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湖南省常德市桃源縣2023-2024學年七年級下學期期末數學試題
1．（2024七下·桃源期末）下列圖形中，對稱軸條數最少的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】平面圖形的對稱軸
【解析】【解答】解：∵A選項中的圖形有1數條對稱軸，B選項中的圖形有無數條對稱軸，C選項中的圖形有2條對稱軸，D選項中的圖形有3條對稱軸，
∴對稱軸條數最少的是A圖形.
故答案為：A．
【分析】把一個平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對稱圖形，折跡所在的直線就是對稱軸，據此找出各個圖形的對稱軸，進行比較即可得出答案.
2．（2024七下·桃源期末）下列計算中，正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】同底數冪的乘法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，原式計算正確，符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意；
故選；A．
【分析】根據同底數冪乘法，積的乘方，冪的乘方，合并同類項法則逐項進行判斷即可求出答案.
3．（2024七下·桃源期末）下列因式分解正確的是（　　）
A．x2-4=（x+4）（x-4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．3mx-6my=3m（x-6y） D．x2y-y3=y（x+y）（x-y）
【答案】D
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：A．x2-4=（x+2）（x-2），因此選項A不符合題意；
B．x2+2x+1=（x+1）2，因此選項B不符合題意；
C.3mx-6my=3m（x-2y），因此選項C不符合題意；
D．x2y-y3=y（x2-y2）=y（x+y）（x-y），因此選項D符合題意；
故答案為：D．
【分析】利用提公因式和公式法因式分解的方法逐項判斷即可。
4．（2024七下·桃源期末）下列說法錯誤的個數（　　）
①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②平面內，互相垂直的兩條直線一定相交；
③有公共頂點且相等的角是對頂角；④直線外一點到已知直線的垂線段，叫做這點到直線的距離；
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【知識點】垂線的概念；點到直線的距離；相交線的相關概念；對頂角及其性質
【解析】【解答】解：①在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故原說法錯誤，符合題意；
②平面內，互相垂直的兩條直線一定相交，故原說法正確，不符合題意；
③有公共頂點且相等的角不一定是對頂角，故原說法錯誤，符合題意；
④直線外一點到已知直線的垂線段的長度，叫做這點到直線的距離，故原說法錯誤，符合題意；
綜上，錯誤的個數為3個.
故答案為：C．
【分析】根據垂線的性質“在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”可判斷①；由同一平面內，兩條直線的位置關系式是相交與平行，相交又分為垂直于斜交，據此可判斷②；根據對頂角的定義“有公共頂點，且一個角的兩條邊分別是另一個角的兩條邊得反向延長線的兩個角互為對頂角”可判斷③；根據點到直線的距離“直線外一點到已知直線的垂線段的長度，叫做這點到直線的距離”可判斷④.
5．（2024七下·桃源期末）定義一種新運算“”的計算規則是：（其中a，b都是有理數）．
例如. 下列等式成立的個數是（　　）
①；②；③
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知識點】整式的加減運算
【解析】【解答】解：①∵，，
又∵，
∴，故①正確；
②∵，
∴，故②正確；
③ ∵，
，
又∵，
∴，故③錯誤；
故答案為：B．
【分析】根據新運算“”的計算規則：，逐一對各個式子進行運算，即可判斷
6．（2024七下·桃源期末）“科學用眼，保護視力”是青少年珍愛生命的具體表現．某校隨機抽查了40名八年級學生的視力情況，得到的數據如表所示：
視力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人數 3 4 12 10 11
則本次調查中視力的眾數和中位數分別是（　　）
A．4.8和4.9 B．4.9和4.9 C．4.8和4.8 D．4.8和4.85
【答案】A
【知識點】中位數；眾數
【解析】【解答】解：根據表格數據，出現次數最多的數據是4.8，則眾數為4.8；
將表格數據從小到大排列，第20和21個數據為4.9和4.9，
則中位數為，
故答案為：A．
【分析】根據眾數的定義：一組數據中出現次數最多的數值，從表格中找出出現次數最多的數據，即可求解；
表格中一共有學生人數：3+4+12+10+11=40人，先將表格中的數據按小到大排列，因為40是偶數，所以，中位數是這組數據中的第20和21個數，將第20個數和第21個的數據相加后，再除以2，即可求解。
7．（2024七下·桃源期末）為了加強勞動教育，讓學生熱愛自然，提高勞動品質，南寧市某中學秉著“讓花成花”的教育理念開展了種植體驗課程．課程開設后，學校打算花費6400元購進月季和郁金香兩種花苗共100株，其中月季每株7元，郁金香每株4元．設月季有株，郁金香有株，依題意所列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】二元一次方程組的實際應用-銷售問題；列二元一次方程組
【解析】【解答】解：設月季有株，郁金香有株，
由題意得：，
故答案為：A．
【分析】設月季有株，郁金香有株，根據“ 學校打算花費6400元購進月季和郁金香兩種花苗共100株 ”列出方程組即可.
