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湖南省衡陽市蒸湘區2023-2024學年七年級下學期期末數學試題
1．（2024七下·蒸湘期末）已知，則下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·蒸湘期末）已知x=1是方程x+2a=-1的解，那么a的值是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．（2024七下·蒸湘期末）方程3x+4＝2x﹣5移項后，正確的是（　　）
A．3x+2x＝4﹣5 B．3x﹣2x＝4﹣5
C．3x﹣2x＝﹣5﹣4 D．3x+2x＝﹣5﹣4
4．（2024七下·蒸湘期末）對于二元一次方程3x+2y=11，下列結論正確的是（　　）
A．任何一對有理數都是它的解 B．只有一個解
C．只有兩個解 D．有無數個解
5．（2024七下·蒸湘期末）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024七下·蒸湘期末）以下列各組長度的線段為邊，能構成三角形的是（　　）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
7．（2024七下·蒸湘期末）下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024七下·蒸湘期末）在下列正多邊形組合中，不能鋪滿地面的是（　　）
A．正八邊形和正方形 B．正五邊形和正八邊形
C．正六邊形和正三角形 D．正三角形和正方形
9．（2024七下·蒸湘期末）我國古代數學著作九章算術記載了一道“牛馬問題”：“今有二馬、一牛價過一萬，如半馬之價．一馬、二牛價不滿一萬，如半牛之價．問牛、馬價各幾何．”其大意為：現有兩匹馬加一頭牛的價錢超過一萬，超過的部分正好是半匹馬的價錢；一匹馬加上二頭牛的價錢則不到一萬，不足部分正好是半頭牛的價錢，求一匹馬、一頭牛各多少錢？設一匹馬價錢為元，一頭牛價錢為元，則符合題意的方程組是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2024七下·蒸湘期末）小明把一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，其中，，，則等于（　　）
A． B． C． D．
11．（2024七下·蒸湘期末）已知是關于的一元一次方程，則　 　．
12．（2024七下·蒸湘期末）已知是方程組的解，則的值為　 　．
13．（2024七下·蒸湘期末）若一個正多邊形的內角和是其外角和的5倍，則這個正多邊形的邊數是　 　．
14．（2024七下·蒸湘期末）如圖，已知，若∠BAC=60°，∠ACD=23°，則　 　．
15．（2024七下·蒸湘期末）如圖，在中，是邊上的中線，的周長比的周長多3，與的和為13，則　 　．
16．（2024七下·蒸湘期末）若關于x的不等式組 無解，則a的取值范圍為　 　．
17．（2024七下·蒸湘期末）如圖，在中，，將沿方向平移的長度得到，已知．則圖中陰影部分的面積 　 　．
18．（2024七下·蒸湘期末）一列方程如下排列：
的解是；
的解是；
的解是；
……
根據觀察得到的規律，寫出其中解是的方程：　 　．
19．（2024七下·蒸湘期末）解方程：．
20．（2024七下·蒸湘期末）解方程組：
21．（2024七下·蒸湘期末）解不等式組，并在數軸上表示它的解集．
22．（2024七下·蒸湘期末）如圖，在直角三角形中，是斜邊上的高，，求：
（1）的度數；
（2）的度數．
23．（2024七下·蒸湘期末）為建設“秀美幸福之市”，我市綠化提質改造工程正如火如荼地進行，某施工隊計劃購買甲、乙兩種樹苗共400棵，對外環路的某標段道路進行綠化改造，已知甲種樹苗每棵200元，乙種樹苗每棵300元．
（1）若購買兩種樹苗的總金額為90000元，求需購買甲種樹苗多少棵
（2）若購買甲種樹苗的金額不少于購買乙種樹苗的金額，至少應購買甲種樹苗多少棵？
24．（2024七下·蒸湘期末）如圖是一個4×4的正方形網格，每個小正方形的邊長為1．請你在網格中以左上角的三角形為基本圖形，通過平移、對稱或旋轉變換，設計一個精美圖案，使其滿足：
①既是軸對稱圖形，又是以點O為對稱中心的中心對稱圖形；
②所作圖案用陰影標識，且陰影部分的面積為4．
25．（2024七下·蒸湘期末）為加快復工復產，某企業需運輸批物資．據調查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱．
(1)求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸多少箱物資；
(2)計劃用兩種貨車共12輛運輸這批物資，每輛大貨車一次需費用5 000元，每輛小貨車一次需費用3000元．若運輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元，請你列出所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少，最少費用是多少
26．（2024七下·蒸湘期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC=60°．將一把直角三角尺的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，其中∠OMN=30°．
(1)將如圖1三角尺繞點O順時針旋轉至如圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數；
(2)將如圖1中的三角尺繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，在第 秒時，邊MN恰好與射線OC平行；在第 秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC．(直接寫出結果)；
(3)將如圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至如圖3，使ON在∠AOC的內部，請探究∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：、，，故本選項符合題意；
、，，故本選項不符合題意；
、，，故本選項不符合題意；
、，，故本選項不符合題意．
故答案為：．
【分析】利用不等式的性質對每個選項一一判斷即可。
2．【答案】A
【知識點】解一元一次方程
【解析】【解答】解：把x=1代入方程，得：1+2a=﹣1，
解得：a=﹣1．
故答案為：A．
【分析】題意x=1是該方程的解，即把x=1代入該方程是成立的，所以代入可得：1+2a=-1即可解方程得a=-1.
