資源簡介

菏澤市大同中學2024-2025學年高二下學期第一次月考數學試卷
一、選擇題
1．已知某質點的位移函數為，則當時，該質點的瞬時速度是( )
A. B. C. D..
2．甲，乙，丙3名學生約定：利用假期觀看A，B，C，D，E這5部新上映的電影，待返校后互相分享精彩內容.返校后，已知5部電影都有人觀看，且每部電影只有一個人觀看，則所有觀看電影的情況種數為( )
A.150 B.243 C.183 D.393
3．將一根長為3的鐵絲截成9段,使其組成一個正三棱柱的框架（鐵絲長等于正三棱柱所有棱的長度之和）,則該正三棱柱的體積最大為( )
A. B. C. D.
4．如圖,函數的圖象在點P處的切線方程是,則( )
A. B.2 C. D.
5．已知函數，則函數在處的切線方程為( )
A. B.
C. D.
6．已知函數,則下列說法正確的是( )
A.的極小值為 B.的極大值為
C.在區間上單調遞增 D.在區間上單調遞減
7．已知,設函數,若存在,使得,則a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
8．函數在R上單調,則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多項選擇題
9．數學競賽小組有高一學生2人,高二學生4人,高三學生6人,則( )
A.若每個年級各選1名學生外出培訓,則共有12種不同的選法
B.若選派2名學生外出培訓,這2人來自不同年級,則共有44種不同的選法
C.若選派3名學生外出培訓,恰好有1人來自高二年級,則有116種不同的選法
D.若選派3名學生外出培訓,高三年級的甲乙兩位同學不能同時參加,則共有210種不同的選法
10．已知函數，，則下列判斷正確的是( )
A.方程有兩個根
B.函數有2個零點
C.當時，函數的圖像總在函數圖像的上方
D.函數的最大值為1
11．已知函數，則( )
A.當時，的單調遞減區間為
B.存在，使得有三個零點
C.當時，的極小值點為
D.當時，曲線的對稱中心為
三、填空題
12．如圖，用4種不同顏色對圖中4個區域涂色，要求每個區域涂1種顏色，相鄰的區域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有___________種.
A D
B
C
13．在平面直角坐標系中，將函數的圖象繞坐標原點逆時針旋轉后，所得曲線仍然是某個函數的圖象，則稱為“旋轉函數”.則_________旋轉函數（填：“是”或者“不是”）；若是旋轉函數，則a的取值范圍是________.
14．已知函數若對于任意的都有成立，則實數a的取值范圍為___________.
四、解答題
15．有4名男生，3名女生，共7個人從左至右站成一排，在下列情況下，各有多少種不同的站法.
(1)男生 女生各站在一起；
(2)男生必須站在一起；
(3)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.
(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，則有多少種不同的站法？
16．為響應國家提出的“大眾創業萬眾創新”的號召,小王大學畢業后決定利用所學專業進行自主創業,生產某小型電子產品.經過市場調研,生產該小型電子產品需投入年固定成本2萬元,每生產萬件,需另投入流動成本萬元.已知在年產量不足4萬件時,,在年產量不小于4萬件時,.每件產品售價6元.通過市場分析,小王生產的產品當年能全部售完.
（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量x（萬件）的函數解析式.（年利潤=年銷售收入-年固定成本-流動成本.）
（2）年產量為多少萬件時,小王在這一產品的生產中所獲年利潤最大 最大年利潤是多少
17．已知.
(1)求函數的極值；
(2)過點做曲線的切線l,求切線l的方程.
18．若存在實數a,使得對任意恒成立,則稱在D上被a控制.
（1）已知函數在上被a控制,求a的取值范圍.
（2）（i）證明:函數在上被1控制.
（ii）設,證明:.
19．函數和有相同的定義域,導函數分別為,,若在定義域內均有,則稱是的“－函數”.
(1)判斷是否為的“－函數”,并證明;
(2)設和為定義在R上的函數,已知,,是的“－函數”,證明：（c為常數）;
(3)若,,,,證明：是的“－函數”.
