資源簡介

廣東省江門市江海區禮樂中學2024-2025學年九年級下學期第一次模擬考試數學試卷
1．（2025九下·江海模擬）“兩岸猿聲啼不住，輕舟已過萬重山”.2023年8月29日，華為搭載自研麒麟芯片的mate60系列低調開售．據統計，截至2023年10月21日，華為mate60系列手機共售出約160萬臺，將數據1600000用科學記數法表示應為（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九下·江海模擬）如圖是《九章算術》中“塹堵”的立體圖形，它的左視圖為（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·江海模擬）A，B是數軸上兩點，線段AB上的點表示的數中，有互為相反數的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·江海模擬）下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·江海模擬）不等式組的解集在數軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九下·江海模擬）在“三角尺拼角”實驗中，小聰把一副三角尺按如圖所示的方式放置，則的度數為（　　）
A． B． C．° D．
7．（2025九下·江海模擬）若，且a為整數，則a的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2025九下·江海模擬）如圖，已知，平分，點P在上，于點D，，點E是射線上的動點，則的最小值為（　　）
A．4 B．2 C．5 D．3
9．（2025九下·江海模擬）股市規定：股每天的漲、跌幅均不超過10％，即當漲了原價的10％后，便不能再漲，叫做漲停；當跌了原價的10％后，便不能再跌，叫做跌停，現有一支股票某天漲停，之后兩天時間又跌回到漲停之前的價格.若這兩天此股票股價的平均下跌率為x，則x滿足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九下·江海模擬）我國魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”：通過圓內接正多邊形割圓，邊數越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長．如圖，由圓內接正六邊形可算出．若利用圓內接正十二邊形來計算圓周率，則圓周率約為（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九下·江海模擬）因式分解：　 　．
12．（2025九下·江海模擬）要使二次根式有意義，則實數x的取值范圍是　 　．
13．（2025九下·江海模擬）在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，其中紅球有2個，這些球除顏色外其他都相同，隨機摸出1個球，摸出的是紅球的概率是　 　．
14．（2025九下·江海模擬）2023年5月30日是第7個全國科技工作者日，某中學舉行了科普知識手抄報評比活動，共有100件作品獲得一、二、三等獎和優勝獎，根據獲獎結果繪制如圖所示的條形圖，則a的值為　 　．若將獲獎作品按四個等級所占比例繪制成扇形統計圖，則“一等獎”對應扇形的圓心角度數為　 　．
15．（2025九下·江海模擬）如圖，邊長為6的正三角形內接于，則圖中陰影部分的面積是　 　．
16．（2025九下·江海模擬）如圖是一張矩形紙片，點是中點，點在上，把該紙片沿折疊，點的對應點分別為，的延長線經過點，與相交于點．若，且點平分，則的長為　 　．
17．（2025九下·江海模擬）計算：
18．（2025九下·江海模擬）先化簡：，再從，，中選取一個合適的數作為的值代入求值.
19．（2025九下·江海模擬）尺規作圖：已知點為外一定點，求作的兩條切線，并標注好切點．
20．（2025九下·江海模擬）已知關于x的一元二次方程；
（1）求證：不論m取任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩根為、且滿足，求m的值．
21．（2025九下·江海模擬）參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽定了一份合同，所有公司共簽定了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會？
22．（2025九下·江海模擬）【綜合與實踐】要測量學校旗桿的高度，三個數學研究小組設計了不同的方案，測量方案與數據如下表：
課題 測量學校旗桿的高度
測量工具 測量角度的儀器，皮尺，小鏡子，直角三角形紙板等
測量小組 第一小組 第二小組 第三小組
測量方案示意圖
說明 利用鏡子反射測量旗桿高度，點O為鏡子，眼睛B看到鏡子中的旗桿頂端C 觀測臺，在觀測點E處測得旗桿頂端C點的仰角，旗桿底端D點的俯角 利用直角三角形紙板的直角邊保持水平，并且邊與點M在同一直線上，直角三角板的斜邊與旗桿頂端C在同一直線上
測量數據 ，，． ，，． ，，．
（1）根據測量數據，第　 　小組的數據無法計算學校旗桿的高度；
（2）請選擇其中一個方案及其數據求學校旗桿的高度(精確到)．(參考數據：，．)
23．（2025九下·江海模擬）心理學家研究發現，一般情況下，一節課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化.開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩定狀態，隨后學生的注意力開始分散.經過實驗分析可知，學生的注意力指標數隨時間（分鐘）的變化規律如圖所示（其中、分別為線段，為雙曲線的一部分）：
（1）開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？
（2）一道數學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數最低達到36，那么經過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目？請說明理由.
