資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題04 二元一次方程組
核心考點(diǎn)聚焦
二元一次方程
二元一次方程組的概念
解二元一次方程組
三元一次方程組
用二元一次方程組解決問題
一、二元一次方程概念及解
1.定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。識(shí)別方法需注意“二元”即含有兩個(gè)未知數(shù)，“一次”即含未知數(shù)的次數(shù)是1，“整式方程”即未知數(shù)不能出現(xiàn)在分母中。
2.二元一次方程的解：適合二元一次方程的一對(duì)未知數(shù)的值叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。需注意二元一次方程的每一個(gè)解都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)；一般情況下，一個(gè)二元一次方程有無窮多個(gè)解，但如果對(duì)其未知數(shù)的取值附加某些限制條件，那么也可能只有有限個(gè)特殊的解。
二、二元一次方程組概念及解
1.方程組：兩個(gè)或兩個(gè)以上的方程的組合叫做方程組。
2.二元一次方程組：把含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程聯(lián)立在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。需注意含有兩個(gè)整式方程；方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)；含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1。
3.二元一次方程組的解：二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組的解。需注意方程組的解同時(shí)滿足方程組中的每一個(gè)方程；由于方程組需用“{”括起來，所以方程組的解也要用“{”括起來。二元一次方程組解的情況包括唯一解、無數(shù)解和無解。
三、二元一次方程組的解法
1.代入消元法：將方程組的一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，并代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，從而把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程。這種解方程組的方法稱為代入消元法，簡稱代入法。
2.加減消元法：把方程組的兩個(gè)方程（或先作適當(dāng)變形）相加或相減，消去其中一個(gè)未知數(shù)，從而把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程。這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法。
四、實(shí)際問題與二元一次方程組
在解決實(shí)際問題時(shí)，首先要弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母（如x，y）表示題目中的兩個(gè)未知數(shù)；然后找出能夠表達(dá)實(shí)際問題全部含義的兩個(gè)相等關(guān)系；接著根據(jù)這些相等關(guān)系列出方程組；之后解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；最后檢驗(yàn)求出的解是否符合實(shí)際意義，并寫出答案。
五、三元一次方程組
1.定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個(gè)相同的求知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組。
2.應(yīng)用：列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟包括弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母（如x，y，z）表示題目中的兩個(gè)（或三個(gè)）未知數(shù)；找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；寫出答案（包括單位名稱）。
難點(diǎn)強(qiáng)化一、二元一次方程組求參
1．若關(guān)于x、y的方程組和有相同的解，則的值為（ ）
A．0 B． C．1 D．2021
2．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組（為實(shí)數(shù)）．
（1） （用含的式子表示）；
（2）若方程組的解也是方程（為整數(shù)，且不等于0或-6）的解，也是整數(shù)，則的最大值為 ．
3．已知關(guān)于的二元一次方程組．
(1)當(dāng)時(shí)，求這個(gè)方程組的解．
(2)若該方程組的解滿足等式，求的值．
(3)在（2）的條件下，某同學(xué)在解關(guān)于的方程組時(shí)，將中的看成了6，“”寫成了“”，結(jié)果得到方程組的解為，而方程組正確的解為，求的值．
難點(diǎn)強(qiáng)化二、二元一次方程組的整數(shù)解
1．如果的解是整數(shù)，那么可能的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知為正整數(shù)，且方程組的解，均為整數(shù)，則的值是 ．
3．閱讀下列材料，解答下面的問題：
我們知道方程有無數(shù)個(gè)解，但在實(shí)際問題中往往只需求出其正整數(shù)解．例：由，得為正整數(shù)，要使為正整數(shù)，則為正整數(shù)，可知：為3的倍數(shù)，從而，代入，所以的正整數(shù)解為
問題：
(1)請(qǐng)你直接寫出方程的正整數(shù)解___________；
(2)若為自然數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)的值有___________；
