資源簡介

中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題05 一元一次不等式
核心考點聚焦
不等式
一元一次不等式的概念
解一元一次不等式
一元一次不等式組
用一元一次不等式解決問題
一、不等式的概念
不等式是用“<”（或“≤”）,“>”（或“≥”）,≠連接的式子。能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集。解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡的不等式表示，例如x>a，x≤a等；另一種是用數(shù)軸表示。
二、不等式的基本性質(zhì)
不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變。
不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。
不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。
三、一元一次不等式的定義及解法
含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式。解一元一次不等式的基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1。
四、一元一次不等式組
幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。一元一次不等式組的解集是幾個一元一次不等式的解集的公共部分。解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集。
五、一元一次不等式的應(yīng)用
根據(jù)實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案。列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系。
難點強化一、一元一次不等式(組)求參
1．若不等式的解都能使不等式成立，則實數(shù) 的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
2．已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集是 ．
3．已知關(guān)于x的方程的解是負數(shù)．
(1)求m的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，解關(guān)于x的不等式．
難點強化二、一元一次不等式(組)的整數(shù)解
1．若關(guān)于x的不等式只有3個正整數(shù)解，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．若關(guān)于x的不等式組恰好有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是 ．
3．已知關(guān)于的不等式組
(1)若，求這個不等式組的解集；
(2)若這個不等式組的整數(shù)解共有3個，求的取值范圍．
難點強化三、一元一次不等式(組)的最值
1．若a、b滿足，則的最大值與最小值的差為（ ）
A．4 B． C． D．
2．已知三個實數(shù)滿足．
（1）若，則 （填“”或“”）；
（2）若且，則的最小值是 ．
3．（1）已知非負數(shù)，，滿足，
①請用含的式子分別表示，，并求出的取值范圍；
②設(shè)，求的最大值與最小值；
（2）已知正整數(shù)，，滿足，，試求，，的值．
難點強化四、一元一次不等式(組)的有、無解
1．關(guān)于的一元一次不等式組有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．已知不等式組無解，則a的取值范圍是 ．
3．已知關(guān)于x的不等式組；
(1)若該不等式組的解集為，求m的值．
(2)若該不等式組無解，則m的取值范圍為______．
(3)若該不等式組只有4個整數(shù)解，求m的整數(shù)解．
難點強化五、一元一次不等式(組)與方程(組)結(jié)合
1．如果關(guān)于y的方程有非負整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組的解集為，則所有符合條件的整數(shù)a的和為（ ）
A． B． C． D．
2．若關(guān)于的方程有非負整數(shù)解，且關(guān)于的不等式組至多有三個整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為 ．
3．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組．
(1)求這個方程組的解（用含m的式子表示）；
(2)若這個方程組的解x，y滿足成立，求m的取值范圍．
難點強化六、一元一次不等式(組)的解決應(yīng)用
1．快遞員把貨物送到客戶手中稱為送件，幫客戶寄出貨物稱為攬件．快遞員的提成取決于送件數(shù)和攬件數(shù)．某快遞公司快遞員小李若平均每天的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為80件和20件，則他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為120件和25件，則他平均每天的提成是230元．
(1)求快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成各是多少元；
(2)已知快遞員小李一周內(nèi)平均每天的送件數(shù)和攬件數(shù)共計200件，且攬件數(shù)不大于送件數(shù)的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件數(shù)最少是多少．
