【答案】（1）解：設(shè)水性筆的單價元，文具袋的單價為5m元，根據(jù)題意得：
解得：，則
答：水性筆的單價3元，文具袋的單價為15元
（2）①
②設(shè)
當(dāng)時，
解得：
若時，
解得：
若時，
解得：
因此當(dāng)購買數(shù)量大于60支時，選擇B方案更合算；當(dāng)購買數(shù)量等于60支時，選擇A方案或選擇B方案均可；當(dāng)購買數(shù)量小于60支時，選擇A方案更合算．
【知識點】一元一次不等式的應(yīng)用；一元一次方程的實際應(yīng)用-銷售問題；一次函數(shù)的實際應(yīng)用-方案問題
【解析】【分析】（1）設(shè)水性筆的單價元，文具袋的單價為5m元，根據(jù) 購買5支水性筆和3個文具袋共需60元．即可得出方程，解方程求得m的值，進(jìn)一步得出5m的值，即可得出答案；
（2） ①設(shè)購買水性筆支， 由（1）知水性筆的單價3元，文具袋的單價為15元，故而得出方案A的總費(fèi)用為： 購買文具袋的總價+購買水性筆的總價=10×15+3（x-10）=3x+120；方案B的總費(fèi)用為：購買文具袋的總價+購買水性筆的總價=10×15+10×3+（x-10)×3×80%=2.4x+156；②設(shè)，分成三種情況進(jìn)行分析當(dāng)時，B方案合算；時，選擇A方案或選擇B方案均可；時，選擇A方案更合算．分別解所對應(yīng)的不等式，即可得出答案。
18．（2025九下·深圳期中）小敏在查閱資料時得知：已知一個四邊形各邊長均為定值，當(dāng)它的四個頂點在同一個圓上時，四邊形的面積最大．
【從特殊驗證】
已知四邊形ABCD的各邊長依次為7，15，20，24，它的面積何時最大？
小敏的演算紙 易得易證當(dāng)為鈍角時，也為鈍角． 同理可得II中結(jié)論設(shè)兩條垂線段 綜上所述，的最大值為
（1）探索情形I：
①求證：點A，B，C，D在同一個圓上．
②的值為 ▲ .
（2）探索情形II：說明此時的值小于情形I中的值．
（3）【向一般進(jìn)發(fā)】
已知四邊形ABCD的各邊長依次為6，8，8，12，借助已有結(jié)論對它展開探索，求它的面積的最大值．
【答案】（1）①證明：連接AC，取AC的中點，連接OB，OD，
，
，
又，
，
，
為AC的中點，
，
點A，B，C，D在同一個圓上。
②234。
（2）解：，
，
在Rt中，，在Rt中，，
，
即。
（3）解：由題意可知，當(dāng)四邊形ABCD四頂點共圓時，它的面積最大，
連接AC，過點分別作于點于點，
，
，
，
，
，
，
，
同理可證，
，
，
，
，
，
，
，
，
即四邊形ABCD面積的最大值為．
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；勾股定理的逆定理；圓周角定理
【解析】【解答】解：（1）②S=S△ABC+S△ ADC=；
故答案為：234。
【分析】本題主要考查外接圓的判定、勾股定理及逆定理的運(yùn)用、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、全等三角形的判定等相關(guān)知識。
（1）利用勾股定理及逆定理可以得出，然后利用“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”即可得出證明結(jié)果；然后利用直角三角形面積計算公式即可計算出四邊形面積；
（2）結(jié)合圖中的信息，利用“直角三角形斜邊大于任意一條直角邊”即可列出不等式，得出證明結(jié)果；
（3）利用HL證明、，即可求出BE的長度，然后利用勾股定理求出CF的長度，最后即可計算出面積。
19．（2025九下·深圳期中）近年來，隨著低碳環(huán)保理念深入人心，共享單車愈發(fā)受到年輕人的青睞．小林設(shè)計了一個如圖1所示的自行車棚，其截面如圖2所示，頂棚是拋物線的一部分，AO，BC是兩根水泥柱，AO，BC垂直于地面上的水平線OC，且米，米，以O(shè)C所在直線為軸，OA所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，頂棚拋物線滿足函數(shù)關(guān)系式為常數(shù)，且．
（1）求頂棚拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）為使車棚更加穩(wěn)固，現(xiàn)要從頂棚到地面加兩根支撐鋼條DE，F(xiàn)G，DE，F(xiàn)G兩根鋼條之間用鋼條MN連接，米，（D，F(xiàn)在拋物線上，E，G在OC上，分別在DE，F(xiàn)G上），鋼條DE與FG的長度之和是否存在最大值？若存在，請求出鋼條DE與FG的長度之和的最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）解：
將代入，
解得：
頂棚拋物線的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：由題意可得，DE與FG之間的距離為2米．
設(shè)點的坐標(biāo)為，
則，
．
，
有最大值，
當(dāng)時，的最大值為米，
