資源簡介

湖南省長沙市博才實驗中學2023-2024學年八年級下學期期末數學試題
1．（2024八下·長沙期末）下列各曲線中，表示是的函數的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·長沙期末）下列各組數中，不能作為直角三角形的三邊長的是（　　）
A．2，3，4 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17
3．（2024八下·長沙期末）下列說法正確的是（　　）
A．了解某班學生的身高情況，適宜采用抽樣調查
B．數據3，5，4，1，1的中位數是4
C．數據5，5，4，1，1的眾數是1和5
D．甲、乙兩人射中環數的方差分別為，，說明乙的射擊成績比甲穩定
4．（2024八下·長沙期末）一次函數的圖象不經過的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024八下·長沙期末）如圖，在四邊形中，，要使為平行四邊形，下列添加的條件不能是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·長沙期末）一元二次方程 配方后可化為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·長沙期末）如圖，在中，，分別以，為邊向外作正方形，面積分別為，，若，，則的長為（　　）
A．4 B．2 C． D．3
8．（2024八下·長沙期末）某種品牌運動服的每件零售價為元，經過兩次降價，降為元，若每次平均降價率為，則下列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·長沙期末）如圖，一次函數與一次函數的圖象交于點，則關于x 的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·長沙期末）如圖，在中，是的中點，作，垂足在線段上連接，則下列結論中一定成立的是（　　）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
11．（2024八下·長沙期末）將函數的圖象向下平移2個單位，得到的圖象的函數表達式是　 　．
12．（2024八下·長沙期末）如圖，矩形的對角線與相交于O，，，則的長是　 　．
13．（2024八下·長沙期末）小王參加某企業招聘測試，他的筆試、面試、技能操作得分分別為85分，80分，90分，若依次按照2：3：5的比例確定成績，則小王的成績　 　分.
14．（2024八下·長沙期末）已知、是一元二次方程的兩根，則的值是　 　．
15．（2024八下·長沙期末）如圖將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上F處，已知CE=3，AB=8，則BF=　 　．
16．（2024八下·長沙期末）如圖1，在中，動點P從A點運動到B點再到C點后停止，速度為2，其中長與運動時間（單位：）的關系如圖2，則的長為　 　．
17．（2024八下·長沙期末）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·長沙期末）如圖，已知直線的圖象經過點，，且與x軸交于點C．
（1）求直線的解析式；
（2）求的面積．
19．（2024八下·長沙期末）思思同學在平時的數學學習中喜歡鉆研和思考問題，他想要證明命題“被一條對角線平分一個內角的平行四邊形是菱形”是真命題，于是她先作了如圖所示的四邊形，并寫出了不完整的已知和求證．
已知：如圖，在平行四邊形中，連接，　　　平分．求證：四邊形是　　　．
（1）填空，補全已知和求證；
（2）按思思同學的想法完成證明過程．
20．（2024八下·長沙期末）為了解學生參加戶外活動的情況，某中學對學生每天參加戶外活動的時間進行抽樣調查，并將調查結果繪制成如圖兩幅不完整的統計圖，根據圖示，請回答下列問題：
（1）求被抽樣調查的學生有多少人？并補全條形統計圖；
（2）每天戶外活動時間的中位數是　　　，　　　；
（3）該校共有1850名學生，請估計該校每天戶外活動時間超過1小時的學生有多少人？
21．（2024八下·長沙期末）已知關于的一元二次方程有實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若方程的一個根是，求k的值以及方程的另一個根．
22．（2024八下·長沙期末）每年5月的第二個星期日為母親節，很多同學會買鮮花送給媽媽．在某花店，小敏買的3束百合和2束康乃馨共花了145元；小明買的2束百合和3 束康乃馨共花了130元．
（1）求每束百合和每束康乃馨的售價；
（2）某社團打算在該花店購買兩種花一共90束，且購買百合的數量不少于康乃馨數量的一半．請設計一種購買方案，使購買花束的總費用最少，并求總費用最少為多少元．
23．（2024八下·長沙期末）如圖，菱形的對角線相交于點O，過點D作，且，連接．
（1）求證：四邊形為矩形；
（2）連接，若，，求菱形的面積．
24．（2024八下·長沙期末）定義：形如（，，、為常數）的函數稱為正比例函數的“分移函數”，其中叫“分移值”．例如，函數的“分移函數”為其中“分移值”為1．
（1）已知點在的“分移函數”的圖象上，則的值為　　　；
（2）已知點，在函數的“分移函數”的圖象上，求的值；
（3）已知矩形頂點坐標為，，，．函數的“分移函數”的“分移值”為3，且其圖象與矩形有兩個交點，求的取值范圍．
25．（2024八下·長沙期末）如圖1，平面直角坐標系中，正方形的邊在軸上，點是的中點，直線過定點，交軸于點．
（1）求點的坐標；
（2）如圖2，當時， 過點C作，交于點F，在直線上是否存在點，使得是等腰直角三角形，若存在，請求出所有滿足條件的點P；若不存在，請說明理由．
（3）點N在直線上，且，連接，點M為的中點，連接．求線段的長度的最大值，并直接寫出此時點N的坐標．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】函數的圖象
【解析】【解答】解：、對每一個的值，有幾個值與之對應，不是的函數；
、對每一個的值，有幾個值與之對應，不是的函數；
、對給定的的值，有幾個值與之對應，不是的函數；
、對每一個的值，都有唯一確定的值與之對應，是的函數；
故答案為：．
【分析】根據函數的定義：設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱y是x的函數，x叫做自變量，據此即可判斷
2．【答案】A
【知識點】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能作為直角三角形的三邊長，符合題意；
B、，能作為直角三角形的三邊長，不符合題意；
C、，能作為直角三角形的三邊長，不符合題意；
D、，能作為直角三角形的三邊長，不符合題意；
故答案為：A
【分析】根據勾股定理逆定理逐項進行判斷即可求出答案.