2．國慶節(jié)期間，某品牌服裝在兩個平臺做促銷活動．
平臺：①顧客所購服裝的原總價打九折；②原總價每滿元即送元現(xiàn)金券，折后可用券抵扣．例如，某人購物原總價為元，則他實際付款為（元）．
平臺B：
原總價 優(yōu)惠標準
不超過元的部分 九折優(yōu)惠
超過元但不超過元的部分 六折優(yōu)惠
超過元的部分 五折優(yōu)惠
例如，某人購物原總價為元，則他實際付款為（元）．
(1)若小李要買一件元的該品牌服裝，則他應(yīng)選擇平臺 (填“”或“”)購買．
(2)某款服裝單價的定價為元，若小芳計劃購買件，發(fā)現(xiàn)在兩個平臺上優(yōu)惠后價格一樣，求的值．
(3)小華要購買原總價超過元且不超過元的該品牌服裝，那他在哪個平臺上購買更劃算？請你幫他設(shè)計購買方案．
3．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
背景 為了迎接2023杭州亞運會，某班級開展知識競賽活動，去咖啡店購買A、B兩種款式的咖啡作為獎品．
素材1 若買10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若買25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．
素材2 為了滿足市場的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服務(wù)，顧客在選完款式后可以自主選擇加料或者不加料．小華恰好用了208元購買A、B兩款咖啡，其中A款不加料的杯數(shù)是總杯數(shù)的．
問題解決
任務(wù)1 問A款咖啡和B款咖啡的銷售單價各是多少元？
任務(wù)2 在不加料的情況下，購買A、B兩種款式的咖啡（兩種都要），剛好花200元，問有幾種購買方案？
任務(wù)3 求小華購買的這兩款咖啡，其中B型加料的咖啡買了多少杯（直接寫出答案）？
難點強化七、一元一次不等式(組)的新定義應(yīng)用
1．閱讀理解：
定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“子方程”．例如：的解為：，的解集為：，不難發(fā)現(xiàn)在的范圍內(nèi)，所以是的“子方程”．
問題解決：
(1)在方程①，②，③中，不等式組的“子方程”有：______；（填序號）
(2)若關(guān)于的方程是不等式組的“子方程”，求的取值范圍．
2．定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．例如：方程的解為，不等式組的解集為，因為在的范圍內(nèi)，所以方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．
(1)方程______（填“是”或“不是”）不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．
(2)已知關(guān)于的方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，求的取值范圍．
(3)已知關(guān)于的方程是關(guān)于的不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，直接寫出的取值范圍為______．
3．定義：使方程（組）和不等式（組）同時成立的未知數(shù)的值稱為此方程（組）和不等式（組）的“完美解”．
例：已知方程的解為，不等式的解集為，則稱“”為方程和不等式的“完美解”．
(1)下列不等式（組）：①，②，③中與方程存在“完美解”的有哪些？并說明理由；
(2)若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是該方程組與不等式組的“完美解”，求m的取值范圍．
難點強化八、一元一次不等式(組)的取值范圍
1．閱讀下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍”有如下解法：
解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1
又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2．
請按照上述方法，完成下列問題：
已知關(guān)于x、y的方程組的解都為非負數(shù)．
（1）求a的取值范圍；
（2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范圍；
（3）已知a﹣b=m（m是大于1的常數(shù)），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代數(shù)式表示）
2．閱讀下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍”有如下解法：
解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1
又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2．
請按照上述方法，完成下列問題：
已知關(guān)于x、y的方程組的解都為非負數(shù)．
（1）求a的取值范圍；
（2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范圍；
（3）已知a﹣b=m（m是大于1的常數(shù)），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代數(shù)式表示）
3．閱讀下列材料：
解答“已知，且，，試確定的取值范圍”的過程如下：
