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湖南省衡陽市衡南縣2023-2024學年七年級下學期期末數學試題
1．（2024七下·衡南期末）下面是小紅所寫的式子，其中，是一元一次方程的有（　　）
①5x﹣2；②3+5=﹣1+9；③5﹣ x=2x﹣8；④x=0；⑤x+2y=9．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（2024七下·衡南期末）如圖圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·衡南期末）下列圖形中，不能用同一種作平面鑲嵌的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形
4．（2024七下·衡南期末）下列判斷不正確的是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
5．（2024七下·衡南期末）不等式的正整數解有（　　）個
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
6．（2024七下·衡南期末）已知三角形的兩邊長分別是和，則此三角形第三邊的長可能是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·衡南期末）已知x，y滿足方程組 ，則x+y的值為（　　）
A．5 B．7 C．9 D．3
8．（2024七下·衡南期末）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，紙書大約在一千五百年前，其中一道題，原文是：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車：若每輛車乘坐2人，則有9人步行，問人與車各多少？設有x人，y輛車，可列方程組為（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·衡南期末）如圖所示，在中，，，是的中線，則與的周長之差為（　　）
A． B．1 C．2 D．7
10．（2024七下·衡南期末）如圖：在邊長為的正的邊上有甲、乙兩個動點，它們從處同時出發，沿著三角形的三邊順時針不停的運動．若甲的速度為每秒，乙的速度為每秒，則乙在第2024次追上甲時，這兩個動點所在的位置（　　）
A．在線段上 B．在線段上 C．處 D．在線段上
11．（2024七下·衡南期末）已知是關于x的一元一次方程，則m的值為　 　．
12．（2024七下·衡南期末）若滿足方程組的，互為相反數，則的值為　 　．
13．（2024七下·衡南期末）若關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是　 　．
14．（2024七下·衡南期末）某品牌電熱水壺的進價為每個200元，以每個300元的標價山售．“五一節”期間，商店為讓利于顧客，準備打折銷售，但要保證利潤率不低于，則最低可按標價的　 　折出售．
15．（2024七下·衡南期末）如圖，在中，點分別為的中點，且，則陰影部分的面積為　 　．
16．（2024七下·衡南期末）將沿方向平移3個單位得到．若的周長等于8，則四邊形的周長為　 　．
17．（2024七下·衡南期末）如圖，射線線段，垂足為B，，垂足為D，，，．點E為射線l上的一動點，當的周長最小時，　 　．
18．（2024七下·衡南期末）在中，，的平分線交于點O，外角平分線所在的直線的平分線相交于點，與的外角平分線相交于點E，則下列結論一定正確的是　 　．（填寫所有正確結論的序號）
①；②；③；④．
19．（2024七下·衡南期末）解下列方程（組）：
（1）；
（2）．
20．（2024七下·衡南期末）解不等式組并把解集在數軸上表示出來．
21．（2024七下·衡南期末）已知一個多邊形的內角和與外角和的差為．
（1）求這個多邊形的邊數；
（2）如這個多邊形是正多邊形，則它的每一個內角是___________．
22．（2024七下·衡南期末）如圖所示，在中，是高，、是角平分線，它們相交于點O，，．
（1）求的度數；
（2）求的度數．
23．（2024七下·衡南期末）已知方程組中x為非正數，y為負數．
（1）求a的取值范圍；
（2）化簡：；
（3）在（1）的范圍中，當a為何整數時，不等式的解集為
24．（2024七下·衡南期末）衡陽市某商場準備購進A、B兩種類型的便攜式風扇出售．已知2臺A型風扇和5臺B型風扇進價共100元，3臺A型風扇和2臺B型風扇進價共62元．
（1）求A型風扇、B型風扇進貨的單價各是多少元？
（2）商場準備購進這兩種風扇共100臺，根據市場調查發現，A型風扇銷售情況比B型風扇好，商場準備多購進A型風扇，但數量不超過B型風扇數量的3倍，購進A、B兩種風扇的總金額不超過1170元．根據以上信息，商場共有幾種進貨方案？
（3）在（2）中哪種進貨方案的費用最低？最低費用為多少元？
25．（2024七下·衡南期末）定義：給定兩個不等式組P和Q，若不等式組P的任意一個解，都是不等式組Q的一個解，則稱不等式組P為不等式組Q的“子集”．例如：不等式組：是的子集．
（1）若不等式組：，，則其中不等式組________是不等式組的“子集”（填A或B）；
（2）若關于x的不等式組是不等式組的“子集”，則a的取值范圍是________；
（3）已知a，b，c，d為互不相等的整數．其中，，下列三個不等式組：，，滿足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，則的值為________．
（4）已知不等式組有解，且是不等式組M的“子集”，請分別寫出m、n滿足的條件：________．
26．（2024七下·衡南期末）定義：從一個角的頂點出發，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內半角、如圖①所示，若，則是的內半角.
（1）如圖①所示，已知，，是的內半角，則______；
（2）如圖②，已知，將繞點O按順時針方向旋轉一個角度至，當旋轉的角度為何值時，是的內半角？
（3）已知，把一塊含有角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點O以/秒的速度按順時針方向旋轉，如圖④，問：在旋轉一周的過程中，射線，，，能否構成內半角？若能，請求出旋轉的時間；若不能，請說明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】一元一次方程的概念
【解析】【解答】①5x 2不是等式；
②3+5= 1+9不是方程；
③5 x=2x 8是一元一次方程；
④x=0是一元一次方程；
⑤x+2y=9是二元一次方程；
綜上所述，是一元一次方程的有③④共2個．
故答案為：B.