24．（2025九下·江海模擬）
（1）【問題情境】點是外一點，點是上一動點．若的半徑為，且，則點到點的距離最長為多少？
（2）【直接運用】如圖，在中，，，以為直徑的半圓交于點，是弧上的一個動點，連接，則的最小值是什么？
（3）【構造運用】如圖，已知正方形的邊長為，點分別從點同時出發，以相同的速度沿逆時針方向向終點和運動，連接和交于點，求的最小值．
25．（2025九下·江海模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于C點，且．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在點M，使，如果存在，求點M的坐標，如果不存在，說明理由；
（3）若點D是拋物線第二象限上一動點，過點D作軸于點F，過點的圓與交于點E，連接，求的面積．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：1600000=1.6×106，
故答案為：B.
【分析】根據科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，n的值與小數點移動的位數相同，即可求解.
2．【答案】A
【知識點】簡單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解： 觀察可得，這個“塹堵”的左視圖如下：
故答案為：A.
【分析】 找到從幾何體的左面看所得到的圖形即可.
3．【答案】B
【知識點】相反數的意義與性質
【解析】【解答】解： 表示互為相反數的點，必須要滿足在數軸原點的左右兩側，
從四個答案觀察發現，只有B選項的線段AB符合，其余答案的線段都在原點的同一側，
故答案為：B.
【分析】數軸上互為相反數在原點兩側，并且到原點的距離相等，通過觀察線段AB上的點與原點的距離就可以做出判斷.
4．【答案】C
【知識點】同底數冪的除法；完全平方公式及運用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，故此選項不符合題意；
B、，故此選項不符合題意；
C、，故此選項符合題意；
D、與不是同類項，不能合并，故此選項不符合題意．
故答案為：C．
【分析】利用同底數冪的除法、完全平方公式、積的乘方、冪的乘方和合并同類項的計算方法逐項分析判斷即可.
5．【答案】D
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：
通過解不等式組，得到解集為-1故答案為：D.
【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數軸上即可.
6．【答案】C
【知識點】三角形的外角性質
【解析】【解答】解：
∵∠A=30°，∠CBA=45°，
∴∠α=∠A+∠CBA=30°+45°=75°．
故選：C．
【分析】 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，由此即可計算.
7．【答案】A
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：，即，
，
，
故答案為：A．
【分析】估算無理數的范圍即可求出答案.
8．【答案】D
【知識點】角平分線的性質
【解析】【解答】解： ∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOP=30°，
∵PD⊥OA，OP=6cm，
∴PD=OP=3cm，
過點P作PE'⊥OB于點E'，
∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，
∴PE'=PD=3cm，
∴PE的最小值為3cm.
故答案為：B.
【分析】 根據角平分線的性質可得∠AOP=30°，則 PD=OP， 再根據角平分線上的點到兩邊的距離相等，以及垂線段最短，即可進行解答.
9．【答案】A
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【解答】解：設x為平均每天下跌的百分率，
則：（1+10%） （1-x）2=1；
故答案為：A.
【分析】此題是一道平均降低率的問題，根據公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低開始的量，x是降低率，n是降低次數，P是降低結束達到的量，根據公式即可列出方程.
10．【答案】C
【知識點】解直角三角形的其他實際應用；正多邊形的性質
【解析】【解答】解： 如圖，連接OA1，OA2，過點O作OM⊥A1A2，垂足為M，設⊙O的半徑為R，
∵十二邊形A1A2…A12是圓內接正十二邊形，
∴∠A1OA2=
又∵OA1=OA2，OM⊥A1A2，
∴∠A1OM=15°，
在Rt△A1OM中，∠A1OM=15°，OA1=R，
∴A1M=R sin15°，
∴A1A2=2A1M=2R sin15°，
∴正十二邊形A1A2…A12的周長為12A1A2=2R sin15°×12，
π=
故答案為：C.
【分析】 根據正多邊形和圓的性質以及直角三角形的邊角關系計算正多邊形的周長與直徑的比值即可.
11．【答案】
【知識點】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
故答案為：．
【分析】根據完全平方公式進行因式分解即可求出答案.
12．【答案】
【知識點】二次根式有意義的條件
【解析】【解答】解：根據題意得：，
解得：．
故答案為：.
【分析】利用二次根式有意義的條件（被開方數大于等于0）列出不等式求解即可.
13．【答案】
【知識點】簡單事件概率的計算
【解析】【解答】解： 隨機摸出1個球共有20種等可能結果，其中摸出的是紅球的有2種結果，
所以隨機摸出1個球，摸出的是紅球的概率為 2÷20=0.1，
故答案為：0.1.
【分析】 隨機摸出1個球共有20種等可能結果，其中摸出的是紅球的有2種結果，再根據概率公式求解即可.
14．【答案】30；
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖
【解析】【解答】解： 由條形統計圖可得，
a=100-10-50-10=30，
“一等獎”對應扇形的圓心角度數為：360°×=36°，
故答案為：30，36°.
【分析】 根據直方圖中的數據，可以計算出a的值，然后即可計算出“一等獎”對應扇形的圓心角度數.