3．【答案】C
【知識點】全面調查與抽樣調查；中位數；方差；眾數
【解析】【解答】解：A、了解某班學生的身高情況，適宜采用全面調查，故此選項不符合題意；
B、數據3，5，4，1，1的中位數是3，故此選項不符合題意；
C、數據5，3，5，4，1，1的眾數是1和5，正確，故此選項符合題意；
D、甲、乙兩人射中環數的方差分別為，，說明甲的射擊成績比乙穩定，故此選項不符合題意．
故答案為：C．
【分析】根據抽樣調查的定義：從總體中按一定方法抽取部分樣本進行調查，通過樣本結果推斷總體特征；
根據中位數的定義：中位數是指將一組數據按照大小排列后，處于中間位置的數值；
根據眾數的定義：眾數是指一組數據中出現次數最多的數值；
根據方差的意義：方差越大，說明數據波動越大，數據分布越廣；反之，方差越小，數據波動越小，分布越集中
據此即可判斷
4．【答案】B
【知識點】一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：∵一次函數中，，，
∴此函數的圖象經過第一、三、四象限，不經過第二象限，
故答案為：B．
【分析】根據一次函數圖形的性質：k>0，b<0時，圖像經過一三四，因為2>0，-4<0，所以函數圖象不經過第二象限，據此即可求解
5．【答案】C
【知識點】平行四邊形的判定
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意；
B．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意；
C．當，時，
四邊形可能為等腰梯形，
所以不能證明四邊形為平行四邊形，故此選項符合題意；
D．∵，，
∴四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意．
故選：C．
【分析】
A、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即平行四邊形的概念，故結論正確；
B、由兩直線平行同旁內角互補結合等量代換可得另一組邊分別平行，回歸到概念，故結論正確；
C、四邊形可能是平行四邊形也可能是梯形，故結論錯誤；
D、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，是平行四邊形判定定理之一，故結論正確．
6．【答案】B
【知識點】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】y2﹣y﹣ =0，
y2﹣y= ，
y2﹣y+ =1，
（y﹣ ）2=1，
故答案為：B.
【分析】由配方法的步驟“把常數項移到等號的右邊，在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，左邊配成完全平方式”即可求解。
7．【答案】B
【知識點】勾股定理
【解析】【解答】解：分別以，為邊向外作正方形，面積分別為，，
，．
，，
，．
，
．
故答案為：B
【分析】根據正方形的面積公式以及各個面積的值，求出其邊長，然后再根據直角三角勾股定理公式，代入數據求出BC即可
8．【答案】D
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；列一元二次方程
【解析】【解答】解：設每次平均降價率為x，依題意得：
，
故答案為：D．
【分析】設每次平均降價率為x，根據“每件零售價為560元，經過兩次降價，降為315元，每次平均降價率為x”，可知，第一次降價為，第二次降價為：，第二降價后的價格為315，據此建立方程：，即可求解
9．【答案】C
【知識點】一次函數與不等式（組）的關系；兩一次函數圖象相交或平行問題
【解析】【解答】解：∵一次函數與一次函數的圖象交于點，
∴根據圖象得，當時，，
∴關于x的不等式的解集為：，
故答案為：C．
【分析】由函數圖象，直接得出的圖象在的圖象上方所對應的自變量的范圍，即可求出關于x的不等式的解集.
10．【答案】C
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定；等腰三角形的性質；平行四邊形的性質；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中點，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴；故①正確；
②延長EF，交CD延長線于M，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F為AD中點，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∴EF=CF，故②正確；
③∵EF=FM，
∴，
∵MC＞BE，
∴＜，故③錯誤；
④設∠FEC=x，
∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=，
∴∠EFC=，
∴
∵，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正確．
綜上可知：一定成立的是①②④，
故答案為：C．
【分析】AD=2AB，F是AD的中點，易得AF=FD=CD，繼而證得∠DCF=；延長EF，交CD延長線于M，分別利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質得出△AEF≌△DMF（ASA），可得EF=MF，再證明；由EF=FM，可得，結合MC＞BE，＜；設∠FEC=x，則∠FCE=x，再分別表示：
11．【答案】y=-3x+1
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；平移的性質
【解析】【解答】解：由“上加下減”的原則可知，把一次函數
的圖象向下平移2個單位后所得直線的解析式為：
，即y=-3x+1．
故答案為：y=-3x+1．
【分析】利用函數解析式平移的原則：“上加下減，左加右減”求解即可。
12．【答案】6
【知識點】等腰三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形；矩形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴．
故答案為：6．
【分析】
根據矩形的性質：對角線相等且互相平分，則是等腰三角形，已知，即可求出，由，可求出．
13．【答案】86
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【解答】解：根據題意得：
85× +80× +90× =17+24+45=86（分），
答：小王的成績是86分.
故答案為86.
【分析】根據加權平均數的公式計算即可求解.