3．【答案】C
【知識點】利用合并同類項、移項解一元一次方程
【解析】【解答】解：方程3x+4＝2x﹣5移項后，
正確的是：3x﹣2x＝﹣5﹣4．
故答案為：C．
【分析】移項要變號，據此判斷即可.
4．【答案】D
【知識點】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：原方程可化為y=，可見對于每一個x的值，y都有唯一的值和它相對應，
故方程有無數個解．
故答案為：D.
【分析】根據二元一次方程的解的求法可得方程有無數個解。
5．【答案】A
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：由題意可得：
不等式組的解集為：-2≤x＜1，
在數軸上表示為：
故答案為：A.
【分析】根據口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了確定出解集，進而根據數軸上表示不等式組的解集的方法“大向右，小向左，實心等于，空心不等”將該不等式組的解集在數軸上表示出來即可.
6．【答案】D
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：根據三角形三邊關系，可知：
A、，不能組成三角形，故不符合題意；
B、，不能組成三角形，故不符合題意；
C、，不能組成三角形，故不符合題意；
D、，能組成三角形，故符合題意；
故答案為：D．
【分析】根據三角形的三邊關系：三角形任何兩條邊之和大于第三邊，任意兩條邊之差小于第三邊，據此即可求解
7．【答案】A
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A.是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，符合題意，
B.是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，不符合題意，
C.是中心對稱圖形不是軸對稱圖形，不符合題意，
D. 是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，不符合題意，
故答案為：A
【分析】軸對稱圖形：將圖形沿某一條直線折疊后能夠重合的圖形為軸對稱圖形；中心對稱圖形：將圖形沿某一點旋轉180°后能夠與原圖形重合的圖形為中線對稱圖形.
8．【答案】B
【知識點】平面鑲嵌（密鋪）
【解析】【解答】解：A、正方形的每個內角是90°，正八邊形的每個內角是135°，由于90＋2×135＝360，故能鋪滿，不符合題意；
B、正五邊形和正八邊形內角分別為108°、135°，構不成360°的周角，故不能鋪滿，符合題意；
C、正六邊形的每個內角為120°，正三角形的每個內角為60°，一個正六邊形和一個正三角形剛好能鋪滿地面，不符合題意；
D、正三角形、正方形內角分別為60°、90°，由于60×3＋90×2＝360，故能鋪滿，不符合題意．
故答案為：B。
【分析】平面鑲嵌要求每個頂點周圍多邊形內角和為360°，然后逐一分析選項即可
9．【答案】B
【知識點】列二元一次方程組
【解析】【解答】解：設一匹馬價錢為x元，一頭牛價錢為y元.
根據現有兩匹馬加一頭牛的價錢超過一萬，超過的部分正好是半匹馬的價錢可得：2x+y-10000=
一匹馬加上二頭牛的價錢則不到一萬，不足部分正好是半頭牛的價錢可得：10000-（x+2y）=
綜上可得方程組：
故答案為：B.
【分析】首先認真讀題，弄清題意，其次，根據題中所設的未知數x和y找出等量關系，然后根據現有兩匹馬加一頭牛的價錢超過一萬，超過的部分正好是半匹馬的價錢；一匹馬加上二頭牛的價錢則不到一萬，不足部分正好是半頭牛的價錢，列出方程組即可.