鋼條DE與FG的長度之和存在最大值，最大值為米．
【知識點】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的實際應(yīng)用-拱橋問題
【解析】【分析】（1）需要確定拋物線的函數(shù)關(guān)系式。已知頂棚拋物線的函數(shù)形式為 y=ax2+bx+c ，且頂點在坐標(biāo)系中滿足特定條件。由于AO和BC是垂直于OC的水泥柱，且AO=BC=2米，OC=8米，可以確定拋物線經(jīng)過點A(0，2)和點B(8，2)，代入函數(shù)式即可解出a和c的值；
（2） 需要判斷DE與FG的長度之和是否存在最大值。由于DE和FG均垂直于OC，且MN平行于OC且長度為2米，可以設(shè)D點坐標(biāo)為 ( x，y） ，則F點坐標(biāo)為 ( x + 2 ， y ) 。根據(jù)拋物線方程，DE和FG的長度分別為y值，因此總長度為 2 y 。根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可判斷最大值是否存在，并求出最大值。
20．（2025九下·深圳期中）數(shù)學(xué)課上，張老師在引導(dǎo)學(xué)生探究菱形與正方形性質(zhì)的共同點時，根據(jù)菱形和正方形鄰邊都相等的性質(zhì)，設(shè)計了以下問題．
【觀察發(fā)現(xiàn)】
在菱形ABCD中，是菱形ABCD內(nèi)一點，且，連接BE，CE，DE，延長DE交BC于點．
（1）如圖1，當(dāng)時，的度數(shù)為　 　.
（2）【遷移探究】
如圖2，當(dāng)時．
①判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②當(dāng)時，判斷與的關(guān)系，并說明理由．
（3）【結(jié)論應(yīng)用】
如圖3，在邊長為5的正方形ABCD中，是正方形ABCD內(nèi)一點，且，連接BE，CE，DE，延長DE交BC于點，過點作BE的平行線，交DF的延長線于點，連接BH．當(dāng)是等腰直角三角形時，直接寫出BH的長．
【答案】（1）
（2）①，理由如下：
在菱形ABCD中，，
，
，
，
在四邊形ABED中，，
，
，
，
，即；
②，理由如下：
在菱形ABCD中，，
，
，
，
，
，
三點共線，
，
由①，知，
，
（3）或，
同（2）①可得，
，
，
分兩種情況討論：①當(dāng)時，如題圖3所示，
，
，
又，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，即，
又，
，
設(shè)，則，
，
，即，
，
；
②當(dāng)時，如解圖所示，
同理可得，
，
證四邊形CEBH是平行四邊形，
是BC，EH的中點，
設(shè)，則，
，即，
，
；
綜上所述，BH的長為或．
【知識點】勾股定理；菱形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)-等邊對等角
【解析】【解答】解：（1）在菱形ABCD中，，
，
，
，
在四邊形ABED中，，
，
∴，
，
，即；
故第1空答案為：30°；
【分析】（1） 當(dāng)∠BAD=60°時，需通過菱形的性質(zhì)及AE=AD的條件，結(jié)合三角形全等或相似來求解∠BEF的度數(shù)；
（2） 需要推廣到一般角度α，分析∠BEF與α的關(guān)系，并在特定條件下判斷三角形全等或相似；
（3） 結(jié)合正方形的特殊性質(zhì)，利用等腰直角三角形的條件，通過幾何關(guān)系求BH的長度。
1 / 1廣東省深圳市大望學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級下學(xué)期中考模擬數(shù)學(xué)試卷
1．（2025九下·深圳期中）2025的倒數(shù)是（　?。?br/>A．-2025 B． C． D．2025
2．（2025九下·深圳期中）下列車標(biāo)中，屬于中心對稱圖形的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
3．（2025九下·深圳期中）2024年深圳GDP總量約3.9萬億元，將數(shù)據(jù)3.9萬億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
4．（2025九下·深圳期中）下列計算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·深圳期中）2025年春節(jié)檔某影城上映了三部電影：《哪吒之魔童鬧?！?、《唐探1900》和《重啟末來》，若小明和小亮分別從這三部影片中隨機(jī)選擇一部觀看，則這兩人選擇的影片相同的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．