A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
(3)關(guān)于的二元一次方程組的解是正整數(shù)，求整數(shù)的值．
難點(diǎn)強(qiáng)化三、二元一次方程組的整體帶入
1．已知關(guān)于的二元一次方程組的解為，若滿足二元一次方程組，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．已知方程組的解是，可得方程組的解是 ．
3．閱讀探索：
材料一：解方程組時(shí)，采用了一種“換元法”的解法，解法如下：
解：設(shè)，原方程組可化為解得，即，解得；
材料二：解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法，解法如下：
解：將方程②，變形為③，把方程①代入③得，，則；把代入①得，，所以方程組的解為：；
根據(jù)上述材料，解決下列問題：
(1)運(yùn)用換元法解求關(guān)于，的方程組：的解；
(2)若關(guān)于，的方程組的解為，求關(guān)于，的方程組的解．
(3)已知、、，滿足，試求y的值．
難點(diǎn)強(qiáng)化四、二元一次方程組的解決應(yīng)用
1．在紙盒制作的勞動(dòng)實(shí)踐課上，對(duì)規(guī)格是的原材料板材進(jìn)行裁剪得到型長方形紙板和型正方形紙板為了避免材料浪費(fèi)，每張?jiān)牧习宀南炔玫脧埖募埌鍡l，每張紙板條又恰好可以裁得張型長方形紙板或張型正方形紙板，如圖所示．（單位：）
(1)每張?jiān)牧习宀目梢圆玫眯图埌錩_____張或裁得型紙板______張；
(2)現(xiàn)有張?jiān)牧习宀娜坎眉裘繌堅(jiān)牧习宀闹荒芤环N裁法得到型與型紙板當(dāng)側(cè)面和底面，做成如圖所示的豎式無蓋長方體紙盒和橫式無蓋長方體紙盒，若橫式無蓋長方體紙盒個(gè)數(shù)為豎式無蓋長方體紙盒個(gè)數(shù)的兩倍，問：怎樣裁剪才能使剪出的，型紙板恰好用完，兩種紙盒各做多少個(gè)？
2．某超市購進(jìn)A、B型兩種大米銷售，其中兩種大米的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如下表：
類型 進(jìn)價(jià)（元/袋） 售價(jià)（元/袋）
A型大米 20 30
B型大米 30 45
(1)該超市在6月份購進(jìn)A、B型兩種大米共90袋，進(jìn)貨款恰好為2200元，求這兩種大米各購進(jìn)多少袋？
(2)為刺激銷量，超市決定在進(jìn)貨款仍為2200元的情況下，7月份增加購進(jìn)C型大米作為贈(zèng)品，進(jìn)價(jià)為每袋10元，并出臺(tái)了“買3袋A型大米送1袋C型大米，買3袋B型大米送2袋C型大米”的促銷方案，若7月份超市的購進(jìn)數(shù)量恰好滿足上述促銷搭配方案，此時(shí)購進(jìn)3種大米各多少袋？
3．如圖，某校的飲水機(jī)有溫水、開水兩個(gè)按鈕，溫水和開水共用一個(gè)出水口．利用圖中信息解決下列問題：
物理常識(shí)開水和溫水混合時(shí)會(huì)發(fā)生熱傳遞，開水放出的熱量等于溫水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為“開水的體積×開水降低的溫度=溫水的體積×溫水升高的溫度”．
(1)王老師拿空水杯先接了的溫水，又接了的開水，剛好接滿，且水杯中的水溫為．①王老師的水杯容量為________；
②若不計(jì)熱損失，請(qǐng)求此時(shí)的值；
(2)嘉琪同學(xué)拿空水杯先接了一會(huì)兒溫水，又接了一會(huì)兒開水，得到一杯體積為，溫度為的水（不計(jì)熱損失），求嘉琪同學(xué)接溫水和開水的時(shí)間分別為多少？
難點(diǎn)強(qiáng)化五、二元一次方程組的整體思想
1．已知關(guān)于，的二元一次方程組，求的值．
本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常規(guī)思路運(yùn)算量比較大，其實(shí)仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，就可以通過適當(dāng)變形，求得該整式的值，例如由可得，這種解題思想就是通常所說的“整體思想”．根據(jù)上述材料解答下面問題：
(1)已知方程組，由可得__________；
(2)用“整體思想”解答：已知方程組，求的值；
(3)請(qǐng)說明在關(guān)于，的方程組中，無論取何值，的值始終不變．
2．【閱讀理解】已知方程組，求的值．本題常規(guī)解題思路是，解方程組得的值，再代入得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察方程組中兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．
(1)【模仿應(yīng)用】已知方程組，請(qǐng)用整體思想求的值；
(2)【解決問題】某班級(jí)組織活動(dòng)購買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆，3塊橡皮和2本日記本共需32元，買39支鉛筆，5塊橡皮和3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆，5塊橡皮和5本日記本共需多少元？
(3)【拓展延伸】對(duì)于有理數(shù)，定義新運(yùn)算，其中是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，已知．求的值．
3．閱讀感悟：
有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實(shí)數(shù)x、y滿足①，②，求和的值．
本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得解得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．
解決問題：