8．（2024七下·桃源期末）如圖，中，，將繞點C順時針旋轉得到，使點B的對應點D恰好落在邊上，交于點F，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；旋轉的性質；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：根據旋轉性質得，，∠DCE=∠BCA=90°，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】由旋轉的性質得CB=CD，∠A=∠E，∠DCE=∠BCA=90°，由同角的余角相等得∠ECF=∠BCD=44°，由等邊對等角及三角形的內角和定理求出∠B=68°，根據直角三角形兩銳角互余求出∠A=22°，最后在△EFC中利用三角形的內角和定理可算出∠EFC的度數.
9．（2024七下·桃源期末）如圖，在中，，垂足為D，與關于直線AD對稱，點的B對稱點是，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；軸對稱的性質
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵與關于直線AD對稱，
∴，
∴；
故答案為：A．
【分析】由三角形內角和定理，求得，由軸對稱的性質，得到，根據三角形的一個外角等于與之不相鄰的兩個內角的和得∠CAB'=∠B'-∠C，從而代值計算可得答案.
10．（2024七下·桃源期末）如圖，已知，于點F，，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】垂線的概念；平行公理及推論；平行線的性質；三角形內角和定理
【解析】【解答】解：過點作，過點作，EG與GH相交于點N，如圖所示，
∵，
∴，
∴，，∠AFE+∠FEK=180°，∠KEG=∠MNG.
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，∠EGH+∠GHM+∠HNG=180°，
∴∠HNG=180°－30°－20°=130°.
∴∠KEG=∠MNG=180°－130°=50°.
∵ ，
∴∠AFE=90°，
∴∠FEK=90°.
∴，
故答案為：．
【分析】過點E作EK//AB，過點H作HM//AB，EG與GH相交于點N，于是有，根據平行線的性質可得∠BFH=∠FHM，∠DGH=∠GHM，∠AFE+∠FEK=180°，∠KEG=∠MNG.代入數據計算出∠GHM，利用三角形內角和定理和鄰補角定義求出∠KEG=∠MNG的度數，根據垂直的性質求的度數，即可得到答案．
11．（2024七下·桃源期末） 　 　．
【答案】-8
【知識點】同底數冪的乘法；積的乘方運算
【解析】【解答】解：原式=（-8）·（-8）2022·（）2022=（-8）·[-8×()]2022=-8；
故答案為：-8.
【分析】將原式化為（-8）·[-8×()]2022再計算即可.
12．（2024七下·桃源期末）若，則　 　．
【答案】
【知識點】多項式乘多項式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案為：．
【分析】先對等式的左邊根據多項式乘以多項式的計算法則，展開后進行合并，然后再與右邊的式子進行對比，即可求解
13．（2024七下·桃源期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知識點】公因式的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案為：
【分析】提公因式，結合完全平方公式進行因式分解即可求出答案.
14．（2024七下·桃源期末）小明參加“強國有我”主題演講比賽，其演講形象、內容、效果三項的成績分別是分、分、分．若將三項得分依次按的比例確定最終成績，則小明的最終比賽成績為　 　分．
【答案】82
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【解答】解：小明的最終比賽成績為：=82（分）；
故答案為：82.
【分析】利用加權平均數公式計算即可.
15．（2024七下·桃源期末）為從甲乙兩名射擊運動員中選出一人參加競標賽，特統計了他們最近10次射擊訓練的成績，其中，他們射擊的平均成績為8.9環，方差分別是 ，從穩定性的角度看，　 　的成績更穩定．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【知識點】方差
【解析】【解答】解： 已知S甲2=0.8，S乙2=1.3，可得S甲2＜S乙2，所以成績最穩定的運動員是甲．
故答案為：甲．
【分析】根據方差的定義：方差越小，成績越穩定。
16．（2024七下·桃源期末）首屆“安海校園杯”足球賽火熱進行中，足球是用黑白兩種顏色的皮塊縫制而成，如圖所示，黑色皮塊是正五邊形，白色皮塊是正六邊形．一般一個足球上共有黑白皮塊共32塊，請你計算一下，黑色皮塊有　 　塊．
【答案】12
【知識點】二元一次方程組的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設白色皮塊有x塊，黑色皮塊有y塊，
根據題意，得，
解得，
則黑色皮塊有12塊，
故答案為：12．
【分析】設黑色皮塊有x塊，白色皮塊有y塊，根據“一個足球上共有黑白皮塊共32塊”，建立方程：x+y=32；每塊白色皮有3條邊與黑色皮相連，所以，黑色皮共有3x條邊，而黑色皮共有5y條邊，據此建立方程：3x=5y，聯合以上兩條方程即可求解
17．（2024七下·桃源期末）如圖，點在延長線上，，交于點，且，，比的余角大，為線段上一動點，為上一點，且滿足，為的平分線．下列結論：①；②；③平分；④；⑤．其中結論正確的序號是　 　．
【答案】①②③④⑤
【知識點】平行線的判定與性質；角平分線的概念；余角
【解析】【解答】解：①，
，結論①正確；
②，
．
，
，