【分析】 一元一次方程指只含有一個未知數、未知數的最高次數為1且兩邊都為整式的等式 。根據一元一次方程的定義對每個式子一一判斷即可。
2．【答案】A
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；
B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
故答案為：A。
【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱的定義：軸對稱有一條對稱軸，直線。圖形沿對稱軸對折翻折180度后重合，對稱點的連線被對稱軸垂直平分。中心對稱：有一個對稱，中心點。圖形繞對稱中心旋轉180度后重合，對稱點連線經過對稱中心，且被對稱中心平分。據此即可求解
3．【答案】C
【知識點】多邊形內角與外角；平面鑲嵌（密鋪）
【解析】【解答】解：A、正三角形的每個內角的度數為：，且是整數，則正三角形能實施平面鑲嵌，此項不符題意；
B、正方形的每個內角的度數為：，且是整數，正方形能實施平面鑲嵌，此項不符題意；
C、正五邊形的每個內角的度數為：，且，不是整數，正五邊形不能實施平面鑲嵌，此項符合題意；
D、正六邊形的每個內角的度數為：，且是整數，正六邊形能實施平面鑲嵌，則此項不符題意．
故答案為：C．
【分析】分別求出各個正多邊形的每個內角的度數，再利用鑲嵌應符合一個內角度數能整除360即可作出判斷．
4．【答案】C
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：A、若，則 ，故本選項正確；
B、若，則 ，故本選項正確；
C、若，則 ，故本選項錯誤；
D、若，則 ，故本選項正確.
故答案為：C.
【分析】不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變；
不等式兩邊同時乘（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變；
不等式兩邊同時乘（或除以）同一個小于0的整式，不等號方向改變，據此判斷即可.
5．【答案】A
【知識點】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
解得：，
∴不等式的正整數解有，，，共3個；
故答案為：A
【分析】先根據不等式的基本性質：不等式兩邊同時乘以11，將不等式化成：，然后再對式子進行移項，將系數化為1，解出x的解集，然后再根據x的正整數解即可
6．【答案】B
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：∵三角形的兩邊長分別是和，設第三邊長為，
∴，即，
∴第三邊長可能是，
故答案為：．
【分析】根據三角形的三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據此即可求解
7．【答案】A
【知識點】解二元一次方程組
【解析】【解答】 ，
+②得，4x+4y=20，解得x+y=5.
故答案為：A.
【分析】直接把兩式相加即可得出結論.
8．【答案】B
【知識點】二元一次方程組的應用-古代數學問題
【解析】【解答】解：設有x人，y輛車，
依題意得： ，
故答案為：B．
【分析】根據若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車：若每輛車乘坐2人，則有9人步行，列二元一次方程組．
9．【答案】C
【知識點】三角形的中線
【解析】【解答】解：由題意知，．
∵的周長，的周長，
∴與的周長之差為：．
故答案為：C．
【分析】根據是的中線，可知；再根據三角形的周長公式，分別求出三角形ABD和三角形ADC的周長，然后再進行等量代換，最后再將數據代入，即可求解
10．【答案】C
【知識點】一元一次方程的實際應用-行程問題
【解析】【解答】解：乙在第2024次追上甲時，
設花費時間為秒，則可得，解得，
甲、乙兩個動點相遇，則處于同一點，
甲運動的路程為，
正的邊長為，
甲運動一周是，
，即甲在處，
這兩個動點所在的位置在處，
故答案為：C．
【分析】根據甲乙速度及正三角形周長求出相遇一次所需時間，再據此算出相遇 2024 次時甲走的總路程，最后用總路程除以三角形周長來確定甲的位置，進而確定兩個動點所在位置。
11．【答案】
【知識點】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是關于的一元一次方程，
∴，
∴．
故答案為：．
【分析】根據一元一次方程 的定義：只含有一個未知數，未知數的次數都是1，等號兩邊都是 整式 的方程叫做一元一次方程，據此即可判斷
12．【答案】-1
【知識點】二元一次方程組的解；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：
得：，
解得：，
將代入②得：，
解得：，
∵x與y互為相反數，
∴，即，
解得：．
故答案為：．
【分析】把m看作已知數表示出x與y，代入x+y=0，計算即可求出m的值．
13．【答案】a≤－1
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：不等式組，
因為不等式組無解，
所以，
解得：
故答案為：
【分析】根據不等式組無解可得“小于小的，大于大的”，即3a+2≤-a-2，求解即可.