10．【答案】B
【知識點】三角形的外角性質；對頂角及其性質；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：如圖，
∵，
∴∠2+∠3=90°，
∵，
，
∠1=∠2，∠3=∠4，
故答案為：B
【分析】因為∠C=∠2+∠3=90°，根據三角形外角的性質：三角形的外角等于兩個不相鄰內角之和，然后再利用兩個三角形的對頂角相等，將相加，然后再進行等量替換 ，即可求解．
11．【答案】-3
【知識點】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是關于的一元一次方程，
∴且，
解得：，
故答案為：-3．
【分析】形如“ax+b=0(a、b為常數，且a≠0)”的方程就是一元一次方程，據此列出關于字母a的混合組，求解即可.
12．【答案】2
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：將代入，得：，
得：，
解得，
故答案為：2．
【分析】將二元一次方程組的解代入二元一次方程組，再求出a+b．
13．【答案】12
【知識點】多邊形內角與外角
【解析】【解答】解：設多邊形有n條邊，由題意得：
，
解得：．
故答案為：12．
【分析】設多邊形有n條邊，則該多邊形的內角和為，外角和為360°，最后再根據內角和等于外角和的5倍列出方程，再解方程即可．
14．【答案】97°
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等及其性質
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
在△ACD中，∠ACD=23°，∠DAC=60°
∠D=180°-60°-23°=97°．
故答案為：97°．
【分析】根據全等三角形對應角相等得∠DAC=∠BAC=60°，進而在△ACD中，由三角形的內角和定理列式計算即可．
15．【答案】8
【知識點】三角形的中線
【解析】【解答】解：∵是邊上的中線，
∴，
∵的周長，的周長，且的周長比的周長多3，
∴，
∴，
又∵
∴．
故答案為：8．
【分析】先求出三角形ADC的周長：AD+DC+AC和三角形ABD的周長：AB+AD+BD，然后再將（AD+DC+AC）減去（AB+AD+BD），求出AC和AB的關系，又因為AD是BC的中線，所以BD=DC，再根據AB+AC=13，聯合建立方程，即可求出AB和AC的值
16．【答案】a≥1
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：對不等式組 ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∵原不等式組無解，
∴ ，
解得： ．
故答案為： ．
【分析】先解不等式組中的兩個不等式，然后根據不等式組無解可得關于a的不等式，解不等式即得答案．
17．【答案】19.5
【知識點】平移的性質
【解析】【解答】解：由平移的性質得，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：19.5．
【分析】先根據平移的性質得到BC=EF=8，S△DEF=S△ABC，從而利用割補法可推出S梯形ACGD=S梯形BEFG，最后根據梯形的面積公式計算即可．
18．【答案】
【知識點】一元一次方程的解；探索數與式的規律；探索規律-等式類規律
【解析】【解答】解：由一列方程如下排列：
的解是，
的解是，
的解是，
得第一個的分子是分母是解的二倍，第二個分子是減比解小1的數，分母是2，
所以解是的方程：，
故答案為：．
【分析】觀察題干給出的一列方程發現規律：第一個加數的分子是x，分母是解的二倍；第二個加數分子是x與比解小1的數的差，分母是2；方程的右邊都等于1，據此可得答案．
19．【答案】解：方程兩邊同乘以12得：
，
則，
故，
移項合并同類項得：，
解得：．
【知識點】解含分數系數的一元一次方程
【解析】【分析】先去分母（兩邊同時乘以12，右邊的1也要乘以12，不能漏乘），再去括號（括號前是負號，去掉括號和負號，括號里的每一項都要變號，括號前的數要與括號里的每一項都要相乘），然后移項合并同類項，最后把未知數的系數化為1即可.
20．【答案】解：，
得
，
解得，，
將x=3代入②，得，
∴方程的解為.