，結論②正確；
③，
．
，
，
平分，結論③正確；
④，
．
比的余角大，
．
，，
，結論④正確；
⑤為的平分線，
．
，，
，結論⑤正確．
故答案為：①②③④⑤．
【分析】因為，根據平行線的判定定理，可知，結論①正確；因為，根據平行線的性質，可知，然后再根據，即可求出；再根據“同位角相等，兩直線平行”的性質，可得出，結論②正確；再由，可求出，同時結合，可得出，即可得出平分，結論③正確；由可得出，結合比的余角大，可求出的度數，再由結合三角形內角和定理可求出，結論④正確；根據角平分線的定義，可得出，同時結合，將其代入即可求出的角度，結論⑤正確，據此即可判斷
18．（2024七下·桃源期末）如圖所示，直線，平分，平分，且，則的度數是　 　．
【答案】
【知識點】平行線的判定與性質；三角形的外角性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：設交于點，過作，如圖：
設，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，
，，，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【分析】如圖，設交于點，過作，設，，因為平分 ，所以，則；因為平分 ，所以，，則；因為根據平行線的性質，可得，，，由兩式子，可得，；又因為，代入數據即可求出，繼而即可求
19．（2024七下·桃源期末）化簡，求值：，其中，．
【答案】解：
，
當，時，原式．
【知識點】單項式乘多項式；多項式乘多項式；完全平方公式及運用；平方差公式及應用
【解析】【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據完全平方公式，平方差公式，以及單項式乘以多項式的計算法則，去括號，然后合并同類項化簡，得到，再將，，代入化簡后的代數式，進行計算，即可得到答案.
20．（2024七下·桃源期末）已知關于，的方程組
（1）若方程組的解互為相反數，求的值
（2）若方程組的解滿足方程，求的值．
【答案】（1）解：
①②，得，
①②，得．
∵方程組的解互為相反數，
∴，
即，
∴．
（2）解：
②①，得，
∵，
解得，
代入②得：，
∴.
【知識點】解二元一次方程組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】（1）將k作為參數，利用加減消元法解方程組，得出，，根據方程組的解互為相反數及互為相反數的兩個數得和為零可列出關于字母k的方程，解關于k的方程即可；
（2）用方程②×2-①消去k得x-7y=-4，然后聯立此方程與3x+y=10，求解得出x、y的值，最后x、y的值代入②方程即可求出k的值．
21．（2024七下·桃源期末）小李在某商場購買A、B兩種商品若干次（每次A、B商品都買），三次購買A、B商品的數量和費用如下表所示：
　 購買A商品的數量/個 購買B商品的數量/個 購買總費用/元
第一次 6 5 980
第二次 3 7 940
第三次 660
（1）求A、B商品的標價各是多少元？
（2）小李第三次購買方案可能有哪幾種？
【答案】（1）解：設A商品的標價是x元，B商品的標價是y元，
依題意得：，
解得：，
答：A商品的標價是80元，B商品的標價是100元；
（2）解：依題意得：，
整理得：，
又，均為正整數，
或，
購買方案可能有2種，①購買A商品2件，B商品5件；②購買A商品7件，B商品1件．
【知識點】二元一次方程的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設A商品的標價是x元，B商品的標價是y元，根據購買6個A商品的費用+購買5個B商品的費用=980元及購買3個A商品的費用+購買7個B商品的費用=940元，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）根據總價單價數量及購買a個A商品的費用+購買b個B商品的費用=660元列出關于a，b的二元一次方程，求出正整數解，即可得出各購買方案．
22．（2024七下·桃源期末）某學校從九年級同學中任意選取40人，隨機分成甲、乙兩個小組(每組20人)進行“引體向上”體能測試，根據測試成績繪制出下面的統計表和統計圖．
甲組成績統計表
成績 7 8 9 10
人數 1 9 5 5
乙組成績統計圖
請根據上面的信息，解答下列問題：
（1）甲組成績的中位數是 ，乙組成績的眾數是 ；
（2）請求出乙組成績的平均數；
（3）已知甲組成績的方差為，請求乙組成績的方差，并判斷哪個小組的成績更加穩定．
【答案】（1）解：8.5；8
（2）解：根據加權平均數的公式，可得
=
=
=8.5
答：乙組成績的平均數是8.5
（3）解：∵乙組的平均數是，
∴其方差為：
=
=0.75
∵，
故乙組更加穩定些．
【知識點】方差；分析數據的集中趨勢（平均數、中位數、眾數）
【解析】【解答】解：（1）根據題意，可得
甲組一共有學生：1+9+5+5=20（人）
因此甲組的中位數為：，
乙組中，成績為8的數據出現了9次，次數最多，
故乙組數據的眾數是8，
【分析】（1）觀察甲組統計表，可知，甲組一共有學生人數20人，即有20個成績，20是偶數，平均數是位于第10和第11個數，而第10個數是8，第11個數是9，用（8+9）÷2，即可求出甲組的中位數；觀察乙組統計圖中數據，再根據眾數的定義，即可直接讀出乙組成績的眾數，據此即可求解
（2）用乙組每個成績乘以對應的人數，然后再將各個分數段的總成績相加，最后再除以學生總人數，即可求出乙組成績的平均數；
（3）根據（2）可知乙組成績的平均成績是8.5，然后再根據方差的計算方法，求出，然后再與對比，方差小的，則穩定性強，據此即可求解
（1）根據題意，甲組成績的是中間兩個數據8和9的平均數，
故中位數是，
故答案為：；
乙組中，成績為8的數據出現了9次，次數最多，
故乙組數據的眾數是8，
故答案為：8．
（2）根據加權平均數的公式，得
（3）∵乙組的平均數是，
