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廣東省江門市培英中學(xué)2024年中考數(shù)學(xué)一模試卷
1．（2024·江門模擬）計(jì)算的結(jié)果等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的加法法則
【解析】【解答】解：．
故選B．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法即可求出答案.
2．（2024·江門模擬）以下是四個(gè)銀行標(biāo)志圖案，圖案中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形
【解析】【解答】解：A、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
B、該圖形既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
C、該圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
D、該圖形既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
故選：D．
【分析】在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形；在平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后，能與原圖形重合，那么就說這個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形.
3．（2024·江門模擬）預(yù)計(jì)到2025年，中國(guó)5G用戶將超過億，將億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解：億．
故選：D．
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解.
4．（2024·江門模擬）如圖，一把直尺、兩個(gè)含的三角尺拼接在一起，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：由題意知，，
∴，
故選：C．
【分析】根據(jù)直線平行性質(zhì)即可求出答案.
5．（2024·江門模擬）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法；同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用；冪的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A、，故選項(xiàng)正確，符合題意；
B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A
【分析】根據(jù)冪的乘方，合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪的乘除法逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
6．（2024·江門模擬）下列語句正確的是（　　）
A．負(fù)數(shù)沒有立方根 B．的立方根是
C．立方根等于本身的數(shù)只有 D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】立方根的概念與表示；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵正數(shù)、0和負(fù)數(shù)都有立方根，
∴選項(xiàng)A不符合題意；
∵64的立方根是4，
∴選項(xiàng)B不符合題意；
∵立方根等于本身的數(shù)有和0，
∴選項(xiàng)C不符合題意；
∴，
∴選項(xiàng)D符合題意，
故選：D．
【分析】根據(jù)立方根的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
7．（2024·江門模擬）分式方程的解為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程
【解析】【解答】解：在方程兩邊同乘以，得：
，
解得：，
檢驗(yàn)：把代入，得：，
∴是原方程的解．
故選：C．
【分析】去分母轉(zhuǎn)換為整式方程，再解方程即可求出答案.
8．（2024·江門模擬）二次函數(shù)的圖象過，，，四個(gè)點(diǎn)，下列說法一定正確的是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解：，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
，
∴拋物線開口向下，
，
，
若，則，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
若，則，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
若，則，
，選項(xiàng)C正確，
若，則，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：C．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.
9．（2024·江門模擬）箱內(nèi)有50顆白球和10顆紅球，小慧打算從箱內(nèi)抽球31次，每次從箱內(nèi)抽出一球，如果抽出白球則將白球放回箱內(nèi)，如果抽出紅球則不將紅球放回箱內(nèi)．已知小慧在前30次抽球中共抽出紅球4次，若她第31次抽球時(shí)箱內(nèi)的每顆球被抽出的機(jī)會(huì)相等，則這次她抽出紅球的機(jī)率為何？（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】概率公式
【解析】【解答】解：由題意得，第31次抽球時(shí)箱內(nèi)共有球的數(shù)量為：50+10-4=56（棵），
共有紅色球的數(shù)量為10-4=6（棵），
∴ 第31次抽球時(shí)， 抽出紅球的機(jī)率為.
故答案為：D.
【分析】找出第31次抽球時(shí)，袋中球的總個(gè)數(shù)及紅色小球的個(gè)數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算可得答案.
10．（2024·江門模擬）如圖，A，B兩點(diǎn)分別為與x軸，y軸的切點(diǎn)．，C為優(yōu)弧的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為（　　）
A． B． C．12 D．16
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；切線的性質(zhì)；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
則：，
∵A，B兩點(diǎn)分別為與x軸，y軸的切點(diǎn)，
∴軸，軸，
∴軸，
∴，
∴四邊形為正方形；
∵，
∴，
∴，；
∵軸，軸，，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∵C為優(yōu)弧的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選A．
【分析】連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)， 則：， 根據(jù)正方形判定定理可得四邊形為正方形，則，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得，則，，再根據(jù)矩形判定定理可得四邊形為矩形，，，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠COE，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得CD，DF，則，再根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)C坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出答案.
11．（2024·江門模擬）計(jì)算：　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】解：，
故答案為：．
【分析】分式的運(yùn)算法則：①同分母分式加減法則：分母不變，分子相加減；②異分母分式加減法則：先通分，化為同分母分式，通分后再按照同分母分式的加減法則計(jì)算，據(jù)此即可得出答案.