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】先對方程組進行標序號，然后再用第二個方程乘以3后再加上第一個方程，求出x的值，然后再將x的值代入第二個方程，即可求解
21．【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
數軸表示如下所示：
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【分析】先對不等式組進行標序號，然后再分別求出兩個不等式的解集，再將每個解集在數軸上標示出來，最后在數軸上找出公共部分即可
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
答：的度數為
（2）解：∵，∴，
∵，
∴．
答：的度數為
【知識點】垂線的概念；三角形的外角性質
【解析】【分析】（1）因為是斜邊上的高，，又因為是三角形DBC的外角，所以，根據，代入數據即可求解
（2）因為是三角形ABC的外角，所以，由（1）可知的度數，又因為三角形ABC是直角三角形，所以，，即，代入數據即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】（1）解：設設需要購買甲種樹苗x棵，則需要購買乙種樹苗（400-x）棵，根據題意，可得
，
解得：．
答：購買甲種樹苗300棵．
（2）解：設應購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，
由題意，得，
解得：．
答：至少應購買甲種樹苗240棵．
【知識點】一元一次不等式的應用；一元一次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設需要購買甲種樹苗x棵，那么需要購買乙種樹苗為（400-x），然后再根據“購買兩種兩種樹苗的總金額為9000元”，用購買甲樹苗的數量乘以每棵甲種樹苗的單價加上購買乙種樹苗的數量乘以每棵乙種樹苗的單價等于9000，然后建立方程，最后解方程即可
（2）設應購買甲種樹苗a棵，那么需要購買乙種樹苗為（400-a），用購買甲樹苗的數量乘以每棵甲種樹苗的單價，求出購買甲種樹苗的總金額，用購買乙種樹苗的數量乘以每棵乙種樹苗的單價，求出購買乙種樹苗的總金額，然后再根據“購買甲種樹苗的金額不少于購買乙種樹苗的金額”，建立不等式，最后再解不等式即可
（1）解：設購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，
由題意，得，
解得：．
答：購買甲種樹苗300棵．
（2）解：設應購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，
由題意，得，
解得：．
答：至少應購買甲種樹苗240棵．
24．【答案】解：如圖所示；答案不唯一．
【知識點】利用軸對稱、旋轉、平移設計圖案
【解析】【分析】開放性命題；把一個平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對稱圖形；把一個平面圖形，繞著某一點旋轉180°后，能與自身重合的圖形就是中心對稱圖形；進而根據方格紙的特點及陰影部分面積求法進行設計即可.
25．【答案】解：（1）設1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸x箱，y箱物資，
根據題意，得：，
解得：，
答：1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸150箱，100箱物資；
（2）設安排m輛大貨車，則小貨車（12-m）輛，總費用為W，
則150m+（12-m）×100≥1500，
解得：m≥6，
而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000，
解得：m＜9，
則6≤m＜9，
則運輸方案有3種：
6輛大貨車和6輛小貨車；
7輛大貨車和5輛小貨車；
8輛大貨車和4輛小貨車；
∵2000＞0，
∴當m=6時，總費用最少，且為2000×6+36000=48000元.
∴共有3種方案，當安排6輛大貨車和6輛小貨車時，總費用最少，為48000元.
【知識點】一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的應用-和差倍分問題；一次函數的實際應用-方案問題
【解析】【分析】（1）設1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸x箱，y箱物資，根據“ 2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱 ”列出二元一次方程組，求解即可；
（2）設安排m輛大貨車，則小貨車（12-m）輛，總費用為W，根據m輛大貨車一次運輸物資數量+(12-m)輛小貨車一次運輸物資數量不少于1500箱及m輛大貨車一次運費+(12-m)輛小貨車一次運費小于54000元分別列出不等式，求解得出m的取值范圍，進而根據一次函數的性質即可得出結果.
26．【答案】解：（1）∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠COM=∠BOC=60°，
∴∠CON=∠COM+90°=150°；
（2）9或27　12或30；
（3）∠AOM與∠NOC之間的數量關系為∠AOM－∠NOC＝30°，理由如下：
∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AON=90°-∠AOM，
∠AON=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°，
故∠AOM與∠NOC之間的數量關系為：∠AOM-∠NOC=30°．
【知識點】角的運算；平行線的性質；旋轉的性質；角平分線的概念；猜想與證明
【解析】【解答】解：（2）∵∠OMN=30°，∴∠N=90°-30°=60°，
∵∠AOC=60°，
∴當ON在直線AB上時，MN∥OC，
旋轉角為90°或270°，
∵每秒順時針旋轉10°，
∴時間為9或27，
直線ON恰好平分銳角∠AOC時，
旋轉角為90°+30°=120°或270°+30°=300°，
∵每秒順時針旋轉10°，
∴時間為12或30；
故答案為：9或27；12或30；
【分析】（1）根據平角的定義求出∠BOC=120°，再根據角平分線的定義求出∠COM=60°，然后根據∠CON=∠COM+∠MON代值計算即可；
（2）先根據直角三角形的兩銳角互余求出∠N=60°，由于∠AOC=60°，根據內錯角相等，兩直線平行可得當ON落在OA上MN∥OC，此時旋轉角為90°，根據同位角相等，兩直線平行，當ON落在OB上MN∥OC，此時旋轉角為270°，然后除以旋轉速度即可得解；當直線ON恰好平分銳角∠AOC時，旋轉角為90°+30°=120°或270°+30°=300°，然后除以旋轉速度即可得解；
（3）根據角的構成，用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后根據用兩個不同的式子表示同一個量，則這兩個式子一定相等，據此列出方程整理即可得解．
1 / 1湖南省衡陽市蒸湘區2023-2024學年七年級下學期期末數學試題
1．（2024七下·蒸湘期末）已知，則下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：、，，故本選項符合題意；
、，，故本選項不符合題意；
、，，故本選項不符合題意；
、，，故本選項不符合題意．
故答案為：．
【分析】利用不等式的性質對每個選項一一判斷即可。
2．（2024七下·蒸湘期末）已知x=1是方程x+2a=-1的解，那么a的值是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知識點】解一元一次方程
【解析】【解答】解：把x=1代入方程，得：1+2a=﹣1，
解得：a=﹣1．
故答案為：A．
【分析】題意x=1是該方程的解，即把x=1代入該方程是成立的，所以代入可得：1+2a=-1即可解方程得a=-1.