∴其方差為：
∵，
故乙組更加穩定些．
23．（2024七下·桃源期末）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，的頂點均在格點（網格線的交點）上．
（1）將向左平移4個單位長度，再向上平移3個單位長度，畫出平移后的圖形．
（2）以點C為旋轉中心，將按逆時針方向旋轉90°，得到，請畫出．
【答案】（1）解：如圖，將點A，B，C分別向左平移4個單位長度，再向上平移3個單位長度得，，，順次連接三點得即為所求．
（2）解：如圖，線段繞點C逆時針方向旋轉，點A至格點，線段繞點C逆時針方向旋轉，點B至格點，順次連接，，C得即為所求．
【知識點】平移的性質；作圖﹣平移；作圖﹣旋轉
【解析】【分析】（1）將點A，B，C分別向左平移4個單位長度，再向上平移3個單位長度得，，，然后連接、、，即可
（2）根據旋轉的特點，固定C點不變，將A逆時針旋轉90度，保證等于90度，再根據A點的坐標，從而確定的坐標，將B點逆時針旋轉90度，保證等于90度，再根據B的坐標，從而確定的坐標，最后再連接、、，即可求解
24．（2024七下·桃源期末）補全證明過程：（括號內填寫理由）
一條直線分別與直線BE、直線CE、直線BF、直線CF相交于A、G、H、D，如果∠1＝∠2，∠A＝∠D，求證：∠B＝∠C．
證明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3，（　 　）
∴∠2＝∠3，（　 　）
∴CE∥BF，（　 　）
∴∠C＝∠4，（　 　）
又∵∠A＝∠D，（　 　）
∴AB∥　 　，（　 　）
∴∠B＝∠4，（　 　）
∴∠B＝∠C．（等量代換）
【答案】【解答】證明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（對頂角相等），
∴∠2＝∠3（等量代換），
∴CE∥BF（同位角相等，兩直線平行），
∴∠C＝∠4（兩直線平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠D（已知），
∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行），
∴∠B＝∠4（兩直線平行，內錯角相等），
∴∠B＝∠C（等量代換）．
【知識點】平行線的判定與性質；對頂角及其性質
【解析】【分析】根據平行線的性質：兩直線平行，對頂角相等；兩條線平行，同位角相等；根據平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；對頂角相等，兩直線平行，據此即可求解。
25．（2024七下·桃源期末）如圖，，的平分線交于點G，．
（1）試說明：；
（2）如圖1，點F在的反向延長線上，連接交于點E，若，求證：平分．
【答案】（1）證明：∵是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：∵，，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
則，
∴平分．
【知識點】三角形的外角性質；內錯角的概念；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）根據平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等；又因為AG是 ，可得，據此即可證明
（2）根據三角形外角和定理：三角形的外角等于與其兩個不相鄰的內角之和以及結合（1），再根據已知條件 ，可得，據此即可證明
（1）證明：∵是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：∵，，
∴，又，
∴，
∵，
∴，則，
∴平分．
26．（2024七下·桃源期末）閱讀下列材料：
若滿足，求的值．
解：設，，則，，
∴．
請仿照上面的方法，解答下列問題：
（1）若滿足，求的值．
（2）如圖，正方形的邊長為，，分別是邊，上的點，，，長方形的面積為48，分別以，為邊作正方形和正方形．
①________，________；（用含的式子表示）
②求陰影部分的面積．
【答案】（1）解：設，，
則，
，
=5
（2）解：①，，
②，
陰影部分的面積．
設，，則，，
，
，
又，
，
．
即陰影部分的面積是28．
【知識點】完全平方公式的幾何背景；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【分析】（1）設，，根據已知題干中的運算方法，進行運算即可
（2）①由正方形邊長為，觀察圖形，可表示出與；②根據矩形的面積公式以及正方形的面積公式以及完全平方公式，代入數據，然后再進行化簡，即可求解
1 / 1湖南省常德市桃源縣2023-2024學年七年級下學期期末數學試題
1．（2024七下·桃源期末）下列圖形中，對稱軸條數最少的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·桃源期末）下列計算中，正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·桃源期末）下列因式分解正確的是（　　）
A．x2-4=（x+4）（x-4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．3mx-6my=3m（x-6y） D．x2y-y3=y（x+y）（x-y）
4．（2024七下·桃源期末）下列說法錯誤的個數（　　）
①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②平面內，互相垂直的兩條直線一定相交；
③有公共頂點且相等的角是對頂角；④直線外一點到已知直線的垂線段，叫做這點到直線的距離；
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．（2024七下·桃源期末）定義一種新運算“”的計算規則是：（其中a，b都是有理數）．
