資源簡介

2024-2025學年人教版數學八年級下冊期末復習試卷
學校:___________姓名:___________班級:___________考號:___________
一、選擇題（本大題共10小題，共30分）
1．以下列各組數為邊長，能構成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．1，1，2
C．2，3，4 D．，，
2．若分式有意義，則實數x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．且
3．某校九年級（1）班要對某小組5名女生一分鐘仰臥起坐的次數進行統計分析，發現數據36，42，56，5■，48中第四個數的個位數字被涂污看不清楚了，則下列統計量中與被涂污數字無關的是（ ）
A．平均數 B．方差 C．中位數 D．眾數
4．均勻的向一個容器內注水，在注水過程中，水面高度與時間的函數關系如圖所示，則該容器是下列中的（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在菱形中，于點，于點．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
6．當，時，的值為（ ）
A．1 B． C． D．4
7．如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑作弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點，作射線交于點．已知，，則的長為（　　）
A． B． C．4 D．
8．數形結合是我們解決數學問題常用的思想方法．如圖，一次函數與（m，n為常數，）的圖象相交于點，則不等式的解集在數軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
9．某校增設了多種體育選修課來鍛煉學生的體能，小穎從教學樓以1米秒的速度步行去操場上乒乓球課，她從教學樓出發的同時小華從操場以5米秒的速度跑步回教學樓拿球拍，再立刻以原速度返回操場上乒乓球課．已知小穎、小華之間的距離（米與出發時間（秒的部分函數圖象，則下列說法錯誤的是（ ）
A．點對應的橫坐標表示小華從操場到教學樓所用的時間
B．時兩人相距120米
C．小穎、小華在75秒時第二次相遇
D．段的函數解析式為
10．如圖,矩形ABCD中,AB=,BC=1,動點E,F分別從點A,C同時出發,以每秒1個單位長度的速度沿AB,CD向終點B,D運動,過點E,F作直線l,過點A作直線l的垂線,垂足為G,則AG的最大值為 (　　)
A．　 B．　 C．2　 D．1
二、填空題（本大題共8小題，共24分）
11．計算 ．
12．將直線向上平移5個單位后，所得直線對應的函數表達式是________.
13．在平行四邊形中，若，則 ．
14．下表記錄了甲、乙、丙、丁四名運動員跳遠選拔賽成績的平均數與方差．根據表中數據，要從中選擇一名成績好，又發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇 ．
甲 乙 丙 丁
平均數 561 560 561 560
方差
15．把 中根號外面的因式移到根號內的結果是 ．
16．函數（m，n為常數，）若，當時，函數有最大值0，則 ．
17．如圖，圓柱體的底面圓周長為，高為，是上底面的直徑，一只螞蟻從點出發，沿著圓柱的側面爬行到點，則爬行的最短路程為 ．
18．如圖，四邊形的兩條對角線，互相垂直，，，則的最小值是 ．

三、解答題（本大題共8小題，共66分）
19．[12分]計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
20．[6分]已知y與成正比例，且當時，．
（1）求y與x的函數關系式；
（2）將（1）中所得函數的圖象向下平移a（）個單位長度，使它過點，請求出a的值．
21．[6分]如圖，四邊形為矩形，為中點，過點作的垂線分別交、于點、，連接、．

（1）求證：四邊形是菱形．
（2）若，，求的長．
22．[8分]2025年春晚節目《秧BOT》以機器人表演傳統秧歌為主題，廣受好評．演出結束后，節目組隨機抽取了50名現場觀眾進行評分，同時統計出5000名線上觀眾評分（滿分10分）．并根據得分繪制了以下不完整的統計表和統計圖：
兩個觀眾群體對《秧BOT》打分樣本數據的平均數、中位數、眾數如下：
平均數 中位數 眾數
現場 8 8
線上 7
（1）直接寫出的值；
（2）請你計算出線上觀眾評分不低于8分的總人數；
（3）小明認為線上觀眾群體對《秧BOT》打分樣本數據更能貼合實際，你同意他的說法嗎？簡要說明理由．
23．[8分]騎行電動自行車時佩戴安全頭盔非常重要．某商店銷售甲、乙兩種不同型號的頭盔，已知甲種型號頭盔的單價比乙種型號頭盔貴10元，且用120元購買的甲種型號頭盔的數量與用90元購買的乙種型號頭盔數量相同．
（1）求甲、乙兩種型號頭盔的單價；
（2）某企業計劃購進甲、乙兩種頭盔共300個，若購買的甲種型號的頭盔的數量不少于乙種型號的，為使購買頭盔的總費用最小，那么應購買甲、乙兩種型號頭盔各多少個？最少費用為多少元？