6．（2025九下·深圳期中）如圖，在Rt中，，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，以下結(jié)論不一定正確的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·深圳期中）甲乙兩地相距380km，新的高速公路開通后，在甲乙兩地間行駛的長途客車平均速度提高了，而從甲地到乙地的時間縮短了2h．若設(shè)原來的平均速度為，根據(jù)題意，下列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·深圳期中）某公司準(zhǔn)備從大樓點處掛一塊大型條幅到點，公司進(jìn)行實地測量，工作人員從大樓底部點沿水平直線步行40米到達(dá)自動扶梯底端點，在點用儀器測得條幅下端點的仰角為；然后他再沿著坡度長度為50米的自動扶梯到達(dá)扶梯頂端點，又沿水平直線行走了80米到達(dá)點，在點測得條幅上端點的仰角為，F(xiàn)，G在同一個平面內(nèi)，且C，D和A，B，F(xiàn)分別在同一水平線上），則GE的高度約為（　　）（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)）
A．188.5米 B．178.5米 C．167.3米 D．189.3米
9．（2025九下·深圳期中）分解因式： =　 　.
10．（2025九下·深圳期中）一個不透明的箱子里裝有僅顏色不同的紅色卡片和藍(lán)色卡片共10張，隨機(jī)從箱子里摸出1張卡片，記下顏色后再放回，經(jīng)過多次的重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在0.4附近，由此估計箱子中藍(lán)色卡片有　 　張．
11．（2025九下·深圳期中）如圖，AB為的直徑，點C、D在上，若，則的度數(shù)是　 　．
12．（2025九下·深圳期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的點在軸正半軸上，底邊BC與軸平行，是BC邊上一點，且，函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，若點的橫坐標(biāo)為的面積為6，則的值是　 　．
13．（2025九下·深圳期中）如圖，已知是平行四邊形ABCD的邊BC上一點，將沿直線AP折疊，點落在平行四邊形ABCD內(nèi)的點處，且，如果，那么BP的長為　 ?。?br/>14．（2025九下·深圳期中）計算．
15．（2025九下·深圳期中）先化簡，再求值：，其中．
16．（2025九下·深圳期中）人工智能是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動力量，DeepSeek等模型的發(fā)布，給人們的工作生活帶來極大的便利．某校為了激發(fā)同學(xué)們對人工智能的興趣，普及人工智能知識，組織七，八年級學(xué)生參加了人工智能科普測試．現(xiàn)從七，八兩個年級各抽取10人記錄下他們的測試得分并進(jìn)行整理和分析（積分用表示，共分為四組：：，下面給出了部分信息：
七年級10人的得分：47，56，68，71，83，83，85，90，91，94；
八年級10人的得分在組中的分?jǐn)?shù)為：83，84，87，84；
兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)如下表所示：
年級 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)
七 76.8 83
八 76.8 84
八年級得分等級扇形統(tǒng)計圖
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空： ▲ ， ▲ ， ▲ ；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪個年級在此次人工智能科普測試中表現(xiàn)更好，請說明理由（一條理由即可）；
（3）若七年級有360人參與測試，八年級有400人參與測試，請估計七，八兩個年級得分在組的人數(shù)之和．
17．（2025九下·深圳期中）某校準(zhǔn)備購買一批文具袋和水性筆，已知文具袋的單價是水性筆單價的5倍，購買5支水性筆和3個文具袋共需60元．
（1）求文具袋和水性筆的單價；
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買文具袋10個，水性筆若干支（超過10支）．文具店給出兩種優(yōu)惠方案：A：購買一個文具袋，贈送1支水性筆；B：購買水性筆10支以上，超過10支的部分按原價八折優(yōu)惠，文具袋不打折。
①設(shè)購買水性筆支，方案A的總費(fèi)用為 ▲ 元，方案的總費(fèi)用為 ▲ 元；
②該學(xué)校選擇哪種方案更合算？請說明理由．
18．（2025九下·深圳期中）小敏在查閱資料時得知：已知一個四邊形各邊長均為定值，當(dāng)它的四個頂點在同一個圓上時，四邊形的面積最大．
【從特殊驗證】
已知四邊形ABCD的各邊長依次為7，15，20，24，它的面積何時最大？
小敏的演算紙 易得易證當(dāng)為鈍角時，也為鈍角． 同理可得II中結(jié)論設(shè)兩條垂線段 綜上所述，的最大值為
（1）探索情形I：
①求證：點A，B，C，D在同一個圓上．
②的值為 ▲ .
