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浙江省寧波市南三縣2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷
一、選擇題（每題 3 分，共 30 分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）
1．（2025九上·寧波期末）拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題
【解析】【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=3，所以 拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，3）。
故答案為：B.
【分析】拋物線與y軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，因此把x=0代入即可求解。
2．（2025九上·寧波期末）下列事件中，屬于隨機(jī)事件的是（ ）
A．奧運(yùn)射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心
B．從裝有 6 個(gè)白球的袋中摸出一個(gè)紅球
C．?dāng)S一次骰子，朝上一面的點(diǎn)數(shù)大于 0
D．明天太陽(yáng)從西方升起
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】事件的分類
【解析】【解答】解：A選項(xiàng)，奧運(yùn)射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心，隨機(jī)事件；
B選項(xiàng)， 從裝有 6 個(gè)白球的袋中摸出一個(gè)紅球，不可能事件；
C選項(xiàng)， 擲一次骰子，朝上一面的點(diǎn)數(shù)大于 0，必然事件；
D選項(xiàng)， 明天太陽(yáng)從西方升起 ，不可能事件。
故答案為：A。
【分析】 隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。必然事件是指在一定條件下，一定會(huì)發(fā)生的事件。不可能事件是指在一定條件下，一定不會(huì)發(fā)生的事件。我們需要根據(jù)事件的性質(zhì)來(lái)判斷每個(gè)選項(xiàng)是屬于隨機(jī)事件、必然事件還是不可能事件。 選項(xiàng)中，A選項(xiàng)奧運(yùn)射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心，這件事可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，因此是隨機(jī)事件；選項(xiàng)BD中的事件不可能發(fā)生，因此是不可能事件；選項(xiàng)C的事件一定會(huì)發(fā)生，因此是必然事件。
3．（2025九上·寧波期末）如圖，已知圓心角 ，則圓周角 的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；圓心角的概念；圓周角的概念
【解析】【解答】解：∵圓心角∠BOC對(duì)應(yīng)的弧是BC；圓周角∠BAC對(duì)應(yīng)的弧也是BC，
∴∠BAC=∠BOC=×78=39°
故答案為：C。
【分析】在同一個(gè)圓內(nèi)，相同的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓周角是圓心角的一半。本題是在同一個(gè)圓內(nèi)，并且圓周角和圓心角對(duì)應(yīng)同一個(gè)弧長(zhǎng)，因此列式計(jì)算即可。
4．（2025九上·寧波期末）若 ，則 的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】比例的意義和基本性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵3x=2y，∴3x÷3=2y÷3，即x=；
當(dāng)x≠y≠0時(shí)，x÷y=÷y，得到，x÷y=，即x：y=。
故答案為：D。
【分析】本題可以利用比例的基本性質(zhì)，內(nèi)積=外積，直接得出x：y=2：3，即x：y=；同樣可以利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，但要保證x≠y≠0。
5．（2025九上·寧波期末）在 Rt 中， ，則 長(zhǎng)是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】已知正弦值求邊長(zhǎng)
【解析】【解答】解：∵ Rt 中，∴；
而B(niǎo)C=2，即，解得AB=3×2=6.
故答案為：C。
【分析】本題在直角三角形中，利用正弦值列出比例關(guān)系式，即，然后將BC的值代入，計(jì)算即可得出AB的值。
6．（2025九上·寧波期末）圖1是《墨經(jīng)》中記載的“小孔成像”實(shí)驗(yàn)圖，圖2是其示意圖，其中物距，像距．若像的高度是m，則物體的高度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)三線
【解析】【解答】解：由題意得：
∴
∴
∵，．
∴
∴物體的高度為
故選：C
【分析】
相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比．
7．（2025九上·寧波期末）如圖，一個(gè)長(zhǎng)為 4 cm ，寬為 3 cm 的長(zhǎng)方形木板在桌面上做無(wú)滑動(dòng)的翻滾（順時(shí)針?lè)较颍景妩c(diǎn) 位置的變化為 ，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板與桌面成 的角，則點(diǎn) 涂到 位置時(shí)共走過(guò)的路徑長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；弧長(zhǎng)及其計(jì)算
【解析】【解答】解：
連接AB、A1B，即A點(diǎn)到A1點(diǎn)的路程是以B點(diǎn)為圓心、AB為半徑的弧，且∠ABA1=90°。
AB=，∴弧長(zhǎng)AA1=cm；
A1點(diǎn)到A2點(diǎn)的路程是以C點(diǎn)為圓心、A1C為半徑的弧，∵ 木板與桌面成 的角 ，∴∠A1CA2=90°-30°=60°。
∴弧長(zhǎng)A1A2=cm，
因此點(diǎn) 到 位置時(shí)共走過(guò)的路徑長(zhǎng)為弧長(zhǎng)AA1+A1A2=+=。
故答案為：B。
【分析】本題因?yàn)槭情L(zhǎng)方形木板翻滾運(yùn)動(dòng)，因此第一次翻滾的時(shí)候就是A點(diǎn)到A1點(diǎn)的路程是以B點(diǎn)為圓心、AB為半徑的弧，利用弧長(zhǎng)公式可以求出弧長(zhǎng)AA1；第二次翻滾的時(shí)候，A1點(diǎn)到A2點(diǎn)的路程是以C點(diǎn)為圓心、A1C為半徑的弧，利用弧長(zhǎng)公式可以求出弧長(zhǎng)A1A2，最后求和化簡(jiǎn)即可。
8．（2025九上·寧波期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，以點(diǎn) 為位似中心，在網(wǎng)格中畫 ，使 與 位似， 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 ，且 與 的位似比為 ，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．點(diǎn) 的坐標(biāo)為
B．
C． 與 的周長(zhǎng)之比為
D． 與 的面積之比為
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】圖形位似變換的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；位似圖形的性質(zhì)；位似圖形的概念
【解析】【解答】解：如圖所示，分別延長(zhǎng)CA、CB到A1、B1， 與 位似，且位似比為 。
選項(xiàng)A， 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，正確；
選項(xiàng)B， ，正確；
選項(xiàng)C， 與 的周長(zhǎng)之比為 ，正確；
選項(xiàng)D， 與 的面積之比為 4：1 ，錯(cuò)誤。
故答案為：D。
【分析】本題首先根據(jù)條件畫出 ，然后從圖上即可判斷出AB選項(xiàng)是正確的。而周長(zhǎng)比等于位似比，因此C選項(xiàng)正確。面積比等于位似比的平方，因此D選項(xiàng)錯(cuò)誤。
9．（2025九上·寧波期末）小甬同學(xué)用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù) 的圖象后，將其對(duì)稱軸左側(cè)的圖象作關(guān)于 軸對(duì)稱的圖象，得到新的圖象 （如圖所示）．若點(diǎn) ， 都在圖象 上，這 20 個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從 0.1 開(kāi)始依次增加 0.1 ，則 的值是（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】探索規(guī)律-函數(shù)上點(diǎn)的規(guī)律；二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換
【解析】【解答】解：∵函數(shù) 的對(duì)稱軸是，∴當(dāng)將其對(duì)稱軸左側(cè)的圖象作關(guān)于 軸對(duì)稱的圖象，得到的函數(shù)關(guān)系式是，即圖像G對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是
，觀察并計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=1時(shí)，y=0，并且，
即當(dāng)x=0.1對(duì)應(yīng)的y1值和當(dāng)x=1.9對(duì)應(yīng)的y19值，y1+y19=0，同理，y2+y18=0，y3+y17=0，y4+y16=0，y5+y15=0，y6+y14=0，y7+y13=0，y8+y12=0，y9+y11=0，
y20=，
因此.