14．【答案】-2
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：由題意，得：，
∴
=-3-（-1）
=-2；
故答案為：-2．
【分析】根據根與系數的關系，求出的值，然后再將代入 ，即可求解
15．【答案】6
【知識點】勾股定理
【解析】【解答】解：由折疊的性質知：AD=AF，DE=EF=8﹣3=5；
在Rt△CEF中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：CF=4，
若設AD=AF=x，則BC=x，BF=x﹣4；
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，
故BF=x﹣4=6．
故答案為：6．
【分析】根據折疊的性質確定AD和AF的關系，然后再計算DE和EF的長，利用勾股定理，求出CF的長，設AD和AF的長度為x，然后計算BC的長度，最后再利用勾股定理求解x的值，從而得到BF的值
16．【答案】17
【知識點】勾股定理；動點問題的函數圖象
【解析】【解答】解：由圖象可知：t=0時，點P與點A重合，
所以AB=15，
點P從點A運動到點B所需的時間為：；
點P從點B運動到點C的時間為：11.5-7.5=4（s），
；
在中，由勾股定理可得：
=17；
故答案為：17．
【分析】因為點P從A點出發，從圖2可以看出，t=0時，AB的長為15；根據點P的運動速度為2單位/s，所以用AB的長除以運動速度，求出P點運動到點B所需的時間；觀察圖2，可知，點P從A點運動到點C的時間為11.5s，用總時間減去點P從點A運動到點B的時間，求出點P從B點運動到點C的時間；然后再根據速度乘以時間，求出BC的長；最后在Rt三角形ABC中，利用勾股定理，求出AC的長
17．【答案】（1）解：
，
，
∴，；
（2）解：，
或，
∴，．
【知識點】直接開平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）將方程的常數項6移到右邊，然后再左右同時進行開方，即可求解
（2）利用因式分解方法，分別令x-2=0或x-4=0，然后解方程即可
（1）解：
，
，
∴，；
（2），
或，
∴，．
18．【答案】（1）解：把點，分別代入直線的解析式，
得，，
解得，.
∴直線的解析式是.
（2）解：在直線中，
令，得.
∴點C的坐標為.
∴.
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；三角形的面積
【解析】【分析】（1）將點A和B的坐標代入，利用待定系數法，即可求解
（2）根據（1）中求出的解析式，然后令y=0，求出C點的坐標，然后再根據三角形的面積公式：，代入數據即可求解
19．【答案】（1），菱形
（2）解：∵平行四邊形，∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
【知識點】平行四邊形的性質；菱形的判定
【解析】【解答】（1）解：補全已知和求證如下：
已知：如圖，在平行四邊形中，連接，平分．求證：四邊形是菱形；
故答案為：，菱形；
【分析】（1）根據已知條件，要證明三角形ABD和三角形DBC全等，需要添加一個角相等，據此，可根據平行四邊形對角線的性質，添加條件和求證即可
（2）因為ABCD是平行四邊形，所以，AD//BC，AB//CD，利用平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等，然后再利用BD=BD，證明三角形ABD和三角形DBC全等，進而得出平行四邊形的一組鄰邊相等，最后再根據菱形的判定定理：一組對邊相等的平行四邊形是菱形，即可證明
（1）解：補全已知和求證如下：
已知：如圖，在平行四邊形中，連接，平分．求證：四邊形是菱形；
故答案為：，菱形；
（2）∵平行四邊形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
20．【答案】（1）解：由條形統計圖和扇形統計圖可得：0.5小時的有100人，占被調查總人數的，
∴被調查的人數有：人，
1.5小時的人數有：人，
即被調查的學生有500人，
補全的條形統計圖如圖所示：
（2）500；40
（3）解：根據題意，可得
=
=
=740（人）
答：該校每天戶外活動時間超過1個小時的學生有740人．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；中位數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（2）根據題意得：被調查學生500人，
再由條形統計圖得：中位數是1小時，
，
即；
【分析】（1）觀察條狀圖，可知，0.5小時的人數有100人，而0.5小時的占20%，用100除以20%，即可求出被調查的人數；
然后再用調查的總人數減去0.5小時、1小時、2小時的學生人數，即可求出1.5小時的學生人數，最后再將以上數據在條狀圖中補充完整即可
（2）根據（1）得出的本次調查的學生總人數，再利用條狀圖中各個時間段的學生人數，可知中位數位于第250和第251，剛好是1小時，據此即可確定中位數；根據條形圖中1小時的學生人數，用1小時的學生人數除以被調查的學生人數，再乘以100%，即可求出m的值
（3）根據條形圖中超過1小時的學生人數，即1.5小時和2小時的學生人數，將這兩個時間段的學生人數相加，然后再除以被調查的人數，最后再乘以該校的學生總人數，即可求解
（1）解：由條形統計圖和扇形統計圖可得：
0.5小時的有100人，占被調查總人數的，
∴被調查的人數有：人，
1.5小時的人數有：人，
即被調查的學生有500人，
補全的條形統計圖如圖所示：
（2）解：根據題意得：被調查學生500人，
再由條形統計圖得：中位數是1小時，
，
即；
故答案為：1小時；40
（3）解： 人，
即該校每天戶外活動時間超過1個小時的學生有740人．
21．【答案】（1）解：關于的一元二次方程有實數根，
，
，
，
的取值范圍。
（2）解：根據題意，可得
把代入
得，
解得：，
方程的兩根為：，，
綜上所述，，另一個根為5．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【分析】（1）因為一元二次方程有實數根，則包含有兩個相等的實數根和兩個不相等的實數根，令，然后再進行求解即可
（2）把代入方程得出的值，然后再把k代回原方程，然后解方程即可
（1）解：關于的一元二次方程有實數根，
，
，
，
的取值范圍；
（2）把代入得，
解得：，
方程的兩根為，，
綜上所述，，另一個根為5．
22．【答案】（1）解：設每束百合m元，每束康乃馨n元，
根據題意，得，
解得，
答：每束百合35元，每束康乃馨20元
（2）解：設購進百合x束，總費用為w元，則購進康乃馨束，
∵購進百合的數量不少于康乃馨數量的一半，
∴，
解得，
根據題意，得，
∵，
∴w隨x的增大而增大．
∴ 當時，w取最小值，(元)，
∴．
答：購進百合30束，康乃馨60束時，購進花束的總費用最少，最少費用為2250元．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設每束百合m元，每束康乃馨n元，根據“3束百合和2束康乃馨共花了145元”和“2束百合和3 束康乃馨共花了130元”，分別可列方程：3m+2n=145和2m+3n=130，最后解方程組即可