解：，又，，
又，同理得：
由得，的取值范圍是
請按照上述方法，解答下列問題：
若，且，，求的取值范圍；
若，且，，求最大值．
真題感知
1．（2024·江蘇南京·中考真題）某商場促銷方案規(guī)定：單筆消費金額每滿100元立減10元．例如，單筆消費金額為208元時，立減20元．甲在該商場單筆購買2件商品，立減了20元；乙在該商場單筆購買2件商品與1件商品，立減了30元．若商品的單價是整數(shù)元，則它的最小值是（ ）
A．1元 B．99元 C．101元 D．199元
2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）若，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江蘇常州·中考真題）“綠波”，是車輛到達前方各路口時，均遇上綠燈，提高通行效率．小亮爸爸行駛在最高限速的路段上，某時刻的導(dǎo)航界面如圖所示，前方第一個路口顯示綠燈倒計時32s，第二個路口顯示紅燈倒計時44s，此時車輛分別距離兩個路口480m和880m．已知第一個路口紅、綠燈設(shè)定時間分別是30s、50s，第二個路口紅、綠燈設(shè)定時間分別是45s、60s．若不考慮其他因素，小亮爸爸以不低于的車速全程勻速“綠波”通過這兩個路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過），則車速v（）的取值范圍是 ．
4．（2024·江蘇南京·中考真題）解不等式組：
5．（2024·江蘇常州·中考真題）解方程組和不等式組：
(1)
(2)
6．（2024·江蘇揚州·中考真題）解不等式組，并求出它的所有整數(shù)解的和．
7．（2024·江蘇鹽城·中考真題）求不等式的正整數(shù)解．
8．（2024·江蘇連云港·中考真題）解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
答案與解析
難點強化一、一元一次不等式(組)求參
1．若不等式的解都能使不等式成立，則實數(shù) 的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查一元一次不等式的解集．先求出不等式得到，進而根據(jù)意義得到，求解即可．
【詳解】解：解不等式，得，
，
，
，
故選：B
2．已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)不等號方向要改變．由不等式的解集為得且，將原不等式變形可得，結(jié)合兩邊除以可得答案．
【詳解】解：∵不等式，
∴，
∵不等式的解集為，
∴且，
∵
∴
∴，解得，
故答案為：．
3．已知關(guān)于x的方程的解是負數(shù)．
(1)求m的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，解關(guān)于x的不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查根據(jù)方程的解的情況求參數(shù)的范圍，求不等式的解集：
（1）先求出方程的解，根據(jù)方程的解為負數(shù)，得到關(guān)于的不等式，進行求解即可；
（2）根據(jù)解不等式的步驟進行求解即可．
【詳解】（1）解：，
解得：，
∵方程的解為負數(shù)，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴，
由（1）知：，
∴．
難點強化二、一元一次不等式(組)的整數(shù)解
1．若關(guān)于x的不等式只有3個正整數(shù)解，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了解一元一次不等式的整數(shù)解，根據(jù)不等式的解即可求解．
【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式只有3個正整數(shù)解，為，，
∴
故選：A．
2．若關(guān)于x的不等式組恰好有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，先求出不等式的解集為，結(jié)合題意得出整數(shù)解為3、4、5，從而即可得出a的取值范圍．
【詳解】解：解得：，
解得，，
∴不等式組的解集為，
∵關(guān)于x的不等式組恰好有3個整數(shù)解，
∴整數(shù)解為3、4、5，
∴，
∴a的取值范圍是，
故答案為：．
3．已知關(guān)于的不等式組
(1)若，求這個不等式組的解集；
(2)若這個不等式組的整數(shù)解共有3個，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查求不等式組的解集，根據(jù)解集的情況求參數(shù)的范圍：
（1）先求解不等式組得到解集，然后將代入即可；
（2）根據(jù)（1）求得的解集結(jié)合有3個整數(shù)解的條件即可解答．
【詳解】（1）解：．
解不等式①，得，
解不等式②，得．
∴當時，，
∴不等式組的解集是．
（2）∵不等式組的整數(shù)解共有3個，
∴由（1）可知：
∴整數(shù)解是，0，1，
∴，
∴的取值范圍是．
難點強化三、一元一次不等式(組)的最值
1．若a、b滿足，則的最大值與最小值的差為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查整式的乘法，完全平方公式，不等式的性質(zhì)等．熟練運用完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．
先將式子化簡為，由得到，即可得到的最大值，同理得到，得到的最小值，即可解答．
【詳解】解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為，
∴的最大值為；
∵，
∴，
∴，