3．（2024七下·蒸湘期末）方程3x+4＝2x﹣5移項后，正確的是（　　）
A．3x+2x＝4﹣5 B．3x﹣2x＝4﹣5
C．3x﹣2x＝﹣5﹣4 D．3x+2x＝﹣5﹣4
【答案】C
【知識點】利用合并同類項、移項解一元一次方程
【解析】【解答】解：方程3x+4＝2x﹣5移項后，
正確的是：3x﹣2x＝﹣5﹣4．
故答案為：C．
【分析】移項要變號，據此判斷即可.
4．（2024七下·蒸湘期末）對于二元一次方程3x+2y=11，下列結論正確的是（　　）
A．任何一對有理數都是它的解 B．只有一個解
C．只有兩個解 D．有無數個解
【答案】D
【知識點】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：原方程可化為y=，可見對于每一個x的值，y都有唯一的值和它相對應，
故方程有無數個解．
故答案為：D.
【分析】根據二元一次方程的解的求法可得方程有無數個解。
5．（2024七下·蒸湘期末）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：由題意可得：
不等式組的解集為：-2≤x＜1，
在數軸上表示為：
故答案為：A.
【分析】根據口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了確定出解集，進而根據數軸上表示不等式組的解集的方法“大向右，小向左，實心等于，空心不等”將該不等式組的解集在數軸上表示出來即可.
6．（2024七下·蒸湘期末）以下列各組長度的線段為邊，能構成三角形的是（　　）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】D
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：根據三角形三邊關系，可知：
A、，不能組成三角形，故不符合題意；
B、，不能組成三角形，故不符合題意；
C、，不能組成三角形，故不符合題意；
D、，能組成三角形，故符合題意；
故答案為：D．
【分析】根據三角形的三邊關系：三角形任何兩條邊之和大于第三邊，任意兩條邊之差小于第三邊，據此即可求解
7．（2024七下·蒸湘期末）下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A.是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，符合題意，
B.是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，不符合題意，
C.是中心對稱圖形不是軸對稱圖形，不符合題意，
D. 是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，不符合題意，
故答案為：A
【分析】軸對稱圖形：將圖形沿某一條直線折疊后能夠重合的圖形為軸對稱圖形；中心對稱圖形：將圖形沿某一點旋轉180°后能夠與原圖形重合的圖形為中線對稱圖形.
8．（2024七下·蒸湘期末）在下列正多邊形組合中，不能鋪滿地面的是（　　）
A．正八邊形和正方形 B．正五邊形和正八邊形
C．正六邊形和正三角形 D．正三角形和正方形
【答案】B
【知識點】平面鑲嵌（密鋪）
【解析】【解答】解：A、正方形的每個內角是90°，正八邊形的每個內角是135°，由于90＋2×135＝360，故能鋪滿，不符合題意；
B、正五邊形和正八邊形內角分別為108°、135°，構不成360°的周角，故不能鋪滿，符合題意；
C、正六邊形的每個內角為120°，正三角形的每個內角為60°，一個正六邊形和一個正三角形剛好能鋪滿地面，不符合題意；
D、正三角形、正方形內角分別為60°、90°，由于60×3＋90×2＝360，故能鋪滿，不符合題意．
故答案為：B。
【分析】平面鑲嵌要求每個頂點周圍多邊形內角和為360°，然后逐一分析選項即可
9．（2024七下·蒸湘期末）我國古代數學著作九章算術記載了一道“牛馬問題”：“今有二馬、一牛價過一萬，如半馬之價．一馬、二牛價不滿一萬，如半牛之價．問牛、馬價各幾何．”其大意為：現有兩匹馬加一頭牛的價錢超過一萬，超過的部分正好是半匹馬的價錢；一匹馬加上二頭牛的價錢則不到一萬，不足部分正好是半頭牛的價錢，求一匹馬、一頭牛各多少錢？設一匹馬價錢為元，一頭牛價錢為元，則符合題意的方程組是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知識點】列二元一次方程組
【解析】【解答】解：設一匹馬價錢為x元，一頭牛價錢為y元.