故答案為：C。
【分析】本題首先畫出并計(jì)算出G的函數(shù)圖形和函數(shù)關(guān)系式，然后找到 的值的規(guī)律，最后發(fā)現(xiàn)，因?yàn)閤值關(guān)于1對(duì)稱，因此關(guān)于1對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)值之和是0，最后只需要計(jì)算出y20即可。
10．（2025九上·寧波期末）由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形 （如圖所示），連結(jié) 并延長(zhǎng)交 于點(diǎn) ，若 ，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊
【解析】【解答】解：過(guò)I點(diǎn)作IM⊥CF于M點(diǎn)，如圖，
∵，可以設(shè) BI =2k，IC =k，
∴BC = BI + IC =3k，
依題意得：∠FGD =∠BFC =∠IMC =90°，
∴DH // BF // IM ，
∴△ ICM ~ △BCF ，
∴，
設(shè) CM = a ， IM = b ，則 BF =3b， CF =3a，
∴BE = CF = DG =3a，F(xiàn)M = CF - CM =3a- a =2a，
∴EF = GF = BF - BE =3b-3a，
∵DH // IM ，
∴△IMF ~ △DGF ，
，∴
∵a和b均大于0，∴2a= b
因此BE =3a， AE = BF =3b=6a，
在 Rt △ ABE 中， tan∠BAE =。
故答案為：B。
【分析】本題反復(fù)利用相似三角形的相似比，最后得出BE =3a， AE = BF =3b=6a，然后放到直角三角形中即可求出正切值。
二、填空題（每題 3 分，共 18 分）
11．（2025九上·寧波期末）二次函數(shù) 的圖象的對(duì)稱軸為　 　．
【答案】直線
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的對(duì)稱性及應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵ 二次函數(shù) ，a=-1，b=-2，
所以對(duì)稱軸x=
故答案為：直線。
【分析】本題根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸的計(jì)算公式x=，確定a和b的值之后，代入計(jì)算即可。
12．（2025九上·寧波期末）某路口紅綠燈的時(shí)間設(shè)置為：紅燈30秒，綠燈27秒，黃燈3秒．當(dāng)人或車隨意經(jīng)過(guò)該 路口時(shí)，遇到紅燈的概率是　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單事件概率的計(jì)算
【解析】【解答】解：遇到紅燈的概率 ＝=.
故答案為：.
【分析】根據(jù)概率公式計(jì)算，即紅燈的時(shí)間÷（紅燈+綠燈+黃燈）的時(shí)間，即可求得遇到紅燈的概率.
13．（2025九上·寧波期末）將二次函數(shù) 的圖象向右平移 1 個(gè)單位，再向下平移 2 個(gè)單位，所得函數(shù)的表達(dá)式是　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的平移變換
【解析】【解答】解： 將二次函數(shù) 的圖象向右平移 1 個(gè)單位，此時(shí)的函數(shù)表達(dá)式是，然后再向下平移 2 個(gè)單位，得到的函數(shù)表達(dá)式是。
故答案為：。
【分析】函數(shù)圖象的平移規(guī)則是，首先將函數(shù)寫成y的系數(shù)為1時(shí)，即y=kx、y=kx2這樣的形式后，“左加右減、上加下減”的規(guī)律，對(duì)x進(jìn)行替換變化即可得出移動(dòng)后的函數(shù)表達(dá)式。
14．（2025九上·寧波期末）如圖， 是以 為直徑的半圓周的三等分點(diǎn)， ，則陰影部分的面積為　 　 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算
【解析】【解答】解：連接CO、DO，
∵ 是以 為直徑的半圓周的三等分點(diǎn) ，∴∠COA=∠COD=∠DOB=180°÷3=60°，
而OC=OC=OD，∴△COA和△COD是等邊三角形。
∴∠COA=∠OCD=60°，因此CD∥AB，∴ S△CAD=S△COD，因此陰影部分的面積=cm2
故答案為：。
【分析】本題首先對(duì)陰影部分進(jìn)行割補(bǔ)，利用圓周三等分點(diǎn)、等邊三角形的性質(zhì)特點(diǎn)，證明出S△CAD=S△COD，最后求出半圓的面積即可。
15．（2025九上·寧波期末）如圖，取一張長(zhǎng)為 ，寬為 的矩形紙片 ，將它對(duì)折兩次后得到一張小矩形紙片．若要使小矩形與原矩形相似，則原矩形紙片的邊 應(yīng)滿足的條件是　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】相似多邊形
【解析】【解答】解：對(duì)折兩次之后的小矩形紙片，此時(shí)的小矩形長(zhǎng)為b，寬為。
∵ 小矩形與原矩形相似，∴a：b=b：，其中a＞0，b＞0，
解得a=2b。
故答案為：a=2b。
【分析】本題首先確定，對(duì)折兩次后得到一張小矩形紙片，這張小紙片的長(zhǎng)長(zhǎng)為b，寬為。然后根據(jù)“ 小矩形與原矩形相似 ”列出相似比，最后化簡(jiǎn)計(jì)算即可。
16．（2025九上·寧波期末）如圖，四邊形 內(nèi)接于 ，則 的半徑長(zhǎng)為　 　.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)F，連接AF，如圖所示：
則∠ACE=90°
∵∠BAC =45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，AC=EC，∠E=45°，
∴∠CAD=∠E =45°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，
∴∠D=∠CBE，
在△CAD和△CBE中，∠D=∠CBE，∠CAD=∠E，AC =EC，
∴△CAD≌△CBE(AAS)，
∴AD=BE.