（2）探索情形II：說明此時的值小于情形I中的值．
（3）【向一般進(jìn)發(fā)】
已知四邊形ABCD的各邊長依次為6，8，8，12，借助已有結(jié)論對它展開探索，求它的面積的最大值．
19．（2025九下·深圳期中）近年來，隨著低碳環(huán)保理念深入人心，共享單車愈發(fā)受到年輕人的青睞．小林設(shè)計了一個如圖1所示的自行車棚，其截面如圖2所示，頂棚是拋物線的一部分，AO，BC是兩根水泥柱，AO，BC垂直于地面上的水平線OC，且米，米，以O(shè)C所在直線為軸，OA所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，頂棚拋物線滿足函數(shù)關(guān)系式為常數(shù)，且．
（1）求頂棚拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）為使車棚更加穩(wěn)固，現(xiàn)要從頂棚到地面加兩根支撐鋼條DE，F(xiàn)G，DE，F(xiàn)G兩根鋼條之間用鋼條MN連接，米，（D，F(xiàn)在拋物線上，E，G在OC上，分別在DE，F(xiàn)G上），鋼條DE與FG的長度之和是否存在最大值？若存在，請求出鋼條DE與FG的長度之和的最大值；若不存在，請說明理由．
20．（2025九下·深圳期中）數(shù)學(xué)課上，張老師在引導(dǎo)學(xué)生探究菱形與正方形性質(zhì)的共同點時，根據(jù)菱形和正方形鄰邊都相等的性質(zhì)，設(shè)計了以下問題．
【觀察發(fā)現(xiàn)】
在菱形ABCD中，是菱形ABCD內(nèi)一點，且，連接BE，CE，DE，延長DE交BC于點．
（1）如圖1，當(dāng)時，的度數(shù)為　 　.
（2）【遷移探究】
如圖2，當(dāng)時．
①判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②當(dāng)時，判斷與的關(guān)系，并說明理由．
（3）【結(jié)論應(yīng)用】
如圖3，在邊長為5的正方形ABCD中，是正方形ABCD內(nèi)一點，且，連接BE，CE，DE，延長DE交BC于點，過點作BE的平行線，交DF的延長線于點，連接BH．當(dāng)是等腰直角三角形時，直接寫出BH的長．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】有理數(shù)的倒數(shù)
【解析】【解答】解： 2025的倒數(shù)是 ：
故答案為：C.
【分析】 倒數(shù)的定義是：若兩個數(shù)的乘積為1，則這兩個數(shù)互為倒數(shù)。 根據(jù)2025×=1，即可得出答案。
2．【答案】B
【知識點】中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A：圖案不是中心對稱圖形，所以A不符合題意；
B：圖案是中心對稱圖形，所以B符合題意；
C：圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以C不符合題意；
D：圖案不是對稱圖形，所以D不符合題意。
故答案為：B.
【分析】 中心對稱圖形的定義是圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與原圖形重合。因此，需要逐一分析每個選項的車標(biāo)是否符合這個條件，即可得出答案。
3．【答案】A
【知識點】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解： 3.9萬億=3.9 × 1萬億 = 3.9 × 1012 。
故答案為：A.
【分析】首先理解 “萬億”單位對應(yīng)的10的冪次（1012）， 再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的規(guī)范寫法，即可得出答案。
4．【答案】D
【知識點】完全平方公式及運(yùn)用；二次根式的加減法；合并同類項法則及應(yīng)用；冪的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A：a3+a2無法進(jìn)行合并，所以A不正確；
B：（a-b)2=a2-2ab+b2，所以B不正確；
C：（a3）3=a6，所以C不正確；
D：，所以D計算正確。
故答案為：D.
【分析】根據(jù)合并同類項法則可判定A不正確；根據(jù)乘法計算公式可得B不正確；根據(jù)冪的乘方可得C不正確；根據(jù)合并同類二次根式可得D正確，即可得出答案。
5．【答案】B
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： 《哪吒之魔童鬧?！?、《唐探1900》和《重啟末來》分別記為A，B，C.