15．【答案】
【知識點】等邊三角形的性質；圓的相關概念；解直角三角形—邊角關系
【解析】【解答】解：連接并延長AO交BC于點D，連接OB、OC，
∵邊長為6的正三角形ABC內接于⊙O，
∴AB=AC=BC=6，∠AOB=∠AOC=∠BOC= 120°，AO=BO=OC，
易證 △AOB≌△AOC ，
∴∠BAO=∠CAO，
∴AD⊥BC，
∴∠ODB=90°，BD=CD= 3，
∵∠OBD=∠OCD= 30°
∴，
∴OD=，
∴OB=OA=2OD=2，
∴AD=OA+OD=3，
∴陰影部分面積=圓面積-△ABC面積=，
故答案為：.
【分析】 連接并延長AO交BC于點D，連接OB、OC，則AB=AC=BC=6，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，OB=OC=OA，可證明△AOB≌△AOC，得∠BAO=∠CAO，則AD⊥BC，所以∠ODB=90°，BD=CD=3，可求得∠OBD=∠OCD=30°，則OD=， ，所以OB=OA=2OD= 2， AD= 3，最后利用圓面積減去三角形面積得到陰影部分面積.
16．【答案】
【知識點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解： 由折疊性質及矩形的性質得，∠B'=∠GA'C=90°，
∵點G平分A'B'，
∴A'G=B'G，
又∵∠B'GF=∠A'GC，
∴△B'FG≌△A'CG（AAS），
∴B'F=A'C，FG=CG，
設AD=a，
∵點E是AD中點，
∴AE=DE=，
根據折疊的性質得，A'E=AE=，
設BF=x，則B'F=A'C=x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠GCE，
又∠D=∠GA'C=90°，
∴△A'GC∽△DCE，
∴
∴a=4x，
∵DE2+CD2=CE2，
，
結合a=4x，
解得x=，
∴AD=a=4x=4，
故答案為：4.
【分析】 根據折疊的性質、矩形的性質結合題意推出△B'FG≌△A'CG（AAS），根據全等三角形的性質得到B'F=A'C，FG=CG，設AD=a，則A'E=AE=，設BF=x，則B'F=A'C=x，根據矩形的性質推出△A'GC∽△DCE，根據相似三角形的性質推出a=4x，根據勾股定理再得到關于a，x的方程，將a=4x代入求解，即可得到x和a的值.
17．【答案】解： 原式=3-12×+8+1
=3-6+8+1
=6
【知識點】求特殊角的三角函數值；實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】先計算算術平方根、代入三角函數值、負整數指數冪和零指數冪，再計算乘法，最后計算加減可得.
18．【答案】解：
，
，，
，，
當時，原式.
【知識點】分式的化簡求值
【解析】【分析】根據分式的混合運算的法則和步驟，先把括號內的部分通分計算，然后把除法化為乘法，因式分解后約分即可化簡，再代入求值即可.
19．【答案】如圖，連接OP，作線段OP的垂直平分線，交OP于點M，以點M為圓心，PM的長為半徑畫圓，交⊙O于點A，B，作射線PA，PB，
由圓周角定理得，∠PAO=∠PBO=90°，
∵OA，OB為⊙O的半徑，
∴PA，PB為⊙O的切線，
則PA，PB即為所求
【知識點】尺規作圖-過圓外一點作圓的切線
【解析】【分析】 連接OP，作線段OP的垂直平分線，交OP于點M，以點M為圓心，PM的長為半徑畫圓，交⊙O于點A，B，作射線PA，PB，結合圓周角定理以及切線的判定可知，PA，PB即為所求.
20．【答案】（1）證明：在方程中，，，，
，
不論m取何值，，
．
不論m取任何實數，方程總有兩個不相等的實數根.
（2）解：由（1）知方程總有兩個不相等的實數根、，
，，
而，即，
解得，
時，，
是原分式方程的解
．
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式（①當△>0時，方程有兩個不相等的實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的實數根；③當△<0時，方程沒有實數根）分析求解即可；
（2）利用一元二次方程根與系數的關系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再求解即可.
（1）證明：在方程中，，，，
，
不論m取何值，，
．
不論m取任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）解：由（1）知方程總有兩個不相等的實數根、，
，，
而，即，
解得，
時，，
是原分式方程的解
．
21．【答案】解： 設有x家公司參加，依題意，得
x（x-1）=45．
整理得：x2-x-90=0．
解得：x1=10，x2=-9（舍去），
∴共10家公司參加商品交易會
【知識點】一元二次方程的其他應用
【解析】【分析】 每家公司都與其他公司鑒定了一份合同，設有x家公司參加，則每個公司要簽（x-1）份合同，簽訂合同共有x（x-1）家.