∵AB+AD =6，
∴AE=AB+BE=AB+AD=6，
在Rt△ACE中，AC =EC，
由勾股定理得：AE=，
∴AC=AE=×6=，
∵CF是圓O的直徑，
∴∠CAF =90°，
在Rt△CAF中，∠F=∠ABC=60°，
∴∠ACF=30°，
∴AF=CF，
由勾股定理得：CF2-AF2=AC2，即CF2-（CF）2=（）2，
解得CF=2
∴圓O的半徑長(zhǎng)為。
故答案為：。
【分析】本題構(gòu)造出等腰直角三角形ACE之后，利用AAS證明出△CAD≌△CBE，從而得出AD=BE；然后利用條件中的AB+AD =6進(jìn)行替換，可以求出AE的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，并利用30度銳角對(duì)應(yīng)的直角邊是斜邊的一半以及勾股定理即可求出圓的直徑CF的長(zhǎng)度，半徑即可求出。
三、解答題（本大題有 8 個(gè)小題，共 72 分）
17．（2025九上·寧波期末）（1）計(jì)算：
（2）已知線段 是線段 的比例中項(xiàng)線段，若 ，求線段 的長(zhǎng)．
【答案】（1）解：
=2
（2）解：∵ 線段 是線段 的比例中項(xiàng)線段 ，∴，即c=4或-4，
∵ ，∴線段c的長(zhǎng)是4.
【知識(shí)點(diǎn)】比例中項(xiàng)；特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算
【解析】【分析】（1）題分別求出cos45°、tan60°、sin60°對(duì)應(yīng)的值，代入計(jì)算即可；（2）題首先根據(jù)條件“線段 是線段 的比例中項(xiàng)線段”列出比例關(guān)系式，然后代入計(jì)算并分析即可得出c的長(zhǎng)度。
18．（2025九上·寧波期末）有 4 張形狀，大小相同的紙牌，它們分別標(biāo)有數(shù)字 1，2，3，4，把它們背面朝上，隨機(jī)地摸出一張紙牌，記下數(shù)字，然后放回，洗勻后再隨機(jī)摸出一張紙牌并記下數(shù)字．
（1）用列表或畫樹(shù)狀圖的方法計(jì)算兩次摸出的紙牌上數(shù)字之和為 6 的概率；
（2）甲，乙兩個(gè)人進(jìn)行游戲，如果兩次摸出紙牌上數(shù)字之和為奇數(shù)，則甲勝；如果兩次摸出紙牌上數(shù)字之和為偶數(shù)，則乙勝．這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）解：列表如下：
1 2 3 4
1
2
3
4
共 16 種等可能性結(jié)果，其中和為 6 的有 （2，4）、（3，3）（4，2）3 種，所以概離為 。
（2）解：由（1）可以看出，和是奇數(shù)的有8種，和是偶數(shù)的有8中。
（奇數(shù)） 偶數(shù) ，所以游戲公平．
【知識(shí)點(diǎn)】游戲公平性
【解析】【分析】（1）題根據(jù)條件，可以把兩次摸牌的數(shù)字可能全部列出，即可算出共16種可能結(jié)果，然后找到兩次摸牌的數(shù)字和為6有3種，即可計(jì)算出概率；（2）題根據(jù)（1）題的結(jié)果分別計(jì)算出數(shù)字之和是奇數(shù)和偶數(shù)有幾個(gè)，然后計(jì)算出概率即可對(duì)比。
19．（2025九上·寧波期末）如圖是由邊長(zhǎng)為 1 的小正方形組成的 的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn) 三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成兩個(gè)畫圖任務(wù)。
（1）在圖 1 中，畫 ，使點(diǎn) 在格點(diǎn)上，且 與 相似；（只需畫出一個(gè)即可）
（2）在圖 2 中，線段 上找一點(diǎn) ，使 ．
【答案】（1）解：如圖所示， 與 相似，
（2）連接CF交AB于D點(diǎn)， ，
【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)；作圖﹣相似變換
【解析】【分析】（1）題，因?yàn)橐?與 相似 ，所以BC：AC=1：2=AC：EC，圖上AC=2，所以EC=4，即可找到E點(diǎn)。
（2）題， 使 ，即D點(diǎn)是AB的三等分點(diǎn)。此時(shí)會(huì)有BFD∽△ACD，即BF：AC=1：2，而AC=2，所以BF=1，即可找到F點(diǎn)，連接CF交AB于D點(diǎn)。
20．（2025九上·寧波期末）已知二次函數(shù) （ 為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 和 ．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng) 時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出 的取值范圍．
【答案】（1）解：將 代入二次函數(shù) （ 為常數(shù)） 中，
得到 ，解得 ，
∴
，，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)
（2）解：令，變形為x2-x-2=0，即（x+1）（x-2）=0，
解得x=-1或x=2，
∴ 當(dāng) 時(shí)，。
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象；利用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】（1）題將A、B兩點(diǎn)代入二次函數(shù)中，利用待定系數(shù)法列出二元一次方程組，求出b、c之后即可得出二次函數(shù)的表達(dá)式，然后利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）題先求出y=3是對(duì)應(yīng)的x的兩個(gè)值，因?yàn)槭? ，因此取x的兩個(gè)值的中間部分即可。
21．（2025九上·寧波期末）如圖，山坡上有一座古塔，為了測(cè)量古塔的高度，小華進(jìn)行如下的測(cè)量．已知測(cè)角儀的高度 為 1.75 m ，從點(diǎn) 處看塔頂 的仰角 為 ，向前移動(dòng) 64 m 到達(dá) 點(diǎn)，從點(diǎn) 處看塔頂 的仰角為 ．
（1）求點(diǎn) 與塔頂 的距離 的長(zhǎng)；