(1)已知二元一次方程組則______，______；
(2)某班級(jí)組織活動(dòng)購買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？
(3)對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，定義新運(yùn)算：解得，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，已知，，那么______．
難點(diǎn)強(qiáng)化六、二元一次方程組的整除問題
1．已知一個(gè)三位數(shù)，如果它的百位數(shù)字加上2與十位數(shù)字加上5的和等于個(gè)位數(shù)字加上8，則稱這個(gè)三位數(shù)叫“258數(shù)”．如：245，∵，∴245是“258數(shù)”；437，∵，，，∴437不是“258數(shù)”．
(1)請(qǐng)根據(jù)材料判斷526和738是不是“258數(shù)”，并說明理由；
(2)若“258數(shù)”（，且a，b、c均為整數(shù)）能被3整除，請(qǐng)求出所有符合題意的m的值．
2．定義：對(duì)于三位自然數(shù)，各位數(shù)字都不為，且它的百位數(shù)字的倍與十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字之和恰好能被整除，則稱這個(gè)自然數(shù)為“博雅數(shù)”．例如：是“博雅數(shù)”，因?yàn)椋疾粸椋遥鼙徽徊皇恰安┭艛?shù)”，因?yàn)椋荒鼙徽?br/>(1)判斷，是否是“博雅數(shù)”？并說明理由；
(2)求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大的所有“博雅數(shù)”，并說明理由．
3．如果把一個(gè)正整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出一串?dāng)?shù)字，與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同，那么我們把這樣的正整數(shù)叫做“完美數(shù)”．例如：自然數(shù)64746從最高位到個(gè)位排出的一串?dāng)?shù)字是：6、4、7、4、6，從個(gè)位到最高排出的一串?dāng)?shù)字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美數(shù)”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美數(shù)”．
(1)若由、（、均為的正整數(shù)）組成的兩位數(shù)、，則與的和一定能被_______整除；
(2)現(xiàn)有一個(gè)四位數(shù)，若它是“完美數(shù)”，則這個(gè)“完美數(shù)”一定能被_______整除；
(3)現(xiàn)有一個(gè)三位“完美數(shù)”，、、均為的正整數(shù)，若這個(gè)“完美數(shù)”正好能被9整除，請(qǐng)直接寫出符合條件的所有“完美數(shù)”．
難點(diǎn)強(qiáng)化七、二元一次方程組的新定義應(yīng)用
1．定義：當(dāng)兩個(gè)數(shù)x，y滿足，則稱x與y具有“友好關(guān)系”．
(1)判斷方程組的解x，y是否具有“友好關(guān)系”？說明你的理由．
(2)若方程組的解x，y具有“友好關(guān)系”，請(qǐng)求出方程組的解及a，b的正整數(shù)值．
2．定義：二元一次方程與二元一次方程互為“反對(duì)稱二元一次方程”，如二元一次方程與二元一次方程互為“反對(duì)稱二元一次方程”.
(1)直接寫出二元一次方程的“反對(duì)稱二元一次方程”：______
(2)二元一次方程的解，又是它的“反對(duì)稱二元一次方程”的解，求出m，n的值.
3．定義：若點(diǎn)滿足，則稱點(diǎn)p為關(guān)于x，y的二元一次方程的融合點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)為方程的融合點(diǎn)，則　 　；（直接寫出答案）
(2)u，v為正整數(shù)，且點(diǎn)為方程的融合點(diǎn)．求u，v的值；
(3)m，s，t，k為實(shí)數(shù)，點(diǎn)與點(diǎn)都是方程的融合點(diǎn)，且，求k的值．
真題感知
1．（2023·江蘇無錫·中考真題）下列4組數(shù)中，不是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于x、y的方程組的解是 ．
3．（2024·江蘇鹽城·中考真題）中國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現(xiàn)有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對(duì)折去量竿子，繩索就比竿子短5尺，問繩索、竿子各有多長？該問題中的竿子長為 尺．
4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”意思是：“幾個(gè)人一起去購買某物品，每人出8錢，則多出3錢；每人出7錢，則還差4錢．問人數(shù)、物品的價(jià)格分別是多少？”該問題中的人數(shù)為 .
5．（2024·江蘇徐州·中考真題）中國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中有一道問題；“今有甲、乙懷錢，各不知其數(shù)．甲得乙十錢，多乙余錢五倍．乙得甲十錢，適等．問甲、乙懷錢各幾何？”問題大意：甲、乙兩人各有錢幣若干枚．若乙給甲10枚錢，此時(shí)甲的錢幣數(shù)比乙的錢幣數(shù)多出5倍，即甲的錢幣數(shù)是乙錢幣數(shù)的6倍；若甲給乙10枚錢，此時(shí)兩人的錢幣數(shù)相等．問甲、乙原來各有多少枚錢幣？請(qǐng)用二元一次方程組解答上述問題．
6．（2024·江蘇蘇州·中考真題）解方程組：．
7．（2023·江蘇連云港·中考真題）解方程組
答案與解析
難點(diǎn)強(qiáng)化一、二元一次方程組求參