14．【答案】7
【知識點】一元一次不等式的應用
【解析】【解答】解：設按標價的x折出售
由題意得：
解得：
最低可按標價的7折出售
故答案為：7．
【分析】設按標價的x折出售，根據利潤=售價-成本，然后再保證利潤不低于，建立不等式：，然后再求出x的解集，即可求解
15．【答案】1
【知識點】三角形的面積；三角形的中線
【解析】【解答】解：點分別為的中點，
，
點分別為的中點，
，
，
，
，則，
故答案為：1．
【分析】根據F是CE的中點，因為三角形BEF與三角形BFC同高，所以，三角形BEF和三角形BFC的面積相等，即三角形BEF等于三角形BCE的面積；同理，E是AD的中點，可得三角形BED等于三角形ABD，三角形CED等于三角形ACD；進而求出三角形BCE等于三角形ABC；然后再根據三角形ABC的面積，代入數據即可求出三角形BCE的面積，進而求出三角形BEF的面積
16．【答案】14
【知識點】平移的性質
【解析】【解答】解：的周長為8，
，
由平移的性質可知：，，
四邊形的周長=
．
故答案為：14．
【分析】根據的周長等于8 ，將三角形ABC的周長表示出來：，然后再根據平移的性質，可知AD=CF，AC=DF，然后再將四邊形的周長表示出來，最后再代入數據即可求解
17．【答案】3
【知識點】等腰三角形的判定與性質；軸對稱的應用-最短距離問題
【解析】【解答】解：如圖，過直線作對稱點，連接，與的交點即為點E，
因為，
所以，
所以，三角形AED的周長=，此時三角形AED的周長最小
當的周長最小時，，
故答案為：3．
【分析】本題結合將軍飲馬的解法，先通過直線作對稱點，連接，與的交點即為點E，如下圖所示。由于 、的對稱點，所以，。已知，，AD與EB平行，可得出，求出EB=2，然后再利用三角形的面積公式，代入數據即可求解
18．【答案】①②④
【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；三角形的雙外角平分線模型
【解析】【解答】解：∵，的平分線交于點O，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正確，
∵平分，
∴，
∵，
∴；故②正確，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故③錯誤；
∵，
∴，
∵，
∴．故④正確，
綜上正確的有：①②④．
【分析】因為CD是的角平分線，BD是的角平分線，所以，根據三角形內角和定理，可得，故①正確；由角平分線的定義可得，再根據三角形外角的性質可判定②；由三角形外角的性質可得，再利用角平分線的定義以及三角形內角和定理可判定③；利用三角形外角的性質可得，結合，可判定④．據此即可求解
19．【答案】（1）解：，
去分母得：，
去括號得：，
整理得：，
∴。
（2）解：，
用得：，
把代入①得：，
解得，
∴方程組的解為
【知識點】解含分數系數的一元一次方程；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】（1）先根據等式的基本性質：等式兩邊同時乘以12，將方程化成：，然后再去括號，移項，合并同類，最后再將系數化為1，即可求解
（2）將方程組進行標注序號，然后再將①乘以4，然后再加上②，求出x的值，再將x的值代入①，即可求解
（1）解：，
去分母得：，
去括號得：，
整理得：，
∴；
（2）解：，
用得：，
把代入①得：，解得，
∴方程組的解為；
20．【答案】解：，
解得，
解得，
在數軸上表示為：
∴不等式組的解集為．
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【分析】先對不等式組進行標注，然后對每個不等式進行求解集，最后再根據“同大取大；同小取小”的原則，將不等式在數軸上標示出來，然后找到公共解集即可求解
21．【答案】（1）解：設此多邊形的邊數為n
解得：
答：這個多邊形的邊數為12．
（2）150°
【知識點】多邊形內角與外角；多邊形的內角和公式；多邊形的外角和公式
【解析】【解答】（2）解：這個正多邊形的每一個內角是：
180°-360°÷12=150°
∴ 它的每一個內角是 150°
【分析】
（1）設此多邊形的邊數為n，根據多邊形內角和公式：（n-2）×180°，外角和是360度，列出方程：，解出n的值.
（2）正多邊形的每個內角都相等，每個內角和每個外角互補，然后根據正多邊形的每個內角=180°-360°÷邊數求出正多邊形的度數.
（1）解：設此多邊形的邊數為n，則：
，
解得：．
答：這個多邊形的邊數為12．
（2）解：這個正多邊形的每一個內角是：
22．【答案】（1）解：∵是的平分線，
∴
∵是高，
∴在中，
∴
答：的度數是10度
（2）解：∵是角平分線
∴
=
∴
=
答：的度數125度
【知識點】三角形內角和定理；三角形的角平分線
【解析】【分析】（1）根據AE是的角平分線以及，可求出，又因為AD是底邊上的高，所以，結合，可求出，用減去，即可求出 的度數
（2）先根據、是角平分線，可求出=，然后再根據三角形內角和定理，在三角形AOB中，用180度減去，代入數據即可求解
（1）解：∵是的平分線，
∴
∵是高，
∴在中，
∴
（2）解：∵是角平分線
∴
∴
23．【答案】（1）解：解方程組
得：，
方程組中為非正數，為負數，
，
解得：，
即的取值范圍是。
（2）解：∵，∴，
∴，
∴
。
（3）解：，∴，
要使不等式的解集為，
必須，
解得：，
，為整數，
，
所以當為時，不等式的解集為．
【知識點】解一元一次不等式組；不等式的性質；化簡含絕對值有理數；一元一次不等式的含參問題；一元一次不等式組的含參問題
【解析】【分析】（1）先對方程組的方程進行求解，然后再根據“x為非正數，y為負數”，可知x≤0，y<0，然后再對不等式組進行求解，最后再畫數軸，找出公共部分即可求解
（2）根據（1）中求出的a的取值范圍，然后再對2a-7和6-a進行求解，最后再根據絕對值的性質：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是其相反數，零的絕對值是零，然后再去掉絕對值號，最后再進行合并運算即可
（3）根據不等式的基本性質：不等式兩邊同時乘以一個小于0的數，不等式方向改變；根據題干中給出的不等式的解集，確定x前的系數符號，求出a的取值范圍，然后再根據范圍，求出a的所有整數值