（2）若在點(diǎn) 處看塔底 的仰角為 ，且測(cè)得點(diǎn) 到塔中心 的距離為 5 m ．求古塔的高度 的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)： ，結(jié)果精確到 0.1 米）
【答案】（1）解：延長(zhǎng)BD到M點(diǎn)，且EM⊥DM，如圖所示，
∵ = ，而點(diǎn) 處看塔頂 的仰角為 ，即∠PDM=60°，
∴∠DPB=60°-30°=30°
∵∠PBD=∠DPB，∴ 米。
（2）解：過(guò)點(diǎn) 作 EM垂直于DM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M ，延長(zhǎng)PF、DM相交于N點(diǎn)，即PN⊥DN，
在 Rt △PND 中， ，∴∠DPN=30°， ，
在 Rt 中， ， ，
∴，
EM=FN=11.34m，
∴米。
【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題
【解析】【分析】（1）題利用“三角形的外角=不相鄰兩個(gè)內(nèi)角和”可以求出∠DPB=30°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)特點(diǎn)即可求出；
（2）題利用“30°銳角對(duì)應(yīng)的直角邊是斜邊的一半”和“勾股定理”，可以求出DN和PN的長(zhǎng)度，然后利用tan23°可以求出EM，最后作差即可求出古塔的高度。
22．（2025九上·寧波期末）隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的飛速發(fā)展和消費(fèi)者購(gòu)物習(xí)慣的深刻改變，越來(lái)越多的商家向線上轉(zhuǎn)型發(fā)展，＂直播帶貨＂已經(jīng)成為商家的一種促銷的重要手段。某商家在直播間銷售一種進(jìn)價(jià)為每件 10 元的日用商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量 （件）與銷售單價(jià) （元）滿足 ，設(shè)銷售這種商品每天的利潤(rùn)為 （元）。
（1）求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若商家每天獲得 1250 元的利潤(rùn)，并盡快減少庫(kù)存，應(yīng)將銷售單價(jià)定為多少元？
（3）若銷售單價(jià)不低于 28 元，且每天至少銷售 50 件時(shí)，求 的最大值．
【答案】（1）解：
（2）解：當(dāng) 時(shí)，即 ，解得 ，
因?yàn)橐M快減少庫(kù)存，而銷售量隨 的增大而減少，所以 x=15，這時(shí)可以減少庫(kù)存，因此銷售單價(jià)定為15元。
（3）解：根據(jù)條件列式為 ，解得 ，
，
當(dāng) 時(shí)， W 隨 的增大而減少。
所以當(dāng) 時(shí)W 最大，即最大值W=-10×（28-25）2+2250=2160。
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-銷售問(wèn)題
【解析】【分析】（1）題可以先求出每件日用商品每天的利潤(rùn)是（x-10）元，然后乘以銷售量，就是這種商品每天的利潤(rùn)，列式計(jì)算即可；
（2）題根據(jù)（1）題的公式，可以將W=1250代入求解出x的兩個(gè)值，然后根據(jù)W與x的函數(shù)關(guān)系式和函數(shù)圖形可以發(fā)現(xiàn)，銷售量隨 的增大而減少，因此取銷售單價(jià)最小的那個(gè)x值即可；
（3）題可以列出不等式組，然后求出x的取值范圍。最后將W與x的函數(shù)關(guān)系式變形，即可得出當(dāng) 時(shí)W 最大，然后代入計(jì)算即可。
23．（2025九上·寧波期末）
（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖 1，在正方形 中，點(diǎn) 和 分別在 和 上， ，垂足為點(diǎn) ．求證： ．
（2）類比探究
如圖 2，在矩形 中，點(diǎn) 和 分別在 和 上， ，垂足為點(diǎn) ．求證： ．
（3）拓展延伸如圖 3，在 中， ，點(diǎn) 和 分別在 和 上， 與 交于點(diǎn) 且 ，求 的值．
【答案】（1）解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴。
（3）解：過(guò)點(diǎn) 作 ，在四邊形 中， ，
∴ ，
即 是等邊三角形， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
設(shè) ， ，
∴。
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；四邊形的綜合；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊
【解析】【分析】（1）題利用ASA證明出兩個(gè)三角形全等，即可得出兩邊相等；（2）題利用AA證明出兩個(gè)三角形相似，即可得出證明結(jié)論；（3）題證明出，得出對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例，然后列式求解即可。
24．（2025九上·寧波期末）如圖， 為 的直徑，點(diǎn) 是半徑 上一動(dòng)點(diǎn)（ 不與 重合），過(guò)點(diǎn) 作弦 垂直 ，連結(jié) ，以 為直角邊作等腰 Rt ，且 ，連結(jié) ，分別與 和 交于 兩點(diǎn)．
（1）求證： ；
（2）求證： ；
（3）當(dāng)點(diǎn) 在半徑 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由。
【答案】（1）證明：∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴
（2）證明：∵AP=AP，∠APC=∠APD=90°，CP=DP，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴。
（3）解：連結(jié) ，
弧長(zhǎng)CD對(duì)應(yīng)的圓周角是∠EQD，對(duì)應(yīng)的圓心角是∠COD，
∵ ，
∴ ，
∴.