1．若關(guān)于x、y的方程組和有相同的解，則的值為（ ）
A．0 B． C．1 D．2021
【答案】B
【分析】將方程組中不含的兩個(gè)方程聯(lián)立，求得的值，代入，含有的兩個(gè)方程中聯(lián)立求得的值，再代入代數(shù)式中求解即可．
【詳解】解：由題意，得，
解得．
把代入方程組中，得，
①＋②，得．
∴．
故選B．
2．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組（為實(shí)數(shù)）．
（1） （用含的式子表示）；
（2）若方程組的解也是方程（為整數(shù)，且不等于0或-6）的解，也是整數(shù)，則的最大值為 ．
【答案】 / 10
【分析】本題考查了二元一次方程組的解法，根據(jù)二元一次方程組的解的情況確定參數(shù)的取值及分式求值，正確地求得二元一次方程組的解是解決問題的關(guān)鍵．
（1）兩式相加化簡即可得出結(jié)果；
（2）解方程組，用用含p的式子表示的解，再代入，求出，根據(jù)題意即可解答．
【詳解】解：（1），
兩式相加得：，
，
故答案為：；
（2），
①②得：，解得：，
將代入②得：，解得：，
方程組的解也是方程的解，
，
，
q為整數(shù)，且q不等于0或，
或，
p是整數(shù)，
時(shí)，有最大整數(shù)值，則有最大整數(shù)值，
，
故答案為：．
3．已知關(guān)于的二元一次方程組．
(1)當(dāng)時(shí)，求這個(gè)方程組的解．
(2)若該方程組的解滿足等式，求的值．
(3)在（2）的條件下，某同學(xué)在解關(guān)于的方程組時(shí)，將中的看成了6，“”寫成了“”，結(jié)果得到方程組的解為，而方程組正確的解為，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查解二元一次方程組，涉及加減消元法解二元一次方程組，讀懂題意，掌握二元一次方程組解法是解決問題的關(guān)鍵．
（1）將代入原方程組，由加減消元法解二元一次方程組即可得到答案；
（2）由加減消元法解二元一次方程組得到、，由方程組的解滿足等式，將、代入，得到關(guān)于的一元一次方程求解即可得到答案；
（3）在（2）的條件下，，根據(jù)題意，將代入關(guān)于的方程組求解得到，再將代入關(guān)于的方程組求解得到，即可得到答案．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
整理得，
由①②得，
；
將代入①得，
；
當(dāng)時(shí)，這個(gè)方程組的解為；
（2）解：，
整理得，
由①②得，
；
將代入①得，
；
，解得；
（3）解：在（2）的條件下，，
是關(guān)于的方程組的解，
；
是關(guān)于的方程組的解，
，
解得，
綜上所述，，
．
難點(diǎn)強(qiáng)化二、二元一次方程組的整數(shù)解
1．如果的解是整數(shù)，那么可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解二元一次方程組，解題關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解法．
首先解方程組求得方程組的解，然后根據(jù)方程組的解是整數(shù)，把選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證即可．
【詳解】解：，
由①得：，
代入②得：，
則，
則，
即方程組的解是：，
則在可能的取值，，，中只有能使，的值是整數(shù)．
故選：．
2．已知為正整數(shù)，且方程組的解，均為整數(shù)，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
解出、，再根據(jù)解的情況求出的值即可．
【詳解】解：解方程組，得，
為正整數(shù)，
必為正整數(shù)，
又、均為整數(shù)，
為和的公約數(shù)，
或，
解得：（舍去）或，
，
故答案為：．
3．閱讀下列材料，解答下面的問題：
我們知道方程有無數(shù)個(gè)解，但在實(shí)際問題中往往只需求出其正整數(shù)解．例：由，得為正整數(shù)，要使為正整數(shù)，則為正整數(shù)，可知：為3的倍數(shù)，從而，代入，所以的正整數(shù)解為
問題：
(1)請(qǐng)你直接寫出方程的正整數(shù)解___________；
(2)若為自然數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)的值有___________；
A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
(3)關(guān)于的二元一次方程組的解是正整數(shù)，求整數(shù)的值．
【答案】(1)
(2)B
(3)或
【分析】本題考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)求出特殊解是解此題的關(guān)鍵．
（1）先仿照題意得到，再根據(jù)x、y是正整數(shù)求解即可；
（2）根據(jù)題意得出的值為6或3或2或1，據(jù)此求解即可；
（3）利用加減消元法消去x，用含k的式子表示出y，根據(jù)y為正整數(shù)求出k的值，再帶回驗(yàn)證x的值是否為正整數(shù)即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵x、y都是正整數(shù)，
∴x必須是2的倍數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴方程的正整數(shù)解為；
（2）解：解：∵為自然數(shù)，
∴的值為6或3或2或1，
∴正整數(shù)x的值有9，6，5，4，共4個(gè)，
故選：B；
（3）解：解：，
得：，
解得：，
，是正整數(shù)，是整數(shù)，
∴的值為1或3，
或，
當(dāng)時(shí)，此時(shí),則，解得，符合題意；
當(dāng)時(shí)，此時(shí),則，解得，符合題意；
∴或。
難點(diǎn)強(qiáng)化三、二元一次方程組的整體帶入