∴的最大值為2，
∴的最小值為；
即的最大值為，最小值為，
它們的差為．
故選：D
2．已知三個實數(shù)滿足．
（1）若，則 （填“”或“”）；
（2）若且，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了完全平方公式因式分解，不等式的性質(zhì)；
（1）根據(jù)題意可得，代入得出，根據(jù)，推出，即可求解；
（2）根據(jù)題意得出，代入，進而根據(jù)不等式的性質(zhì)，求得最小值，即可求解．
【詳解】（1）解：∵．
∴，
∴
∵
∴，即，
∴，
故答案為：．
（2）∵，
∴，
∴
∴
∵，,
∴時，的最小值是
故答案為：．
3．（1）已知非負數(shù)，，滿足，
①請用含的式子分別表示，，并求出的取值范圍；
②設(shè)，求的最大值與最小值；
（2）已知正整數(shù)，，滿足，，試求，，的值．
【答案】（1）①，；②的最小值為，最大值為；（2），，
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，不等式的性質(zhì)，解二元一次方程，正確解方程和解不等式組是解題的關(guān)鍵．
（1）①把x看做已知解方程即可求出y、z的值，再根據(jù)x、y、z均為非負數(shù)列出不等式組求出x的范圍即可；②根據(jù)①所求結(jié)合用含x的式子表示出，再根據(jù)x的取值范圍求出的取值范圍即可得到答案；
（2）根據(jù)，推出，則可求出，即，則，再由得到，據(jù)此求出b的值，進而求出c的值即可．
【詳解】解：（1）①∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，都是非負數(shù)，
∴，
解得；
②∵，
∴
，
∵，
∴，
∴的最小值為，最大值為；
（2）∵正整數(shù)，，滿足，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
難點強化四、一元一次不等式(組)的有、無解
1．關(guān)于的一元一次不等式組有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握求不等式組的解集的方法是解題的關(guān)鍵．分別解不等式得出，，根據(jù)不等式組有解，得出，解不等式即可求解．
【詳解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
關(guān)于的一元一次不等式組有解，
，
解得：．
故選：D．
2．已知不等式組無解，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了解一元一次不等式組．熟練掌握解一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
解得，解得，由不等式組無解，可得，計算求解即可．
【詳解】解：，
，
解得，，
，
解得，，
∵不等式組無解，
∴，
解得，，
故答案為：．
3．已知關(guān)于x的不等式組；
(1)若該不等式組的解集為，求m的值．
(2)若該不等式組無解，則m的取值范圍為______．
(3)若該不等式組只有4個整數(shù)解，求m的整數(shù)解．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】本題考查根據(jù)一元一次不等式組解集的情況求參數(shù)、求一元一次不等式組的整數(shù)解，（1）先分別解一元一次不等式，再根據(jù)不等式組的解集可得，最后求解即可；
（2）由（1）可得，，再根據(jù)不等式組無解可得，再求解即可；
（3）由（1）可得，，根據(jù)該不等式組只有4個整數(shù)解，可得，再解不等式組即可求解．
【詳解】（1）解：，
由①得，，
由②，
∵該不等式組的解集為，
∴，
解得；
（2）解：由（1）可得，，
∵該不等式組無解，
∴，
解得，
故答案為：；
（3）解：由（1）可得，，
∵該不等式組只有4個整數(shù)解，
∴，
解得，
∴m的整數(shù)解是0．
難點強化五、一元一次不等式(組)與方程(組)結(jié)合
1．如果關(guān)于y的方程有非負整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組的解集為，則所有符合條件的整數(shù)a的和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是解一元一次方程方程與解不等式組，求各種特殊解的前提都是先求出整個解集，然后在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解決本題的關(guān)鍵．
解方程得出，根據(jù)關(guān)于y的方程有非負整數(shù)解，得出，由不等式的解集得出，進而即可求解．
【詳解】解： ，
解得，
∵關(guān)于y的方程有非負整數(shù)解，
∴，
解得：，且為整數(shù)，
關(guān)于的不等式組整理得 ，
∵不等式組的解集為，
∴，
解得：，
∴且a為整數(shù)，
∴，，，，
于是符合條件的所有整數(shù)的值之和為：，
故選：A．
2．若關(guān)于的方程有非負整數(shù)解，且關(guān)于的不等式組至多有三個整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為 ．
【答案】11
【分析】本題考查了一元一次方程的解，一元一次不等式組的整數(shù)解，先解一元一次不等式組，根據(jù)不等式組至多有3個整數(shù)解，求出a的范圍，再解分式方程，根據(jù)分式方程有非負整數(shù)解，確定a的值即可解答．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式組至多有3個整數(shù)解，
∴，
∴，
，
，
解得，
∵方程有非負整數(shù)解，