12．（2024·江門模擬）已知x＝﹣2是方程+ax﹣2＝0的根，則a的值是 　 　．
【答案】1
【知識(shí)點(diǎn)】已知一元二次方程的根求參數(shù)
【解析】【解答】解：由題意可知：
把x＝﹣2代入方程+ax﹣2＝0中
4﹣2a﹣2＝0，解得：a＝1
故答案為1．
【分析】
根據(jù)方程解的定義，把x＝﹣2代入方程+ax﹣2＝0得到關(guān)于a的方程4﹣2a﹣2＝0，解出a即可．
13．（2024·江門模擬）比大且比小的整數(shù)是　 　．
【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】無理數(shù)的大小比較；無理數(shù)的估值
【解析】【解答】解：∵，，
∴比大且比小的整數(shù)是3，
故答案為：3．
【分析】先估算無理數(shù)范圍，再比較大小即可求出答案.
14．（2024·江門模擬）三角形具有穩(wěn)定性，所以要使如圖所示的五邊形木架不變形，至少要釘上　 　根木條．
【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的穩(wěn)定性；多邊形的對(duì)角線
【解析】【解答】解：∵過五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，有2條對(duì)角線，
∴至少要釘上2根木條，
故答案為：2．
【分析】要使五邊形木架不變形需把它分成三角形，即過五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，有幾條對(duì)角線，就至少要釘上幾根木條．
15．（2024·江門模擬）如圖，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)D、G分別在邊、上，如果的邊長(zhǎng)為20，高為15，那么正方形的邊長(zhǎng)為　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定；三角形內(nèi)接矩形相似模型；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)三線
【解析】【解答】解：∵四邊形是正方形，
∴，即，
∵是的高，
∴，
．
∵，
∴，
．
，，
，，
∴，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)，
∵長(zhǎng)為20，高為15，
∴，
解得．
故正方形的邊長(zhǎng)是．
故答案為：．
【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)可得，即，再根據(jù)相似三角形判定定理可得，則．再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)，代入等式，解方程即可求出答案.
16．（2024·江門模擬）計(jì)算：
【答案】解：原式=3-2
【知識(shí)點(diǎn)】求特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算（含開方）
【解析】【解答】
=2--1+2-2×
=2-+1-
= 3-2 ，
故答案為： 3-2.
【分析】先利用絕對(duì)值的性質(zhì)、0指數(shù)冪的性質(zhì)、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)嗎，再計(jì)算即可.
17．（2024·江門模擬）某校舉行“中國(guó)共產(chǎn)黨十九大”知識(shí)問答競(jìng)賽．每班選20名同學(xué)參加比賽．根據(jù)答對(duì)的題目數(shù)量得分，等級(jí)分為5分，4分，3分，2分．學(xué)校將八年級(jí)甲班和乙班的成績(jī)整理并繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖．
甲、乙兩班成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
班級(jí) 平均數(shù)（分） 中位數(shù)（分） 眾數(shù)（分）
甲班 3.6 4
乙班 3.6 3.5
（1）請(qǐng)把甲班知識(shí)問答成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．
（2）通過統(tǒng)計(jì)得到表，請(qǐng)求出表中數(shù)據(jù)______，______．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，你認(rèn)為甲，乙兩班哪個(gè)班級(jí)成績(jī)更好？寫出你的理由．
【答案】（1）解：甲班得分為3分的人數(shù)為（人），
補(bǔ)全圖形如下：
（2）4，5
（3）解：甲班成績(jī)更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成績(jī)的中位數(shù)大于乙班，
所以加班高分人數(shù)多于乙班，
∴甲班成績(jī)更好（答案不唯一）．
【知識(shí)點(diǎn)】扇形統(tǒng)計(jì)圖；條形統(tǒng)計(jì)圖；中位數(shù)；眾數(shù)
【解析】【解答】（2）解：甲班中位數(shù)是第10和第11個(gè)數(shù)，都是4分，
∴；
乙班中，出現(xiàn)最多的是5分，
∴；
故答案為：4，5；
【分析】（1）根據(jù)各得分人數(shù)和為20求出得分為3分的人數(shù)即可補(bǔ)全圖形；
（2）根據(jù)中位數(shù)與眾數(shù)的定義求解即可；
（3）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義求解即可.
（1）解：甲班得分為3分的人數(shù)為（人），
補(bǔ)全圖形如下：
（2）解：甲班中位數(shù)是第10和第11個(gè)數(shù)，都是4分，
∴；
乙班中，出現(xiàn)最多的是5分，
∴；
故答案為：4，5；
（3）解：甲班成績(jī)更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成績(jī)的中位數(shù)大于乙班，
所以加班高分人數(shù)多于乙班，
∴甲班成績(jī)更好（答案不唯一）．
18．（2024·江門模擬）如圖，在四邊形中，平分．
（1）求證；
（2）請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作的外接圓（不必寫作法，但要保留作圖痕跡），求證：是的切線．
【答案】（1）證明：，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：如圖，即為所求．
證明：連接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
為的半徑，
是的切線．
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)；切線的判定；角平分線的概念；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊；尺規(guī)作圖-作三角形的外接圓
【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得AD，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，根據(jù)角平分線定義可得，再根據(jù)相似三角形判定定理可得，則，即可求出答案.