（2）設購進百合x束，總費用為w元，則購進康乃馨束，根據“購進百合的數量不少于康乃馨數量的一半”，建立不等式：，然后再根據（1）中百合和康乃馨的單價，求出W關于x的一次函數：，然后再根據一次函數的圖象的性質，即可求解
（1）解：設每束百合m元，每束康乃馨n元，
根據題意，得，
解得，
答：每束百合35元，每束康乃馨20元；
（2）解：設購進百合x束，總費用為w元，則購進康乃馨束，
∵購進百合的數量不少于康乃馨數量的一半，
∴，
解得，
根據題意，得，
∵，
∴w隨x的增大而增大．
∴ 當時，w取最小值，(元)，
∴．
答：購進百合30束，康乃馨60束時，購進花束的總費用最少，最少費用為2250元．
23．【答案】（1）證明：∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形。
（2）解：由（1）可知，，
，
，
菱形的面積．
答： 求菱形的面積為12
【知識點】勾股定理；菱形的性質；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根據菱形的性質，可得，，，因為，而，進而得出OC=DE，然后再結合，可知，據此即可證明
（2）由（1）可知，，在直角三角形AEC中，根據勾股定理，求出AC的長，然后再利用菱形的面積公式，代入數據即可求解
（1）證明：∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形；
（2）由（1）可知，，，
，
菱形的面積．
24．【答案】（1）4
（2）解：根據題意，設函數的“分移函數”為，
將點代入，
得①，
將點代入，
得②，
得，
∴；
（3）解：∵函數的“分移函數”的“分移值”為3，
∴，
當時，函數圖象與矩形沒有交點，
當時，當函數圖象經過點B時，此時函數圖象與矩形有一個交點，
將點代入，
得，
解得，
當函數圖象經過點D時，此時函數圖象與矩形有三個交點，
將點代入，
得，
解得，
∴當函數圖象與矩形有兩個交點時，k的取值范圍是．
【知識點】分段函數；待定系數法求一次函數解析式；一次函數的性質
【解析】【解答】（1）解：將點代入，
得，
解得，
故答案為：4
【分析】（1）將點代入，即可求解
（2）設函數的“分移函數”為，然后將點代入函數，可得關于和的二元一次方程組：，然后對該方程組進行求解即可；
（3）根據“函數 的“分移函數”的“分移值”為3”，根據x的取值，設函數為：，分別從當K>0和K<0兩個方面確定圖象與矩形ABCD有兩個交點時的取值范圍
（1）解：將點代入，
得，
解得，
故答案為：4；
（2）根據題意，設函數的“分移函數”為，
將點代入，
得①，
將點代入，
得②，
得，
∴；
（3）解：∵函數的“分移函數”的“分移值”為3，
∴，
當時，函數圖象與矩形沒有交點，
當時，當函數圖象經過點B時，此時函數圖象與矩形有一個交點，
將點代入，
得，
解得，
當函數圖象經過點D時，此時函數圖象與矩形有三個交點，
將點代入，
得，
解得，
∴當函數圖象與矩形有兩個交點時，k的取值范圍是．
25．【答案】（1）解：∵
∴當時，，
∴直線過定點，
∴；
（2）解：存在：當時，直線為：，
當時，，
∴，
∵正方形的邊在軸上，點是的中點，，
∴，，
∴，
過點作，則：，，
∵過點C作，交于點F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∵點在直線上，且是等腰直角三角形，
∴當點與點重合時，滿足題意，
此時：；
當點在點上方時，則：時，滿足題意，
即點為的中點，
∴，
綜上：或；
（3）解：取點，連接，則：，
∴為的中點，，
∵點M為的中點，
∴，
∵，
∴當三點共線時，即在的延長線上時，有最大值為的長，此時的值最大，如圖：
∵，
∴的最大值為，
∴的最大值為：；
過點作軸，則：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知識點】等腰三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質；三角形的中位線定理；一次函數中的線段周長問題
【解析】【分析】（1）先對直線方程進行變形：，然后再根據直線方程的特征，發現，當x=2時，方程經過定點（2，4），據此即可求解
（2）先將K的值代入直線方程中，求出方程的解析式，然后再求出點的坐標，進而求出正方形的邊長，過點作，通過證明，進而推出三角形CEF為等腰直角三角形，然后再分別從兩個方面：得到當點與點重合，再根據對稱性求出點在點上方時，點的坐標即可；
（3）先根據題意，取點，然后再連接，根據“ ”和“點M為 的中點”，易得為的中點，得到，進而即可得到最大時，最大，最后再根據，即三點共線時，有最大值為的長，據此即可求解
（1）解：∵，
∴當時，，
∴直線過定點，
∴；
（2）存在：
當時，直線為：，
當時，，
∴，
∵正方形的邊在軸上，點是的中點，，
∴，，
∴，
過點作，則：，，
∵過點C作，交于點F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∵點在直線上，且是等腰直角三角形，
∴當點與點重合時，滿足題意，
此時：；
當點在點上方時，則：時，滿足題意，
即點為的中點，
∴，
綜上：或；
（3）取點，連接，
則：，
∴為的中點，，
∵點M為的中點，
∴，
∵，
∴當三點共線時，即在的延長線上時，有最大值為的長，此時的值最大，如圖：
∵，
∴的最大值為，
∴的最大值為：；
過點作軸，則：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1湖南省長沙市博才實驗中學2023-2024學年八年級下學期期末數學試題
1．（2024八下·長沙期末）下列各曲線中，表示是的函數的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】函數的圖象
【解析】【解答】解：、對每一個的值，有幾個值與之對應，不是的函數；
、對每一個的值，有幾個值與之對應，不是的函數；
、對給定的的值，有幾個值與之對應，不是的函數；
、對每一個的值，都有唯一確定的值與之對應，是的函數；
故答案為：．
【分析】根據函數的定義：設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱y是x的函數，x叫做自變量，據此即可判斷
2．（2024八下·長沙期末）下列各組數中，不能作為直角三角形的三邊長的是（　　）
A．2，3，4 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17
【答案】A
【知識點】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能作為直角三角形的三邊長，符合題意；
B、，能作為直角三角形的三邊長，不符合題意；
C、，能作為直角三角形的三邊長，不符合題意；
D、，能作為直角三角形的三邊長，不符合題意；
故答案為：A
【分析】根據勾股定理逆定理逐項進行判斷即可求出答案.