∴（x為非負整數(shù)），
∴，且為整數(shù)，
∴，
∴，
∵，
∴符合條件的所有整數(shù)a的值為：0，3，8，
∴符合條件的所有整數(shù)a的和是：．
故答案為：11．
3．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組．
(1)求這個方程組的解（用含m的式子表示）；
(2)若這個方程組的解x，y滿足成立，求m的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本題為二元一次方程與不等式綜合應(yīng)用，考查了解含參數(shù)的二元一次方程組，解一元一次不等式等知識．
（1）利用加減分即可求解；
（2）把代入不等式得到，解一元一次不等式即可求解．
【詳解】（1）解：，
①+②得：，解得，
把代入①得：，
解得，
∴原方程組的解為；
（2）解：∵這個方程組的解x，y滿足成立，
，
解得．
難點強化六、一元一次不等式(組)的解決應(yīng)用
1．快遞員把貨物送到客戶手中稱為送件，幫客戶寄出貨物稱為攬件．快遞員的提成取決于送件數(shù)和攬件數(shù)．某快遞公司快遞員小李若平均每天的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為80件和20件，則他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為120件和25件，則他平均每天的提成是230元．
(1)求快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成各是多少元；
(2)已知快遞員小李一周內(nèi)平均每天的送件數(shù)和攬件數(shù)共計200件，且攬件數(shù)不大于送件數(shù)的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件數(shù)最少是多少．
【答案】(1)快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成各是1.5元和2元
(2)他平均每天的送件數(shù)最少是160件
【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系列出相應(yīng)的方程組或不等式組．
（1）設(shè)快遞員小李平均每送一件的提成是元，平均每攬一件的提成是元，列方程組求解即可；
（2）設(shè)他平均每天的送件數(shù)是m件，則他平均每天的攬件數(shù)是件，列不等式組，求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)快遞員小李平均每送一件的提成是元，平均每攬一件的提成是元，
根據(jù)題意得，
解得．
答：快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成各是1.5元和2元；
（2）解：設(shè)他平均每天的送件數(shù)是m件，則他平均每天的攬件數(shù)是件，
根據(jù)題意得：，
解得：．
是正整數(shù)，
的值為160，161，162，163，164．
答：他平均每天的送件數(shù)最少是160件。
2．國慶節(jié)期間，某品牌服裝在兩個平臺做促銷活動．
平臺：①顧客所購服裝的原總價打九折；②原總價每滿元即送元現(xiàn)金券，折后可用券抵扣．例如，某人購物原總價為元，則他實際付款為（元）．
平臺B：
原總價 優(yōu)惠標準
不超過元的部分 九折優(yōu)惠
超過元但不超過元的部分 六折優(yōu)惠
超過元的部分 五折優(yōu)惠
例如，某人購物原總價為元，則他實際付款為（元）．
(1)若小李要買一件元的該品牌服裝，則他應(yīng)選擇平臺 (填“”或“”)購買．
(2)某款服裝單價的定價為元，若小芳計劃購買件，發(fā)現(xiàn)在兩個平臺上優(yōu)惠后價格一樣，求的值．
(3)小華要購買原總價超過元且不超過元的該品牌服裝，那他在哪個平臺上購買更劃算？請你幫他設(shè)計購買方案．
【答案】(1)
(2)
(3)當時，在平臺上購買；當時，在平臺上購買；當時，在兩個平臺上購買價格一樣
【分析】（1）分別求出小李在兩個平臺購買的付款數(shù)量，再進行比較即可；
（2）分別求出平臺的優(yōu)惠價為元，平臺B的優(yōu)惠價為元，再根據(jù)“在兩個平臺上優(yōu)惠后價格一樣”列出關(guān)于的一元一次方程，求解即可；
（3）設(shè)原總價為元，平臺的優(yōu)惠價為元，平臺的優(yōu)惠價為元，當時，得，，然后分三種情況：若；若；若，分別求解即可．
【詳解】（1）解：小李要買一件元的該品牌服裝，
若選擇平臺購買，應(yīng)付款：（元），
若選擇平臺購買，應(yīng)付款：（元），
∵，
∴他應(yīng)選擇平臺購買，
故答案為：；
（2）平臺的優(yōu)惠價為元，平臺B的優(yōu)惠價為元，
依題意，得：，
解得：，
∴的值為．
（3）設(shè)原總價為元，平臺的優(yōu)惠價為元，平臺的優(yōu)惠價為元，
當時，
，，
若，則，解得：；
若，則，解得：；
若，則，解得：；
當時，
，
，
∴，
綜上所述，當時，在平臺上購買；當時，在平臺上購買，當時，在兩個平臺上購買價格一樣．
【點睛】本題考查有理數(shù)混合運算的實際應(yīng)用，一元一次方程及一元一次不等式的應(yīng)用等知識點，利用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
3．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
背景 為了迎接2023杭州亞運會，某班級開展知識競賽活動，去咖啡店購買A、B兩種款式的咖啡作為獎品．