（2）連接，根據(jù)角平分線定義可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，則，再根據(jù)直線平行判定定理可得，則，再根據(jù)切線判定定理即可求出答案.
（1）證明：，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：如圖，即為所求．
證明：連接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
為的半徑，
是的切線．
19．（2024·江門模擬）圖1是放置在寫字臺(tái)上的一盞折疊式臺(tái)燈，其主視圖如圖2，座桿與水平桌面垂直，臂桿可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)，燈體可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)． 若，，在同一平面上，，，，臂桿與座桿的夾角即，臂桿與燈體的夾角即，燈體上點(diǎn)到水平桌面的高度為．
（1）求的度數(shù)．
（2）求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)C作，延長(zhǎng)交于H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
在中，
，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)為．
【知識(shí)點(diǎn)】矩形的判定；解直角三角形的其他實(shí)際應(yīng)用；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【分析】（1）過點(diǎn)C作，延長(zhǎng)交于H，根據(jù)補(bǔ)角可得∠CBH=42°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出答案.
（2）解直角三角形可得BH，DF，再根據(jù)矩形判定定理可得四邊形是矩形，則，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
（1）解：如圖所示，過點(diǎn)C作，延長(zhǎng)交于H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
在中，
，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)為．
20．（2024·江門模擬）由于共享單車的投放使用，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某商城的自行車銷售量逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，該商城5月份銷售自行車64輛，7月份銷售100輛．
（1）若該商城5月至7月的自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率相同，求自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率．
（2）考慮到自行車需求不斷增加，該商場(chǎng)準(zhǔn)備再購進(jìn)一批兩種規(guī)格的自行車共100輛．已知A型車的進(jìn)價(jià)為每輛500元，售價(jià)為每輛700元；B型車的進(jìn)價(jià)為每輛1000元，售價(jià)為每輛1300元．假設(shè)所購進(jìn)的車輛全部售完，為使利潤(rùn)不低于26000元，該商場(chǎng)購進(jìn)A型車不超過多少輛？
【答案】（1）解：設(shè)自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率為x，
依題意得：，
解得：（不合題意，舍去）．
答：自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率為；
（2）解：設(shè)該商場(chǎng)購進(jìn)A型車m輛，則購進(jìn)B型車輛，
依題意得：，
解得：，
答：該商場(chǎng)購進(jìn)A型車不超過40輛．
【知識(shí)點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用；一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-百分率問題
【解析】【分析】（1）設(shè)自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)該商城5月份銷售自行車64輛，7月份銷售100輛建立方程，解方程即可求出答案.
（2）設(shè)該商場(chǎng)購進(jìn)A型車m輛，則購進(jìn)B型車輛，分別求出A型車和B型車的利潤(rùn)，再根據(jù)總利潤(rùn)不低于26000元建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：設(shè)自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率為x，
依題意得：，
解得：（不合題意，舍去）．
答：自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率為；
（2）解：設(shè)該商場(chǎng)購進(jìn)A型車m輛，則購進(jìn)B型車輛，
依題意得：，
解得：，
答：該商場(chǎng)購進(jìn)A型車不超過40輛．
21．（2024·江門模擬）綜合與實(shí)踐
【主題】黃金矩形
【素材】素材一：矩形就是長(zhǎng)方形．四個(gè)角都是，兩組對(duì)邊平行且相等．
素材二：寬與長(zhǎng)的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形．世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．
素材三：黃金矩形是可以通過折紙折疊出來的。
【操作步驟】
【第一步】在一張矩形紙片的一端，利用圖1所示的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．
【第二步】如圖2，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平．
【第三步】折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線，并把折到圖3中所示的處．
【第四步】展平紙片，按照所得的點(diǎn)折出，矩形（圖4）就是黃金矩形．
【問題解決】設(shè)．
（1）求證：矩形是黃金矩形．
（2）求證：矩形MNDE也是黃金矩形．
【答案】（1）證明：根據(jù)題意可得，，，
∴，
根據(jù)勾股定理可得，
∴
∴
∴
∴矩形是黃金矩形．
（2）證明：由（1）知，，，
∴，
∴，
故矩形是黃金矩形．
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；勾股定理；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，，則，根據(jù)勾股定理可得AB，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得CD，再根據(jù)黃金矩形的定義即可求出答案.