22．【答案】（1）三
（2）解： 第一小組的方案：
如圖，OF為法線，
∴∠BOF=∠COF，∠AOF=∠DOF=90°
∴∠DOC=∠AOB=30°，
在Rt△ODC中，∠D=90°，∠DOC=30°，DO=AD-AO=15m，
∴DC=ODtan∠DOC=15×≈8.7m
【知識點】相似三角形的應用；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）第三小組的數據無法算出大樓高度，理由如下：第三小組只測量了AE=0.4m，EF=0.2m，AB=1.8m，沒有測量線段EM長度，所以第三小組的數據無法算出大樓高度，
故答案為：三
【分析】 （1）第三小組沒有測量EM長度；
（2）由銳角三角函數定義得出方程，解方程即可．
23．【答案】（1）解： （1）設線段AB所在的直線的解析式為y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，
∴y1=2x+20．
設C、D所在雙曲線的解析式為 y2=，
把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴y2=，
當x1=5時，y1=2×5+20=30，
當 x2=30時，y2=，
∴y1＜y2
∴第30分鐘注意力更集中
（2）解： 令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8
令y2=36，
∴36=1000÷x，
∴x2=1000÷36≈27.8
∵27.8-8=19.8＞19，
所以能在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；反比例函數的實際應用
【解析】【分析】（1）先用待定系數法分別求出AB和CD的函數表達式，再分別求第五分鐘和第三十分鐘的注意力指數比較即可；
（2）分別求出注意力指數為36時的兩個時間，再將兩時間之差和19比較即可.
24．【答案】（1）解： （1）如圖，當點O，P，A三點共線時，點P到點A的距離最長，
∵點P是⊙O上一動點．⊙O的半徑為2，OA=5，
∴AP=OP+OA=2+5=7
（2）解： 連接OA，交半圓于P'，連接OP，如圖所示：
∵AC=BC=2，BC為半圓的直徑，
∴OP=OC=1，
∵∠ACB=90°，
∴OA=，
∵AP≥OA-OP，
∴AP≥，
∴最小值為
（3）解： 取AB中點O，連接OP、OC、PC，如圖所示：
∵點M、N分別從點B、C同時出發，以相同的速度沿邊BC、CD方向向終點C和D運動，
∴BM=CN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=6，∠ABM=∠BCN=90°，
易證 △ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠CBN+∠ABN=90°，
∴∠BAM+∠ABN=90°，
∴∠APB=90°，
∴點P在以AB為直徑的⊙O上運動，
當CP與圓O相切時，∠PCD最小，則tan∠DCP的值最小，
設DG=x，則AG=GP=6-x，
∴CG=12-x，
在Rt△DCG中，DG2+DC2=CG2，
∴x2+62=（12-x）2，
x=，即DG=，
∴tan∠DCP=
【知識點】圓的綜合題；四邊形的綜合
【解析】【分析】 （1）當點O，P，A三點共線時，點P到點A的距離最長；
（2）連接OA，交半圓于P'，連接OP，先由勾股定理得OA= ，當點P在OA上時，AP最短；
（3）取AB中點O，連接OP、OC、PC，先證△ABM≌△BCN（SAS），得∠BAM=∠CBN，再證∠APB=90°，得點P在以AB為直徑的⊙O上運動，當CP與圓O相切時，∠PCD最小，則tan∠DCP的值最小，由勾股定理及直角三角形的性質可求解.
25．【答案】（1）解： （1）設點B（2m，0）（m＞0），
∵OB=OC=2OA，
則點C（0，-2m）、B（2m，0），
則拋物線的表達式為：y=（x-2m）（x+m），
∵C（0，-2m），
則-m2=-2m，
解得：m=2，
則拋物線的表達式為：y= x2-x-4
（2）解：存在，
由（1）知，點A、B、C的坐標分別為：（-2，0）、（4，0）、（0，-4），
在拋物線上存在點M，使∠ABC=∠BCM，理由如下：
過點C作CM∥x軸，交拋物線于點M，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∵∠ABC=∠BCM，
∴∠BCM=45°，
∴∠OCM=90°，
∴CM⊥y軸，
把y=-4代入y= x2-x-4，
解得x1=2，x2=0（舍去），
∴點M的坐標為（2，-4）
（3）解： 點A的坐標為（-2，0），
∴AB=6，
設過點A、B、D得圓的圓心為點G，
∵GA=GB，
∴點G在線段AB的垂直平分線上，
設點G的坐標為（1，t），
同理可得點G在線段DE的垂直平分線上，
∵DE⊥x軸于點F，
∴設D（m，n），則E（m，2t-n），
∴S△ABE==3(2t-n)，
∵GD2=GA2，
∴（1-m）2+（t-n）2=（-2-1）2+（0-t）2，
整理得m2-2m+1+n2-2tn-9=0 ，
∵點D在拋物線上，
∴m2-m-4=n，
得m2=2m+2n+8 ，
將上式代入m2-2m+1+n2-2tn-9=0，
得n2-2tn+2n=0 （n≠0），
∴2t-n=2，
∴S△ABE=3（2t-n）=6
【知識點】二次函數-面積問題；二次函數-角度的存在性問題
【解析】【分析】 （1）由待定系數法即可求解；
（2）過點C作CM∥x軸，交拋物線于點M，把y=-4代入函數表達式，即可求出點M的坐標；
（3）設過點A、B、D得圓的圓心為點G，證明點G在線段AB的垂直平分線上，設點G的坐標為（1，t），進而設D（m，n），則E（m，2t-n），由S△ABE=求解.