素材1 若買10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若買25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．
素材2 為了滿足市場的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服務(wù)，顧客在選完款式后可以自主選擇加料或者不加料．小華恰好用了208元購買A、B兩款咖啡，其中A款不加料的杯數(shù)是總杯數(shù)的．
問題解決
任務(wù)1 問A款咖啡和B款咖啡的銷售單價各是多少元？
任務(wù)2 在不加料的情況下，購買A、B兩種款式的咖啡（兩種都要），剛好花200元，問有幾種購買方案？
任務(wù)3 求小華購買的這兩款咖啡，其中B型加料的咖啡買了多少杯（直接寫出答案）？
【答案】任務(wù)1：A型咖啡的每杯價格為8元，B型咖啡每杯價格為10元；任務(wù)2：四種；任務(wù)3：6杯
【分析】任務(wù)1：設(shè)A型咖啡的每杯價格為x元，B型咖啡每杯價格為y元，列出二元一次方程組，解方程組即可求解；
任務(wù)2：設(shè)A型咖啡為m杯，B型咖啡為n杯，列出二元一次方程，可得，根據(jù)m，n均為正整數(shù)，即可求解；
任務(wù)3：設(shè)A型不加料為a杯，總的杯數(shù)為3a杯，設(shè)A型的加料和B型的不加料為b杯，則B的加料為杯，根據(jù)A型的加料和B型的不加料的價格均為每杯10元，可得總花費為：，即可得，根據(jù)，可得，問題隨之得解．
【詳解】解：任務(wù)1：設(shè)A型咖啡的每杯價格為x元，B型咖啡每杯價格為y元，
由題可知：，
解得：，
即A型咖啡的每杯價格為8元，B型咖啡每杯價格為10元；
任務(wù)2：設(shè)A型咖啡為m杯，B型咖啡為n杯，
則，
∴，
∵m，n均為正整數(shù)，
∴解得：，，，，
即有共有四種方案；
任務(wù)3：買了6杯
設(shè)A型不加料為a杯，總的杯數(shù)為3a杯，設(shè)A型的加料和B型的不加料共為b杯，則B的加料為杯，
∵A型的加料和B型的不加料的價格均為每杯10元，
∴總花費為：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵a，b是整數(shù)，
∴，，
∴（杯）．
【點睛】本題主要考查了二元次一方程組的應(yīng)用，以及根據(jù)題意解二元一次方程等知識，問題的難點是任務(wù)三，根據(jù)A型的加料和B型的不加料的價格均為每杯10元，列出總花費為：，是解答本題的關(guān)鍵．
難點強化七、一元一次不等式(組)的新定義應(yīng)用
1．閱讀理解：
定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“子方程”．例如：的解為：，的解集為：，不難發(fā)現(xiàn)在的范圍內(nèi)，所以是的“子方程”．
問題解決：
(1)在方程①，②，③中，不等式組的“子方程”有：______；（填序號）
(2)若關(guān)于的方程是不等式組的“子方程”，求的取值范圍．
【答案】(1)①③
(2)
【分析】本題考查了不等式組的解集定義、解一元一次不等式組、解一元一次方程等知識，正確理解“子方程”概念并求出不等式組的解集是解題關(guān)鍵．
（1）分別解出方程①②③和不等式組，判斷方程的解是否在不等式組解集的范圍內(nèi)即可；
（2）先解關(guān)于x的方程，再將求得的x值代入不等式組的解集得到關(guān)于k的不等式組，解出即可．
【詳解】（1）解：解方程①得：
，
解方程②得：
，
解方程③得：
，
解不等式組得：
，
和都在范圍內(nèi)，
不等式組的“子方程”有①③．
故答案為：①③．
（2）解： ，
，
，
由①得：
，
解得：，
由②得： ，
解得： ，
，
把代入得：
，
由③得： ，
解得：，
由④得： ，
解得： ，
的取值范圍．
2．定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．例如：方程的解為，不等式組的解集為，因為在的范圍內(nèi)，所以方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．
(1)方程______（填“是”或“不是”）不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．
(2)已知關(guān)于的方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，求的取值范圍．
(3)已知關(guān)于的方程是關(guān)于的不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，直接寫出的取值范圍為______．
【答案】(1)是；
(2)；
(3)．
【分析】本題考查了解不等式組，一元一次方程，熟練掌握解法是解題的關(guān)鍵．
（）根據(jù)題意分別解出和，再根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”定義即可求解；
（）根據(jù)題意分別解出和，再根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”定義得出，然后求解集即可；
（）由解不等式得，解不等式得，由得，根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”定義得出，然后解不等式組即可．
【詳解】（1）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式組的解集為，
由，
，
∴在范圍內(nèi)，
∴方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，
故答案為：是；
（2）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式組的解集為，