【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；圓-動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
【解析】【分析】（1）題反復(fù)利用等腰三角形的性質(zhì)特點(diǎn)，“等邊對(duì)等角”即可得出證明結(jié)果；（2）題利用全等三角形性質(zhì)特點(diǎn)和等腰直角三角形特點(diǎn)，并且對(duì)角度進(jìn)行變換，即可得出，此時(shí)即可構(gòu)造出新的直角三角形，最后利用勾股定理并即可得出證明結(jié)果；（3）題利用三角形相似和余弦公式，即可求出固定比值。
1 / 1浙江省寧波市南三縣2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷
一、選擇題（每題 3 分，共 30 分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）
1．（2025九上·寧波期末）拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·寧波期末）下列事件中，屬于隨機(jī)事件的是（ ）
A．奧運(yùn)射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心
B．從裝有 6 個(gè)白球的袋中摸出一個(gè)紅球
C．?dāng)S一次骰子，朝上一面的點(diǎn)數(shù)大于 0
D．明天太陽(yáng)從西方升起
3．（2025九上·寧波期末）如圖，已知圓心角 ，則圓周角 的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·寧波期末）若 ，則 的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
5．（2025九上·寧波期末）在 Rt 中， ，則 長(zhǎng)是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2025九上·寧波期末）圖1是《墨經(jīng)》中記載的“小孔成像”實(shí)驗(yàn)圖，圖2是其示意圖，其中物距，像距．若像的高度是m，則物體的高度為（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九上·寧波期末）如圖，一個(gè)長(zhǎng)為 4 cm ，寬為 3 cm 的長(zhǎng)方形木板在桌面上做無(wú)滑動(dòng)的翻滾（順時(shí)針?lè)较颍景妩c(diǎn) 位置的變化為 ，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板與桌面成 的角，則點(diǎn) 涂到 位置時(shí)共走過(guò)的路徑長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
8．（2025九上·寧波期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，以點(diǎn) 為位似中心，在網(wǎng)格中畫 ，使 與 位似， 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 ，且 與 的位似比為 ，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．點(diǎn) 的坐標(biāo)為
B．
C． 與 的周長(zhǎng)之比為
D． 與 的面積之比為
9．（2025九上·寧波期末）小甬同學(xué)用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù) 的圖象后，將其對(duì)稱軸左側(cè)的圖象作關(guān)于 軸對(duì)稱的圖象，得到新的圖象 （如圖所示）．若點(diǎn) ， 都在圖象 上，這 20 個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從 0.1 開(kāi)始依次增加 0.1 ，則 的值是（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
10．（2025九上·寧波期末）由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形 （如圖所示），連結(jié) 并延長(zhǎng)交 于點(diǎn) ，若 ，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（每題 3 分，共 18 分）
11．（2025九上·寧波期末）二次函數(shù) 的圖象的對(duì)稱軸為　 　．
12．（2025九上·寧波期末）某路口紅綠燈的時(shí)間設(shè)置為：紅燈30秒，綠燈27秒，黃燈3秒．當(dāng)人或車隨意經(jīng)過(guò)該 路口時(shí)，遇到紅燈的概率是　 　．
13．（2025九上·寧波期末）將二次函數(shù) 的圖象向右平移 1 個(gè)單位，再向下平移 2 個(gè)單位，所得函數(shù)的表達(dá)式是　 　．
14．（2025九上·寧波期末）如圖， 是以 為直徑的半圓周的三等分點(diǎn)， ，則陰影部分的面積為　 　 ．
15．（2025九上·寧波期末）如圖，取一張長(zhǎng)為 ，寬為 的矩形紙片 ，將它對(duì)折兩次后得到一張小矩形紙片．若要使小矩形與原矩形相似，則原矩形紙片的邊 應(yīng)滿足的條件是　 　．
16．（2025九上·寧波期末）如圖，四邊形 內(nèi)接于 ，則 的半徑長(zhǎng)為　 　.
三、解答題（本大題有 8 個(gè)小題，共 72 分）
17．（2025九上·寧波期末）（1）計(jì)算：
（2）已知線段 是線段 的比例中項(xiàng)線段，若 ，求線段 的長(zhǎng)．
18．（2025九上·寧波期末）有 4 張形狀，大小相同的紙牌，它們分別標(biāo)有數(shù)字 1，2，3，4，把它們背面朝上，隨機(jī)地摸出一張紙牌，記下數(shù)字，然后放回，洗勻后再隨機(jī)摸出一張紙牌并記下數(shù)字．
（1）用列表或畫樹(shù)狀圖的方法計(jì)算兩次摸出的紙牌上數(shù)字之和為 6 的概率；
（2）甲，乙兩個(gè)人進(jìn)行游戲，如果兩次摸出紙牌上數(shù)字之和為奇數(shù)，則甲勝；如果兩次摸出紙牌上數(shù)字之和為偶數(shù)，則乙勝．這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．（2025九上·寧波期末）如圖是由邊長(zhǎng)為 1 的小正方形組成的 的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn) 三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成兩個(gè)畫圖任務(wù)。
（1）在圖 1 中，畫 ，使點(diǎn) 在格點(diǎn)上，且 與 相似；（只需畫出一個(gè)即可）
（2）在圖 2 中，線段 上找一點(diǎn) ，使 ．
20．（2025九上·寧波期末）已知二次函數(shù) （ 為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 和 ．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng) 時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出 的取值范圍．
21．（2025九上·寧波期末）如圖，山坡上有一座古塔，為了測(cè)量古塔的高度，小華進(jìn)行如下的測(cè)量．已知測(cè)角儀的高度 為 1.75 m ，從點(diǎn) 處看塔頂 的仰角 為 ，向前移動(dòng) 64 m 到達(dá) 點(diǎn)，從點(diǎn) 處看塔頂 的仰角為 ．
（1）求點(diǎn) 與塔頂 的距離 的長(zhǎng)；
（2）若在點(diǎn) 處看塔底 的仰角為 ，且測(cè)得點(diǎn) 到塔中心 的距離為 5 m ．求古塔的高度 的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)： ，結(jié)果精確到 0.1 米）
22．（2025九上·寧波期末）隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的飛速發(fā)展和消費(fèi)者購(gòu)物習(xí)慣的深刻改變，越來(lái)越多的商家向線上轉(zhuǎn)型發(fā)展，＂直播帶貨＂已經(jīng)成為商家的一種促銷的重要手段。某商家在直播間銷售一種進(jìn)價(jià)為每件 10 元的日用商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量 （件）與銷售單價(jià) （元）滿足 ，設(shè)銷售這種商品每天的利潤(rùn)為 （元）。
（1）求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若商家每天獲得 1250 元的利潤(rùn)，并盡快減少庫(kù)存，應(yīng)將銷售單價(jià)定為多少元？
（3）若銷售單價(jià)不低于 28 元，且每天至少銷售 50 件時(shí)，求 的最大值．
23．（2025九上·寧波期末）
（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖 1，在正方形 中，點(diǎn) 和 分別在 和 上， ，垂足為點(diǎn) ．求證： ．
（2）類比探究
如圖 2，在矩形 中，點(diǎn) 和 分別在 和 上， ，垂足為點(diǎn) ．求證： ．
（3）拓展延伸如圖 3，在 中， ，點(diǎn) 和 分別在 和 上， 與 交于點(diǎn) 且 ，求 的值．
24．（2025九上·寧波期末）如圖， 為 的直徑，點(diǎn) 是半徑 上一動(dòng)點(diǎn)（ 不與 重合），過(guò)點(diǎn) 作弦 垂直 ，連結(jié) ，以 為直角邊作等腰 Rt ，且 ，連結(jié) ，分別與 和 交于 兩點(diǎn)．
（1）求證： ；
（2）求證： ；
（3）當(dāng)點(diǎn) 在半徑 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由。
答案解析部分
1．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題
【解析】【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=3，所以 拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，3）。
故答案為：B.