例如. 下列等式成立的個數是（　　）
①；②；③
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2024七下·桃源期末）“科學用眼，保護視力”是青少年珍愛生命的具體表現．某校隨機抽查了40名八年級學生的視力情況，得到的數據如表所示：
視力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人數 3 4 12 10 11
則本次調查中視力的眾數和中位數分別是（　　）
A．4.8和4.9 B．4.9和4.9 C．4.8和4.8 D．4.8和4.85
7．（2024七下·桃源期末）為了加強勞動教育，讓學生熱愛自然，提高勞動品質，南寧市某中學秉著“讓花成花”的教育理念開展了種植體驗課程．課程開設后，學校打算花費6400元購進月季和郁金香兩種花苗共100株，其中月季每株7元，郁金香每株4元．設月季有株，郁金香有株，依題意所列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024七下·桃源期末）如圖，中，，將繞點C順時針旋轉得到，使點B的對應點D恰好落在邊上，交于點F，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·桃源期末）如圖，在中，，垂足為D，與關于直線AD對稱，點的B對稱點是，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·桃源期末）如圖，已知，于點F，，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024七下·桃源期末） 　 　．
12．（2024七下·桃源期末）若，則　 　．
13．（2024七下·桃源期末）因式分解：　 　．
14．（2024七下·桃源期末）小明參加“強國有我”主題演講比賽，其演講形象、內容、效果三項的成績分別是分、分、分．若將三項得分依次按的比例確定最終成績，則小明的最終比賽成績為　 　分．
15．（2024七下·桃源期末）為從甲乙兩名射擊運動員中選出一人參加競標賽，特統計了他們最近10次射擊訓練的成績，其中，他們射擊的平均成績為8.9環，方差分別是 ，從穩定性的角度看，　 　的成績更穩定．（填“甲”或“乙”）
16．（2024七下·桃源期末）首屆“安海校園杯”足球賽火熱進行中，足球是用黑白兩種顏色的皮塊縫制而成，如圖所示，黑色皮塊是正五邊形，白色皮塊是正六邊形．一般一個足球上共有黑白皮塊共32塊，請你計算一下，黑色皮塊有　 　塊．
17．（2024七下·桃源期末）如圖，點在延長線上，，交于點，且，，比的余角大，為線段上一動點，為上一點，且滿足，為的平分線．下列結論：①；②；③平分；④；⑤．其中結論正確的序號是　 　．
18．（2024七下·桃源期末）如圖所示，直線，平分，平分，且，則的度數是　 　．
19．（2024七下·桃源期末）化簡，求值：，其中，．
20．（2024七下·桃源期末）已知關于，的方程組
（1）若方程組的解互為相反數，求的值
（2）若方程組的解滿足方程，求的值．
21．（2024七下·桃源期末）小李在某商場購買A、B兩種商品若干次（每次A、B商品都買），三次購買A、B商品的數量和費用如下表所示：
　 購買A商品的數量/個 購買B商品的數量/個 購買總費用/元
第一次 6 5 980
第二次 3 7 940
第三次 660
（1）求A、B商品的標價各是多少元？
（2）小李第三次購買方案可能有哪幾種？
22．（2024七下·桃源期末）某學校從九年級同學中任意選取40人，隨機分成甲、乙兩個小組(每組20人)進行“引體向上”體能測試，根據測試成績繪制出下面的統計表和統計圖．
甲組成績統計表
成績 7 8 9 10
人數 1 9 5 5
乙組成績統計圖
請根據上面的信息，解答下列問題：
（1）甲組成績的中位數是 ，乙組成績的眾數是 ；
（2）請求出乙組成績的平均數；
（3）已知甲組成績的方差為，請求乙組成績的方差，并判斷哪個小組的成績更加穩定．
23．（2024七下·桃源期末）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，的頂點均在格點（網格線的交點）上．
（1）將向左平移4個單位長度，再向上平移3個單位長度，畫出平移后的圖形．
（2）以點C為旋轉中心，將按逆時針方向旋轉90°，得到，請畫出．
24．（2024七下·桃源期末）補全證明過程：（括號內填寫理由）
一條直線分別與直線BE、直線CE、直線BF、直線CF相交于A、G、H、D，如果∠1＝∠2，∠A＝∠D，求證：∠B＝∠C．
證明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3，（　 　）
∴∠2＝∠3，（　 　）
∴CE∥BF，（　 　）
∴∠C＝∠4，（　 　）
又∵∠A＝∠D，（　 　）
∴AB∥　 　，（　 　）
∴∠B＝∠4，（　 　）
∴∠B＝∠C．（等量代換）
25．（2024七下·桃源期末）如圖，，的平分線交于點G，．
（1）試說明：；
（2）如圖1，點F在的反向延長線上，連接交于點E，若，求證：平分．
26．（2024七下·桃源期末）閱讀下列材料：
若滿足，求的值．
解：設，，則，，
∴．
請仿照上面的方法，解答下列問題：
（1）若滿足，求的值．
（2）如圖，正方形的邊長為，，分別是邊，上的點，，，長方形的面積為48，分別以，為邊作正方形和正方形．
①________，________；（用含的式子表示）
②求陰影部分的面積．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】平面圖形的對稱軸
【解析】【解答】解：∵A選項中的圖形有1數條對稱軸，B選項中的圖形有無數條對稱軸，C選項中的圖形有2條對稱軸，D選項中的圖形有3條對稱軸，
∴對稱軸條數最少的是A圖形.