根據現有兩匹馬加一頭牛的價錢超過一萬，超過的部分正好是半匹馬的價錢可得：2x+y-10000=
一匹馬加上二頭牛的價錢則不到一萬，不足部分正好是半頭牛的價錢可得：10000-（x+2y）=
綜上可得方程組：
故答案為：B.
【分析】首先認真讀題，弄清題意，其次，根據題中所設的未知數x和y找出等量關系，然后根據現有兩匹馬加一頭牛的價錢超過一萬，超過的部分正好是半匹馬的價錢；一匹馬加上二頭牛的價錢則不到一萬，不足部分正好是半頭牛的價錢，列出方程組即可.
10．（2024七下·蒸湘期末）小明把一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，其中，，，則等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】三角形的外角性質；對頂角及其性質；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：如圖，
∵，
∴∠2+∠3=90°，
∵，
，
∠1=∠2，∠3=∠4，
故答案為：B
【分析】因為∠C=∠2+∠3=90°，根據三角形外角的性質：三角形的外角等于兩個不相鄰內角之和，然后再利用兩個三角形的對頂角相等，將相加，然后再進行等量替換 ，即可求解．
11．（2024七下·蒸湘期末）已知是關于的一元一次方程，則　 　．
【答案】-3
【知識點】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是關于的一元一次方程，
∴且，
解得：，
故答案為：-3．
【分析】形如“ax+b=0(a、b為常數，且a≠0)”的方程就是一元一次方程，據此列出關于字母a的混合組，求解即可.
12．（2024七下·蒸湘期末）已知是方程組的解，則的值為　 　．
【答案】2
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：將代入，得：，
得：，
解得，
故答案為：2．
【分析】將二元一次方程組的解代入二元一次方程組，再求出a+b．
13．（2024七下·蒸湘期末）若一個正多邊形的內角和是其外角和的5倍，則這個正多邊形的邊數是　 　．
【答案】12
【知識點】多邊形內角與外角
【解析】【解答】解：設多邊形有n條邊，由題意得：
，
解得：．
故答案為：12．
【分析】設多邊形有n條邊，則該多邊形的內角和為，外角和為360°，最后再根據內角和等于外角和的5倍列出方程，再解方程即可．
14．（2024七下·蒸湘期末）如圖，已知，若∠BAC=60°，∠ACD=23°，則　 　．
【答案】97°
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等及其性質
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
在△ACD中，∠ACD=23°，∠DAC=60°
∠D=180°-60°-23°=97°．
故答案為：97°．
【分析】根據全等三角形對應角相等得∠DAC=∠BAC=60°，進而在△ACD中，由三角形的內角和定理列式計算即可．
15．（2024七下·蒸湘期末）如圖，在中，是邊上的中線，的周長比的周長多3，與的和為13，則　 　．
【答案】8
【知識點】三角形的中線
【解析】【解答】解：∵是邊上的中線，
∴，
∵的周長，的周長，且的周長比的周長多3，
∴，
∴，
又∵
∴．
故答案為：8．
【分析】先求出三角形ADC的周長：AD+DC+AC和三角形ABD的周長：AB+AD+BD，然后再將（AD+DC+AC）減去（AB+AD+BD），求出AC和AB的關系，又因為AD是BC的中線，所以BD=DC，再根據AB+AC=13，聯合建立方程，即可求出AB和AC的值
16．（2024七下·蒸湘期末）若關于x的不等式組 無解，則a的取值范圍為　 　．
【答案】a≥1
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：對不等式組 ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∵原不等式組無解，
∴ ，
解得： ．
故答案為： ．
【分析】先解不等式組中的兩個不等式，然后根據不等式組無解可得關于a的不等式，解不等式即得答案．
17．（2024七下·蒸湘期末）如圖，在中，，將沿方向平移的長度得到，已知．則圖中陰影部分的面積 　 　．
【答案】19.5
【知識點】平移的性質
【解析】【解答】解：由平移的性質得，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：19.5．
【分析】先根據平移的性質得到BC=EF=8，S△DEF=S△ABC，從而利用割補法可推出S梯形ACGD=S梯形BEFG，最后根據梯形的面積公式計算即可．
18．（2024七下·蒸湘期末）一列方程如下排列：
的解是；
的解是；
的解是；
……
根據觀察得到的規律，寫出其中解是的方程：　 　．
【答案】
【知識點】一元一次方程的解；探索數與式的規律；探索規律-等式類規律
【解析】【解答】解：由一列方程如下排列：
的解是，
的解是，
的解是，
得第一個的分子是分母是解的二倍，第二個分子是減比解小1的數，分母是2，
所以解是的方程：，
故答案為：．
【分析】觀察題干給出的一列方程發現規律：第一個加數的分子是x，分母是解的二倍；第二個加數分子是x與比解小1的數的差，分母是2；方程的右邊都等于1，據此可得答案．
19．（2024七下·蒸湘期末）解方程：．
【答案】解：方程兩邊同乘以12得：
，
則，
故，
移項合并同類項得：，
解得：．
【知識點】解含分數系數的一元一次方程
【解析】【分析】先去分母（兩邊同時乘以12，右邊的1也要乘以12，不能漏乘），再去括號（括號前是負號，去掉括號和負號，括號里的每一項都要變號，括號前的數要與括號里的每一項都要相乘），然后移項合并同類項，最后把未知數的系數化為1即可.