【分析】拋物線與y軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，因此把x=0代入即可求解。
2．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】事件的分類
【解析】【解答】解：A選項(xiàng)，奧運(yùn)射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心，隨機(jī)事件；
B選項(xiàng)， 從裝有 6 個(gè)白球的袋中摸出一個(gè)紅球，不可能事件；
C選項(xiàng)， 擲一次骰子，朝上一面的點(diǎn)數(shù)大于 0，必然事件；
D選項(xiàng)， 明天太陽(yáng)從西方升起 ，不可能事件。
故答案為：A。
【分析】 隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。必然事件是指在一定條件下，一定會(huì)發(fā)生的事件。不可能事件是指在一定條件下，一定不會(huì)發(fā)生的事件。我們需要根據(jù)事件的性質(zhì)來(lái)判斷每個(gè)選項(xiàng)是屬于隨機(jī)事件、必然事件還是不可能事件。 選項(xiàng)中，A選項(xiàng)奧運(yùn)射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心，這件事可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，因此是隨機(jī)事件；選項(xiàng)BD中的事件不可能發(fā)生，因此是不可能事件；選項(xiàng)C的事件一定會(huì)發(fā)生，因此是必然事件。
3．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；圓心角的概念；圓周角的概念
【解析】【解答】解：∵圓心角∠BOC對(duì)應(yīng)的弧是BC；圓周角∠BAC對(duì)應(yīng)的弧也是BC，
∴∠BAC=∠BOC=×78=39°
故答案為：C。
【分析】在同一個(gè)圓內(nèi)，相同的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓周角是圓心角的一半。本題是在同一個(gè)圓內(nèi)，并且圓周角和圓心角對(duì)應(yīng)同一個(gè)弧長(zhǎng)，因此列式計(jì)算即可。
4．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】比例的意義和基本性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵3x=2y，∴3x÷3=2y÷3，即x=；
當(dāng)x≠y≠0時(shí)，x÷y=÷y，得到，x÷y=，即x：y=。
故答案為：D。
【分析】本題可以利用比例的基本性質(zhì)，內(nèi)積=外積，直接得出x：y=2：3，即x：y=；同樣可以利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，但要保證x≠y≠0。
5．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】已知正弦值求邊長(zhǎng)
【解析】【解答】解：∵ Rt 中，∴；
而B(niǎo)C=2，即，解得AB=3×2=6.
故答案為：C。
【分析】本題在直角三角形中，利用正弦值列出比例關(guān)系式，即，然后將BC的值代入，計(jì)算即可得出AB的值。
6．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)三線
【解析】【解答】解：由題意得：
∴
∴
∵，．
∴
∴物體的高度為
故選：C
【分析】
相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比．
7．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；弧長(zhǎng)及其計(jì)算
【解析】【解答】解：
連接AB、A1B，即A點(diǎn)到A1點(diǎn)的路程是以B點(diǎn)為圓心、AB為半徑的弧，且∠ABA1=90°。
AB=，∴弧長(zhǎng)AA1=cm；
A1點(diǎn)到A2點(diǎn)的路程是以C點(diǎn)為圓心、A1C為半徑的弧，∵ 木板與桌面成 的角 ，∴∠A1CA2=90°-30°=60°。
∴弧長(zhǎng)A1A2=cm，
因此點(diǎn) 到 位置時(shí)共走過(guò)的路徑長(zhǎng)為弧長(zhǎng)AA1+A1A2=+=。
故答案為：B。
【分析】本題因?yàn)槭情L(zhǎng)方形木板翻滾運(yùn)動(dòng)，因此第一次翻滾的時(shí)候就是A點(diǎn)到A1點(diǎn)的路程是以B點(diǎn)為圓心、AB為半徑的弧，利用弧長(zhǎng)公式可以求出弧長(zhǎng)AA1；第二次翻滾的時(shí)候，A1點(diǎn)到A2點(diǎn)的路程是以C點(diǎn)為圓心、A1C為半徑的弧，利用弧長(zhǎng)公式可以求出弧長(zhǎng)A1A2，最后求和化簡(jiǎn)即可。
8．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】圖形位似變換的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；位似圖形的性質(zhì)；位似圖形的概念
【解析】【解答】解：如圖所示，分別延長(zhǎng)CA、CB到A1、B1， 與 位似，且位似比為 。
選項(xiàng)A， 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，正確；
選項(xiàng)B， ，正確；
選項(xiàng)C， 與 的周長(zhǎng)之比為 ，正確；
選項(xiàng)D， 與 的面積之比為 4：1 ，錯(cuò)誤。
故答案為：D。
【分析】本題首先根據(jù)條件畫出 ，然后從圖上即可判斷出AB選項(xiàng)是正確的。而周長(zhǎng)比等于位似比，因此C選項(xiàng)正確。面積比等于位似比的平方，因此D選項(xiàng)錯(cuò)誤。
9．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】探索規(guī)律-函數(shù)上點(diǎn)的規(guī)律；二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換
【解析】【解答】解：∵函數(shù) 的對(duì)稱軸是，∴當(dāng)將其對(duì)稱軸左側(cè)的圖象作關(guān)于 軸對(duì)稱的圖象，得到的函數(shù)關(guān)系式是，即圖像G對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是
，觀察并計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=1時(shí)，y=0，并且，
即當(dāng)x=0.1對(duì)應(yīng)的y1值和當(dāng)x=1.9對(duì)應(yīng)的y19值，y1+y19=0，同理，y2+y18=0，y3+y17=0，y4+y16=0，y5+y15=0，y6+y14=0，y7+y13=0，y8+y12=0，y9+y11=0，
y20=，
因此.