（1）解：解方程組得：，
方程組中為非正數，為負數，
，
解得：，
即的取值范圍是；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：，
∴，
要使不等式的解集為，
必須，
解得：，
，為整數，
，
所以當為時，不等式的解集為．
24．【答案】（1）解：設A型風扇進貨的單價是x元，B型風扇進貨的單價是y元，
依題意，得：，
解得：．
答：A型風扇進貨的單價是10元，B型風扇進貨的單價是16元；
（2）解：設購進A型風扇m臺，則購進B型風扇（100-m）臺，依題意，
得：，
解得：，
又∵m為正整數，
∴m可以取72、73、74、75，
∴共有4種進貨方案，
方案1：購進A型風扇72臺，B型風扇28臺；
方案2：購進A型風扇73臺，B型風扇27臺；
方案3：購進A型風扇74臺，B型風扇26臺；
方案4：購進A型風扇75臺，B型風扇25臺．
答：共有4種進貨方案．
（3）解：∵B型風扇進貨的單價大于A型風扇進貨的單價，
∴方案4：購進A型風扇75臺，B型風扇25臺的費用最低，
最低費用為：元．
答：方案4：購進A型風扇75臺，B型風扇25臺的費用最低，最低費用為1150元．
【知識點】一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設A型風扇進貨的單價是x元，B型風扇進貨的單價是y元，根據“2臺A型風扇和5臺B型風扇進價共100元”和“3臺A型風扇和2臺B型風扇進價共62元”，建立方程組：，然后再解方程組即可
（2）設購進A型風扇m臺，則購進B型風扇（100-m）臺，根據“購進A型風扇，但數量不超過B型風扇數量的3倍”和“購進A、B兩種風扇的總金額不超過1170元”，建立不等式組，然后解出不等式的解集，結合m的實際意義，確定m的值，即可確定方案個數
（3）根據（1）可知，B型風扇進貨的單價大于A型風扇進貨的單價，再結合（2）中方案，進而確定最低費用方案，然后代入數據即可求解
（1）解：設A型風扇進貨的單價是x元，B型風扇進貨的單價是y元，
依題意，得：，
解得：．
答：A型風扇進貨的單價是10元，B型風扇進貨的單價是16元；
（2）解：設購進A型風扇m臺，則購進B型風扇臺，
依題意，得：，
解得：，
又∵m為正整數，
∴m可以取72、73、74、75，
∴共有4種進貨方案，
方案1：購進A型風扇72臺，B型風扇28臺；
方案2：購進A型風扇73臺，B型風扇27臺；
方案3：購進A型風扇74臺，B型風扇26臺；
方案4：購進A型風扇75臺，B型風扇25臺．
答：共有4種進貨方案．
（3）解：∵B型風扇進貨的單價大于A型風扇進貨的單價，
∴方案4：購進A型風扇75臺，B型風扇25臺的費用最低，
最低費用為元．
答：方案4：購進A型風扇75臺，B型風扇25臺的費用最低，最低費用為1150元．
25．【答案】（1）A
（2）
（3）
（4）
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解（1）：A：的解集為，B：的解集為，M：的解集為，
∴不等式組A是不等式組M的子集，不等式組B不是不等式組M的子集，
故答案為：A；
解（2）：不等式組的解集為，
∵關于x的不等式組是不等式組的“子集”，
∴，
故答案為：；
解（3）：∵a，b，c，d為互不相等的整數，其中，
∵A：，B：，C：滿足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
解（4）：解不等式組M：得：，
∵不等式組M有解，
∴，
∵N：是不等式組的“子集”，
∴，，
∴，
故答案為：．
【分析】（1）根據不等式組的求解方法，分別求出A不等式組、B不等式組和M不等式組的解集，然后再利用新定義的判斷方法進行求解即可
（2）先求出不等式組 的解集，然后再根據“子集”的定義確定出a的范圍即可；
（3）由題意根據“子集”的定義得到，再根據a、b、c、d的性質，即可確定出各自的值，然后再代入原式，即可求解
（4）先對不等式組M進行求解，然后再根據“子集”的定義，求出M的取值范圍即可
26．【答案】（1）解：∵是的內半角，，
∴
∵，
∴，
（2）解：∵，，
∴，，
∵是的內半角，
∴，
∴，
∴旋轉的角度為21°時，是的內半角；
（3）解：在旋轉一周的過程中，射線，，，能構成內半角
理由如下；
設按順時針方向旋轉一個角度，旋轉的時間為t，
如圖1，∵是的內半角，，
∴，
∴，
解得：，∴；
如圖2，∵是的內半角，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖3，∵是的內半角，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如圖4，∵是的內半角，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
綜上所述，當旋轉的時間為或或或時，射線，，，能構成內半角.
【知識點】角的運算；旋轉的性質；一元一次方程的實際應用-行程問題
【解析】【分析】（1）根據內半角的定義，代入數據，求出，然后再根據等于減去再減去，代入數據即可求解，
（2）根據旋轉的性質可得：，，求出，；再根據內半角的定義，得到，即可求出；
（3）設按順時針方向旋轉一個角度，旋轉的時間為t，然后根據旋轉一周構成內半角的情況總共有四種，分別畫出圖形，求出對應t值即可
（1）解：∵是的內半角，，
∴
∵，
∴，
（2）∵，
，
∴，，
∵是的內半角，
∴，
∴，
∴旋轉的角度為21°時，是的內半角；
（3）在旋轉一周的過程中，射線，，，能構成內半角，理由如下；
理由：設按順時針方向旋轉一個角度，旋轉的時間為t，
如圖1，∵是的內半角，，
∴，
∴，
解得：，∴；
如圖2，∵是的內半角，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖3，∵是的內半角，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如圖4，∵是的內半角，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
綜上所述，當旋轉的時間為或或或時，射線，，，能構成內半角.
