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2024-2025甘肅省定西市渭源縣第二高級中學期末預測卷2
高一年級 數學
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個正確選項．
1．在復平面內，i為虛數單位，若復數z＝（1+i）（2﹣i），則z的實部為（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
2．將兩枚質地均勻的骰子同時投擲，設事件A＝“兩枚骰子擲出點數均為偶數”，若連續投擲100次，則事件A發生的頻數為（　　）
A．20 B．25 C．50 D．無法確定
3．樣本數據11，12，13，14，15，16，17，18，19，20的第80百分位數是（　　）
A．18 B．19 C．18.5 D．18或19
4．已知點P（2，0），Q（3，2），向量，則向量在方向上的投影向量為（　　）
A． B． C． D．
5．已知圓O的半徑為2，弦AB＝2，D為圓O上一動點，則的最小值為（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6
6．在△ABC中，a＝6，c＝10，，則邊b＝（　　）
A．6 B．10 C．14 D．
7．已知四棱柱ABCD﹣EFGH的高為3，其底面ABCD水平放置的直觀圖（斜二測畫法）A'B'C'D'如圖所示，其中A'B'＝2A'D'＝2D'C'＝2，A'B'∥C'D'，則這個四棱柱的體積為（　　）
A． B． C． D．
8.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的側面積為，若該三棱柱的頂點都在同一個球O的表面上，則球O的表面積的最小值為（　　）
A．12π B．16π C．36π D．64π
二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.
9.某校舉辦羽毛球比賽，有4名同學進入半決賽，這4名同學恰好來自兩個不同的班，每班兩名同學，現通過摸球決定半決賽分組情況．袋子里有大小、質地完全相同的2個黃球、2個白球，共4個球．這4名同學每人不放回地摸出一個球，摸到同色球的兩人對戰，且摸到黃色球兩人先進行比賽，勝者進入決賽．記事件A＝“決賽兩人來自同一個班”，事件B＝“決賽兩人來自不同班”，事件C＝“先進行半決賽兩人來自同一個班”，事件D＝“后進行半決賽兩人來自不同班”．則（　　）
A．P（A∪B）＝1 B．A與B互斥但不對立
C．C與D對立 D．P（A）+P（B）＝P（C）+P（D）
10．在△ABC中，角A，B，C的對應邊分別為a，b，c．已知（a+b）（sinA+sinB）＝csinC+asinB，c＝6，則下列結論正確的是（　　）
A．
B．△ABC外接圓的半徑為2
C．△ABC面積的最大值為3
D．若CD為△ABC的中線，則CD的最小值為
11．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別是A1A，C1C的中點，點P是線段A1C1上的動點，則下列結論正確的是（　　）
A．點P到平面BEF的距離不變
B．平面BEF截該正方體所得的截面面積為5
C．當點P在線段A1C1上運動時，始終有PD∥平面AB1C
D．D1P+PC的最小值為
三．填空題（每題5分，共15分）
12.已知，則P（A∩B）＝　 　
13.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中a＝4，b＝6，∠C＝120°，若點D在AB邊上，且CD為∠C的角平分線，則CD＝　 　 ．
14.在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，O點是內心，且λ1λ2，則λ1+λ2＝　 　
四．解答題（共5小題，共77分）
15．（13分）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2c﹣b＝2acosB．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面積為為AC的中點，求BD長度的最小值．
．
16．（17分）如圖，AB是圓柱OO1的一條母線，BC是底面的一條直徑，D是圓O上一點，且AB＝BC＝5，CD＝3．
（1）求直線AC與平面ABD所成角正弦值；
（2）求點B到平面ACD的距離．