參考答案
1．答案：D
解析：由題意可得，
所以，
即該質點的瞬時速度是.
故選：D
2．答案：B
解析：分三類，第一類：1個人觀看5部電影有3種情況；
第二類：2個人觀看5部電影有種情況；
第三類：3個人觀看5部電影有種情況；
所以共有：種情況.
故選：B.
3．答案：C
解析：設正三棱柱的底面邊長為x,側棱長為y,則,即.
正三棱柱的體積,.
當時,,當時,,所以函數在上單調遞增,在上單調遞減,
所以當時,V取得最大值,最大值為.
故選:C.
4．答案：D
解析：依題意可知切點,
函數的圖象在點P處的切線方程是,
,即
又
即
故選：D.
5．答案：D
解析：易知，
可得，又，
所以切線方程為，
即.
故選：D
6．答案：B
解析：因為,所以,
令,得或;令,得;
所以在區間,上單調遞增,在區間上單調遞減,
所以在處有極大值,極大值為;
在處有極小值,極小值為.
故選：B.
7．答案：D
解析：當時,易知的最小值為,
當時,,令,解得,
若,則在上單調遞增,且時,,
所以只需,解得或,
又,所以,
若,則在上單調遞減,在上單調遞增,
成立,所以符合題意,
綜上,a的取值范圍是.
故選:D.
8．答案：C
解析：由題意,函數在R上單調遞增,當時,,依題需使恒成立,則;
當時,由在上遞增,需使在上恒成立,則,即;
又由在R上遞增,可得,解得.
綜上可得,a的取值范圍是.
故選:C.
9．答案：BD
解析：選項A:每個年級各選1名學生外出培訓,則共有種不同的選法,A選項錯誤;
選項B:若選派2名學生外出培訓,這2人來自不同年級,則共有種不同的選法,故B正確;
選項C:若選派3名學生外出培訓,恰好有1人來自高二年級,則有種不同的選法,故C錯誤;
選項D:若選派3名學生外出培訓,高三年級的甲乙兩位同學不能同時參加,則共有種情況,故D正確,
故選:BD
10．答案：ACD
解析：A選項，，
定義域為，
令，則，
令得，
令得或，
故在上單調遞增，在，上單調遞減，
其中，當時，恒成立，
畫出及的圖像如下：
可以看出兩函數有兩個不同的交點，故有兩個根，A正確；
B選項，，定義域為R，
令得，只有1個零點，B錯誤；
C選項，令，
則，
令得，令得，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
所以在處取得極小值，也是最小值，，
故當時，，函數的圖像總在函數圖像上方，C正確；
D選項，定義域為R，
，
令得，令得，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，最大值為，D正確
故選：ACD
11．答案：AD
解析：由，得，
對于A，當時，，令，
即，解得或，當時，恒成立，
所以在區間上單調遞減，故A正確；
對于B，令，解得或，
又，所以當時，恒成立，
所以在區間上單調遞增，
當時，恒成立，所以在區間上單調遞減，
當時，恒成立，所以在區間上單調遞增，
所以當時，函數取得極大值，，
當時，函數取得極小值，
，
所以不存在，使得有三個零點，故B錯誤；
對于C，令，解得或，
又，所以當時，恒成立，
所以在區間上單調遞增，
當時，恒成立，所以在區間上單調遞減，
當時，恒成立，所以在區間上單調遞增，
所以，是函數的極小值點，故C錯誤；
對于D，當時，函數，曲線，
因為的對稱中心為，曲線的圖像可由的圖像向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到，
根據函數圖像的平移性質，曲線的對稱中心為，故D正確.
故選：AD.
