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天津市嘉誠中學2024-2025學年度第二學期期中質量調查
高一年級 數學學科答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16.解：根據題意，若，設，
又由，則有，解可得，
則或，
根據題意，設向量與向量夾角為，
若，則，
變形可得：；
故向量與向量夾角的余弦值為．
17.解：Ⅰ若是實數，
則，或，
則的值為或；
Ⅱ若是純虛數，
則，，
則的值為；
Ⅲ若在復平面內對應的點在第四象限，
則，，
則的取值范圍為．
18.證明：連結．
側面是菱形，與交于點
為的中點
是的中點
；
平面，平面
平面
側面是菱形
，，平面，平面
平面
平面
．
19.解因為，，，
由余弦定理可得，
解得：；
，，所以，
由，可得，
由正弦定理可得，即，
可得，
所以；
因為，，
所以，，
，可得，
所以，
所以的值為．
20.解：因為四邊形為矩形，所以，
則即為異面直線與所成的角，
在中，，，
所以，
故異面直線與所成的角為；
證明：平面平面，，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，
則平面，平面，
所以，
因為，為的中點，所以，
因為，，平面，則平面，
又平面，故平面平面；
解：由可知，，，
則為二面角的平面角，
因為，，
則，
所以，
故二面角的余弦值為． 天津市嘉誠中學2024-2025學年度第二學期期中質量調查
高一年級 數學學科
（時長：100分鐘 總分：100分）
一、單選題：本題共9小題，每小題3分，共27分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設，則的虛部是．
A. B. C. D.
2.如圖，已知，用，表示，則等于( )
A. B.
C. D.
3.已知向量，，且，則( )
A. B. C. D.
4.用、表示兩條不同的直線，用、表示兩個不同的平面，則下列命題正確的是( )
A. 若，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，則
5.如圖所示，是水平放置的的直觀圖，且，，則的面積是( )
A. B.
C. D.
6.在中，若，，則的形狀為( )
A. 等腰三角形 B. 等邊三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.已知正方體的棱長為，則三棱錐的體積為( )
A. B. C. D.
8.已知圓錐的高為，若該圓錐的內切球的半徑為，則該圓錐的表面積為( )
A. B. C. D.
9.在正三棱柱中，，則與平面所成角的正切值為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
10.是虛數單位，復數，則的共軛復數 ．
11.已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為，則這個球的體積為______．
12.已知向量，則向量在方向上的投影向量的坐標為______．
13.在中，內角，，的對邊分別是，，，已知，，，則 ______，外接圓半徑為______．
14.在正方體中，與所成的角為______，與平面A所成的角為______．
15.在四邊形中，，，，，，則實數的值為______，若，是線段上的動點，且，則的最小值為______．
三、解答題：本題共5小題，共49分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題分
已知向量，滿足．
若，求向量的坐標；
若，求向量與向量夾角的余弦值．
本小題分
已知復數，．
Ⅰ若是實數，求的值；
Ⅱ若是純虛數，求的值；
Ⅲ若在復平面內對應的點在第四象限，求的取值范圍．
18.本小題分
如圖，斜三棱柱中，側面是菱形，與交于點，是的中點．求證：
平面；
若，求證：．
19.本小題分
在中，角，，所對的邊分別為，，已知，，．
求的值；
求的值；
求的值．
20.本小題分
如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，，，為的中點．
求異面直線與所成的角；
求證：平面平面；
求二面角的余弦值．

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