3．（2024八下·長沙期末）下列說法正確的是（　　）
A．了解某班學生的身高情況，適宜采用抽樣調查
B．數據3，5，4，1，1的中位數是4
C．數據5，5，4，1，1的眾數是1和5
D．甲、乙兩人射中環數的方差分別為，，說明乙的射擊成績比甲穩定
【答案】C
【知識點】全面調查與抽樣調查；中位數；方差；眾數
【解析】【解答】解：A、了解某班學生的身高情況，適宜采用全面調查，故此選項不符合題意；
B、數據3，5，4，1，1的中位數是3，故此選項不符合題意；
C、數據5，3，5，4，1，1的眾數是1和5，正確，故此選項符合題意；
D、甲、乙兩人射中環數的方差分別為，，說明甲的射擊成績比乙穩定，故此選項不符合題意．
故答案為：C．
【分析】根據抽樣調查的定義：從總體中按一定方法抽取部分樣本進行調查，通過樣本結果推斷總體特征；
根據中位數的定義：中位數是指將一組數據按照大小排列后，處于中間位置的數值；
根據眾數的定義：眾數是指一組數據中出現次數最多的數值；
根據方差的意義：方差越大，說明數據波動越大，數據分布越廣；反之，方差越小，數據波動越小，分布越集中
據此即可判斷
4．（2024八下·長沙期末）一次函數的圖象不經過的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知識點】一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：∵一次函數中，，，
∴此函數的圖象經過第一、三、四象限，不經過第二象限，
故答案為：B．
【分析】根據一次函數圖形的性質：k>0，b<0時，圖像經過一三四，因為2>0，-4<0，所以函數圖象不經過第二象限，據此即可求解
5．（2024八下·長沙期末）如圖，在四邊形中，，要使為平行四邊形，下列添加的條件不能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】平行四邊形的判定
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意；
B．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意；
C．當，時，
四邊形可能為等腰梯形，
所以不能證明四邊形為平行四邊形，故此選項符合題意；
D．∵，，
∴四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意．
故選：C．
【分析】
A、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即平行四邊形的概念，故結論正確；
B、由兩直線平行同旁內角互補結合等量代換可得另一組邊分別平行，回歸到概念，故結論正確；
C、四邊形可能是平行四邊形也可能是梯形，故結論錯誤；
D、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，是平行四邊形判定定理之一，故結論正確．
6．（2024八下·長沙期末）一元二次方程 配方后可化為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】y2﹣y﹣ =0，
y2﹣y= ，
y2﹣y+ =1，
（y﹣ ）2=1，
故答案為：B.
【分析】由配方法的步驟“把常數項移到等號的右邊，在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，左邊配成完全平方式”即可求解。
7．（2024八下·長沙期末）如圖，在中，，分別以，為邊向外作正方形，面積分別為，，若，，則的長為（　　）
A．4 B．2 C． D．3
【答案】B
【知識點】勾股定理
【解析】【解答】解：分別以，為邊向外作正方形，面積分別為，，
，．
，，
，．
，
．
故答案為：B
【分析】根據正方形的面積公式以及各個面積的值，求出其邊長，然后再根據直角三角勾股定理公式，代入數據求出BC即可
8．（2024八下·長沙期末）某種品牌運動服的每件零售價為元，經過兩次降價，降為元，若每次平均降價率為，則下列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；列一元二次方程
【解析】【解答】解：設每次平均降價率為x，依題意得：
，
故答案為：D．
【分析】設每次平均降價率為x，根據“每件零售價為560元，經過兩次降價，降為315元，每次平均降價率為x”，可知，第一次降價為，第二次降價為：，第二降價后的價格為315，據此建立方程：，即可求解
9．（2024八下·長沙期末）如圖，一次函數與一次函數的圖象交于點，則關于x 的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】一次函數與不等式（組）的關系；兩一次函數圖象相交或平行問題
【解析】【解答】解：∵一次函數與一次函數的圖象交于點，
∴根據圖象得，當時，，
∴關于x的不等式的解集為：，
故答案為：C．
【分析】由函數圖象，直接得出的圖象在的圖象上方所對應的自變量的范圍，即可求出關于x的不等式的解集.