24．[8分]2025西安馬拉松賽躋身世界田聯金標賽事．為了參加馬拉松賽，小明和爸爸在一條筆直的健身道路上進行長跑訓練，他們從起點出發并保持勻速前進，小明比爸爸起跑早．小明和爸爸出發的距離與小明出發的時間之間的函數關系如圖所示．
（1）求爸爸出發的距離與小明出發的時間之間的函數關系式．
（2）爸爸出發多長時間時追上小明？
25．[8分]閱讀下列材料，然后解答問題：在進行代數式化簡時，我們有時會碰上如，這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：
（1）
（2）
這種化簡的方法叫分母有理化．
（1）參照（1）式化簡______；
（2）參照（2）式化簡______；
（3）化簡：．
26．[10分]【問題提出】
（1）如圖①，在中，，，．若點P是邊上一點，則的最小值為______；
【問題探究】
（2）如圖②，在中，，，點E是的中點．若點P是邊上一點，試求的最小值；
【問題解決】
（3）某市一濕地公園內有一條四邊形ABCD型環湖路，如圖③所示．已知米，米，，，．為了進一步提升服務休閑功能，滿足市民游園和健身需求，現要修一條由連接而成的步行景觀道，其中，點E，F分別在邊上．為了節省成本，要使所修的這條步行景觀道最短，即的值最小，求此時的長．（路面寬度忽略不計）
參考答案
1．【答案】A
【分析】根據勾股定理的逆定理，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：A、，能構成直角三角形，故本選項符合題意；
B、不能構成三角形，故本選項不符合題意；
C、，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；
D、，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；
故選A
2．【答案】D
【分析】根據二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式求解即可．
【詳解】解：∵分式有意義，
∴且，
解得，且，
故選D．
3．【答案】C
【分析】主要包括平均數、中位數、眾數、方差；將一組數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．利用中位數、平均數、眾數和方差的定義對各選項進行判斷即可．
【詳解】解：∵這組數據的平均數、方差和眾數都與被涂污數字有關，而這組數據的中位數為48，與被涂污數字無關，
∴與被涂污數字無關的統計量是中位數．
故選C．
4．【答案】D
【分析】由函數圖象可得容器形狀不是均勻物體，由圖象及容積可求解．
【詳解】根據圖象折線可知是正比例函數和一次函數的函數關系的大致圖象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；
因為D幾何體下面的圓柱體的底圓面積比上面圓柱體的底圓面積小,
所以在均勻注水的前提下是先快后慢；
故此題答案為D.
【關鍵點撥】此題主要考查了函數圖象，解決此題的關鍵是根據用的時間長短來判斷相應的函數圖象．
5．【答案】C
【分析】由菱形的性質可得：，，推出，由垂直的定義可得：，進而得到，最后根據角的和差求解即可．
【詳解】解：四邊形是菱形，
，，
，
，
于點，于點，
，
，
，
故選C．
6．【答案】C
【分析】通過因式分解簡化表達式，再利用實數運算法則（尤其二次根式運算）逐步求值，體現了實數運算中 “先化簡再計算” 的策略．先對因式分解，提取公因式得，再用平方差公式進一步分解為．接著代入，分別計算的值，最后相乘得出結果．
【詳解】解：
，
，
當，時，
，
原式=，
故選．
7．【答案】A
【分析】根據基本作圖可判斷平分，過F作于G，再利用角平分線的性質得到，根據勾股定理求出，證明，得出，設，則，，根據勾股定理得出，求出，根據勾股定理求出即可．
【詳解】解：過F作于G，
平分，，
，
在中根據勾股定理得：
，
，
，
設，則，，
在中，根據勾股定理得：
即：，
解得，
在中根據勾股定理得：，
故選A．
8．【答案】C
【分析】直接根據一次函數的圖象即可得出結論．
【詳解】解：由一次函數的圖象可知，當時，一次函數的圖象在一次函數的圖象的上方，
所以關于x的不等式的解集是，
所以在數軸上表示的解集，只有選項C符合．
故選C．
9．【答案】D
【分析】小穎、小華分別同時從教學樓和操場相向出發，兩人之間的距離一直在縮短，在點處第一次相遇；第一次相遇后，兩個繼續相向而行，兩人之間的距離逐漸增大，在點時小華到達教學樓；之后，小華開始返回，兩人變為同向而行，兩人之間的距離開始縮短，在點時兩人第二次相遇．根據兩人的運動過程，逐個選項分析判斷即可．
【詳解】解：由題意可知，兩人在點處第一次相遇，在點處小華到達教學樓．
故A正確，不符合題意．
設所在的直線解析式為．將和代入，
得，解得．
所在的直線解析式為．
當時，．
故B正確，不符合題意．
設小穎、小華在秒時第二次相遇，
根據題意，得，解得．
故C正確，不符合題意．
當時，小華到達教學樓，此時兩人距離為（米，
點的坐標為．
由選項可知，小穎、小華在點處第二次相遇，此時．
點的坐標為．
設段的函數解析式為．將和代入，
得，解得．
．
故D錯誤，符合題意．
故選D．
10．【答案】D
【詳解】連接AC交EF于點O,取OA中點H,連接GH,如圖所示.
∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AB∥CD,
∴在Rt△ABC中,AC===2,
∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO.
在△AOE與△COF中,
∴△AOE≌△COF,∴AO=CO=AC=1.
∵AG⊥EF,H是OA的中點,
∴在Rt△AGO中,GH=AO=,
∴點G的軌跡為以H為圓心,為半徑,即AO為直徑的圓弧,
∴AG的最大值為AO的長,即AG的最大值為1.
故選D.
11．【答案】
【分析】先把每個二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式即可．
【詳解】解：原式
.
12．【答案】
【詳解】將直線向上平移5個單位后，所得直線對應的函數表達式是.故答案為.
13．【答案】
【分析】根據平行四邊形的鄰角互補可得，然后解方程組求出，再根據平行四邊形的對角相等可得．
【詳解】解：在平行四邊形中，，
，
.
14．【答案】丙
【分析】根據根據平均數的意義先比較出甲、乙、丙、丁的大小，再方差的意義即可求出答案．
【詳解】解：∵甲和丙的平均數，乙和丁的平均數， ，
∴甲、丙成績比乙、丁好．
∵甲方差、乙方差、丙方差、丁方差，方差越小越穩定，
∴乙、丙發揮比甲、丁穩定．
綜合成績好（平均數大）和發揮穩定（方差小），丙符合.
15．【答案】
【分析】根據二次根式的性質進行求解即可．
【詳解】解：
16．【答案】
【分析】分兩種情況：當，即時；當，即時；根據一次函數的性質列出二元一次方程組，解方程即可得解．
【詳解】解：①當，即時，
當時，y取到最大值，，
整理，得．
聯立方程組：．
解得．
②當，即時，
當時，y取到最大值，，
整理，得．
聯立方程組：，
解得（舍去）．
綜上所述，n的值是．
17．【答案】/5厘米
【分析】把圓柱體沿展開，則的長是圓柱體底面圓周長的一半，在中利用勾股定理即可求出的長，的長就是螞蟻在圓柱體的側面爬行的最短路程．
【詳解】把圓柱體沿展開，得到矩形，如下圖所示，
連接，則就是螞蟻爬行的最短路線．
∵圓柱體的底面圓周長為，
∴
∵，
∴．
18．【答案】
【分析】設的交點為，的中點分別是，連接，先證，由此得當最小時，最小，再根據“兩點之間線段最短”得，再證四邊形是矩形，且，根據勾股定理的，進而求得的最小值．
【詳解】解：設的交點為，的中點分別是，連接，
互相垂直，
和為直角三角形，且分別為斜邊，
，
，
當最小時，最小，再根據“兩點之間線段最短”得，
當點在線段上時，最小，最小值為線段的長，
分別為的中點，
是的中位線，
，
同理，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是矩形，
在中，，
，
的最小值為，
的最小值為．

19．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)36
【分析】（1）首先將各數化簡為最簡二次根式，然后相加減即可；
（2）首先將各數化簡為最簡二次根式，然后相加減即可；
（3）根據二次根式乘除運算法則和零指數冪運算法則進行計算即可；
（4）首先將原式整理為，在根據平方差公式進行運算，然后進行加法運算和乘方運算即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
20．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由y與成正比例，設出關系式，把x與y的值代入k的值，即可確定出解析式；
（2）利用平移規律設出平移后的解析式，把代入即可求解．
【詳解】（1）解：設，
把時，代入得：，即，
則y與x函數關系式為，即；
（2）解：將（1）中所得函數的圖象向下平移a（）個單位長度，
平移后的解析式為，
把點代入得：，即．
21．【答案】（1）見詳解
（2）
【分析】（1）由條件可先證四邊形為平行四邊形，再結合線段垂直平分線的性質可證得結論；
（2）由菱形的性質可求得，設，在和中，分別利用勾股定理可得到關于的方程，可求得的長．
【詳解】（1）證明：為中點，，
為的垂直平分線，
，，，．
∵四邊形ABCD是矩形，
，
，
，
∴，
四邊形平行四邊形．
又，
四邊形是菱形；
（2）解：∵四邊形是菱形，，，
，，
，
設，
在中，，
在中，．
，
解得，
．
22．【答案】（1）12，，7
（2）2400人