1 / 1湖南省衡陽市衡南縣2023-2024學年七年級下學期期末數學試題
1．（2024七下·衡南期末）下面是小紅所寫的式子，其中，是一元一次方程的有（　　）
①5x﹣2；②3+5=﹣1+9；③5﹣ x=2x﹣8；④x=0；⑤x+2y=9．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【知識點】一元一次方程的概念
【解析】【解答】①5x 2不是等式；
②3+5= 1+9不是方程；
③5 x=2x 8是一元一次方程；
④x=0是一元一次方程；
⑤x+2y=9是二元一次方程；
綜上所述，是一元一次方程的有③④共2個．
故答案為：B.
【分析】 一元一次方程指只含有一個未知數、未知數的最高次數為1且兩邊都為整式的等式 。根據一元一次方程的定義對每個式子一一判斷即可。
2．（2024七下·衡南期末）如圖圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；
B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
故答案為：A。
【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱的定義：軸對稱有一條對稱軸，直線。圖形沿對稱軸對折翻折180度后重合，對稱點的連線被對稱軸垂直平分。中心對稱：有一個對稱，中心點。圖形繞對稱中心旋轉180度后重合，對稱點連線經過對稱中心，且被對稱中心平分。據此即可求解
3．（2024七下·衡南期末）下列圖形中，不能用同一種作平面鑲嵌的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形
【答案】C
【知識點】多邊形內角與外角；平面鑲嵌（密鋪）
【解析】【解答】解：A、正三角形的每個內角的度數為：，且是整數，則正三角形能實施平面鑲嵌，此項不符題意；
B、正方形的每個內角的度數為：，且是整數，正方形能實施平面鑲嵌，此項不符題意；
C、正五邊形的每個內角的度數為：，且，不是整數，正五邊形不能實施平面鑲嵌，此項符合題意；
D、正六邊形的每個內角的度數為：，且是整數，正六邊形能實施平面鑲嵌，則此項不符題意．
故答案為：C．
【分析】分別求出各個正多邊形的每個內角的度數，再利用鑲嵌應符合一個內角度數能整除360即可作出判斷．
4．（2024七下·衡南期末）下列判斷不正確的是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：A、若，則 ，故本選項正確；
B、若，則 ，故本選項正確；
C、若，則 ，故本選項錯誤；
D、若，則 ，故本選項正確.
故答案為：C.
【分析】不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變；
不等式兩邊同時乘（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變；
不等式兩邊同時乘（或除以）同一個小于0的整式，不等號方向改變，據此判斷即可.
5．（2024七下·衡南期末）不等式的正整數解有（　　）個
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】A
【知識點】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
解得：，
∴不等式的正整數解有，，，共3個；
故答案為：A
【分析】先根據不等式的基本性質：不等式兩邊同時乘以11，將不等式化成：，然后再對式子進行移項，將系數化為1，解出x的解集，然后再根據x的正整數解即可
6．（2024七下·衡南期末）已知三角形的兩邊長分別是和，則此三角形第三邊的長可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：∵三角形的兩邊長分別是和，設第三邊長為，
∴，即，
∴第三邊長可能是，
故答案為：．
【分析】根據三角形的三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據此即可求解
7．（2024七下·衡南期末）已知x，y滿足方程組 ，則x+y的值為（　　）
A．5 B．7 C．9 D．3
【答案】A
【知識點】解二元一次方程組
【解析】【解答】 ，
+②得，4x+4y=20，解得x+y=5.
故答案為：A.
【分析】直接把兩式相加即可得出結論.
8．（2024七下·衡南期末）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，紙書大約在一千五百年前，其中一道題，原文是：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車：若每輛車乘坐2人，則有9人步行，問人與車各多少？設有x人，y輛車，可列方程組為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】二元一次方程組的應用-古代數學問題
【解析】【解答】解：設有x人，y輛車，
依題意得： ，
故答案為：B．
【分析】根據若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車：若每輛車乘坐2人，則有9人步行，列二元一次方程組．
9．（2024七下·衡南期末）如圖所示，在中，，，是的中線，則與的周長之差為（　　）
A． B．1 C．2 D．7
【答案】C
【知識點】三角形的中線
【解析】【解答】解：由題意知，．
∵的周長，的周長，
∴與的周長之差為：．
故答案為：C．
【分析】根據是的中線，可知；再根據三角形的周長公式，分別求出三角形ABD和三角形ADC的周長，然后再進行等量代換，最后再將數據代入，即可求解
10．（2024七下·衡南期末）如圖：在邊長為的正的邊上有甲、乙兩個動點，它們從處同時出發，沿著三角形的三邊順時針不停的運動．若甲的速度為每秒，乙的速度為每秒，則乙在第2024次追上甲時，這兩個動點所在的位置（　　）
A．在線段上 B．在線段上 C．處 D．在線段上
【答案】C
【知識點】一元一次方程的實際應用-行程問題
【解析】【解答】解：乙在第2024次追上甲時，
設花費時間為秒，則可得，解得，
甲、乙兩個動點相遇，則處于同一點，
甲運動的路程為，
正的邊長為，
甲運動一周是，
，即甲在處，
這兩個動點所在的位置在處，
故答案為：C．
【分析】根據甲乙速度及正三角形周長求出相遇一次所需時間，再據此算出相遇 2024 次時甲走的總路程，最后用總路程除以三角形周長來確定甲的位置，進而確定兩個動點所在位置。
11．（2024七下·衡南期末）已知是關于x的一元一次方程，則m的值為　 　．
【答案】
【知識點】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是關于的一元一次方程，
∴，
∴．
故答案為：．
【分析】根據一元一次方程 的定義：只含有一個未知數，未知數的次數都是1，等號兩邊都是 整式 的方程叫做一元一次方程，據此即可判斷
12．（2024七下·衡南期末）若滿足方程組的，互為相反數，則的值為　 　．
【答案】-1
【知識點】二元一次方程組的解；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：
得：，
解得：，
將代入②得：，
解得：，
∵x與y互為相反數，
∴，即，
解得：．
故答案為：．
【分析】把m看作已知數表示出x與y，代入x+y=0，計算即可求出m的值．
13．（2024七下·衡南期末）若關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是　 　．
【答案】a≤－1
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：不等式組，
因為不等式組無解，
所以，
解得：
故答案為：
【分析】根據不等式組無解可得“小于小的，大于大的”，即3a+2≤-a-2，求解即可.