樹狀圖分析如下：
所以兩人選擇的影片相同的概率為：P=。
故答案為：B.
【分析】用樹狀圖分析所有機(jī)會均等的結(jié)果共有9種，其中小明和小亮選擇影片相同的情況有3種，根據(jù)概率計算公式，即可得出答案。
6．【答案】A
【知識點】角平分線的性質(zhì)；尺規(guī)作圖-作角的平分線；余角
【解析】【解答】解：根據(jù)尺規(guī)作圖可知：AD平分∠BAC，DE垂直AB于點E，
∴B正確；
又，
∴DE=DC（即C正確），
∵∠B+∠BAC=90°，∠B+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BAC(即D正確）
根據(jù)尺規(guī)作圖，不能得出DA=DB，
∴∠BAD不一定等于∠B（即A不一定正確）
故答案為：A.
【分析】首先根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡得出AD平分∠BAC，DE垂直AB于點E，進(jìn)而可得出B正確；再根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及余角的性質(zhì)可得出C正確，D正確，A不一定正確，即可得出答案。
7．【答案】C
【知識點】列分式方程；分式方程的實際應(yīng)用-行程問題
【解析】【解答】解： 若設(shè)原來的平均速度為，根據(jù)題意：
即
故答案為：C.
【分析】若設(shè)原來的平均速度為，則 速度提升后 為x+30%x，然后根據(jù) 從甲地到乙地的時間縮短了2h ，即可得出方程，故而得出答案。
8．【答案】D
【知識點】解直角三角形；解直角三角形的實際應(yīng)用﹣坡度坡角問題；解直角三角形的實際應(yīng)用﹣仰角俯角問題；解直角三角形—邊角關(guān)系
【解析】【解答】解： 過點D作DM⊥AB于M，DN⊥GE于N，形成矩形DMFN。
設(shè)DM=4x，AM=3x， 則：AD= 5x=50 ，解得：x=10，
∴ DM=40米，AM=30米，
∵FM = AF + AM = 40米 + 30米 = 70米，
∴DN=FM=70米，
∵CD=80米，
∴ CN = CD + DN = 80米 + 70米 = 150米，
在Rt△CGN中，tan50°≈1.19，GN = CN·tan50° ≈150×1.19=178.5米 ，
GF = GN + NF = 178.5米 + 40米 = 218.5米 ，
在Rt△AEF中，tan36°≈0.73，EF = AF·tan36° ≈40×0.73=29.2米 ，
∴ GE = GF - EF ≈218.5 -29.2≈189.3米。
故答案為：D.
【分析】 過點D作DM⊥AB于M，DN⊥GE于N，形成矩形DMFN，根據(jù)AD的坡度，可設(shè)設(shè)DM=4x，AM=3x， 則：AD= 5x=50 ，解得：x=10，進(jìn)一步即可得出 DM=40米，AM=30米，進(jìn)而得出DN和CN的長度，然后解Rt△CGN可得GN的長，在Rt△AEF中可得EF的長，最后根據(jù)GE=GF - EF，即可得出GE的長度。
9．【答案】
【知識點】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法
【解析】【解答】 = = ．
故填： .
【分析】本題考查提取公因式法和公式法分解因式．
10．【答案】4
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解： 藍(lán)色卡片的張數(shù)=10×0.4=4（張）。
故答案為：4.
【分析】根據(jù)頻率估計概率可得 摸到藍(lán)色卡片的概率為0.4，從而得出藍(lán)色卡片的張數(shù)為10×0.4=4（張）。
11．【答案】70°
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理
【解析】【解答】解：連接OD，
∵，
∴∠AOD=2∠C=40°，
∵OA=OD，
∴∠BAD=。
故答案為：70°.
【分析】連接OD，首先根據(jù)圓周角定理得出∠AOD=2∠C=40°，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理，即可得出∠BAD=。
12．【答案】12
【知識點】三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，b），則點C的坐標(biāo)為(6，0)，則點B的坐標(biāo)為(6， 2b)，
∵的面積為6，
∴，
又∵，
∴點D的坐標(biāo)為（6，），
∵A，D在 函數(shù)的圖象 上，
∴ab=6×，
∴a=4，
∴，
∴b=3，
∴k=4×3=12.
故答案為：12.