1 / 1廣東省江門市江海區禮樂中學2024-2025學年九年級下學期第一次模擬考試數學試卷
1．（2025九下·江海模擬）“兩岸猿聲啼不住，輕舟已過萬重山”.2023年8月29日，華為搭載自研麒麟芯片的mate60系列低調開售．據統計，截至2023年10月21日，華為mate60系列手機共售出約160萬臺，將數據1600000用科學記數法表示應為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：1600000=1.6×106，
故答案為：B.
【分析】根據科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，n的值與小數點移動的位數相同，即可求解.
2．（2025九下·江海模擬）如圖是《九章算術》中“塹堵”的立體圖形，它的左視圖為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】簡單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解： 觀察可得，這個“塹堵”的左視圖如下：
故答案為：A.
【分析】 找到從幾何體的左面看所得到的圖形即可.
3．（2025九下·江海模擬）A，B是數軸上兩點，線段AB上的點表示的數中，有互為相反數的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】相反數的意義與性質
【解析】【解答】解： 表示互為相反數的點，必須要滿足在數軸原點的左右兩側，
從四個答案觀察發現，只有B選項的線段AB符合，其余答案的線段都在原點的同一側，
故答案為：B.
【分析】數軸上互為相反數在原點兩側，并且到原點的距離相等，通過觀察線段AB上的點與原點的距離就可以做出判斷.
4．（2025九下·江海模擬）下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】同底數冪的除法；完全平方公式及運用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，故此選項不符合題意；
B、，故此選項不符合題意；
C、，故此選項符合題意；
D、與不是同類項，不能合并，故此選項不符合題意．
故答案為：C．
【分析】利用同底數冪的除法、完全平方公式、積的乘方、冪的乘方和合并同類項的計算方法逐項分析判斷即可.
5．（2025九下·江海模擬）不等式組的解集在數軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：
通過解不等式組，得到解集為-1故答案為：D.
【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數軸上即可.
6．（2025九下·江海模擬）在“三角尺拼角”實驗中，小聰把一副三角尺按如圖所示的方式放置，則的度數為（　　）
A． B． C．° D．
【答案】C
【知識點】三角形的外角性質
【解析】【解答】解：
∵∠A=30°，∠CBA=45°，
∴∠α=∠A+∠CBA=30°+45°=75°．
故選：C．
【分析】 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，由此即可計算.
7．（2025九下·江海模擬）若，且a為整數，則a的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：，即，
，
，
故答案為：A．
【分析】估算無理數的范圍即可求出答案.
8．（2025九下·江海模擬）如圖，已知，平分，點P在上，于點D，，點E是射線上的動點，則的最小值為（　　）
A．4 B．2 C．5 D．3
【答案】D
【知識點】角平分線的性質
【解析】【解答】解： ∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOP=30°，
∵PD⊥OA，OP=6cm，
∴PD=OP=3cm，
過點P作PE'⊥OB于點E'，
∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，
∴PE'=PD=3cm，
∴PE的最小值為3cm.
故答案為：B.
【分析】 根據角平分線的性質可得∠AOP=30°，則 PD=OP， 再根據角平分線上的點到兩邊的距離相等，以及垂線段最短，即可進行解答.
9．（2025九下·江海模擬）股市規定：股每天的漲、跌幅均不超過10％，即當漲了原價的10％后，便不能再漲，叫做漲停；當跌了原價的10％后，便不能再跌，叫做跌停，現有一支股票某天漲停，之后兩天時間又跌回到漲停之前的價格.若這兩天此股票股價的平均下跌率為x，則x滿足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【解答】解：設x為平均每天下跌的百分率，
則：（1+10%） （1-x）2=1；
故答案為：A.
【分析】此題是一道平均降低率的問題，根據公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低開始的量，x是降低率，n是降低次數，P是降低結束達到的量，根據公式即可列出方程.
10．（2025九下·江海模擬）我國魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”：通過圓內接正多邊形割圓，邊數越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長．如圖，由圓內接正六邊形可算出．若利用圓內接正十二邊形來計算圓周率，則圓周率約為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】解直角三角形的其他實際應用；正多邊形的性質
【解析】【解答】解： 如圖，連接OA1，OA2，過點O作OM⊥A1A2，垂足為M，設⊙O的半徑為R，
∵十二邊形A1A2…A12是圓內接正十二邊形，
∴∠A1OA2=
又∵OA1=OA2，OM⊥A1A2，
∴∠A1OM=15°，
在Rt△A1OM中，∠A1OM=15°，OA1=R，
∴A1M=R sin15°，
∴A1A2=2A1M=2R sin15°，
∴正十二邊形A1A2…A12的周長為12A1A2=2R sin15°×12，
π=
故答案為：C.
【分析】 根據正多邊形和圓的性質以及直角三角形的邊角關系計算正多邊形的周長與直徑的比值即可.