1．已知關(guān)于的二元一次方程組的解為，若滿足二元一次方程組，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了二元一次方程組的解，利用了類比的方法，弄清題中方程組解的特征是解本題的關(guān)鍵．利用關(guān)于的二元一次方程組的解為得到即可．
【詳解】解：∵關(guān)于的二元一次方程組的解為，
把關(guān)于滿足二元一次方程組可化為可看作關(guān)于和的二元一次方程組，
，
，
故選：B．
2．已知方程組的解是，可得方程組的解是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二元一次方程組的解及其解法；先把與看作一個(gè)整體，則與是已知方程組的解，于是可得，進(jìn)一步即可求出答案．
【詳解】解：由題意得：方程組的解為，
解得：．
故答案為：．
3．閱讀探索：
材料一：解方程組時(shí)，采用了一種“換元法”的解法，解法如下：
解：設(shè)，原方程組可化為解得，即，解得；
材料二：解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法，解法如下：
解：將方程②，變形為③，把方程①代入③得，，則；把代入①得，，所以方程組的解為：；
根據(jù)上述材料，解決下列問題：
(1)運(yùn)用換元法解求關(guān)于，的方程組：的解；
(2)若關(guān)于，的方程組的解為，求關(guān)于，的方程組的解．
(3)已知、、，滿足，試求y的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查二元一次方程組的特殊解法，掌握“換元法”，“整體代換”是關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意，設(shè)，運(yùn)用“換元法”求解即可；
（2）把代入，結(jié)合所求方程組中相同字母的系數(shù)相同得到，由此即可求解；
（3）根據(jù)題意變形，即，代入求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程組變形得，
解得，，
∴，
解得，；
（2）解：關(guān)于，的方程組的解為，
∴，
∴，
解得，；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
解得，．
難點(diǎn)強(qiáng)化四、二元一次方程組的解決應(yīng)用
1．在紙盒制作的勞動(dòng)實(shí)踐課上，對(duì)規(guī)格是的原材料板材進(jìn)行裁剪得到型長方形紙板和型正方形紙板為了避免材料浪費(fèi)，每張?jiān)牧习宀南炔玫脧埖募埌鍡l，每張紙板條又恰好可以裁得張型長方形紙板或張型正方形紙板，如圖所示．（單位：）
(1)每張?jiān)牧习宀目梢圆玫眯图埌錩_____張或裁得型紙板______張；
(2)現(xiàn)有張?jiān)牧习宀娜坎眉裘繌堅(jiān)牧习宀闹荒芤环N裁法得到型與型紙板當(dāng)側(cè)面和底面，做成如圖所示的豎式無蓋長方體紙盒和橫式無蓋長方體紙盒，若橫式無蓋長方體紙盒個(gè)數(shù)為豎式無蓋長方體紙盒個(gè)數(shù)的兩倍，問：怎樣裁剪才能使剪出的，型紙板恰好用完，兩種紙盒各做多少個(gè)？
【答案】(1)，
(2)180個(gè)；360個(gè)
【分析】（）由題意得每張?jiān)牧习宀目刹玫脧埖募埌鍡l，每張紙板條又恰好可以裁得張型長方形紙板或張型正方形紙板，進(jìn)而即可求解；
（）設(shè)用張?jiān)牧习宀牟眉粜图埌澹瑒t用張?jiān)牧习宀牟眉粜图埌澹O(shè)豎式無蓋長方體紙盒個(gè)，橫式無蓋長方體紙盒個(gè)，根據(jù)題意列出方程組即可求解；
本題考查了有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，每張?jiān)牧习宀目刹玫脧埖募埌鍡l，每張紙板條又恰好可以裁得張型長方形紙板或張型正方形紙板，
∴每張?jiān)牧习宀目梢圆玫眯图埌鍙垼繌堅(jiān)牧习宀目梢圆玫眯图埌鍙垼?br/>故答案為：，；
（2）解：設(shè)用張?jiān)牧习宀牟眉粜图埌澹瑒t用張?jiān)牧习宀牟眉粜图埌澹O(shè)豎式無蓋長方體紙盒個(gè)，橫式無蓋長方體紙盒個(gè)，
根據(jù)題意得， ，
解得，
，，
答：用張?jiān)牧习宀牟眉粜图埌澹脧堅(jiān)牧习宀牟眉粜图埌澹茏鲐Q式無蓋長方體紙盒個(gè)，橫式無蓋長方體紙盒個(gè)．
2．某超市購進(jìn)A、B型兩種大米銷售，其中兩種大米的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如下表：
類型 進(jìn)價(jià)（元/袋） 售價(jià)（元/袋）
A型大米 20 30
B型大米 30 45
(1)該超市在6月份購進(jìn)A、B型兩種大米共90袋，進(jìn)貨款恰好為2200元，求這兩種大米各購進(jìn)多少袋？
(2)為刺激銷量，超市決定在進(jìn)貨款仍為2200元的情況下，7月份增加購進(jìn)C型大米作為贈(zèng)品，進(jìn)價(jià)為每袋10元，并出臺(tái)了“買3袋A型大米送1袋C型大米，買3袋B型大米送2袋C型大米”的促銷方案，若7月份超市的購進(jìn)數(shù)量恰好滿足上述促銷搭配方案，此時(shí)購進(jìn)3種大米各多少袋？
【答案】(1)A型大米購進(jìn)50袋，B型大米購進(jìn)40袋
(2)購進(jìn)A型大米33袋，B型大米39袋，C型大米37袋；或購進(jìn)A型大米66袋，B型大米18袋，C型大米34袋
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．
（1）設(shè)A型大米購進(jìn)袋，B型大米購進(jìn)袋，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；
（2）設(shè)7月份該超市購進(jìn)A型大米袋，B型大米袋，則購進(jìn)C型大米袋，根據(jù)題意列出二元一次方程，整理得到，然后根據(jù)均為正整數(shù)求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)A型大米購進(jìn)袋，B型大米購進(jìn)袋，