10．（2024八下·長沙期末）如圖，在中，是的中點，作，垂足在線段上連接，則下列結論中一定成立的是（　　）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定；等腰三角形的性質；平行四邊形的性質；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中點，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴；故①正確；
②延長EF，交CD延長線于M，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F為AD中點，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∴EF=CF，故②正確；
③∵EF=FM，
∴，
∵MC＞BE，
∴＜，故③錯誤；
④設∠FEC=x，
∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=，
∴∠EFC=，
∴
∵，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正確．
綜上可知：一定成立的是①②④，
故答案為：C．
【分析】AD=2AB，F是AD的中點，易得AF=FD=CD，繼而證得∠DCF=；延長EF，交CD延長線于M，分別利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質得出△AEF≌△DMF（ASA），可得EF=MF，再證明；由EF=FM，可得，結合MC＞BE，＜；設∠FEC=x，則∠FCE=x，再分別表示：
11．（2024八下·長沙期末）將函數的圖象向下平移2個單位，得到的圖象的函數表達式是　 　．
【答案】y=-3x+1
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；平移的性質
【解析】【解答】解：由“上加下減”的原則可知，把一次函數
的圖象向下平移2個單位后所得直線的解析式為：
，即y=-3x+1．
故答案為：y=-3x+1．
【分析】利用函數解析式平移的原則：“上加下減，左加右減”求解即可。
12．（2024八下·長沙期末）如圖，矩形的對角線與相交于O，，，則的長是　 　．
【答案】6
【知識點】等腰三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形；矩形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴．
故答案為：6．
【分析】
根據矩形的性質：對角線相等且互相平分，則是等腰三角形，已知，即可求出，由，可求出．
13．（2024八下·長沙期末）小王參加某企業招聘測試，他的筆試、面試、技能操作得分分別為85分，80分，90分，若依次按照2：3：5的比例確定成績，則小王的成績　 　分.
【答案】86
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【解答】解：根據題意得：
85× +80× +90× =17+24+45=86（分），
答：小王的成績是86分.
故答案為86.
【分析】根據加權平均數的公式計算即可求解.
14．（2024八下·長沙期末）已知、是一元二次方程的兩根，則的值是　 　．
【答案】-2
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：由題意，得：，
∴
=-3-（-1）
=-2；
故答案為：-2．
【分析】根據根與系數的關系，求出的值，然后再將代入 ，即可求解
15．（2024八下·長沙期末）如圖將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上F處，已知CE=3，AB=8，則BF=　 　．
【答案】6
【知識點】勾股定理
【解析】【解答】解：由折疊的性質知：AD=AF，DE=EF=8﹣3=5；
在Rt△CEF中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：CF=4，
若設AD=AF=x，則BC=x，BF=x﹣4；
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，
故BF=x﹣4=6．
故答案為：6．
【分析】根據折疊的性質確定AD和AF的關系，然后再計算DE和EF的長，利用勾股定理，求出CF的長，設AD和AF的長度為x，然后計算BC的長度，最后再利用勾股定理求解x的值，從而得到BF的值
16．（2024八下·長沙期末）如圖1，在中，動點P從A點運動到B點再到C點后停止，速度為2，其中長與運動時間（單位：）的關系如圖2，則的長為　 　．
【答案】17
【知識點】勾股定理；動點問題的函數圖象
【解析】【解答】解：由圖象可知：t=0時，點P與點A重合，
所以AB=15，
點P從點A運動到點B所需的時間為：；
點P從點B運動到點C的時間為：11.5-7.5=4（s），
；
在中，由勾股定理可得：
=17；
故答案為：17．
【分析】因為點P從A點出發，從圖2可以看出，t=0時，AB的長為15；根據點P的運動速度為2單位/s，所以用AB的長除以運動速度，求出P點運動到點B所需的時間；觀察圖2，可知，點P從A點運動到點C的時間為11.5s，用總時間減去點P從點A運動到點B的時間，求出點P從B點運動到點C的時間；然后再根據速度乘以時間，求出BC的長；最后在Rt三角形ABC中，利用勾股定理，求出AC的長
17．（2024八下·長沙期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，
，
∴，；
（2）解：，
或，
∴，．
【知識點】直接開平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）將方程的常數項6移到右邊，然后再左右同時進行開方，即可求解
（2）利用因式分解方法，分別令x-2=0或x-4=0，然后解方程即可
（1）解：
，
，
∴，；
（2），
或，
∴，．
18．（2024八下·長沙期末）如圖，已知直線的圖象經過點，，且與x軸交于點C．
（1）求直線的解析式；
（2）求的面積．
【答案】（1）解：把點，分別代入直線的解析式，
得，，
解得，.
∴直線的解析式是.
（2）解：在直線中，
令，得.
∴點C的坐標為.
∴.