20．（2024七下·蒸湘期末）解方程組：
【答案】解：，
得
，
解得，，
將x=3代入②，得，
∴方程的解為.
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】先對方程組進行標序號，然后再用第二個方程乘以3后再加上第一個方程，求出x的值，然后再將x的值代入第二個方程，即可求解
21．（2024七下·蒸湘期末）解不等式組，并在數軸上表示它的解集．
【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
數軸表示如下所示：
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【分析】先對不等式組進行標序號，然后再分別求出兩個不等式的解集，再將每個解集在數軸上標示出來，最后在數軸上找出公共部分即可
22．（2024七下·蒸湘期末）如圖，在直角三角形中，是斜邊上的高，，求：
（1）的度數；
（2）的度數．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
答：的度數為
（2）解：∵，∴，
∵，
∴．
答：的度數為
【知識點】垂線的概念；三角形的外角性質
【解析】【分析】（1）因為是斜邊上的高，，又因為是三角形DBC的外角，所以，根據，代入數據即可求解
（2）因為是三角形ABC的外角，所以，由（1）可知的度數，又因為三角形ABC是直角三角形，所以，，即，代入數據即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
23．（2024七下·蒸湘期末）為建設“秀美幸福之市”，我市綠化提質改造工程正如火如荼地進行，某施工隊計劃購買甲、乙兩種樹苗共400棵，對外環路的某標段道路進行綠化改造，已知甲種樹苗每棵200元，乙種樹苗每棵300元．
（1）若購買兩種樹苗的總金額為90000元，求需購買甲種樹苗多少棵
（2）若購買甲種樹苗的金額不少于購買乙種樹苗的金額，至少應購買甲種樹苗多少棵？
【答案】（1）解：設設需要購買甲種樹苗x棵，則需要購買乙種樹苗（400-x）棵，根據題意，可得
，
解得：．
答：購買甲種樹苗300棵．
（2）解：設應購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，
由題意，得，
解得：．
答：至少應購買甲種樹苗240棵．
【知識點】一元一次不等式的應用；一元一次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設需要購買甲種樹苗x棵，那么需要購買乙種樹苗為（400-x），然后再根據“購買兩種兩種樹苗的總金額為9000元”，用購買甲樹苗的數量乘以每棵甲種樹苗的單價加上購買乙種樹苗的數量乘以每棵乙種樹苗的單價等于9000，然后建立方程，最后解方程即可
（2）設應購買甲種樹苗a棵，那么需要購買乙種樹苗為（400-a），用購買甲樹苗的數量乘以每棵甲種樹苗的單價，求出購買甲種樹苗的總金額，用購買乙種樹苗的數量乘以每棵乙種樹苗的單價，求出購買乙種樹苗的總金額，然后再根據“購買甲種樹苗的金額不少于購買乙種樹苗的金額”，建立不等式，最后再解不等式即可
（1）解：設購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，
由題意，得，
解得：．
答：購買甲種樹苗300棵．
（2）解：設應購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，
由題意，得，
解得：．
答：至少應購買甲種樹苗240棵．
24．（2024七下·蒸湘期末）如圖是一個4×4的正方形網格，每個小正方形的邊長為1．請你在網格中以左上角的三角形為基本圖形，通過平移、對稱或旋轉變換，設計一個精美圖案，使其滿足：
①既是軸對稱圖形，又是以點O為對稱中心的中心對稱圖形；
②所作圖案用陰影標識，且陰影部分的面積為4．
【答案】解：如圖所示；答案不唯一．
【知識點】利用軸對稱、旋轉、平移設計圖案
【解析】【分析】開放性命題；把一個平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對稱圖形；把一個平面圖形，繞著某一點旋轉180°后，能與自身重合的圖形就是中心對稱圖形；進而根據方格紙的特點及陰影部分面積求法進行設計即可.