（3）同意，見詳解
【分析】（1）根據平均數、中位數的定義即可求得，結合扇形統計圖中所占百分比即可求得；
（2）利用總人數乘以不低于8分的百分比即可；
（3）根據樣本容量大更具有代表性即可作答．
【詳解】（1）解：根據題意，得，
故，
根據中位線的定義，得應該在的7分范圍內，
故中位數為（分），
根據題意，得（分），
故答案為：12，，7．
（2）解：根據題意，得（人），
答：線上觀眾評分不低于8分的人數為2400人．
（3）解：同意，理由：線上觀眾群體樣本容量大，更具有代表性．
23．【答案】（1）甲、乙兩種型號頭盔的單價分別是40元、30元
（2）購買75個甲種頭盔，225個乙種頭盔時，總費用最少，最少費用為9750元
【分析】（1）設乙種型號頭盔的單價是x元，則甲種頭盔的單價是元，根據等量關系開出分式方程即可求解；
（2）設購買m個甲種頭盔，根據不等關系列出關于m的一元一次不等式，求出m的取值范圍；設該企業購買甲乙兩種頭盔共花費w元，根據總價、單價與數量的關系列出函數關系式，利用一次函數的性質即可求解最值．
【詳解】（1）解：設乙種型號頭盔的單價是x元，則甲種頭盔的單價是元，
由題意得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
所以（元）；
答：甲、乙兩種型號頭盔的單價分別是40元、30元；
（2）解：設購買m個甲種頭盔，則購買個乙種頭盔，
由題意得：，
解得：；
設該企業購買甲乙兩種頭盔共花費w元，
則，
，，
隨m的增大而增大，
當時，w取得最小值，最小值為（元），此時（個）．
答：當購買75個甲種頭盔，225個乙種頭盔時，總費用最少，最少費用為9750元．
24．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）設爸爸出發的距離與小明出發的時間之間的函數關系式為，待定系數法求解析式，即可求解；
（2）小明出發的距離與他出發的時間之間的函數關系式為，令，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：設爸爸出發的距離與小明出發的時間之間的函數關系式為，
把點，代入，得
解得
∴爸爸出發的距離與小明出發的時間之間的函數關系式為．分．
（2）根據函數圖象，時，，
∴小明出發的距離與他出發的時間之間的函數關系式為．
令，
解得，
則．
答：爸爸出發時追上小明．
25．【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根據分母有理化的方法計算即可；
（2）根據分母有理化的方法進行計算即可；
（3）先進行分母有理化，再進行計算即可．
【詳解】（1）解：.
（2）.
（3）
．
26．【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）過點B作于P，由垂線段最短可知，當時，的值最小，根據勾股定理和三角形面積公式求解即可；
（2）作點E關于直線的對稱點，連接，由軸對稱的性質可知，可得共線，此時最小，最小值為的長度，根據等腰三角形的性質和勾股定理求解即可；
（3）作C關于的對稱點M，連接，交于，作點C關于的對稱點N，連接，延長，交于G，連接，交于點E，交于點F，由軸對稱的性質可得，再根據軸對稱的性質，勾股定理和等邊三角形的判定和性質求解即可．
【詳解】（1）過點B作于P，如圖，
由垂線段最短可知，當時，的值最小，
∵，
∴
∵
∴.
（2）作點E關于直線的對稱點，連接，如圖，
∵E，關于直線對稱，
∴，
∴，
∴共線，
∴此時最小，最小值為的長度，
∵
∴，
∵點E是的中點，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴的最小值為；
（3）作C關于的對稱點M，連接，交于，作點C關于的對稱點N，連接，延長，交于G，連接，交于點E，交于點F，如圖，
∵C，N關于對稱，C，M關于對稱，
∴，
∴，
∵共線，
∴此時的值最小，
∵，，，
∴
∵C，M關于對稱，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵C，N關于對稱，，
∴共線，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴的長為500米，的長為1000米．
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