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；三角形的面積
【解析】【分析】（1）將點A和B的坐標代入，利用待定系數法，即可求解
（2）根據（1）中求出的解析式，然后令y=0，求出C點的坐標，然后再根據三角形的面積公式：，代入數據即可求解
19．（2024八下·長沙期末）思思同學在平時的數學學習中喜歡鉆研和思考問題，他想要證明命題“被一條對角線平分一個內角的平行四邊形是菱形”是真命題，于是她先作了如圖所示的四邊形，并寫出了不完整的已知和求證．
已知：如圖，在平行四邊形中，連接，　　　平分．求證：四邊形是　　　．
（1）填空，補全已知和求證；
（2）按思思同學的想法完成證明過程．
【答案】（1），菱形
（2）解：∵平行四邊形，∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
【知識點】平行四邊形的性質；菱形的判定
【解析】【解答】（1）解：補全已知和求證如下：
已知：如圖，在平行四邊形中，連接，平分．求證：四邊形是菱形；
故答案為：，菱形；
【分析】（1）根據已知條件，要證明三角形ABD和三角形DBC全等，需要添加一個角相等，據此，可根據平行四邊形對角線的性質，添加條件和求證即可
（2）因為ABCD是平行四邊形，所以，AD//BC，AB//CD，利用平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等，然后再利用BD=BD，證明三角形ABD和三角形DBC全等，進而得出平行四邊形的一組鄰邊相等，最后再根據菱形的判定定理：一組對邊相等的平行四邊形是菱形，即可證明
（1）解：補全已知和求證如下：
已知：如圖，在平行四邊形中，連接，平分．求證：四邊形是菱形；
故答案為：，菱形；
（2）∵平行四邊形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
20．（2024八下·長沙期末）為了解學生參加戶外活動的情況，某中學對學生每天參加戶外活動的時間進行抽樣調查，并將調查結果繪制成如圖兩幅不完整的統計圖，根據圖示，請回答下列問題：
（1）求被抽樣調查的學生有多少人？并補全條形統計圖；
（2）每天戶外活動時間的中位數是　　　，　　　；
（3）該校共有1850名學生，請估計該校每天戶外活動時間超過1小時的學生有多少人？
【答案】（1）解：由條形統計圖和扇形統計圖可得：0.5小時的有100人，占被調查總人數的，
∴被調查的人數有：人，
1.5小時的人數有：人，
即被調查的學生有500人，
補全的條形統計圖如圖所示：
（2）500；40
（3）解：根據題意，可得
=
=
=740（人）
答：該校每天戶外活動時間超過1個小時的學生有740人．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；中位數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（2）根據題意得：被調查學生500人，
再由條形統計圖得：中位數是1小時，
，
即；
【分析】（1）觀察條狀圖，可知，0.5小時的人數有100人，而0.5小時的占20%，用100除以20%，即可求出被調查的人數；
然后再用調查的總人數減去0.5小時、1小時、2小時的學生人數，即可求出1.5小時的學生人數，最后再將以上數據在條狀圖中補充完整即可
（2）根據（1）得出的本次調查的學生總人數，再利用條狀圖中各個時間段的學生人數，可知中位數位于第250和第251，剛好是1小時，據此即可確定中位數；根據條形圖中1小時的學生人數，用1小時的學生人數除以被調查的學生人數，再乘以100%，即可求出m的值
（3）根據條形圖中超過1小時的學生人數，即1.5小時和2小時的學生人數，將這兩個時間段的學生人數相加，然后再除以被調查的人數，最后再乘以該校的學生總人數，即可求解
（1）解：由條形統計圖和扇形統計圖可得：
0.5小時的有100人，占被調查總人數的，
∴被調查的人數有：人，
1.5小時的人數有：人，
即被調查的學生有500人，
補全的條形統計圖如圖所示：
（2）解：根據題意得：被調查學生500人，
再由條形統計圖得：中位數是1小時，
，
即；
故答案為：1小時；40
（3）解： 人，
即該校每天戶外活動時間超過1個小時的學生有740人．
21．（2024八下·長沙期末）已知關于的一元二次方程有實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若方程的一個根是，求k的值以及方程的另一個根．
【答案】（1）解：關于的一元二次方程有實數根，
，
，
，
的取值范圍。
（2）解：根據題意，可得
把代入
得，
解得：，
方程的兩根為：，，
綜上所述，，另一個根為5．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【分析】（1）因為一元二次方程有實數根，則包含有兩個相等的實數根和兩個不相等的實數根，令，然后再進行求解即可
（2）把代入方程得出的值，然后再把k代回原方程，然后解方程即可
（1）解：關于的一元二次方程有實數根，
，
，
，
的取值范圍；
（2）把代入得，
解得：，
方程的兩根為，，
綜上所述，，另一個根為5．
22．（2024八下·長沙期末）每年5月的第二個星期日為母親節，很多同學會買鮮花送給媽媽．在某花店，小敏買的3束百合和2束康乃馨共花了145元；小明買的2束百合和3 束康乃馨共花了130元．
（1）求每束百合和每束康乃馨的售價；
（2）某社團打算在該花店購買兩種花一共90束，且購買百合的數量不少于康乃馨數量的一半．請設計一種購買方案，使購買花束的總費用最少，并求總費用最少為多少元．
【答案】（1）解：設每束百合m元，每束康乃馨n元，
根據題意，得，
解得，
答：每束百合35元，每束康乃馨20元
（2）解：設購進百合x束，總費用為w元，則購進康乃馨束，
∵購進百合的數量不少于康乃馨數量的一半，
∴，
解得，
根據題意，得，
∵，
∴w隨x的增大而增大．
∴ 當時，w取最小值，(元)，
∴．
答：購進百合30束，康乃馨60束時，購進花束的總費用最少，最少費用為2250元．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設每束百合m元，每束康乃馨n元，根據“3束百合和2束康乃馨共花了145元”和“2束百合和3 束康乃馨共花了130元”，分別可列方程：3m+2n=145和2m+3n=130，最后解方程組即可