由得，
∵關(guān)于的方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，
∴，
解得：；
（3）解：
解不等式得：，
解不等式得：，
由得，
∵關(guān)于的方程是關(guān)于的不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，
∴，
解得：，
故答案為：．
3．定義：使方程（組）和不等式（組）同時成立的未知數(shù)的值稱為此方程（組）和不等式（組）的“完美解”．
例：已知方程的解為，不等式的解集為，則稱“”為方程和不等式的“完美解”．
(1)下列不等式（組）：①，②，③中與方程存在“完美解”的有哪些？并說明理由；
(2)若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是該方程組與不等式組的“完美解”，求m的取值范圍．
【答案】(1)方程只與不等式②存在“完美解”，見解析
(2)
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式（組）、解一元一次方程,解二元一次方程組等知識點，掌握相關(guān)解法是解題的關(guān)鍵．
（1）先求出方程的解和不等式的解集，然后進行判斷；
（2）先求出方程組的解和不等式組的解集，根據(jù)題意得出關(guān)于m的不等式組，最后解不等式組即可．
【詳解】（1）解：
解得：；
①不等式的解集為，但不在該解集范圍內(nèi)；
②不等式的解集是，在該解集范圍內(nèi)；
③不等式組的解集是，但不在該解集范圍內(nèi)．
綜上所述：方程只與不等式②存在“完美解”．
（2）解：解方程組得：
，
，
∵方程組的解是不等式組的“完美解”，
，
．
難點強化八、一元一次不等式(組)的取值范圍
1．閱讀下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍”有如下解法：
解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1
又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2．
請按照上述方法，完成下列問題：
已知關(guān)于x、y的方程組的解都為非負數(shù)．
（1）求a的取值范圍；
（2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范圍；
（3）已知a﹣b=m（m是大于1的常數(shù)），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代數(shù)式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）最大值為3+2m．
【詳解】試題分析：(1)、首先求出方程組的解，然后根據(jù)解為非負數(shù)得出a的取值范圍；(2)、根據(jù)題意得出a=，然后根據(jù)a的取值范圍得出b的取值范圍，從而得出答案；(3)、根據(jù)a=m+b以及a的取值范圍得出b的取值范圍，然后得出最值.
試題解析：(1)、因為關(guān)于x、y的方程組的解都為非負數(shù)，
解得：，可得：， 解得：；
(2)、由2a﹣b=1，可得：， 可得：，解得：， 所以；
(3)、，所以，可得：，
可得：，同理可得：，
所以可得：
最大值為3+2m．
考點：不等式組的應(yīng)用
2．閱讀下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍”有如下解法：
解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1
又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2．
請按照上述方法，完成下列問題：
已知關(guān)于x、y的方程組的解都為非負數(shù)．
（1）求a的取值范圍；
（2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范圍；
（3）已知a﹣b=m（m是大于1的常數(shù)），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代數(shù)式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）最大值為3+2m．
【詳解】試題分析：(1)、首先求出方程組的解，然后根據(jù)解為非負數(shù)得出a的取值范圍；(2)、根據(jù)題意得出a=，然后根據(jù)a的取值范圍得出b的取值范圍，從而得出答案；(3)、根據(jù)a=m+b以及a的取值范圍得出b的取值范圍，然后得出最值.
試題解析：(1)、因為關(guān)于x、y的方程組的解都為非負數(shù)，
解得：，可得：， 解得：；
(2)、由2a﹣b=1，可得：， 可得：，解得：， 所以；
(3)、，所以，可得：，
可得：，同理可得：，
所以可得：
最大值為3+2m．
考點：不等式組的應(yīng)用
3．閱讀下列材料：
解答“已知，且，，試確定的取值范圍”的過程如下：
解：，又，，
又，同理得：
由得，的取值范圍是
請按照上述方法，解答下列問題：
若，且，，求的取值范圍；
若，且，，求最大值．
【答案】(1)；(2)25.
【分析】利用題中方法得到，，然后把兩個不等式相加得到的范圍；先利用（1）方法得到，再利用b表示得到，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
【詳解】，
，
，
，解，
而，
，
同理可得，
得；
利用中的方法得到，
而，
當時，的值最大，最大值為25．
【點睛】本題是閱讀理解題，類比題目中所給的運算方法解決問題是解決這類題目的基本思路.