14．（2024七下·衡南期末）某品牌電熱水壺的進價為每個200元，以每個300元的標價山售．“五一節”期間，商店為讓利于顧客，準備打折銷售，但要保證利潤率不低于，則最低可按標價的　 　折出售．
【答案】7
【知識點】一元一次不等式的應用
【解析】【解答】解：設按標價的x折出售
由題意得：
解得：
最低可按標價的7折出售
故答案為：7．
【分析】設按標價的x折出售，根據利潤=售價-成本，然后再保證利潤不低于，建立不等式：，然后再求出x的解集，即可求解
15．（2024七下·衡南期末）如圖，在中，點分別為的中點，且，則陰影部分的面積為　 　．
【答案】1
【知識點】三角形的面積；三角形的中線
【解析】【解答】解：點分別為的中點，
，
點分別為的中點，
，
，
，
，則，
故答案為：1．
【分析】根據F是CE的中點，因為三角形BEF與三角形BFC同高，所以，三角形BEF和三角形BFC的面積相等，即三角形BEF等于三角形BCE的面積；同理，E是AD的中點，可得三角形BED等于三角形ABD，三角形CED等于三角形ACD；進而求出三角形BCE等于三角形ABC；然后再根據三角形ABC的面積，代入數據即可求出三角形BCE的面積，進而求出三角形BEF的面積
16．（2024七下·衡南期末）將沿方向平移3個單位得到．若的周長等于8，則四邊形的周長為　 　．
【答案】14
【知識點】平移的性質
【解析】【解答】解：的周長為8，
，
由平移的性質可知：，，
四邊形的周長=
．
故答案為：14．
【分析】根據的周長等于8 ，將三角形ABC的周長表示出來：，然后再根據平移的性質，可知AD=CF，AC=DF，然后再將四邊形的周長表示出來，最后再代入數據即可求解
17．（2024七下·衡南期末）如圖，射線線段，垂足為B，，垂足為D，，，．點E為射線l上的一動點，當的周長最小時，　 　．
【答案】3
【知識點】等腰三角形的判定與性質；軸對稱的應用-最短距離問題
【解析】【解答】解：如圖，過直線作對稱點，連接，與的交點即為點E，
因為，
所以，
所以，三角形AED的周長=，此時三角形AED的周長最小
當的周長最小時，，
故答案為：3．
【分析】本題結合將軍飲馬的解法，先通過直線作對稱點，連接，與的交點即為點E，如下圖所示。由于 、的對稱點，所以，。已知，，AD與EB平行，可得出，求出EB=2，然后再利用三角形的面積公式，代入數據即可求解
18．（2024七下·衡南期末）在中，，的平分線交于點O，外角平分線所在的直線的平分線相交于點，與的外角平分線相交于點E，則下列結論一定正確的是　 　．（填寫所有正確結論的序號）
①；②；③；④．
【答案】①②④
【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；三角形的雙外角平分線模型
【解析】【解答】解：∵，的平分線交于點O，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正確，
∵平分，
∴，
∵，
∴；故②正確，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故③錯誤；
∵，
∴，
∵，
∴．故④正確，
綜上正確的有：①②④．
【分析】因為CD是的角平分線，BD是的角平分線，所以，根據三角形內角和定理，可得，故①正確；由角平分線的定義可得，再根據三角形外角的性質可判定②；由三角形外角的性質可得，再利用角平分線的定義以及三角形內角和定理可判定③；利用三角形外角的性質可得，結合，可判定④．據此即可求解
19．（2024七下·衡南期末）解下列方程（組）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
去分母得：，
去括號得：，
整理得：，
∴。
（2）解：，
用得：，
把代入①得：，
解得，
∴方程組的解為
【知識點】解含分數系數的一元一次方程；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】（1）先根據等式的基本性質：等式兩邊同時乘以12，將方程化成：，然后再去括號，移項，合并同類，最后再將系數化為1，即可求解
（2）將方程組進行標注序號，然后再將①乘以4，然后再加上②，求出x的值，再將x的值代入①，即可求解
（1）解：，
去分母得：，
去括號得：，
整理得：，
∴；
（2）解：，
用得：，
把代入①得：，解得，
∴方程組的解為；
20．（2024七下·衡南期末）解不等式組并把解集在數軸上表示出來．
【答案】解：，
解得，
解得，
在數軸上表示為：
∴不等式組的解集為．
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【分析】先對不等式組進行標注，然后對每個不等式進行求解集，最后再根據“同大取大；同小取小”的原則，將不等式在數軸上標示出來，然后找到公共解集即可求解
21．（2024七下·衡南期末）已知一個多邊形的內角和與外角和的差為．
（1）求這個多邊形的邊數；
（2）如這個多邊形是正多邊形，則它的每一個內角是___________．
【答案】（1）解：設此多邊形的邊數為n
解得：
答：這個多邊形的邊數為12．
（2）150°
【知識點】多邊形內角與外角；多邊形的內角和公式；多邊形的外角和公式
【解析】【解答】（2）解：這個正多邊形的每一個內角是：
180°-360°÷12=150°
∴ 它的每一個內角是 150°
【分析】
（1）設此多邊形的邊數為n，根據多邊形內角和公式：（n-2）×180°，外角和是360度，列出方程：，解出n的值.