（2）由（1）知，，，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得ND，再根據(jù)黃金矩形的定義即可求出答案.
（1）證明：根據(jù)題意可得，，，
∴，
根據(jù)勾股定理可得，
∴
∴
∴
∴矩形是黃金矩形．
（2）證明：由（1）知，，，
∴，
∴，
故矩形是黃金矩形．
22．（2024·江門模擬）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）當(dāng)時(shí)，解決下列問題．
①求拋物線的解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點(diǎn)C及的一段，分別記為．平移該膠片，使所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為，求點(diǎn)移動(dòng)的最短路程；
（2）已知直線．定義：橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”
①判斷直線是否過點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，直接寫出直線與拋物線圍成的封閉圖形邊界上“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；
③當(dāng)時(shí)，記拋物線在的部分為．光點(diǎn)從點(diǎn)彈出，沿直線發(fā)射，若擊中拋物線上的“美點(diǎn)”，就算發(fā)射成功，直接寫出此時(shí)整數(shù)的個(gè)數(shù)．
【答案】（1）解：①∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴把代入
得
∵
∴
解得
∴把，代入
得出；
∴
則頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
∵與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C．
∴
則
∴；
②由①知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
依題意，∵坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點(diǎn)C及的一段，分別記為．平移該膠片，使所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為
∴函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
即點(diǎn)移動(dòng)的最短路程為與之間的距離（兩點(diǎn)之間線段最短）
∴
∴點(diǎn)移動(dòng)的最短路程為．
（2）解：①依題意，把代入
得
∴直線過點(diǎn)；
②5
③個(gè)
【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理；坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)距離公式；二次函數(shù)圖象的平移變換
【解析】【解答】解：（2）②∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴把代入
得
①當(dāng)時(shí)，
∴，
解得；
∴，頂點(diǎn)坐標(biāo)為
∴；
則直線與拋物線圍成的封閉圖形如圖所示：
∴邊界上“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)有個(gè)點(diǎn)；
③∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴把代入
得
∵
∴
∴
∵光點(diǎn)從點(diǎn)彈出，沿直線發(fā)射，若擊中拋物線上的“美點(diǎn)”，就算發(fā)射成功，
∴
∴
∴
∵均為整數(shù)，拋物線在的部分為．
∴當(dāng)時(shí)，則（不符合題意，舍去）
當(dāng)時(shí)，則（符合題意）
當(dāng)時(shí)，則（不符合題意，舍去）
當(dāng)時(shí)，則（符合題意）
當(dāng)時(shí)，則（不符合題意，舍去）
當(dāng)時(shí)，則（符合題意）
以此類推，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為的整數(shù)倍，不是整數(shù)，不符合題意；
以此類推，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為的整數(shù)倍，是整數(shù)，符合題意；
∴含有（個(gè)）
∴此時(shí)整數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)．
【分析】（1）①根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式可得，轉(zhuǎn)換為頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)C坐標(biāo).
②①知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)圖象的平移規(guī)律可得函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即點(diǎn)移動(dòng)的最短路程為與之間的距離（兩點(diǎn)之間線段最短），根據(jù)兩點(diǎn)間距離即可求出答案.
（2）①將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式進(jìn)行判斷即可求出答案.
②根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式可得，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為，作出圖形，根據(jù)“美點(diǎn)”的定義即可求出答案.
③根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式可得，根據(jù)題意聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為的整數(shù)倍，不是整數(shù)，不符合題意；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為的整數(shù)倍，是整數(shù)，符合題意；則，此時(shí)整數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)，即可求出答案.
23．（2024·江門模擬）【知識(shí)技能】
（1）如圖1，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，垂足為點(diǎn)G．求證：．
【數(shù)學(xué)理解】
（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，延長(zhǎng)到點(diǎn)H，使，連接．求證：．
【拓展探案】
（3）如圖3，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：∵四邊形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)H在的延長(zhǎng)線上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如解圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，即的長(zhǎng)為3．
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊
【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)可得，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得，再根據(jù)相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根據(jù)正方形性質(zhì)可得，，，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，則，則，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，則，再根據(jù)直線平行性質(zhì)可得，則，即可求出答案.