【分析】設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，b），則點C的坐標(biāo)為(6，0)，則點B的坐標(biāo)為(6， 2b)，點D的坐標(biāo)為（6，），然后根據(jù)的面積為6，可得，根據(jù)A，D在 函數(shù)的圖象 上，可得ab=6×，進(jìn)而得出a=4，b=3，進(jìn)而得出k=4×3=12.
13．【答案】
【知識點】平行四邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；坐標(biāo)系中的兩點距離公式；正弦的概念
【解析】【解答】解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，
∵ sinB=，AB=5，
∴AF=4，
∴BF=3，
∴A(0，0)；B(-3，-4）；D（8，0）
又沿直線AP折疊，點落在平行四邊形ABCD內(nèi)的點處，
∴AE=AB=5，
又，
∴點E到AD的距離為3，
∴點E的坐標(biāo)為（4，-3），
設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，-4），
∵BP=EP，
∴a-(-3）=，
解得：a=，
∴BP=.
故答案為：.
【分析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，即可得出A(0，0)；B(-3，-4）；D（8，0）及點E的坐標(biāo)為（4，-3），可設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，-4），由折疊性質(zhì)知BP=EP，即可得出a-(-3）=，解方程即可得出a=，進(jìn)而得出BP=.
14．【答案】解：原式
【知識點】零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；求特殊角的三角函數(shù)值；實數(shù)的絕對值
【解析】【分析】首先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，以及絕對值的性質(zhì)，60°的正切值進(jìn)行化簡，然后再合并同類二次根式即可得出答案。
15．【答案】解：原式
.
當(dāng)時，原式
【知識點】因式分解﹣提公因式法；分式的混合運(yùn)算；分式的化簡求值-直接代入；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】首先計算括號內(nèi)的異分母分式加法，同時把分式除法變換成分式的乘法，然后再進(jìn)行分式的乘法運(yùn)算，分子分母是多項式且能進(jìn)行因式分解的，先進(jìn)行因式分解，能約分的進(jìn)行約分，即可得出化簡結(jié)果.然后把 代入中，進(jìn)行化簡，即可得出最后結(jié)果。
16．【答案】（1）83，83.5，20
（2）八年級掌握垃圾分類知識比較好，
理由：八年級的眾數(shù)高于七年級的眾數(shù)
（或八年級的中位數(shù)高于七年級的中位數(shù)）
（3）人，人，
七，八兩個年級得分在組的人數(shù)之和為：人．
【知識點】中位數(shù)；眾數(shù)；用樣本所占百分比估計總體數(shù)量
【解析】【解答】解：（1） 七年級10人的得分中，83出現(xiàn)了2次，其他數(shù)據(jù)都是1次，所以眾數(shù)a=83；
八年級C，D兩組人數(shù)之和為：10×（30%+10%）=4（人），B組有4人，所以八年級10人得分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)為：；
所以A組人數(shù)為：10-4-4=2，所以m=20；
故答案為：83；83.5；20；
【分析】（1）首先根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義分別求得a和b的值；然后從八年級10人中減去B，C，D三組人數(shù)，可得出B組人數(shù)，即可求得m的值；
（2）根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)的特征，即可得出答案（言之有理即可）
（3）根據(jù)七八年級樣本數(shù)據(jù)中得分在組所占的比例，估計總體的比例，然后分別估算出七八年級 得分在組的人數(shù)分別為：360×=108（人）和400×20%=80（人），然后在計算它們的和即可得出答案。
17．【答案】（1）解：設(shè)水性筆的單價元，文具袋的單價為5m元，根據(jù)題意得：
解得：，則
答：水性筆的單價3元，文具袋的單價為15元
（2）①
②設(shè)
當(dāng)時，
解得：
若時，
解得：
若時，
解得：
因此當(dāng)購買數(shù)量大于60支時，選擇B方案更合算；當(dāng)購買數(shù)量等于60支時，選擇A方案或選擇B方案均可；當(dāng)購買數(shù)量小于60支時，選擇A方案更合算．
【知識點】一元一次不等式的應(yīng)用；一元一次方程的實際應(yīng)用-銷售問題；一次函數(shù)的實際應(yīng)用-方案問題