11．（2025九下·江海模擬）因式分解：　 　．
【答案】
【知識點】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
故答案為：．
【分析】根據完全平方公式進行因式分解即可求出答案.
12．（2025九下·江海模擬）要使二次根式有意義，則實數x的取值范圍是　 　．
【答案】
【知識點】二次根式有意義的條件
【解析】【解答】解：根據題意得：，
解得：．
故答案為：.
【分析】利用二次根式有意義的條件（被開方數大于等于0）列出不等式求解即可.
13．（2025九下·江海模擬）在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，其中紅球有2個，這些球除顏色外其他都相同，隨機摸出1個球，摸出的是紅球的概率是　 　．
【答案】
【知識點】簡單事件概率的計算
【解析】【解答】解： 隨機摸出1個球共有20種等可能結果，其中摸出的是紅球的有2種結果，
所以隨機摸出1個球，摸出的是紅球的概率為 2÷20=0.1，
故答案為：0.1.
【分析】 隨機摸出1個球共有20種等可能結果，其中摸出的是紅球的有2種結果，再根據概率公式求解即可.
14．（2025九下·江海模擬）2023年5月30日是第7個全國科技工作者日，某中學舉行了科普知識手抄報評比活動，共有100件作品獲得一、二、三等獎和優勝獎，根據獲獎結果繪制如圖所示的條形圖，則a的值為　 　．若將獲獎作品按四個等級所占比例繪制成扇形統計圖，則“一等獎”對應扇形的圓心角度數為　 　．
【答案】30；
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖
【解析】【解答】解： 由條形統計圖可得，
a=100-10-50-10=30，
“一等獎”對應扇形的圓心角度數為：360°×=36°，
故答案為：30，36°.
【分析】 根據直方圖中的數據，可以計算出a的值，然后即可計算出“一等獎”對應扇形的圓心角度數.
15．（2025九下·江海模擬）如圖，邊長為6的正三角形內接于，則圖中陰影部分的面積是　 　．
【答案】
【知識點】等邊三角形的性質；圓的相關概念；解直角三角形—邊角關系
【解析】【解答】解：連接并延長AO交BC于點D，連接OB、OC，
∵邊長為6的正三角形ABC內接于⊙O，
∴AB=AC=BC=6，∠AOB=∠AOC=∠BOC= 120°，AO=BO=OC，
易證 △AOB≌△AOC ，
∴∠BAO=∠CAO，
∴AD⊥BC，
∴∠ODB=90°，BD=CD= 3，
∵∠OBD=∠OCD= 30°
∴，
∴OD=，
∴OB=OA=2OD=2，
∴AD=OA+OD=3，
∴陰影部分面積=圓面積-△ABC面積=，
故答案為：.
【分析】 連接并延長AO交BC于點D，連接OB、OC，則AB=AC=BC=6，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，OB=OC=OA，可證明△AOB≌△AOC，得∠BAO=∠CAO，則AD⊥BC，所以∠ODB=90°，BD=CD=3，可求得∠OBD=∠OCD=30°，則OD=， ，所以OB=OA=2OD= 2， AD= 3，最后利用圓面積減去三角形面積得到陰影部分面積.
16．（2025九下·江海模擬）如圖是一張矩形紙片，點是中點，點在上，把該紙片沿折疊，點的對應點分別為，的延長線經過點，與相交于點．若，且點平分，則的長為　 　．
【答案】
【知識點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解： 由折疊性質及矩形的性質得，∠B'=∠GA'C=90°，
∵點G平分A'B'，
∴A'G=B'G，
又∵∠B'GF=∠A'GC，
∴△B'FG≌△A'CG（AAS），
∴B'F=A'C，FG=CG，
設AD=a，
∵點E是AD中點，
∴AE=DE=，
根據折疊的性質得，A'E=AE=，
設BF=x，則B'F=A'C=x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠GCE，
又∠D=∠GA'C=90°，
∴△A'GC∽△DCE，
∴
∴a=4x，
∵DE2+CD2=CE2，
，
結合a=4x，
解得x=，
∴AD=a=4x=4，
故答案為：4.
【分析】 根據折疊的性質、矩形的性質結合題意推出△B'FG≌△A'CG（AAS），根據全等三角形的性質得到B'F=A'C，FG=CG，設AD=a，則A'E=AE=，設BF=x，則B'F=A'C=x，根據矩形的性質推出△A'GC∽△DCE，根據相似三角形的性質推出a=4x，根據勾股定理再得到關于a，x的方程，將a=4x代入求解，即可得到x和a的值.
17．（2025九下·江海模擬）計算：
【答案】解： 原式=3-12×+8+1
=3-6+8+1
=6
【知識點】求特殊角的三角函數值；實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】先計算算術平方根、代入三角函數值、負整數指數冪和零指數冪，再計算乘法，最后計算加減可得.
18．（2025九下·江海模擬）先化簡：，再從，，中選取一個合適的數作為的值代入求值.
【答案】解：
，
，，
，，
當時，原式.