真題感知
1．（2024·江蘇南京·中考真題）某商場促銷方案規(guī)定：單筆消費金額每滿100元立減10元．例如，單筆消費金額為208元時，立減20元．甲在該商場單筆購買2件商品，立減了20元；乙在該商場單筆購買2件商品與1件商品，立減了30元．若商品的單價是整數(shù)元，則它的最小值是（ ）
A．1元 B．99元 C．101元 D．199元
【答案】A
【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，正確的理解題意，列出不等式是解題的關(guān)鍵．本題可先根據(jù)甲的消費情況確定商品的價格范圍，再結(jié)合乙的消費情況列出不等式，進而求出B商品單價的最小值
【詳解】∵單筆消費金額每滿100元立減10元，
∴2件商品的原價滿足：，
∵乙在該商場單筆購買2件商品與1件商品，立減了30元，說明消費金額滿了3個100元，
∴，
∴時，B有最小值為1即可；
故選：A
2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）若，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，不等號方向不變；不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)，不等號方向不變；不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)，不等號方向改變．
直接利用不等式的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：，
A、，故錯誤，該選項不合題意；
B、，故錯誤，該選項不合題意；
C、無法得出，故錯誤，該選項不合題意；
D、，故正確，該選項符合題意；
故選：D．
3．（2024·江蘇常州·中考真題）“綠波”，是車輛到達前方各路口時，均遇上綠燈，提高通行效率．小亮爸爸行駛在最高限速的路段上，某時刻的導(dǎo)航界面如圖所示，前方第一個路口顯示綠燈倒計時32s，第二個路口顯示紅燈倒計時44s，此時車輛分別距離兩個路口480m和880m．已知第一個路口紅、綠燈設(shè)定時間分別是30s、50s，第二個路口紅、綠燈設(shè)定時間分別是45s、60s．若不考慮其他因素，小亮爸爸以不低于的車速全程勻速“綠波”通過這兩個路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過），則車速v（）的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
利用路程速度時間，結(jié)合小亮爸爸以不低于的車速全程勻速“綠波”通過這兩個路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過），可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出車速的取值范圍．
【詳解】解： ．
根據(jù)題意得：，
解得：，
車速的取值范圍是．
故答案為：．
4．（2024·江蘇南京·中考真題）解不等式組：
【答案】
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”是解題關(guān)鍵．
先求出每個不等式的解集，再求出公共解集即可．
【詳解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式組的解集為．
故答案為：．
5．（2024·江蘇常州·中考真題）解方程組和不等式組：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查解方程組和一元一次不等式組：
（1）加減法解方程組即可；
（2）先求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集．
【詳解】（1）解：
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
∴方程組的解為：．
（2）解：，
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式組的解集為：．
6．（2024·江蘇揚州·中考真題）解不等式組，并求出它的所有整數(shù)解的和．
【答案】，整數(shù)和為6
【分析】本題主要考查解不等式組的整數(shù)解，掌握不等式的性質(zhì)，不等式組的取值方法是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)不等式的性質(zhì)分別求出不等式①，②的解，再根據(jù)不等式組的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解”即可求解，結(jié)合解集取整數(shù)，再求和即可．
【詳解】解：，
由①得，，
解得，；
由②得，，
移項得，，
解得，，
∴原不等式組的解為：，
∴所有整數(shù)解為：，
∴所有整數(shù)解的和為：．
7．（2024·江蘇鹽城·中考真題）求不等式的正整數(shù)解．
【答案】，．
【分析】本題考查了求一元一次不等式的解集以及正整數(shù)解，先求出不等式的解集，進而可得到不等式的正整數(shù)解，正確求出一元一次不等式的解集是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：去分母得，，
去括號得，，
移項得，，
合并同類項得，，
系數(shù)化為得，，
∴不等式的正整數(shù)解為，．
8．（2024·江蘇連云港·中考真題）解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
【答案】，圖見解析
【分析】本題主要考查解一元一次不等式以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，根據(jù)去分母，去括號，移項，合并同類項可得不等式的解集，然后再在數(shù)軸上表示出它的解集即可.
【詳解】解：，
去分母，得，
去括號，得，
移項，得，
解得．
這個不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

思維導(dǎo)圖
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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