故答案為：C。
【分析】本題首先畫出并計(jì)算出G的函數(shù)圖形和函數(shù)關(guān)系式，然后找到 的值的規(guī)律，最后發(fā)現(xiàn)，因?yàn)閤值關(guān)于1對(duì)稱，因此關(guān)于1對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)值之和是0，最后只需要計(jì)算出y20即可。
10．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊
【解析】【解答】解：過(guò)I點(diǎn)作IM⊥CF于M點(diǎn)，如圖，
∵，可以設(shè) BI =2k，IC =k，
∴BC = BI + IC =3k，
依題意得：∠FGD =∠BFC =∠IMC =90°，
∴DH // BF // IM ，
∴△ ICM ~ △BCF ，
∴，
設(shè) CM = a ， IM = b ，則 BF =3b， CF =3a，
∴BE = CF = DG =3a，F(xiàn)M = CF - CM =3a- a =2a，
∴EF = GF = BF - BE =3b-3a，
∵DH // IM ，
∴△IMF ~ △DGF ，
，∴
∵a和b均大于0，∴2a= b
因此BE =3a， AE = BF =3b=6a，
在 Rt △ ABE 中， tan∠BAE =。
故答案為：B。
【分析】本題反復(fù)利用相似三角形的相似比，最后得出BE =3a， AE = BF =3b=6a，然后放到直角三角形中即可求出正切值。
11．【答案】直線
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的對(duì)稱性及應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵ 二次函數(shù) ，a=-1，b=-2，
所以對(duì)稱軸x=
故答案為：直線。
【分析】本題根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸的計(jì)算公式x=，確定a和b的值之后，代入計(jì)算即可。
12．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單事件概率的計(jì)算
【解析】【解答】解：遇到紅燈的概率 ＝=.
故答案為：.
【分析】根據(jù)概率公式計(jì)算，即紅燈的時(shí)間÷（紅燈+綠燈+黃燈）的時(shí)間，即可求得遇到紅燈的概率.
13．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的平移變換
【解析】【解答】解： 將二次函數(shù) 的圖象向右平移 1 個(gè)單位，此時(shí)的函數(shù)表達(dá)式是，然后再向下平移 2 個(gè)單位，得到的函數(shù)表達(dá)式是。
故答案為：。
【分析】函數(shù)圖象的平移規(guī)則是，首先將函數(shù)寫成y的系數(shù)為1時(shí)，即y=kx、y=kx2這樣的形式后，“左加右減、上加下減”的規(guī)律，對(duì)x進(jìn)行替換變化即可得出移動(dòng)后的函數(shù)表達(dá)式。
14．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算
【解析】【解答】解：連接CO、DO，
∵ 是以 為直徑的半圓周的三等分點(diǎn) ，∴∠COA=∠COD=∠DOB=180°÷3=60°，
而OC=OC=OD，∴△COA和△COD是等邊三角形。
∴∠COA=∠OCD=60°，因此CD∥AB，∴ S△CAD=S△COD，因此陰影部分的面積=cm2
故答案為：。
【分析】本題首先對(duì)陰影部分進(jìn)行割補(bǔ)，利用圓周三等分點(diǎn)、等邊三角形的性質(zhì)特點(diǎn)，證明出S△CAD=S△COD，最后求出半圓的面積即可。
15．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】相似多邊形
【解析】【解答】解：對(duì)折兩次之后的小矩形紙片，此時(shí)的小矩形長(zhǎng)為b，寬為。
∵ 小矩形與原矩形相似，∴a：b=b：，其中a＞0，b＞0，
解得a=2b。
故答案為：a=2b。
【分析】本題首先確定，對(duì)折兩次后得到一張小矩形紙片，這張小紙片的長(zhǎng)長(zhǎng)為b，寬為。然后根據(jù)“ 小矩形與原矩形相似 ”列出相似比，最后化簡(jiǎn)計(jì)算即可。
16．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)F，連接AF，如圖所示：
則∠ACE=90°
∵∠BAC =45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，AC=EC，∠E=45°，
∴∠CAD=∠E =45°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，
∴∠D=∠CBE，
在△CAD和△CBE中，∠D=∠CBE，∠CAD=∠E，AC =EC，
∴△CAD≌△CBE(AAS)，
∴AD=BE.
∵AB+AD =6，
∴AE=AB+BE=AB+AD=6，
在Rt△ACE中，AC =EC，
由勾股定理得：AE=，
∴AC=AE=×6=，
∵CF是圓O的直徑，
∴∠CAF =90°，
在Rt△CAF中，∠F=∠ABC=60°，
∴∠ACF=30°，
∴AF=CF，
由勾股定理得：CF2-AF2=AC2，即CF2-（CF）2=（）2，
解得CF=2
∴圓O的半徑長(zhǎng)為。
故答案為：。
【分析】本題構(gòu)造出等腰直角三角形ACE之后，利用AAS證明出△CAD≌△CBE，從而得出AD=BE；然后利用條件中的AB+AD =6進(jìn)行替換，可以求出AE的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，并利用30度銳角對(duì)應(yīng)的直角邊是斜邊的一半以及勾股定理即可求出圓的直徑CF的長(zhǎng)度，半徑即可求出。
17．【答案】（1）解：
=2
（2）解：∵ 線段 是線段 的比例中項(xiàng)線段 ，∴，即c=4或-4，
∵ ，∴線段c的長(zhǎng)是4.