（3）延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，根據(jù)菱形性質(zhì)可得，，則，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，，再根據(jù)等邊三角形判定定理可得是等邊三角形，則， 再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
1 / 1廣東省江門市培英中學(xué)2024年中考數(shù)學(xué)一模試卷
1．（2024·江門模擬）計(jì)算的結(jié)果等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·江門模擬）以下是四個(gè)銀行標(biāo)志圖案，圖案中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·江門模擬）預(yù)計(jì)到2025年，中國(guó)5G用戶將超過億，將億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·江門模擬）如圖，一把直尺、兩個(gè)含的三角尺拼接在一起，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·江門模擬）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·江門模擬）下列語句正確的是（　　）
A．負(fù)數(shù)沒有立方根 B．的立方根是
C．立方根等于本身的數(shù)只有 D．
7．（2024·江門模擬）分式方程的解為（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·江門模擬）二次函數(shù)的圖象過，，，四個(gè)點(diǎn)，下列說法一定正確的是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
9．（2024·江門模擬）箱內(nèi)有50顆白球和10顆紅球，小慧打算從箱內(nèi)抽球31次，每次從箱內(nèi)抽出一球，如果抽出白球則將白球放回箱內(nèi)，如果抽出紅球則不將紅球放回箱內(nèi)．已知小慧在前30次抽球中共抽出紅球4次，若她第31次抽球時(shí)箱內(nèi)的每顆球被抽出的機(jī)會(huì)相等，則這次她抽出紅球的機(jī)率為何？（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·江門模擬）如圖，A，B兩點(diǎn)分別為與x軸，y軸的切點(diǎn)．，C為優(yōu)弧的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為（　　）
A． B． C．12 D．16
11．（2024·江門模擬）計(jì)算：　 　．
12．（2024·江門模擬）已知x＝﹣2是方程+ax﹣2＝0的根，則a的值是 　 　．
13．（2024·江門模擬）比大且比小的整數(shù)是　 　．
14．（2024·江門模擬）三角形具有穩(wěn)定性，所以要使如圖所示的五邊形木架不變形，至少要釘上　 　根木條．
15．（2024·江門模擬）如圖，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)D、G分別在邊、上，如果的邊長(zhǎng)為20，高為15，那么正方形的邊長(zhǎng)為　 　．
16．（2024·江門模擬）計(jì)算：
17．（2024·江門模擬）某校舉行“中國(guó)共產(chǎn)黨十九大”知識(shí)問答競(jìng)賽．每班選20名同學(xué)參加比賽．根據(jù)答對(duì)的題目數(shù)量得分，等級(jí)分為5分，4分，3分，2分．學(xué)校將八年級(jí)甲班和乙班的成績(jī)整理并繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖．
甲、乙兩班成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
班級(jí) 平均數(shù)（分） 中位數(shù)（分） 眾數(shù)（分）
甲班 3.6 4
乙班 3.6 3.5
（1）請(qǐng)把甲班知識(shí)問答成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．
（2）通過統(tǒng)計(jì)得到表，請(qǐng)求出表中數(shù)據(jù)______，______．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，你認(rèn)為甲，乙兩班哪個(gè)班級(jí)成績(jī)更好？寫出你的理由．
18．（2024·江門模擬）如圖，在四邊形中，平分．
（1）求證；
（2）請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作的外接圓（不必寫作法，但要保留作圖痕跡），求證：是的切線．
19．（2024·江門模擬）圖1是放置在寫字臺(tái)上的一盞折疊式臺(tái)燈，其主視圖如圖2，座桿與水平桌面垂直，臂桿可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)，燈體可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)． 若，，在同一平面上，，，，臂桿與座桿的夾角即，臂桿與燈體的夾角即，燈體上點(diǎn)到水平桌面的高度為．
（1）求的度數(shù)．
（2）求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）
20．（2024·江門模擬）由于共享單車的投放使用，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某商城的自行車銷售量逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，該商城5月份銷售自行車64輛，7月份銷售100輛．
（1）若該商城5月至7月的自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率相同，求自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率．
（2）考慮到自行車需求不斷增加，該商場(chǎng)準(zhǔn)備再購進(jìn)一批兩種規(guī)格的自行車共100輛．已知A型車的進(jìn)價(jià)為每輛500元，售價(jià)為每輛700元；B型車的進(jìn)價(jià)為每輛1000元，售價(jià)為每輛1300元．假設(shè)所購進(jìn)的車輛全部售完，為使利潤(rùn)不低于26000元，該商場(chǎng)購進(jìn)A型車不超過多少輛？
21．（2024·江門模擬）綜合與實(shí)踐
【主題】黃金矩形
【素材】素材一：矩形就是長(zhǎng)方形．四個(gè)角都是，兩組對(duì)邊平行且相等．
素材二：寬與長(zhǎng)的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形．世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．
素材三：黃金矩形是可以通過折紙折疊出來的。
【操作步驟】
【第一步】在一張矩形紙片的一端，利用圖1所示的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．
【第二步】如圖2，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平．
【第三步】折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線，并把折到圖3中所示的處．
【第四步】展平紙片，按照所得的點(diǎn)折出，矩形（圖4）就是黃金矩形．
【問題解決】設(shè)．
（1）求證：矩形是黃金矩形．
（2）求證：矩形MNDE也是黃金矩形．
22．（2024·江門模擬）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）當(dāng)時(shí)，解決下列問題．
①求拋物線的解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點(diǎn)C及的一段，分別記為．平移該膠片，使所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為，求點(diǎn)移動(dòng)的最短路程；