【解析】【分析】（1）設(shè)水性筆的單價元，文具袋的單價為5m元，根據(jù) 購買5支水性筆和3個文具袋共需60元．即可得出方程，解方程求得m的值，進(jìn)一步得出5m的值，即可得出答案；
（2） ①設(shè)購買水性筆支， 由（1）知水性筆的單價3元，文具袋的單價為15元，故而得出方案A的總費(fèi)用為： 購買文具袋的總價+購買水性筆的總價=10×15+3（x-10）=3x+120；方案B的總費(fèi)用為：購買文具袋的總價+購買水性筆的總價=10×15+10×3+（x-10)×3×80%=2.4x+156；②設(shè)，分成三種情況進(jìn)行分析當(dāng)時，B方案合算；時，選擇A方案或選擇B方案均可；時，選擇A方案更合算．分別解所對應(yīng)的不等式，即可得出答案。
18．【答案】（1）①證明：連接AC，取AC的中點，連接OB，OD，
，
，
又，
，
，
為AC的中點，
，
點A，B，C，D在同一個圓上。
②234。
（2）解：，
，
在Rt中，，在Rt中，，
，
即。
（3）解：由題意可知，當(dāng)四邊形ABCD四頂點共圓時，它的面積最大，
連接AC，過點分別作于點于點，
，
，
，
，
，
，
，
同理可證，
，
，
，
，
，
，
，
，
即四邊形ABCD面積的最大值為．
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；勾股定理的逆定理；圓周角定理
【解析】【解答】解：（1）②S=S△ABC+S△ ADC=；
故答案為：234。
【分析】本題主要考查外接圓的判定、勾股定理及逆定理的運(yùn)用、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、全等三角形的判定等相關(guān)知識。
（1）利用勾股定理及逆定理可以得出，然后利用“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”即可得出證明結(jié)果；然后利用直角三角形面積計算公式即可計算出四邊形面積；
（2）結(jié)合圖中的信息，利用“直角三角形斜邊大于任意一條直角邊”即可列出不等式，得出證明結(jié)果；
（3）利用HL證明、，即可求出BE的長度，然后利用勾股定理求出CF的長度，最后即可計算出面積。
19．【答案】（1）解：
將代入，
解得：
頂棚拋物線的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：由題意可得，DE與FG之間的距離為2米．
設(shè)點的坐標(biāo)為，
則，
．
，
有最大值，
當(dāng)時，的最大值為米，
鋼條DE與FG的長度之和存在最大值，最大值為米．
【知識點】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的實際應(yīng)用-拱橋問題
【解析】【分析】（1）需要確定拋物線的函數(shù)關(guān)系式。已知頂棚拋物線的函數(shù)形式為 y=ax2+bx+c ，且頂點在坐標(biāo)系中滿足特定條件。由于AO和BC是垂直于OC的水泥柱，且AO=BC=2米，OC=8米，可以確定拋物線經(jīng)過點A(0，2)和點B(8，2)，代入函數(shù)式即可解出a和c的值；
（2） 需要判斷DE與FG的長度之和是否存在最大值。由于DE和FG均垂直于OC，且MN平行于OC且長度為2米，可以設(shè)D點坐標(biāo)為 ( x，y） ，則F點坐標(biāo)為 ( x + 2 ， y ) 。根據(jù)拋物線方程，DE和FG的長度分別為y值，因此總長度為 2 y 。根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可判斷最大值是否存在，并求出最大值。
20．【答案】（1）
（2）①，理由如下：
在菱形ABCD中，，
，
，
，
在四邊形ABED中，，
，
，
，
，即；
②，理由如下：
在菱形ABCD中，，
，
，
，
，
，
三點共線，
，
由①，知，
，
（3）或，
同（2）①可得，
，
，
分兩種情況討論：①當(dāng)時，如題圖3所示，
，
，
又，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，即，
又，
，
設(shè)，則，
，
，即，
，
；
②當(dāng)時，如解圖所示，
同理可得，
，
證四邊形CEBH是平行四邊形，
是BC，EH的中點，
設(shè)，則，
，即，
，
；
綜上所述，BH的長為或．
【知識點】勾股定理；菱形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)-等邊對等角
【解析】【解答】解：（1）在菱形ABCD中，，
，
，
，
在四邊形ABED中，，
，
∴，
，
，即；
故第1空答案為：30°；
【分析】（1） 當(dāng)∠BAD=60°時，需通過菱形的性質(zhì)及AE=AD的條件，結(jié)合三角形全等或相似來求解∠BEF的度數(shù)；
（2） 需要推廣到一般角度α，分析∠BEF與α的關(guān)系，并在特定條件下判斷三角形全等或相似；
（3） 結(jié)合正方形的特殊性質(zhì)，利用等腰直角三角形的條件，通過幾何關(guān)系求BH的長度。
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