【知識點】分式的化簡求值
【解析】【分析】根據分式的混合運算的法則和步驟，先把括號內的部分通分計算，然后把除法化為乘法，因式分解后約分即可化簡，再代入求值即可.
19．（2025九下·江海模擬）尺規作圖：已知點為外一定點，求作的兩條切線，并標注好切點．
【答案】如圖，連接OP，作線段OP的垂直平分線，交OP于點M，以點M為圓心，PM的長為半徑畫圓，交⊙O于點A，B，作射線PA，PB，
由圓周角定理得，∠PAO=∠PBO=90°，
∵OA，OB為⊙O的半徑，
∴PA，PB為⊙O的切線，
則PA，PB即為所求
【知識點】尺規作圖-過圓外一點作圓的切線
【解析】【分析】 連接OP，作線段OP的垂直平分線，交OP于點M，以點M為圓心，PM的長為半徑畫圓，交⊙O于點A，B，作射線PA，PB，結合圓周角定理以及切線的判定可知，PA，PB即為所求.
20．（2025九下·江海模擬）已知關于x的一元二次方程；
（1）求證：不論m取任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩根為、且滿足，求m的值．
【答案】（1）證明：在方程中，，，，
，
不論m取何值，，
．
不論m取任何實數，方程總有兩個不相等的實數根.
（2）解：由（1）知方程總有兩個不相等的實數根、，
，，
而，即，
解得，
時，，
是原分式方程的解
．
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式（①當△>0時，方程有兩個不相等的實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的實數根；③當△<0時，方程沒有實數根）分析求解即可；
（2）利用一元二次方程根與系數的關系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再求解即可.
（1）證明：在方程中，，，，
，
不論m取何值，，
．
不論m取任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）解：由（1）知方程總有兩個不相等的實數根、，
，，
而，即，
解得，
時，，
是原分式方程的解
．
21．（2025九下·江海模擬）參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽定了一份合同，所有公司共簽定了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會？
【答案】解： 設有x家公司參加，依題意，得
x（x-1）=45．
整理得：x2-x-90=0．
解得：x1=10，x2=-9（舍去），
∴共10家公司參加商品交易會
【知識點】一元二次方程的其他應用
【解析】【分析】 每家公司都與其他公司鑒定了一份合同，設有x家公司參加，則每個公司要簽（x-1）份合同，簽訂合同共有x（x-1）家.
22．（2025九下·江海模擬）【綜合與實踐】要測量學校旗桿的高度，三個數學研究小組設計了不同的方案，測量方案與數據如下表：
課題 測量學校旗桿的高度
測量工具 測量角度的儀器，皮尺，小鏡子，直角三角形紙板等
測量小組 第一小組 第二小組 第三小組
測量方案示意圖
說明 利用鏡子反射測量旗桿高度，點O為鏡子，眼睛B看到鏡子中的旗桿頂端C 觀測臺，在觀測點E處測得旗桿頂端C點的仰角，旗桿底端D點的俯角 利用直角三角形紙板的直角邊保持水平，并且邊與點M在同一直線上，直角三角板的斜邊與旗桿頂端C在同一直線上
測量數據 ，，． ，，． ，，．
（1）根據測量數據，第　 　小組的數據無法計算學校旗桿的高度；
（2）請選擇其中一個方案及其數據求學校旗桿的高度(精確到)．(參考數據：，．)
【答案】（1）三
（2）解： 第一小組的方案：
如圖，OF為法線，
∴∠BOF=∠COF，∠AOF=∠DOF=90°
∴∠DOC=∠AOB=30°，
在Rt△ODC中，∠D=90°，∠DOC=30°，DO=AD-AO=15m，
∴DC=ODtan∠DOC=15×≈8.7m
【知識點】相似三角形的應用；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）第三小組的數據無法算出大樓高度，理由如下：第三小組只測量了AE=0.4m，EF=0.2m，AB=1.8m，沒有測量線段EM長度，所以第三小組的數據無法算出大樓高度，
故答案為：三
【分析】 （1）第三小組沒有測量EM長度；
（2）由銳角三角函數定義得出方程，解方程即可．
23．（2025九下·江海模擬）心理學家研究發現，一般情況下，一節課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化.開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩定狀態，隨后學生的注意力開始分散.經過實驗分析可知，學生的注意力指標數隨時間（分鐘）的變化規律如圖所示（其中、分別為線段，為雙曲線的一部分）：
（1）開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？
（2）一道數學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數最低達到36，那么經過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目？請說明理由.
【答案】（1）解： （1）設線段AB所在的直線的解析式為y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，
∴y1=2x+20．
設C、D所在雙曲線的解析式為 y2=，
把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴y2=，
當x1=5時，y1=2×5+20=30，
當 x2=30時，y2=，
∴y1＜y2
∴第30分鐘注意力更集中
（2）解： 令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8
令y2=36，
∴36=1000÷x，
∴x2=1000÷36≈27.8
∵27.8-8=19.8＞19，
所以能在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；反比例函數的實際應用
【解析】【分析】（1）先用待定系數法分別求出AB和CD的函數表達式，再分別求第五分鐘和第三十分鐘的注意力指數比較即可；
（2）分別求出注意力指數為36時的兩個時間，再將兩時間之差和19比較即可.