（2）已知直線．定義：橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”
①判斷直線是否過點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，直接寫出直線與拋物線圍成的封閉圖形邊界上“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；
③當(dāng)時(shí)，記拋物線在的部分為．光點(diǎn)從點(diǎn)彈出，沿直線發(fā)射，若擊中拋物線上的“美點(diǎn)”，就算發(fā)射成功，直接寫出此時(shí)整數(shù)的個(gè)數(shù)．
23．（2024·江門模擬）【知識(shí)技能】
（1）如圖1，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，垂足為點(diǎn)G．求證：．
【數(shù)學(xué)理解】
（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，延長(zhǎng)到點(diǎn)H，使，連接．求證：．
【拓展探案】
（3）如圖3，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，，，求的長(zhǎng)．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的加法法則
【解析】【解答】解：．
故選B．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法即可求出答案.
2．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形
【解析】【解答】解：A、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
B、該圖形既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
C、該圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
D、該圖形既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
故選：D．
【分析】在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形；在平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后，能與原圖形重合，那么就說這個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形.
3．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解：億．
故選：D．
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解.
4．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：由題意知，，
∴，
故選：C．
【分析】根據(jù)直線平行性質(zhì)即可求出答案.
5．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法；同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用；冪的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A、，故選項(xiàng)正確，符合題意；
B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A
【分析】根據(jù)冪的乘方，合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪的乘除法逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
6．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】立方根的概念與表示；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵正數(shù)、0和負(fù)數(shù)都有立方根，
∴選項(xiàng)A不符合題意；
∵64的立方根是4，
∴選項(xiàng)B不符合題意；
∵立方根等于本身的數(shù)有和0，
∴選項(xiàng)C不符合題意；
∴，
∴選項(xiàng)D符合題意，
故選：D．
【分析】根據(jù)立方根的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
7．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程
【解析】【解答】解：在方程兩邊同乘以，得：
，
解得：，
檢驗(yàn)：把代入，得：，
∴是原方程的解．
故選：C．
【分析】去分母轉(zhuǎn)換為整式方程，再解方程即可求出答案.
8．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解：，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
，
∴拋物線開口向下，
，
，
若，則，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
若，則，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
若，則，
，選項(xiàng)C正確，
若，則，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：C．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.
9．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】概率公式
【解析】【解答】解：由題意得，第31次抽球時(shí)箱內(nèi)共有球的數(shù)量為：50+10-4=56（棵），
共有紅色球的數(shù)量為10-4=6（棵），
∴ 第31次抽球時(shí)， 抽出紅球的機(jī)率為.
故答案為：D.
【分析】找出第31次抽球時(shí)，袋中球的總個(gè)數(shù)及紅色小球的個(gè)數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算可得答案.
10．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；切線的性質(zhì)；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
則：，
∵A，B兩點(diǎn)分別為與x軸，y軸的切點(diǎn)，
∴軸，軸，
∴軸，
∴，
∴四邊形為正方形；
∵，
∴，
∴，；
∵軸，軸，，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∵C為優(yōu)弧的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選A．
【分析】連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)， 則：， 根據(jù)正方形判定定理可得四邊形為正方形，則，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得，則，，再根據(jù)矩形判定定理可得四邊形為矩形，，，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠COE，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得CD，DF，則，再根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)C坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出答案.
11．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】解：，
故答案為：．
【分析】分式的運(yùn)算法則：①同分母分式加減法則：分母不變，分子相加減；②異分母分式加減法則：先通分，化為同分母分式，通分后再按照同分母分式的加減法則計(jì)算，據(jù)此即可得出答案.
