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華安一中2025屆高三數(shù)學(xué)模擬試卷
一、單選題（40分）
1．設(shè)集合，，若只含一個元素，則（ ）
A． B． C． D．
2．在復(fù)平面內(nèi)，(為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．過雙曲線的左焦點F的直線l與雙曲線C的一條漸近線交于P點，且另一條漸近線垂直平分線段PF，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
4．設(shè)函數(shù)，若在內(nèi)恰有3個零點，則的取值不可以為（ ）
A． B． C． D．
5．已知函數(shù) ，方程 的根的個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知向量與的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
7．設(shè)橢圓的左，右焦點分別為，點在上運動，點在圓：上運動，且恒成立，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．設(shè)則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題18分
9．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個頂點均有個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為.如圖，在正方體中，，則（ ）
A．在四面體中，點的曲率為
B．在四面體中，點的曲率大于
C．四面體外接球的表面積為
D．四面體內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為
10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)在上有2個零點
C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱 D．函數(shù)的最小值為
11．已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，，離心率為，直線l過點與橢圓C交于M，N兩點，若x軸上存在一定點P，使得的內(nèi)切圓圓心在x軸上.則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．橢圓C的方程為
B．的周長為4
C．定點P的坐標為
D．當(dāng)軸時，的內(nèi)切圓圓心坐標為
三、填空題（15）
12．已知曲線在處的切線與軸垂直，則實數(shù)的值為 .
13．已知等差數(shù)列的前n項和為，則 ．
14．投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)連續(xù)三次正面朝上的情況，則停止投擲，那么投擲總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為
四、解答題
15（13分）．2025年春節(jié)期間，電影《哪吒之魔童鬧海》掀起全民觀影熱潮，連續(xù)7天票房逆勢攀升，單日最高突破8.6億元，吸引部分家庭攜老扶幼共赴影院，締造中國影史春節(jié)檔票房與觀影人次雙冠王的奇跡.某電影院為了解民眾觀影的喜歡程度，隨機采訪了180名觀影人員，得到下表：
是否成年人 是否喜歡 合計
不喜歡 喜歡
未成年人 80 100
成年人 20 80
合計 180
(1)求的值；
(2)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》與是否成年有關(guān)？
(3)用頻率估計概率，現(xiàn)隨機采訪一名成年人和一名未成年人，設(shè)表示這兩人中非常喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16（15分）．已知數(shù)列滿足：，且．
(1)求的通項公式；
(2)若記為滿足不等式的正整數(shù)的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．
17（15分）．在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點，，，.
（1）求證：平面平面；
（2）若，求直線與所成角的余弦值.
18（17分）．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．
(1)求證：；
(2)若是銳角三角形，且角A的平分線交BC邊于D，且，求邊b的取值范圍．
19（17分）．在平面直角坐標系中，橢圓，左右焦點分別是，，點A是橢圓上的任意一點，A到原點O的距離最大為．
(1)若面積的最大值為1，求橢圓的表達式；
(2)若，過點A（異于頂點）作長軸的垂線，垂足為M，連接AO并延長交橢圓于另一點B，連接BM交橢圓于另一點C，證明：；
(3)在（2）的條件下，過點A作不經(jīng)過的直線l，其斜率為k，交橢圓于另一點D，到直線l的距離為d．如果直線、l、的斜率依次成等差數(shù)列，求d的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
《華安一中2025屆高三數(shù)學(xué)模擬試卷》參考答案
1．D【詳解】集合表示直線上及上側(cè)所有點，集合表示圓心在，半徑為1的圓上所有的點，又與相切，所以若只含一個元素，則，
故選：D
2．C【詳解】因為，
所以對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C.
3．B
【詳解】

如圖，設(shè)雙曲線的漸近線分別與直線交于點，
依題意，直線垂直平分，則，
由漸近線的對稱性知，，故，
在中，因，則，
故，解得.
故選：B.
4．C【詳解】當(dāng)時，
因為在內(nèi)恰有3個零點，，即存在有3個不同的解使得，
當(dāng)時，，所以滿足的值有，符合題意；
當(dāng)時，，所以滿足的值有，符合題意；
當(dāng)時，，所以滿足的值有，不符合題意；
當(dāng)時，，所以滿足的值有，符合題意；
故選：C
5．B
【詳解】當(dāng)時， ，故是的一個周期，
又時，，則，
作出函數(shù)和的函數(shù)圖象，
因， ，
結(jié)合圖象可知，和的函數(shù)圖象交點個數(shù)為.
故選：B
6．C【詳解】由題，
，
，
所以．
故選：C．
7．C【詳解】由題可得圓半徑為，因恒成立，
則.由橢圓定義，可得，
如圖，當(dāng)三點共線時，最大，為，又對于圓外一點P，
當(dāng)三點共線時最大，又，則，
即，取最值時，四點共線.