24．（2025九下·江海模擬）
（1）【問題情境】點是外一點，點是上一動點．若的半徑為，且，則點到點的距離最長為多少？
（2）【直接運用】如圖，在中，，，以為直徑的半圓交于點，是弧上的一個動點，連接，則的最小值是什么？
（3）【構造運用】如圖，已知正方形的邊長為，點分別從點同時出發，以相同的速度沿逆時針方向向終點和運動，連接和交于點，求的最小值．
【答案】（1）解： （1）如圖，當點O，P，A三點共線時，點P到點A的距離最長，
∵點P是⊙O上一動點．⊙O的半徑為2，OA=5，
∴AP=OP+OA=2+5=7
（2）解： 連接OA，交半圓于P'，連接OP，如圖所示：
∵AC=BC=2，BC為半圓的直徑，
∴OP=OC=1，
∵∠ACB=90°，
∴OA=，
∵AP≥OA-OP，
∴AP≥，
∴最小值為
（3）解： 取AB中點O，連接OP、OC、PC，如圖所示：
∵點M、N分別從點B、C同時出發，以相同的速度沿邊BC、CD方向向終點C和D運動，
∴BM=CN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=6，∠ABM=∠BCN=90°，
易證 △ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠CBN+∠ABN=90°，
∴∠BAM+∠ABN=90°，
∴∠APB=90°，
∴點P在以AB為直徑的⊙O上運動，
當CP與圓O相切時，∠PCD最小，則tan∠DCP的值最小，
設DG=x，則AG=GP=6-x，
∴CG=12-x，
在Rt△DCG中，DG2+DC2=CG2，
∴x2+62=（12-x）2，
x=，即DG=，
∴tan∠DCP=
【知識點】圓的綜合題；四邊形的綜合
【解析】【分析】 （1）當點O，P，A三點共線時，點P到點A的距離最長；
（2）連接OA，交半圓于P'，連接OP，先由勾股定理得OA= ，當點P在OA上時，AP最短；
（3）取AB中點O，連接OP、OC、PC，先證△ABM≌△BCN（SAS），得∠BAM=∠CBN，再證∠APB=90°，得點P在以AB為直徑的⊙O上運動，當CP與圓O相切時，∠PCD最小，則tan∠DCP的值最小，由勾股定理及直角三角形的性質可求解.
25．（2025九下·江海模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于C點，且．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在點M，使，如果存在，求點M的坐標，如果不存在，說明理由；
（3）若點D是拋物線第二象限上一動點，過點D作軸于點F，過點的圓與交于點E，連接，求的面積．
【答案】（1）解： （1）設點B（2m，0）（m＞0），
∵OB=OC=2OA，
則點C（0，-2m）、B（2m，0），
則拋物線的表達式為：y=（x-2m）（x+m），
∵C（0，-2m），
則-m2=-2m，
解得：m=2，
則拋物線的表達式為：y= x2-x-4
（2）解：存在，
由（1）知，點A、B、C的坐標分別為：（-2，0）、（4，0）、（0，-4），
在拋物線上存在點M，使∠ABC=∠BCM，理由如下：
過點C作CM∥x軸，交拋物線于點M，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∵∠ABC=∠BCM，
∴∠BCM=45°，
∴∠OCM=90°，
∴CM⊥y軸，
把y=-4代入y= x2-x-4，
解得x1=2，x2=0（舍去），
∴點M的坐標為（2，-4）
（3）解： 點A的坐標為（-2，0），
∴AB=6，
設過點A、B、D得圓的圓心為點G，
∵GA=GB，
∴點G在線段AB的垂直平分線上，
設點G的坐標為（1，t），
同理可得點G在線段DE的垂直平分線上，
∵DE⊥x軸于點F，
∴設D（m，n），則E（m，2t-n），
∴S△ABE==3(2t-n)，
∵GD2=GA2，
∴（1-m）2+（t-n）2=（-2-1）2+（0-t）2，
整理得m2-2m+1+n2-2tn-9=0 ，
∵點D在拋物線上，
∴m2-m-4=n，
得m2=2m+2n+8 ，
將上式代入m2-2m+1+n2-2tn-9=0，
得n2-2tn+2n=0 （n≠0），
∴2t-n=2，
∴S△ABE=3（2t-n）=6
【知識點】二次函數-面積問題；二次函數-角度的存在性問題
【解析】【分析】 （1）由待定系數法即可求解；
（2）過點C作CM∥x軸，交拋物線于點M，把y=-4代入函數表達式，即可求出點M的坐標；
（3）設過點A、B、D得圓的圓心為點G，證明點G在線段AB的垂直平分線上，設點G的坐標為（1，t），進而設D（m，n），則E（m，2t-n），由S△ABE=求解.
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