12．【答案】1
【知識(shí)點(diǎn)】已知一元二次方程的根求參數(shù)
【解析】【解答】解：由題意可知：
把x＝﹣2代入方程+ax﹣2＝0中
4﹣2a﹣2＝0，解得：a＝1
故答案為1．
【分析】
根據(jù)方程解的定義，把x＝﹣2代入方程+ax﹣2＝0得到關(guān)于a的方程4﹣2a﹣2＝0，解出a即可．
13．【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】無理數(shù)的大小比較；無理數(shù)的估值
【解析】【解答】解：∵，，
∴比大且比小的整數(shù)是3，
故答案為：3．
【分析】先估算無理數(shù)范圍，再比較大小即可求出答案.
14．【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的穩(wěn)定性；多邊形的對(duì)角線
【解析】【解答】解：∵過五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，有2條對(duì)角線，
∴至少要釘上2根木條，
故答案為：2．
【分析】要使五邊形木架不變形需把它分成三角形，即過五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，有幾條對(duì)角線，就至少要釘上幾根木條．
15．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定；三角形內(nèi)接矩形相似模型；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)三線
【解析】【解答】解：∵四邊形是正方形，
∴，即，
∵是的高，
∴，
．
∵，
∴，
．
，，
，，
∴，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)，
∵長(zhǎng)為20，高為15，
∴，
解得．
故正方形的邊長(zhǎng)是．
故答案為：．
【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)可得，即，再根據(jù)相似三角形判定定理可得，則．再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)，代入等式，解方程即可求出答案.
16．【答案】解：原式=3-2
【知識(shí)點(diǎn)】求特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算（含開方）
【解析】【解答】
=2--1+2-2×
=2-+1-
= 3-2 ，
故答案為： 3-2.
【分析】先利用絕對(duì)值的性質(zhì)、0指數(shù)冪的性質(zhì)、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)嗎，再計(jì)算即可.
17．【答案】（1）解：甲班得分為3分的人數(shù)為（人），
補(bǔ)全圖形如下：
（2）4，5
（3）解：甲班成績(jī)更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成績(jī)的中位數(shù)大于乙班，
所以加班高分人數(shù)多于乙班，
∴甲班成績(jī)更好（答案不唯一）．
【知識(shí)點(diǎn)】扇形統(tǒng)計(jì)圖；條形統(tǒng)計(jì)圖；中位數(shù)；眾數(shù)
【解析】【解答】（2）解：甲班中位數(shù)是第10和第11個(gè)數(shù)，都是4分，
∴；
乙班中，出現(xiàn)最多的是5分，
∴；
故答案為：4，5；
【分析】（1）根據(jù)各得分人數(shù)和為20求出得分為3分的人數(shù)即可補(bǔ)全圖形；
（2）根據(jù)中位數(shù)與眾數(shù)的定義求解即可；
（3）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義求解即可.
（1）解：甲班得分為3分的人數(shù)為（人），
補(bǔ)全圖形如下：
（2）解：甲班中位數(shù)是第10和第11個(gè)數(shù)，都是4分，
∴；
乙班中，出現(xiàn)最多的是5分，
∴；
故答案為：4，5；
（3）解：甲班成績(jī)更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成績(jī)的中位數(shù)大于乙班，
所以加班高分人數(shù)多于乙班，
∴甲班成績(jī)更好（答案不唯一）．
18．【答案】（1）證明：，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：如圖，即為所求．
證明：連接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
為的半徑，
是的切線．
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)；切線的判定；角平分線的概念；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊；尺規(guī)作圖-作三角形的外接圓
【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得AD，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，根據(jù)角平分線定義可得，再根據(jù)相似三角形判定定理可得，則，即可求出答案.
（2）連接，根據(jù)角平分線定義可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，則，再根據(jù)直線平行判定定理可得，則，再根據(jù)切線判定定理即可求出答案.
（1）證明：，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：如圖，即為所求．
證明：連接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
為的半徑，
是的切線．
19．【答案】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)C作，延長(zhǎng)交于H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
在中，
，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)為．
【知識(shí)點(diǎn)】矩形的判定；解直角三角形的其他實(shí)際應(yīng)用；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【分析】（1）過點(diǎn)C作，延長(zhǎng)交于H，根據(jù)補(bǔ)角可得∠CBH=42°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出答案.
（2）解直角三角形可得BH，DF，再根據(jù)矩形判定定理可得四邊形是矩形，則，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
（1）解：如圖所示，過點(diǎn)C作，延長(zhǎng)交于H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
在中，
，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)為．
20．【答案】（1）解：設(shè)自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率為x，
依題意得：，
解得：（不合題意，舍去）．
答：自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率為；
（2）解：設(shè)該商場(chǎng)購進(jìn)A型車m輛，則購進(jìn)B型車輛，
依題意得：，
解得：，
答：該商場(chǎng)購進(jìn)A型車不超過40輛．
【知識(shí)點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用；一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-百分率問題
【解析】【分析】（1）設(shè)自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)該商城5月份銷售自行車64輛，7月份銷售100輛建立方程，解方程即可求出答案.