（2）正多邊形的每個內角都相等，每個內角和每個外角互補，然后根據正多邊形的每個內角=180°-360°÷邊數求出正多邊形的度數.
（1）解：設此多邊形的邊數為n，則：
，
解得：．
答：這個多邊形的邊數為12．
（2）解：這個正多邊形的每一個內角是：
22．（2024七下·衡南期末）如圖所示，在中，是高，、是角平分線，它們相交于點O，，．
（1）求的度數；
（2）求的度數．
【答案】（1）解：∵是的平分線，
∴
∵是高，
∴在中，
∴
答：的度數是10度
（2）解：∵是角平分線
∴
=
∴
=
答：的度數125度
【知識點】三角形內角和定理；三角形的角平分線
【解析】【分析】（1）根據AE是的角平分線以及，可求出，又因為AD是底邊上的高，所以，結合，可求出，用減去，即可求出 的度數
（2）先根據、是角平分線，可求出=，然后再根據三角形內角和定理，在三角形AOB中，用180度減去，代入數據即可求解
（1）解：∵是的平分線，
∴
∵是高，
∴在中，
∴
（2）解：∵是角平分線
∴
∴
23．（2024七下·衡南期末）已知方程組中x為非正數，y為負數．
（1）求a的取值范圍；
（2）化簡：；
（3）在（1）的范圍中，當a為何整數時，不等式的解集為
【答案】（1）解：解方程組
得：，
方程組中為非正數，為負數，
，
解得：，
即的取值范圍是。
（2）解：∵，∴，
∴，
∴
。
（3）解：，∴，
要使不等式的解集為，
必須，
解得：，
，為整數，
，
所以當為時，不等式的解集為．
【知識點】解一元一次不等式組；不等式的性質；化簡含絕對值有理數；一元一次不等式的含參問題；一元一次不等式組的含參問題
【解析】【分析】（1）先對方程組的方程進行求解，然后再根據“x為非正數，y為負數”，可知x≤0，y<0，然后再對不等式組進行求解，最后再畫數軸，找出公共部分即可求解
（2）根據（1）中求出的a的取值范圍，然后再對2a-7和6-a進行求解，最后再根據絕對值的性質：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是其相反數，零的絕對值是零，然后再去掉絕對值號，最后再進行合并運算即可
（3）根據不等式的基本性質：不等式兩邊同時乘以一個小于0的數，不等式方向改變；根據題干中給出的不等式的解集，確定x前的系數符號，求出a的取值范圍，然后再根據范圍，求出a的所有整數值
（1）解：解方程組得：，
方程組中為非正數，為負數，
，
解得：，
即的取值范圍是；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：，
∴，
要使不等式的解集為，
必須，
解得：，
，為整數，
，
所以當為時，不等式的解集為．
24．（2024七下·衡南期末）衡陽市某商場準備購進A、B兩種類型的便攜式風扇出售．已知2臺A型風扇和5臺B型風扇進價共100元，3臺A型風扇和2臺B型風扇進價共62元．
（1）求A型風扇、B型風扇進貨的單價各是多少元？
（2）商場準備購進這兩種風扇共100臺，根據市場調查發現，A型風扇銷售情況比B型風扇好，商場準備多購進A型風扇，但數量不超過B型風扇數量的3倍，購進A、B兩種風扇的總金額不超過1170元．根據以上信息，商場共有幾種進貨方案？
（3）在（2）中哪種進貨方案的費用最低？最低費用為多少元？
【答案】（1）解：設A型風扇進貨的單價是x元，B型風扇進貨的單價是y元，
依題意，得：，
解得：．
答：A型風扇進貨的單價是10元，B型風扇進貨的單價是16元；
（2）解：設購進A型風扇m臺，則購進B型風扇（100-m）臺，依題意，
得：，
解得：，
又∵m為正整數，
∴m可以取72、73、74、75，
∴共有4種進貨方案，
方案1：購進A型風扇72臺，B型風扇28臺；
方案2：購進A型風扇73臺，B型風扇27臺；
方案3：購進A型風扇74臺，B型風扇26臺；
方案4：購進A型風扇75臺，B型風扇25臺．
答：共有4種進貨方案．
（3）解：∵B型風扇進貨的單價大于A型風扇進貨的單價，
∴方案4：購進A型風扇75臺，B型風扇25臺的費用最低，
最低費用為：元．
答：方案4：購進A型風扇75臺，B型風扇25臺的費用最低，最低費用為1150元．
【知識點】一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設A型風扇進貨的單價是x元，B型風扇進貨的單價是y元，根據“2臺A型風扇和5臺B型風扇進價共100元”和“3臺A型風扇和2臺B型風扇進價共62元”，建立方程組：，然后再解方程組即可
（2）設購進A型風扇m臺，則購進B型風扇（100-m）臺，根據“購進A型風扇，但數量不超過B型風扇數量的3倍”和“購進A、B兩種風扇的總金額不超過1170元”，建立不等式組，然后解出不等式的解集，結合m的實際意義，確定m的值，即可確定方案個數
（3）根據（1）可知，B型風扇進貨的單價大于A型風扇進貨的單價，再結合（2）中方案，進而確定最低費用方案，然后代入數據即可求解
（1）解：設A型風扇進貨的單價是x元，B型風扇進貨的單價是y元，
依題意，得：，
解得：．
答：A型風扇進貨的單價是10元，B型風扇進貨的單價是16元；
（2）解：設購進A型風扇m臺，則購進B型風扇臺，
依題意，得：，
解得：，
又∵m為正整數，
∴m可以取72、73、74、75，
∴共有4種進貨方案，
方案1：購進A型風扇72臺，B型風扇28臺；
方案2：購進A型風扇73臺，B型風扇27臺；