故答案為：A．
【分析】把一個平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對稱圖形，折跡所在的直線就是對稱軸，據此找出各個圖形的對稱軸，進行比較即可得出答案.
2．【答案】A
【知識點】同底數冪的乘法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，原式計算正確，符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意；
故選；A．
【分析】根據同底數冪乘法，積的乘方，冪的乘方，合并同類項法則逐項進行判斷即可求出答案.
3．【答案】D
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：A．x2-4=（x+2）（x-2），因此選項A不符合題意；
B．x2+2x+1=（x+1）2，因此選項B不符合題意；
C.3mx-6my=3m（x-2y），因此選項C不符合題意；
D．x2y-y3=y（x2-y2）=y（x+y）（x-y），因此選項D符合題意；
故答案為：D．
【分析】利用提公因式和公式法因式分解的方法逐項判斷即可。
4．【答案】C
【知識點】垂線的概念；點到直線的距離；相交線的相關概念；對頂角及其性質
【解析】【解答】解：①在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故原說法錯誤，符合題意；
②平面內，互相垂直的兩條直線一定相交，故原說法正確，不符合題意；
③有公共頂點且相等的角不一定是對頂角，故原說法錯誤，符合題意；
④直線外一點到已知直線的垂線段的長度，叫做這點到直線的距離，故原說法錯誤，符合題意；
綜上，錯誤的個數為3個.
故答案為：C．
【分析】根據垂線的性質“在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”可判斷①；由同一平面內，兩條直線的位置關系式是相交與平行，相交又分為垂直于斜交，據此可判斷②；根據對頂角的定義“有公共頂點，且一個角的兩條邊分別是另一個角的兩條邊得反向延長線的兩個角互為對頂角”可判斷③；根據點到直線的距離“直線外一點到已知直線的垂線段的長度，叫做這點到直線的距離”可判斷④.
5．【答案】B
【知識點】整式的加減運算
【解析】【解答】解：①∵，，
又∵，
∴，故①正確；
②∵，
∴，故②正確；
③ ∵，
，
又∵，
∴，故③錯誤；
故答案為：B．
【分析】根據新運算“”的計算規則：，逐一對各個式子進行運算，即可判斷
6．【答案】A
【知識點】中位數；眾數
【解析】【解答】解：根據表格數據，出現次數最多的數據是4.8，則眾數為4.8；
將表格數據從小到大排列，第20和21個數據為4.9和4.9，
則中位數為，
故答案為：A．
【分析】根據眾數的定義：一組數據中出現次數最多的數值，從表格中找出出現次數最多的數據，即可求解；
表格中一共有學生人數：3+4+12+10+11=40人，先將表格中的數據按小到大排列，因為40是偶數，所以，中位數是這組數據中的第20和21個數，將第20個數和第21個的數據相加后，再除以2，即可求解。
7．【答案】A
【知識點】二元一次方程組的實際應用-銷售問題；列二元一次方程組
【解析】【解答】解：設月季有株，郁金香有株，
由題意得：，
故答案為：A．
【分析】設月季有株，郁金香有株，根據“ 學校打算花費6400元購進月季和郁金香兩種花苗共100株 ”列出方程組即可.
8．【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；旋轉的性質；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：根據旋轉性質得，，∠DCE=∠BCA=90°，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】由旋轉的性質得CB=CD，∠A=∠E，∠DCE=∠BCA=90°，由同角的余角相等得∠ECF=∠BCD=44°，由等邊對等角及三角形的內角和定理求出∠B=68°，根據直角三角形兩銳角互余求出∠A=22°，最后在△EFC中利用三角形的內角和定理可算出∠EFC的度數.