（2）設(shè)該商場(chǎng)購進(jìn)A型車m輛，則購進(jìn)B型車輛，分別求出A型車和B型車的利潤(rùn)，再根據(jù)總利潤(rùn)不低于26000元建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：設(shè)自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率為x，
依題意得：，
解得：（不合題意，舍去）．
答：自行車銷售的月平均增長(zhǎng)率為；
（2）解：設(shè)該商場(chǎng)購進(jìn)A型車m輛，則購進(jìn)B型車輛，
依題意得：，
解得：，
答：該商場(chǎng)購進(jìn)A型車不超過40輛．
21．【答案】（1）證明：根據(jù)題意可得，，，
∴，
根據(jù)勾股定理可得，
∴
∴
∴
∴矩形是黃金矩形．
（2）證明：由（1）知，，，
∴，
∴，
故矩形是黃金矩形．
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；勾股定理；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，，則，根據(jù)勾股定理可得AB，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得CD，再根據(jù)黃金矩形的定義即可求出答案.
（2）由（1）知，，，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得ND，再根據(jù)黃金矩形的定義即可求出答案.
（1）證明：根據(jù)題意可得，，，
∴，
根據(jù)勾股定理可得，
∴
∴
∴
∴矩形是黃金矩形．
（2）證明：由（1）知，，，
∴，
∴，
故矩形是黃金矩形．
22．【答案】（1）解：①∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴把代入
得
∵
∴
解得
∴把，代入
得出；
∴
則頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
∵與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C．
∴
則
∴；
②由①知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
依題意，∵坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點(diǎn)C及的一段，分別記為．平移該膠片，使所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為
∴函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
即點(diǎn)移動(dòng)的最短路程為與之間的距離（兩點(diǎn)之間線段最短）
∴
∴點(diǎn)移動(dòng)的最短路程為．
（2）解：①依題意，把代入
得
∴直線過點(diǎn)；
②5
③個(gè)
【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理；坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)距離公式；二次函數(shù)圖象的平移變換
【解析】【解答】解：（2）②∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴把代入
得
①當(dāng)時(shí)，
∴，
解得；
∴，頂點(diǎn)坐標(biāo)為
∴；
則直線與拋物線圍成的封閉圖形如圖所示：
∴邊界上“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)有個(gè)點(diǎn)；
③∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴把代入
得
∵
∴
∴
∵光點(diǎn)從點(diǎn)彈出，沿直線發(fā)射，若擊中拋物線上的“美點(diǎn)”，就算發(fā)射成功，
∴
∴
∴
∵均為整數(shù)，拋物線在的部分為．
∴當(dāng)時(shí)，則（不符合題意，舍去）
當(dāng)時(shí)，則（符合題意）
當(dāng)時(shí)，則（不符合題意，舍去）
當(dāng)時(shí)，則（符合題意）
當(dāng)時(shí)，則（不符合題意，舍去）
當(dāng)時(shí)，則（符合題意）
以此類推，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為的整數(shù)倍，不是整數(shù)，不符合題意；
以此類推，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為的整數(shù)倍，是整數(shù)，符合題意；
∴含有（個(gè)）
∴此時(shí)整數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)．
【分析】（1）①根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式可得，轉(zhuǎn)換為頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)C坐標(biāo).
②①知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)圖象的平移規(guī)律可得函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即點(diǎn)移動(dòng)的最短路程為與之間的距離（兩點(diǎn)之間線段最短），根據(jù)兩點(diǎn)間距離即可求出答案.
（2）①將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式進(jìn)行判斷即可求出答案.
②根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式可得，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為，作出圖形，根據(jù)“美點(diǎn)”的定義即可求出答案.
③根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式可得，根據(jù)題意聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為的整數(shù)倍，不是整數(shù)，不符合題意；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為的整數(shù)倍，是整數(shù)，符合題意；則，此時(shí)整數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)，即可求出答案.
23．【答案】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：∵四邊形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)H在的延長(zhǎng)線上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如解圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，即的長(zhǎng)為3．
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊
【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)可得，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得，再根據(jù)相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根據(jù)正方形性質(zhì)可得，，，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，則，則，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，則，再根據(jù)直線平行性質(zhì)可得，則，即可求出答案.
（3）延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，根據(jù)菱形性質(zhì)可得，，則，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，，再根據(jù)等邊三角形判定定理可得是等邊三角形，則， 再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
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