【知識(shí)點(diǎn)】比例中項(xiàng)；特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算
【解析】【分析】（1）題分別求出cos45°、tan60°、sin60°對(duì)應(yīng)的值，代入計(jì)算即可；（2）題首先根據(jù)條件“線段 是線段 的比例中項(xiàng)線段”列出比例關(guān)系式，然后代入計(jì)算并分析即可得出c的長(zhǎng)度。
18．【答案】（1）解：列表如下：
1 2 3 4
1
2
3
4
共 16 種等可能性結(jié)果，其中和為 6 的有 （2，4）、（3，3）（4，2）3 種，所以概離為 。
（2）解：由（1）可以看出，和是奇數(shù)的有8種，和是偶數(shù)的有8中。
（奇數(shù)） 偶數(shù) ，所以游戲公平．
【知識(shí)點(diǎn)】游戲公平性
【解析】【分析】（1）題根據(jù)條件，可以把兩次摸牌的數(shù)字可能全部列出，即可算出共16種可能結(jié)果，然后找到兩次摸牌的數(shù)字和為6有3種，即可計(jì)算出概率；（2）題根據(jù)（1）題的結(jié)果分別計(jì)算出數(shù)字之和是奇數(shù)和偶數(shù)有幾個(gè)，然后計(jì)算出概率即可對(duì)比。
19．【答案】（1）解：如圖所示， 與 相似，
（2）連接CF交AB于D點(diǎn)， ，
【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)；作圖﹣相似變換
【解析】【分析】（1）題，因?yàn)橐?與 相似 ，所以BC：AC=1：2=AC：EC，圖上AC=2，所以EC=4，即可找到E點(diǎn)。
（2）題， 使 ，即D點(diǎn)是AB的三等分點(diǎn)。此時(shí)會(huì)有BFD∽△ACD，即BF：AC=1：2，而AC=2，所以BF=1，即可找到F點(diǎn)，連接CF交AB于D點(diǎn)。
20．【答案】（1）解：將 代入二次函數(shù) （ 為常數(shù)） 中，
得到 ，解得 ，
∴
，，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)
（2）解：令，變形為x2-x-2=0，即（x+1）（x-2）=0，
解得x=-1或x=2，
∴ 當(dāng) 時(shí)，。
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象；利用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】（1）題將A、B兩點(diǎn)代入二次函數(shù)中，利用待定系數(shù)法列出二元一次方程組，求出b、c之后即可得出二次函數(shù)的表達(dá)式，然后利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）題先求出y=3是對(duì)應(yīng)的x的兩個(gè)值，因?yàn)槭? ，因此取x的兩個(gè)值的中間部分即可。
21．【答案】（1）解：延長(zhǎng)BD到M點(diǎn)，且EM⊥DM，如圖所示，
∵ = ，而點(diǎn) 處看塔頂 的仰角為 ，即∠PDM=60°，
∴∠DPB=60°-30°=30°
∵∠PBD=∠DPB，∴ 米。
（2）解：過(guò)點(diǎn) 作 EM垂直于DM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M ，延長(zhǎng)PF、DM相交于N點(diǎn)，即PN⊥DN，
在 Rt △PND 中， ，∴∠DPN=30°， ，
在 Rt 中， ， ，
∴，
EM=FN=11.34m，
∴米。
【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題
【解析】【分析】（1）題利用“三角形的外角=不相鄰兩個(gè)內(nèi)角和”可以求出∠DPB=30°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)特點(diǎn)即可求出；
（2）題利用“30°銳角對(duì)應(yīng)的直角邊是斜邊的一半”和“勾股定理”，可以求出DN和PN的長(zhǎng)度，然后利用tan23°可以求出EM，最后作差即可求出古塔的高度。
22．【答案】（1）解：
（2）解：當(dāng) 時(shí)，即 ，解得 ，
因?yàn)橐M快減少庫(kù)存，而銷售量隨 的增大而減少，所以 x=15，這時(shí)可以減少庫(kù)存，因此銷售單價(jià)定為15元。
（3）解：根據(jù)條件列式為 ，解得 ，
，
當(dāng) 時(shí)， W 隨 的增大而減少。
所以當(dāng) 時(shí)W 最大，即最大值W=-10×（28-25）2+2250=2160。
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-銷售問(wèn)題
【解析】【分析】（1）題可以先求出每件日用商品每天的利潤(rùn)是（x-10）元，然后乘以銷售量，就是這種商品每天的利潤(rùn)，列式計(jì)算即可；
（2）題根據(jù)（1）題的公式，可以將W=1250代入求解出x的兩個(gè)值，然后根據(jù)W與x的函數(shù)關(guān)系式和函數(shù)圖形可以發(fā)現(xiàn)，銷售量隨 的增大而減少，因此取銷售單價(jià)最小的那個(gè)x值即可；
（3）題可以列出不等式組，然后求出x的取值范圍。最后將W與x的函數(shù)關(guān)系式變形，即可得出當(dāng) 時(shí)W 最大，然后代入計(jì)算即可。
23．【答案】（1）解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴。
（3）解：過(guò)點(diǎn) 作 ，在四邊形 中， ，
∴ ，
即 是等邊三角形， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
設(shè) ， ，
∴。
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；四邊形的綜合；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊
【解析】【分析】（1）題利用ASA證明出兩個(gè)三角形全等，即可得出兩邊相等；（2）題利用AA證明出兩個(gè)三角形相似，即可得出證明結(jié)論；（3）題證明出，得出對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例，然后列式求解即可。
24．【答案】（1）證明：∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴
（2）證明：∵AP=AP，∠APC=∠APD=90°，CP=DP，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴。
（3）解：連結(jié) ，
弧長(zhǎng)CD對(duì)應(yīng)的圓周角是∠EQD，對(duì)應(yīng)的圓心角是∠COD，
∵ ，
∴ ，
∴.
【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；圓-動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
【解析】【分析】（1）題反復(fù)利用等腰三角形的性質(zhì)特點(diǎn)，“等邊對(duì)等角”即可得出證明結(jié)果；（2）題利用全等三角形性質(zhì)特點(diǎn)和等腰直角三角形特點(diǎn)，并且對(duì)角度進(jìn)行變換，即可得出，此時(shí)即可構(gòu)造出新的直角三角形，最后利用勾股定理并即可得出證明結(jié)果；（3）題利用三角形相似和余弦公式，即可求出固定比值。
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