9．【答案】A
【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；軸對稱的性質
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵與關于直線AD對稱，
∴，
∴；
故答案為：A．
【分析】由三角形內角和定理，求得，由軸對稱的性質，得到，根據三角形的一個外角等于與之不相鄰的兩個內角的和得∠CAB'=∠B'-∠C，從而代值計算可得答案.
10．【答案】C
【知識點】垂線的概念；平行公理及推論；平行線的性質；三角形內角和定理
【解析】【解答】解：過點作，過點作，EG與GH相交于點N，如圖所示，
∵，
∴，
∴，，∠AFE+∠FEK=180°，∠KEG=∠MNG.
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，∠EGH+∠GHM+∠HNG=180°，
∴∠HNG=180°－30°－20°=130°.
∴∠KEG=∠MNG=180°－130°=50°.
∵ ，
∴∠AFE=90°，
∴∠FEK=90°.
∴，
故答案為：．
【分析】過點E作EK//AB，過點H作HM//AB，EG與GH相交于點N，于是有，根據平行線的性質可得∠BFH=∠FHM，∠DGH=∠GHM，∠AFE+∠FEK=180°，∠KEG=∠MNG.代入數據計算出∠GHM，利用三角形內角和定理和鄰補角定義求出∠KEG=∠MNG的度數，根據垂直的性質求的度數，即可得到答案．
11．【答案】-8
【知識點】同底數冪的乘法；積的乘方運算
【解析】【解答】解：原式=（-8）·（-8）2022·（）2022=（-8）·[-8×()]2022=-8；
故答案為：-8.
【分析】將原式化為（-8）·[-8×()]2022再計算即可.
12．【答案】
【知識點】多項式乘多項式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案為：．
【分析】先對等式的左邊根據多項式乘以多項式的計算法則，展開后進行合并，然后再與右邊的式子進行對比，即可求解
13．【答案】
【知識點】公因式的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案為：
【分析】提公因式，結合完全平方公式進行因式分解即可求出答案.
14．【答案】82
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【解答】解：小明的最終比賽成績為：=82（分）；
故答案為：82.
【分析】利用加權平均數公式計算即可.
15．【答案】甲
【知識點】方差
【解析】【解答】解： 已知S甲2=0.8，S乙2=1.3，可得S甲2＜S乙2，所以成績最穩定的運動員是甲．
故答案為：甲．
【分析】根據方差的定義：方差越小，成績越穩定。
16．【答案】12
【知識點】二元一次方程組的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設白色皮塊有x塊，黑色皮塊有y塊，
根據題意，得，
解得，
則黑色皮塊有12塊，
故答案為：12．
【分析】設黑色皮塊有x塊，白色皮塊有y塊，根據“一個足球上共有黑白皮塊共32塊”，建立方程：x+y=32；每塊白色皮有3條邊與黑色皮相連，所以，黑色皮共有3x條邊，而黑色皮共有5y條邊，據此建立方程：3x=5y，聯合以上兩條方程即可求解
17．【答案】①②③④⑤
【知識點】平行線的判定與性質；角平分線的概念；余角
【解析】【解答】解：①，
，結論①正確；
②，
．
，
，
，結論②正確；
③，
．
，
，
平分，結論③正確；
④，
．
比的余角大，
．
，，
，結論④正確；
⑤為的平分線，
．
，，
，結論⑤正確．
故答案為：①②③④⑤．
【分析】因為，根據平行線的判定定理，可知，結論①正確；因為，根據平行線的性質，可知，然后再根據，即可求出；再根據“同位角相等，兩直線平行”的性質，可得出，結論②正確；再由，可求出，同時結合，可得出，即可得出平分，結論③正確；由可得出，結合比的余角大，可求出的度數，再由結合三角形內角和定理可求出，結論④正確；根據角平分線的定義，可得出，同時結合，將其代入即可求出的角度，結論⑤正確，據此即可判斷
18．【答案】
【知識點】平行線的判定與性質；三角形的外角性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：設交于點，過作，如圖：
設，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，
，，，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【分析】如圖，設交于點，過作，設，，因為平分 ，所以，則；因為平分 ，所以，，則；因為根據平行線的性質，可得，，，由兩式子，可得，；又因為，代入數據即可求出，繼而即可求
19．【答案】解：
，
當，時，原式．
【知識點】單項式乘多項式；多項式乘多項式；完全平方公式及運用；平方差公式及應用
【解析】【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據完全平方公式，平方差公式，以及單項式乘以多項式的計算法則，去括號，然后合并同類項化簡，得到，再將，，代入化簡后的代數式，進行計算，即可得到答案.
20．【答案】（1）解：
①②，得，
①②，得．
∵方程組的解互為相反數，
∴，
即，
∴．
（2）解：
②①，得，
∵，
解得，
代入②得：，
∴.