依題意得，
解得．
答：A型大米購進(jìn)50袋，B型大米購進(jìn)40袋．
（2）設(shè)7月份該超市購進(jìn)A型大米袋，B型大米袋，則購進(jìn)C型大米袋，
依題意得，
化簡得
．
又均為正整數(shù)，
既是3的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)，是3的倍數(shù)，
或．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
答：購進(jìn)A型大米33袋，B型大米39袋，C型大米37袋；或購進(jìn)A型大米66袋，B型大米18袋，C型大米34袋．
3．如圖，某校的飲水機(jī)有溫水、開水兩個(gè)按鈕，溫水和開水共用一個(gè)出水口．利用圖中信息解決下列問題：
物理常識(shí)開水和溫水混合時(shí)會(huì)發(fā)生熱傳遞，開水放出的熱量等于溫水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為“開水的體積×開水降低的溫度=溫水的體積×溫水升高的溫度”．
(1)王老師拿空水杯先接了的溫水，又接了的開水，剛好接滿，且水杯中的水溫為．①王老師的水杯容量為________；
②若不計(jì)熱損失，請(qǐng)求此時(shí)的值；
(2)嘉琪同學(xué)拿空水杯先接了一會(huì)兒溫水，又接了一會(huì)兒開水，得到一杯體積為，溫度為的水（不計(jì)熱損失），求嘉琪同學(xué)接溫水和開水的時(shí)間分別為多少？
【答案】(1)①400；②
(2)嘉琪接溫水的時(shí)間為，接開水的時(shí)間為
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式表達(dá)式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）①根據(jù)水量等于水速乘時(shí)間列式計(jì)算，即可作答．
②根據(jù)“開水的體積開水降低的溫度溫水的體積溫水升高的溫度．” 列出方程，解方程，即可作答．
（2）設(shè)嘉琪接溫水的時(shí)間為，接開水的時(shí)間為，列出二元一次方程組，再解方程，即可作答．
【詳解】（1）解：①依題意：
，
∴王老師的水杯容量為．
故答案為：
②接入水杯的溫水吸收的熱量為：
，
熱水放出的熱量為：，
由題意： ，
解得：，
答：王老師的水杯容量為，水溫約；
（2）解：設(shè)嘉琪接溫水的時(shí)間為，接開水的時(shí)間為，根據(jù)題意得：
，
解得：，
∴嘉琪接溫水的時(shí)間為，接開水的時(shí)間為．
難點(diǎn)強(qiáng)化五、二元一次方程組的整體思想
1．已知關(guān)于，的二元一次方程組，求的值．
本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常規(guī)思路運(yùn)算量比較大，其實(shí)仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，就可以通過適當(dāng)變形，求得該整式的值，例如由可得，這種解題思想就是通常所說的“整體思想”．根據(jù)上述材料解答下面問題：
(1)已知方程組，由可得__________；
(2)用“整體思想”解答：已知方程組，求的值；
(3)請(qǐng)說明在關(guān)于，的方程組中，無論取何值，的值始終不變．
【答案】(1)
(2)7
(3)見解析
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的特殊解法：
（1）由，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）由，得，即可求解．
【詳解】（1）解：由可得：；
故答案為：，
（2）解：
由得：，
解得：．
（3）解：
由得：，
整理得：，
，
無論取何值，的值始終不變．
2．【閱讀理解】已知方程組，求的值．本題常規(guī)解題思路是，解方程組得的值，再代入得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察方程組中兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．
(1)【模仿應(yīng)用】已知方程組，請(qǐng)用整體思想求的值；
(2)【解決問題】某班級(jí)組織活動(dòng)購買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆，3塊橡皮和2本日記本共需32元，買39支鉛筆，5塊橡皮和3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆，5塊橡皮和5本日記本共需多少元？
(3)【拓展延伸】對(duì)于有理數(shù)，定義新運(yùn)算，其中是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，已知．求的值．
【答案】(1)19
(2)30元
(3)
【分析】本題考查了二元一次方程組和三元一次方程組的應(yīng)用，掌握整體思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
（1）將方程即可求解；
（2）設(shè)每只鉛筆元，每塊橡皮元，每本日記元，由題意列出方程組，即可求解；
（3）由題意列出方程組，再計(jì)算出的結(jié)果即可得到答案，即可求解．
【詳解】（1）解：解：
得，，
得，；
（2）解：解：設(shè)一支鉛筆的單價(jià)為元，一塊橡皮的單價(jià)為元，一本日記本的單價(jià)為元，
根據(jù)題意得，
得，，
得，，
得，，
答：購買5支鉛筆，5塊橡皮和5本日記本共需30元；
（3）解：解：根據(jù)新定義運(yùn)算得，
得，
∴．
3．閱讀感悟：
有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實(shí)數(shù)x、y滿足①，②，求和的值．
本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得解得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．