則，即，所以，即.
故選：C
8．B
【詳解】令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
又，即，可得，
，所以，
綜上.
故選：B.
9．ABD
【詳解】在正方體中，易證為正三角形，，，
在四面體中，點的曲率為，A選項正確；
在正方體中，，，，在四面體中，點的曲率為，B選項正確；
四面體外接球的半徑即為正方體外接球的半徑為，
四面體外接球的表面積為，C選項錯誤；
四面體的體積，
四面體的表面積，
四面體內(nèi)切球的半徑，
即，D選項正確；
故選：ABD.
10．BC
【詳解】對于A選項，函數(shù)，故為的一個周期，又的最小正周期為，的最小正周期為，故函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；
對于B選項，令得，，在同一坐標系中作出函數(shù)和函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，兩圖象有兩個交點，故B正確；
對于C選項，，
所以，故的圖象關(guān)于點中心對稱；
對于D選項，
，
當(dāng)時，，得，得，；當(dāng)時，，得，；
故函數(shù)在上遞增，在上遞減；又
所以當(dāng)處取得最小值，
故，故D錯誤；
故選：BC.
11．ACD【詳解】對于A選項，已知，可得.又離心率，則.由，得，所以橢圓方程為，故A正確.
對于B選項，周長為，根據(jù)橢圓定義，，，，所以周長是，故B錯誤
對于C選項，，設(shè)，，.
根據(jù)題意,設(shè)方程，與橢圓方程聯(lián)立得，由韋達定理，.
因為內(nèi)心在軸上，所以，即，
即，即，
經(jīng)化簡得，代入韋達定理則，得，解得.
故C正確.
對于D選項，軸時，直線MN方程，代入橢圓方程得.
設(shè)內(nèi)切圓圓心，不妨設(shè)直線，根據(jù)點到直線距離公式，解得，舍去，故D正確.
故選：ACD.
12．/0.5
【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得，，
因為曲線在處的切線與軸垂直，
所以，解得.
故答案為：.
13．8【詳解】設(shè)公差為，則，
故，
又，故，
.
故答案為：8.
14．【詳解】設(shè)為當(dāng)前沒有連續(xù)正面或者最近一次是反面，
為當(dāng)前連續(xù)正面的次數(shù)為1，為當(dāng)前連續(xù)正面的次數(shù)為2，
為當(dāng)前連續(xù)正面的次數(shù)為3，
設(shè)為分別表示而到投擲的期望次數(shù)，，
由題設(shè)有，
從開始，若拋出正面，則期望次數(shù)變?yōu)椋魭伔疵妫瑒t期望次數(shù)變?yōu)椋?br/>故即，
同理，
所以，故，
故，故，
故答案為：.
15．【詳解】（1）由列聯(lián)表可知所以；
（2）零假設(shè)：喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》與是否成年無關(guān)
根據(jù)表中數(shù)據(jù)得：.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)證明喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》與是否成年有關(guān)；
（3）由題可知，隨機采訪一位未成年人，則該未成年人喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》的概率為，隨機采訪一位成年人，則該成年人喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》的概率為
的可能取值為，，
，，
所以X的分布列為
0 1 2
.
16．【詳解】（1）由，即，則為等差數(shù)列，
又，則數(shù)列的公差為，故.
（2）由題設(shè)，則，
故，
所以，記，
所以，
兩式相減，得，
所以，
所以.
17．【詳解】（1）為的中點，且，則，
又因為，則，故四邊形為平行四邊形，
因為，故四邊形為矩形，所以，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
因為平面，因此，平面平面；
（2）連接，由（1）可知，平面，，為的中點，則，
以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則、、、、，
設(shè)，
,
因為，則，解得，
，
，則.
因此，直線與所成角的余弦值為.
18【詳解】（1）因為，由正弦定理有：，
所以，
，
，
，
因為、，所以，
又因為，所以，所以，
因為，
所以有：，，或，（舍），
所以得證.
（2）因為是銳角三角形，，所以，
所以，解得，
因為為的平分線，且，
所以，所以，
在中，，，
由正弦定理有：，即，
所以
，
因為，所以，
令，則，，
令，，
根據(jù)函數(shù)解析式，在上單調(diào)遞減，
因為，，所以，
所以.
19．【詳解】（1）依題意，，解得，
所以橢圓的方程為
（2）設(shè)，則，
由，得，直線的斜率分別為，
則，，
因此，即，所以.
（3）當(dāng)直線的方程為，由，得，
，即，
橢圓左、右焦點，設(shè),
由直線的斜率依次成等差數(shù)列，得，
又，則，
化簡并整理得:，若，則直線：過點，不符合題意，
則，即，此時，整理得，
因此，解得，記點到直線的距離為，
則，
令，在上單調(diào)遞減，則，
所以d的取值范圍是.
答案第1頁，共2頁

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