【知識點】解二元一次方程組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】（1）將k作為參數，利用加減消元法解方程組，得出，，根據方程組的解互為相反數及互為相反數的兩個數得和為零可列出關于字母k的方程，解關于k的方程即可；
（2）用方程②×2-①消去k得x-7y=-4，然后聯立此方程與3x+y=10，求解得出x、y的值，最后x、y的值代入②方程即可求出k的值．
21．【答案】（1）解：設A商品的標價是x元，B商品的標價是y元，
依題意得：，
解得：，
答：A商品的標價是80元，B商品的標價是100元；
（2）解：依題意得：，
整理得：，
又，均為正整數，
或，
購買方案可能有2種，①購買A商品2件，B商品5件；②購買A商品7件，B商品1件．
【知識點】二元一次方程的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設A商品的標價是x元，B商品的標價是y元，根據購買6個A商品的費用+購買5個B商品的費用=980元及購買3個A商品的費用+購買7個B商品的費用=940元，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）根據總價單價數量及購買a個A商品的費用+購買b個B商品的費用=660元列出關于a，b的二元一次方程，求出正整數解，即可得出各購買方案．
22．【答案】（1）解：8.5；8
（2）解：根據加權平均數的公式，可得
=
=
=8.5
答：乙組成績的平均數是8.5
（3）解：∵乙組的平均數是，
∴其方差為：
=
=0.75
∵，
故乙組更加穩定些．
【知識點】方差；分析數據的集中趨勢（平均數、中位數、眾數）
【解析】【解答】解：（1）根據題意，可得
甲組一共有學生：1+9+5+5=20（人）
因此甲組的中位數為：，
乙組中，成績為8的數據出現了9次，次數最多，
故乙組數據的眾數是8，
【分析】（1）觀察甲組統計表，可知，甲組一共有學生人數20人，即有20個成績，20是偶數，平均數是位于第10和第11個數，而第10個數是8，第11個數是9，用（8+9）÷2，即可求出甲組的中位數；觀察乙組統計圖中數據，再根據眾數的定義，即可直接讀出乙組成績的眾數，據此即可求解
（2）用乙組每個成績乘以對應的人數，然后再將各個分數段的總成績相加，最后再除以學生總人數，即可求出乙組成績的平均數；
（3）根據（2）可知乙組成績的平均成績是8.5，然后再根據方差的計算方法，求出，然后再與對比，方差小的，則穩定性強，據此即可求解
（1）根據題意，甲組成績的是中間兩個數據8和9的平均數，
故中位數是，
故答案為：；
乙組中，成績為8的數據出現了9次，次數最多，
故乙組數據的眾數是8，
故答案為：8．
（2）根據加權平均數的公式，得
（3）∵乙組的平均數是，
∴其方差為：
∵，
故乙組更加穩定些．
23．【答案】（1）解：如圖，將點A，B，C分別向左平移4個單位長度，再向上平移3個單位長度得，，，順次連接三點得即為所求．
（2）解：如圖，線段繞點C逆時針方向旋轉，點A至格點，線段繞點C逆時針方向旋轉，點B至格點，順次連接，，C得即為所求．
【知識點】平移的性質；作圖﹣平移；作圖﹣旋轉
【解析】【分析】（1）將點A，B，C分別向左平移4個單位長度，再向上平移3個單位長度得，，，然后連接、、，即可
（2）根據旋轉的特點，固定C點不變，將A逆時針旋轉90度，保證等于90度，再根據A點的坐標，從而確定的坐標，將B點逆時針旋轉90度，保證等于90度，再根據B的坐標，從而確定的坐標，最后再連接、、，即可求解
24．【答案】【解答】證明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（對頂角相等），
∴∠2＝∠3（等量代換），
∴CE∥BF（同位角相等，兩直線平行），
∴∠C＝∠4（兩直線平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠D（已知），
∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行），
∴∠B＝∠4（兩直線平行，內錯角相等），
∴∠B＝∠C（等量代換）．
【知識點】平行線的判定與性質；對頂角及其性質
【解析】【分析】根據平行線的性質：兩直線平行，對頂角相等；兩條線平行，同位角相等；根據平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；對頂角相等，兩直線平行，據此即可求解。
25．【答案】（1）證明：∵是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：∵，，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
則，
∴平分．
【知識點】三角形的外角性質；內錯角的概念；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）根據平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等；又因為AG是 ，可得，據此即可證明
（2）根據三角形外角和定理：三角形的外角等于與其兩個不相鄰的內角之和以及結合（1），再根據已知條件 ，可得，據此即可證明
（1）證明：∵是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：∵，，
∴，又，
∴，
∵，
∴，則，
∴平分．
26．【答案】（1）解：設，，
則，
，
=5
（2）解：①，，
②，
陰影部分的面積．
設，，則，，
，
，
又，
，
．
即陰影部分的面積是28．
【知識點】完全平方公式的幾何背景；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【分析】（1）設，，根據已知題干中的運算方法，進行運算即可
（2）①由正方形邊長為，觀察圖形，可表示出與；②根據矩形的面積公式以及正方形的面積公式以及完全平方公式，代入數據，然后再進行化簡，即可求解
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