解決問題：
(1)已知二元一次方程組則______，______；
(2)某班級(jí)組織活動(dòng)購買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？
(3)對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，定義新運(yùn)算：解得，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，已知，，那么______．
【答案】(1)，6；
(2)購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元；
(3)．
【分析】（1）利用可求出的值；利用可求出的值；
（2）設(shè)鉛筆的單價(jià)為元，橡皮的單價(jià)為元，日記本的單價(jià)為元，根據(jù)“買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元”，即可得出關(guān)于，，的三元一次方程組，利用，即可求出購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本所需費(fèi)用；
（3）根據(jù)定義的新運(yùn)算結(jié)合“，”，即可得出關(guān)于a，b，c的三元一次方程，利用，即可求出的值．
【詳解】（1）解：
由得：；
由得：．
故答案為：，6．
（2）設(shè)鉛筆的單價(jià)為元，橡皮的單價(jià)為元，日記本的單價(jià)為元，
依題意得：
由得：．
答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元．
（3）依題意得：
由得：，
即：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及三元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“整體思想”，求出和的值；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組．
難點(diǎn)強(qiáng)化六、二元一次方程組的整除問題
1．已知一個(gè)三位數(shù)，如果它的百位數(shù)字加上2與十位數(shù)字加上5的和等于個(gè)位數(shù)字加上8，則稱這個(gè)三位數(shù)叫“258數(shù)”．如：245，∵，∴245是“258數(shù)”；437，∵，，，∴437不是“258數(shù)”．
(1)請(qǐng)根據(jù)材料判斷526和738是不是“258數(shù)”，并說明理由；
(2)若“258數(shù)”（，且a，b、c均為整數(shù)）能被3整除，請(qǐng)求出所有符合題意的m的值．
【答案】(1)526是“258數(shù)”， 738不是“258數(shù)”，理由見解析
(2)267、627、357、537
【分析】（1）根據(jù)“258數(shù)”得定義判斷即可；
（2）先確定可能是：，再根據(jù)的值以及能被3整除，確定m的值即可．
【詳解】（1）解：，
526是“258數(shù)”，
，
738不是“258數(shù)”；
（2），且a，b、c均為整數(shù)，
可能是：，
是“258數(shù)”，
，
當(dāng)時(shí)，，
m是，但都不能被3整除，所以這些數(shù)都不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
m是，但都不能被3整除，所以這些數(shù)都不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
m是，都能被3整除，所以這些數(shù)都符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
m是，都不能被3整除，所以這些數(shù)都不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
m是，都不能被3整除，所以這些數(shù)都不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
m是，都不能被3整除，所以這些數(shù)都不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意的數(shù)不存在；
綜上所述，所有符合題意的m的是：．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)與式的新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握新定義的內(nèi)容，利用新定義解決問題．
2．定義：對(duì)于三位自然數(shù)，各位數(shù)字都不為，且它的百位數(shù)字的倍與十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字之和恰好能被整除，則稱這個(gè)自然數(shù)為“博雅數(shù)”．例如：是“博雅數(shù)”，因?yàn)椋疾粸椋遥鼙徽徊皇恰安┭艛?shù)”，因?yàn)椋荒鼙徽?br/>(1)判斷，是否是“博雅數(shù)”？并說明理由；
(2)求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大的所有“博雅數(shù)”，并說明理由．
【答案】(1)是“博雅數(shù)”，不是“博雅數(shù)”；理由見解析
(2)這樣的“博雅數(shù)”共有個(gè)，它們分別是，，；理由見解析
【分析】（1）根據(jù)“博雅數(shù)”定義判斷．
（2）根據(jù)“博雅數(shù)”的條件求解．
【詳解】（1）解：是“博雅數(shù)”，不是“博雅數(shù)”，
∵，能被整除，
∴是“博雅數(shù)”；
∵，不能被整除，
∴不是“博雅數(shù)”．
（2）由題意可設(shè)這樣的“博雅數(shù)”為：，則，
∴，
由“博雅數(shù)”的定義可知：能被整除，
∴為整數(shù)，
又∵，且，為整數(shù)，
∴或或，
綜上，這樣的“博雅數(shù)”共有個(gè)，它們分別是，，．