12．答案：48
解析：按照分步計數原理，
第一步：涂區域1，有4種方法；
第二步：涂區域2，有3種方法；
第三步：涂區域3，分兩類：（1）區域3與1同色，則區域4有2種方法；（2）區域3與1不同色，則區域3有2種方法，區域4有1種方法；
所以不同的涂色種數有種．
故答案為：48
13．答案：是
解析：在旋轉后所曲線上任取一點，旋轉前點P對應的點為，
不妨設，設點，即，，
將函數的圖象繞坐標原點逆時針旋轉后，
可得，即點，
即，，
因為，可得變形可得，曲線為函數，
所以，是旋轉函數；若函數是旋轉函數，
將函數的圖象繞著原點逆時針旋轉后，
不存在與x軸垂直的直線，使得直線與旋轉后的函數圖象1個以上的交點.
故不存在直線與函數的圖象有兩個交點，
即對任意的，方程至多一解，即至多一解，
令為單調函數，則，
因為，故對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
當時，則對任意的恒成立，合乎題意；
當時，則，
令，其中，則，
由可得，由可得，
所以，函數的減區間為，增區間為，
所以，，且函數無最大值，所以此時不合乎題意；
當時，則，此時，，解得.
綜上所述，實數a的取值范圍是.
故答案為：.
14．答案：
解析：對于任意的都有恒成立，
等價于在上恒成立.
令，則，，
當時，，
即在上遞增，
故，所以，
所以在上單調遞增，
所以，所以，
所以實數a的取值范圍是.
故答案為：.
15．答案：(1)288
(2)576
(3)144
(4)1320
解析：(1)男生必須站在一起，即把4名男生全排列，有種排法，
女生必須站在一起，即把3名女生全排列，有種排法，
全體男生、女生各看作一個元素全排列有種排法，
由分步乘法計數原理知共有（種）排法.
(2)把所有男生看作一個元素，
與3名女生組成4個元素全排列，
故有（種）不同的排法.
(3)先排男生有種排法，
然后讓女生插空，有種排法，
所以共有（種）不同的排法.
(4)若最左端站某生甲，余下6名同學全排列共有種排法；
若最左端站某生乙，
則應先排某生甲，有種排法，
剩余5名同學全排列共有種排法，
由分步計數原理知共有種排法.
根據分類加法計數原理可得，共有種.
16．答案：（1）;
（2）當年產量為8萬件時,所獲年利潤最大,為9萬元.
解析：（1）由題意,當時,;當時,.
所以.
（2）當時,,令,解得.
易得在上單調遞增,在上單調遞減,所以當時,
.
當時,,
當且僅當,即時取等號.
綜上,當年產量為8萬件時,所獲年利潤最大,為9萬元.
17．答案：(1)答案見解析
(2)
解析：(1)函數定義域為R,,
當時,,則在R上單調遞增,此時無極值；
當時,令,則,則在上單調遞增；
令,則,則在上單調遞減；
此時的極小值為,無極大值.
綜合上述,當時,無極值；
當時,的極小值為,無極大值.
(2)設直線與曲線的切點坐標為,
由(1)知,則在點A處的切線斜率為,
故切線方程為,①
將點代入得
解得.
代回①得切線方程為.
18．答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）令,則.
①當時,,所以在上單調遞增.
因為,所以恒成立.
②當時,令,得,所以在上單調遞減,在,上單調遞增.
所以,
解得.
綜上所述,a的取值范圍是.
（2）證明:（i）要證在上被1控制,
只需證明,,
即證.
令,,
可得
.
當時,,即在區間上為增函數,
所以.原命題得證.
（ii）由（i）可知,當）時,,
則,
即,
則有,
即,
故.
19．答案：(1)是的“－函數”,證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
解析：(1)由函數,可得,
又由,可得,
因為,所以是的“－函數”.
(2)由為定義在R上的函數,可得函數的定義域為R,
因為,所以為偶函數,
又因為是的“－函數”,所以,
因為,,所以是的“－函數”,
即,用代替x,可得,所以,
令,則,所以（c為常數）,
所以（c為常數）
(3)由函數,,
可得,,
設,可得,
設,則,
則,所以遞增,即遞增,且,,
存在使得,,
當時,,單調遞減;
當時,,單調遞增,
所以,
設,可得,
當時,,單調遞增;
當時,,單調遞減,
所以,所以,即,
所以,
因為,所以,所以,即,
所以當時,是的“－函數”

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