25．（2024七下·蒸湘期末）為加快復工復產，某企業需運輸批物資．據調查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱．
(1)求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸多少箱物資；
(2)計劃用兩種貨車共12輛運輸這批物資，每輛大貨車一次需費用5 000元，每輛小貨車一次需費用3000元．若運輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元，請你列出所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少，最少費用是多少
【答案】解：（1）設1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸x箱，y箱物資，
根據題意，得：，
解得：，
答：1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸150箱，100箱物資；
（2）設安排m輛大貨車，則小貨車（12-m）輛，總費用為W，
則150m+（12-m）×100≥1500，
解得：m≥6，
而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000，
解得：m＜9，
則6≤m＜9，
則運輸方案有3種：
6輛大貨車和6輛小貨車；
7輛大貨車和5輛小貨車；
8輛大貨車和4輛小貨車；
∵2000＞0，
∴當m=6時，總費用最少，且為2000×6+36000=48000元.
∴共有3種方案，當安排6輛大貨車和6輛小貨車時，總費用最少，為48000元.
【知識點】一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的應用-和差倍分問題；一次函數的實際應用-方案問題
【解析】【分析】（1）設1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸x箱，y箱物資，根據“ 2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱 ”列出二元一次方程組，求解即可；
（2）設安排m輛大貨車，則小貨車（12-m）輛，總費用為W，根據m輛大貨車一次運輸物資數量+(12-m)輛小貨車一次運輸物資數量不少于1500箱及m輛大貨車一次運費+(12-m)輛小貨車一次運費小于54000元分別列出不等式，求解得出m的取值范圍，進而根據一次函數的性質即可得出結果.
26．（2024七下·蒸湘期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC=60°．將一把直角三角尺的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，其中∠OMN=30°．
(1)將如圖1三角尺繞點O順時針旋轉至如圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數；
(2)將如圖1中的三角尺繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，在第 秒時，邊MN恰好與射線OC平行；在第 秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC．(直接寫出結果)；
(3)將如圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至如圖3，使ON在∠AOC的內部，請探究∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．
【答案】解：（1）∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠COM=∠BOC=60°，
∴∠CON=∠COM+90°=150°；
（2）9或27　12或30；
（3）∠AOM與∠NOC之間的數量關系為∠AOM－∠NOC＝30°，理由如下：
∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AON=90°-∠AOM，
∠AON=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°，
故∠AOM與∠NOC之間的數量關系為：∠AOM-∠NOC=30°．
【知識點】角的運算；平行線的性質；旋轉的性質；角平分線的概念；猜想與證明
【解析】【解答】解：（2）∵∠OMN=30°，∴∠N=90°-30°=60°，
∵∠AOC=60°，
∴當ON在直線AB上時，MN∥OC，
旋轉角為90°或270°，
∵每秒順時針旋轉10°，
∴時間為9或27，
直線ON恰好平分銳角∠AOC時，
旋轉角為90°+30°=120°或270°+30°=300°，
∵每秒順時針旋轉10°，
∴時間為12或30；
故答案為：9或27；12或30；
【分析】（1）根據平角的定義求出∠BOC=120°，再根據角平分線的定義求出∠COM=60°，然后根據∠CON=∠COM+∠MON代值計算即可；
（2）先根據直角三角形的兩銳角互余求出∠N=60°，由于∠AOC=60°，根據內錯角相等，兩直線平行可得當ON落在OA上MN∥OC，此時旋轉角為90°，根據同位角相等，兩直線平行，當ON落在OB上MN∥OC，此時旋轉角為270°，然后除以旋轉速度即可得解；當直線ON恰好平分銳角∠AOC時，旋轉角為90°+30°=120°或270°+30°=300°，然后除以旋轉速度即可得解；
（3）根據角的構成，用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后根據用兩個不同的式子表示同一個量，則這兩個式子一定相等，據此列出方程整理即可得解．
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