方案3：購進A型風扇74臺，B型風扇26臺；
方案4：購進A型風扇75臺，B型風扇25臺．
答：共有4種進貨方案．
（3）解：∵B型風扇進貨的單價大于A型風扇進貨的單價，
∴方案4：購進A型風扇75臺，B型風扇25臺的費用最低，
最低費用為元．
答：方案4：購進A型風扇75臺，B型風扇25臺的費用最低，最低費用為1150元．
25．（2024七下·衡南期末）定義：給定兩個不等式組P和Q，若不等式組P的任意一個解，都是不等式組Q的一個解，則稱不等式組P為不等式組Q的“子集”．例如：不等式組：是的子集．
（1）若不等式組：，，則其中不等式組________是不等式組的“子集”（填A或B）；
（2）若關于x的不等式組是不等式組的“子集”，則a的取值范圍是________；
（3）已知a，b，c，d為互不相等的整數．其中，，下列三個不等式組：，，滿足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，則的值為________．
（4）已知不等式組有解，且是不等式組M的“子集”，請分別寫出m、n滿足的條件：________．
【答案】（1）A
（2）
（3）
（4）
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解（1）：A：的解集為，B：的解集為，M：的解集為，
∴不等式組A是不等式組M的子集，不等式組B不是不等式組M的子集，
故答案為：A；
解（2）：不等式組的解集為，
∵關于x的不等式組是不等式組的“子集”，
∴，
故答案為：；
解（3）：∵a，b，c，d為互不相等的整數，其中，
∵A：，B：，C：滿足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
解（4）：解不等式組M：得：，
∵不等式組M有解，
∴，
∵N：是不等式組的“子集”，
∴，，
∴，
故答案為：．
【分析】（1）根據不等式組的求解方法，分別求出A不等式組、B不等式組和M不等式組的解集，然后再利用新定義的判斷方法進行求解即可
（2）先求出不等式組 的解集，然后再根據“子集”的定義確定出a的范圍即可；
（3）由題意根據“子集”的定義得到，再根據a、b、c、d的性質，即可確定出各自的值，然后再代入原式，即可求解
（4）先對不等式組M進行求解，然后再根據“子集”的定義，求出M的取值范圍即可
26．（2024七下·衡南期末）定義：從一個角的頂點出發，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內半角、如圖①所示，若，則是的內半角.
（1）如圖①所示，已知，，是的內半角，則______；
（2）如圖②，已知，將繞點O按順時針方向旋轉一個角度至，當旋轉的角度為何值時，是的內半角？
（3）已知，把一塊含有角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點O以/秒的速度按順時針方向旋轉，如圖④，問：在旋轉一周的過程中，射線，，，能否構成內半角？若能，請求出旋轉的時間；若不能，請說明理由.
【答案】（1）解：∵是的內半角，，
∴
∵，
∴，
（2）解：∵，，
∴，，
∵是的內半角，
∴，
∴，
∴旋轉的角度為21°時，是的內半角；
（3）解：在旋轉一周的過程中，射線，，，能構成內半角
理由如下；
設按順時針方向旋轉一個角度，旋轉的時間為t，
如圖1，∵是的內半角，，
∴，
∴，
解得：，∴；
如圖2，∵是的內半角，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖3，∵是的內半角，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如圖4，∵是的內半角，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
綜上所述，當旋轉的時間為或或或時，射線，，，能構成內半角.
【知識點】角的運算；旋轉的性質；一元一次方程的實際應用-行程問題
【解析】【分析】（1）根據內半角的定義，代入數據，求出，然后再根據等于減去再減去，代入數據即可求解，
（2）根據旋轉的性質可得：，，求出，；再根據內半角的定義，得到，即可求出；
（3）設按順時針方向旋轉一個角度，旋轉的時間為t，然后根據旋轉一周構成內半角的情況總共有四種，分別畫出圖形，求出對應t值即可
（1）解：∵是的內半角，，
∴
∵，
∴，
（2）∵，
，
∴，，
∵是的內半角，
∴，
∴，
∴旋轉的角度為21°時，是的內半角；
（3）在旋轉一周的過程中，射線，，，能構成內半角，理由如下；
理由：設按順時針方向旋轉一個角度，旋轉的時間為t，
如圖1，∵是的內半角，，
∴，
∴，
解得：，∴；
如圖2，∵是的內半角，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖3，∵是的內半角，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如圖4，∵是的內半角，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
綜上所述，當旋轉的時間為或或或時，射線，，，能構成內半角.
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