17．（15分）為提高國民法律意識，某地開通了網上學法考試平臺，方便廣大群眾網上學習法律知識，并且可以通過考試檢測自己學習情況．為了解廣大群眾學習法律知識的情況，在參與考試的男性參考者和女性參考者中各隨機抽取10名參考者的考試成績，得分如下：
男性參考者考試成績：70，74，85，84，82，81，92，89，98，95．
女性參考者考試成績：69，71，82，84，75，88，89，87，95，97．
（1）求抽取的男性參考者考試成績的平均數、極差和方差；
（2）若規定得分在90分及以上的為成績優秀，從上述成績優秀的人員中任取2人，求這2人性別相同的概率．
18．（15分）已知，是平面內兩個不共線的向量，若，，．
（1）證明：A，B，C三點共線；
（2）若，，點D（2，1），B，C，D，P恰好構成平行四邊形BCDP，求點P的坐標．
19．（17分）在三棱錐A﹣BCD中，AB＝AD，CB＝CD，O為BD的中點．
（1）證明：平面ABD⊥平面OAC．
（2）過O點作一個平面α，使得平面α∥平面ACD，請畫出這個平面α，并說明理由．
（3）若AB＝BC＝BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，求點B到平面ACD的距離．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C C B C D A
二．多選題（共3小題）
題號 9 10 11
答案 ACD BCD ACD
三．填空題（共3小題）
12.．
13.．
．
四．解答題（共5小題）
15.解：（1）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2c﹣b＝2acosB，
由正弦定理得2sinC﹣sinB＝2sinAcosB，
又sinC＝sin（A+B），
則sinB＝2sin（A+B）﹣2sinAcosB
＝2（sinAcosB+cosAsinB）﹣2sinAcosB＝2cosAsinB，
而sinB＞0，則，
又A∈（0，π），所以；
（2）依題意，，由（1）知，得bc＝16，
在△ABD中，由余弦定理得，
當時取到等號，
所以BD的最小值為．
16.解：（1）∵AB⊥平面BCD，BC，CD 平面BCD，
∴AB⊥CD，AB⊥BC；
∵BC是圓O的直徑，
∴BD⊥CD，
又AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，
∴CD⊥平面ABD，
∴∠CAD即為直線AC與平面ABD所成角，
∵AB＝BC＝5，AB⊥BC，
∴，
又CD＝3，
∴，即直線AC與平面ABD所成角的正弦值為．
（2）過B作BM⊥AD，垂足為M，
由（1）得：CD⊥平面ABD，CD 平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD，
又平面ABD∩平面ACD＝AD，BM 平面ABD，BM⊥AD，
∴BM⊥平面ACD，
∵，
∴，
根據等面積法知：，
∴，
即B到平面ACD的距離等于．
17.（1）平均數：85
極差：28
方差：70.6
18.解：（1）證明：因為已知，是平面內兩個不共線的向量，
又因為，所以．
所以A，B，C三點共線．
（2）設點P的坐標為（x，y），則，，
因為B，C，D，P恰好構成平行四邊形BCDP．所以，
即，解得，
所以點P的坐標為（0，2）．
解：（1）證明：因為AB＝AD，CB＝CD，O為BD的中點，
所以OA⊥BD，OC⊥BD，
又因為OA，OC 平面OAC，OA∩OC＝O，所以BD⊥平面OAC，
又因為BD 平面ABD，所以平面ABD⊥平面OAC；
（2）取AB的中點E，BC的中點F，連接OE，OF，EF，
又因為O為BD的中點，所以OE∥AD，
又因為OE 平面ACD，AD 平面ACD，所以OE∥平面ACD，
同理可得OF∥平面ACD，
因為OE∩OF＝O，OE，OF 平面OEF，所以平面OEF∥平面ACD，
所以平面OEF即為所求的平面α．
（3）因為平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，OA⊥BD，OA 平面ABD，
所以OA⊥平面BCD，
因為AB＝BC＝BD＝2，所以△ABD，△BCD均為等邊三角形，
所以，所以，
所以，
因為OA⊥平面BCD，OC 平面BCD，所以OA⊥OC，
由勾股定理得：，
取AC的中點H，連接DH，
因為在△ACD中，，所以DH⊥AC，
所以，，
設點B到平面ACD的距離為d，VB﹣ACD＝VA﹣BCD，
所以，解得．
所以點B到平面ACD的距離為．

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