（2）設購進百合x束，總費用為w元，則購進康乃馨束，根據“購進百合的數量不少于康乃馨數量的一半”，建立不等式：，然后再根據（1）中百合和康乃馨的單價，求出W關于x的一次函數：，然后再根據一次函數的圖象的性質，即可求解
（1）解：設每束百合m元，每束康乃馨n元，
根據題意，得，
解得，
答：每束百合35元，每束康乃馨20元；
（2）解：設購進百合x束，總費用為w元，則購進康乃馨束，
∵購進百合的數量不少于康乃馨數量的一半，
∴，
解得，
根據題意，得，
∵，
∴w隨x的增大而增大．
∴ 當時，w取最小值，(元)，
∴．
答：購進百合30束，康乃馨60束時，購進花束的總費用最少，最少費用為2250元．
23．（2024八下·長沙期末）如圖，菱形的對角線相交于點O，過點D作，且，連接．
（1）求證：四邊形為矩形；
（2）連接，若，，求菱形的面積．
【答案】（1）證明：∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形。
（2）解：由（1）可知，，
，
，
菱形的面積．
答： 求菱形的面積為12
【知識點】勾股定理；菱形的性質；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根據菱形的性質，可得，，，因為，而，進而得出OC=DE，然后再結合，可知，據此即可證明
（2）由（1）可知，，在直角三角形AEC中，根據勾股定理，求出AC的長，然后再利用菱形的面積公式，代入數據即可求解
（1）證明：∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形；
（2）由（1）可知，，，
，
菱形的面積．
24．（2024八下·長沙期末）定義：形如（，，、為常數）的函數稱為正比例函數的“分移函數”，其中叫“分移值”．例如，函數的“分移函數”為其中“分移值”為1．
（1）已知點在的“分移函數”的圖象上，則的值為　　　；
（2）已知點，在函數的“分移函數”的圖象上，求的值；
（3）已知矩形頂點坐標為，，，．函數的“分移函數”的“分移值”為3，且其圖象與矩形有兩個交點，求的取值范圍．
【答案】（1）4
（2）解：根據題意，設函數的“分移函數”為，
將點代入，
得①，
將點代入，
得②，
得，
∴；
（3）解：∵函數的“分移函數”的“分移值”為3，
∴，
當時，函數圖象與矩形沒有交點，
當時，當函數圖象經過點B時，此時函數圖象與矩形有一個交點，
將點代入，
得，
解得，
當函數圖象經過點D時，此時函數圖象與矩形有三個交點，
將點代入，
得，
解得，
∴當函數圖象與矩形有兩個交點時，k的取值范圍是．
【知識點】分段函數；待定系數法求一次函數解析式；一次函數的性質
【解析】【解答】（1）解：將點代入，
得，
解得，
故答案為：4
【分析】（1）將點代入，即可求解
（2）設函數的“分移函數”為，然后將點代入函數，可得關于和的二元一次方程組：，然后對該方程組進行求解即可；
（3）根據“函數 的“分移函數”的“分移值”為3”，根據x的取值，設函數為：，分別從當K>0和K<0兩個方面確定圖象與矩形ABCD有兩個交點時的取值范圍
（1）解：將點代入，
得，
解得，
故答案為：4；
（2）根據題意，設函數的“分移函數”為，
將點代入，
得①，
將點代入，
得②，
得，
∴；
（3）解：∵函數的“分移函數”的“分移值”為3，
∴，
當時，函數圖象與矩形沒有交點，
當時，當函數圖象經過點B時，此時函數圖象與矩形有一個交點，
將點代入，
得，
解得，
當函數圖象經過點D時，此時函數圖象與矩形有三個交點，
將點代入，
得，
解得，
∴當函數圖象與矩形有兩個交點時，k的取值范圍是．
25．（2024八下·長沙期末）如圖1，平面直角坐標系中，正方形的邊在軸上，點是的中點，直線過定點，交軸于點．
（1）求點的坐標；
（2）如圖2，當時， 過點C作，交于點F，在直線上是否存在點，使得是等腰直角三角形，若存在，請求出所有滿足條件的點P；若不存在，請說明理由．
（3）點N在直線上，且，連接，點M為的中點，連接．求線段的長度的最大值，并直接寫出此時點N的坐標．
【答案】（1）解：∵
∴當時，，
∴直線過定點，
∴；
（2）解：存在：當時，直線為：，
當時，，
∴，
∵正方形的邊在軸上，點是的中點，，
∴，，
∴，
過點作，則：，，
∵過點C作，交于點F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∵點在直線上，且是等腰直角三角形，
∴當點與點重合時，滿足題意，
此時：；
當點在點上方時，則：時，滿足題意，
即點為的中點，
∴，
綜上：或；
（3）解：取點，連接，則：，
∴為的中點，，
∵點M為的中點，
∴，
∵，
∴當三點共線時，即在的延長線上時，有最大值為的長，此時的值最大，如圖：
∵，
∴的最大值為，
∴的最大值為：；
過點作軸，則：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知識點】等腰三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質；三角形的中位線定理；一次函數中的線段周長問題
【解析】【分析】（1）先對直線方程進行變形：，然后再根據直線方程的特征，發現，當x=2時，方程經過定點（2，4），據此即可求解
（2）先將K的值代入直線方程中，求出方程的解析式，然后再求出點的坐標，進而求出正方形的邊長，過點作，通過證明，進而推出三角形CEF為等腰直角三角形，然后再分別從兩個方面：得到當點與點重合，再根據對稱性求出點在點上方時，點的坐標即可；
（3）先根據題意，取點，然后再連接，根據“ ”和“點M為 的中點”，易得為的中點，得到，進而即可得到最大時，最大，最后再根據，即三點共線時，有最大值為的長，據此即可求解
（1）解：∵，
∴當時，，
∴直線過定點，
∴；
（2）存在：
當時，直線為：，
當時，，
∴，
∵正方形的邊在軸上，點是的中點，，
∴，，
∴，
過點作，則：，，
∵過點C作，交于點F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∵點在直線上，且是等腰直角三角形，
∴當點與點重合時，滿足題意，
此時：；
當點在點上方時，則：時，滿足題意，
即點為的中點，
∴，
綜上：或；
（3）取點，連接，
則：，
∴為的中點，，
∵點M為的中點，
∴，
∵，
∴當三點共線時，即在的延長線上時，有最大值為的長，此時的值最大，如圖：
∵，
∴的最大值為，
∴的最大值為：；
過點作軸，則：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
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