【點(diǎn)睛】本題考查用新定義解題，有理數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，不定方程．理解新定義是解題的關(guān)鍵．
3．如果把一個(gè)正整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出一串?dāng)?shù)字，與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同，那么我們把這樣的正整數(shù)叫做“完美數(shù)”．例如：自然數(shù)64746從最高位到個(gè)位排出的一串?dāng)?shù)字是：6、4、7、4、6，從個(gè)位到最高排出的一串?dāng)?shù)字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美數(shù)”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美數(shù)”．
(1)若由、（、均為的正整數(shù)）組成的兩位數(shù)、，則與的和一定能被_______整除；
(2)現(xiàn)有一個(gè)四位數(shù)，若它是“完美數(shù)”，則這個(gè)“完美數(shù)”一定能被_______整除；
(3)現(xiàn)有一個(gè)三位“完美數(shù)”，、、均為的正整數(shù)，若這個(gè)“完美數(shù)”正好能被9整除，請(qǐng)直接寫出符合條件的所有“完美數(shù)”．
【答案】(1)
(2)
(3)這個(gè)“完美數(shù)”為，，，，，，，，．
【分析】（1）先分別表示為，為，再求和，結(jié)合乘法的分配律變形可得答案；
（2）由題意可得這個(gè)四位的完美數(shù)為，其中，為一位正整數(shù)，再表示這個(gè)完美數(shù)即可得到答案；
（3）由題意可得這個(gè)三位完美數(shù)可表示為，再根據(jù)整除的含義可得或或，再分類討論即可．
【詳解】（1）解：∵、（、均為的正整數(shù)）組成的兩位數(shù)、，
∴為，為，
∴這兩個(gè)數(shù)的和為：，
∴與的和一定能被整除；
（2）∵一個(gè)四位數(shù)，它是“完美數(shù)”，
∴這個(gè)四位數(shù)為，其中，為一位正整數(shù)，
∴這個(gè)四位數(shù)為：，
∴這個(gè)“完美數(shù)”一定能被整除；
（3）∵有一個(gè)三位“完美數(shù)”，、、均為的正整數(shù)，
∴，
∴這個(gè)完美數(shù)為：，
∵這個(gè)“完美數(shù)”正好能被9整除，
∴是9的倍數(shù)，
∴或或，
當(dāng)時(shí)，
∴，，，，
此時(shí)這個(gè)“完美數(shù)”為，，，，
當(dāng)時(shí)，
，，，，
此時(shí)這個(gè)“完美數(shù)”為，，，，
當(dāng)時(shí)，
，
此時(shí)這個(gè)“完美數(shù)”為，
綜上：這個(gè)“完美數(shù)”為，，，，，，，，．
【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義運(yùn)算，數(shù)的整除，有理數(shù)的乘法分配律的逆應(yīng)用，整式的加減運(yùn)算的應(yīng)用，二元一次方程的正整數(shù)解問題，理解題意，列出正確的運(yùn)算式與方程是解本題的關(guān)鍵．
難點(diǎn)強(qiáng)化七、二元一次方程組的新定義應(yīng)用
1．定義：當(dāng)兩個(gè)數(shù)x，y滿足，則稱x與y具有“友好關(guān)系”．
(1)判斷方程組的解x，y是否具有“友好關(guān)系”？說明你的理由．
(2)若方程組的解x，y具有“友好關(guān)系”，請(qǐng)求出方程組的解及a，b的正整數(shù)值．
【答案】(1)具有友好關(guān)系．理由見解析
(2)
【分析】本題考查解二元一次方程組，根據(jù)方程組的解的情況，求參數(shù)的值：
（1）用，得到，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)x與y具有“友好關(guān)系”，得到，結(jié)合組成新的方程組，求出的值，得到關(guān)于的二元一次方程，進(jìn)而求出其正整數(shù)值即可．
【詳解】（1）解：x與y具有“友好關(guān)系”，理由如下：
由方程組，
得，
∴方程組的解x與y具有“友好關(guān)系”；
（2）解：∵方程組的解x與y具有“友好關(guān)系”，
∴③
聯(lián)立，
解得，
把代入中得，
則a，b的正整數(shù)值為或．
2．定義：二元一次方程與二元一次方程互為“反對(duì)稱二元一次方程”，如二元一次方程與二元一次方程互為“反對(duì)稱二元一次方程”.
(1)直接寫出二元一次方程的“反對(duì)稱二元一次方程”：______
(2)二元一次方程的解，又是它的“反對(duì)稱二元一次方程”的解，求出m，n的值.
【答案】【小題1】 【小題2】，．
【分析】（1）本題考查對(duì)題干中“反對(duì)稱二元一次方程”的理解，理解概念即可解題．
（2）本題考查對(duì)題干中“反對(duì)稱二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根據(jù)概率得出的“反對(duì)稱二元一次方程”，再將m，n代入這兩個(gè)二元一次方程求解，即可解題．
【詳解】（1）解：由題知，二元一次方程的“反對(duì)稱二元一次方程”是，
故答案為：．
（2）解：二元一次方程的“反對(duì)稱二元一次方程”是，
又二元一次方程的解，又是它的“反對(duì)稱二元一次方程”的解，
，解得，
，．
3．定義：若點(diǎn)滿足，則稱點(diǎn)p為關(guān)于x，y的二元一次方程的融合點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)為方程的融合點(diǎn)，則　 　；（直接寫出答案）
(2)u，v為正整數(shù)，且點(diǎn)為方程的融合點(diǎn)．求u，v的值；
(3)m，s，t，k為實(shí)數(shù)，點(diǎn)與點(diǎn)都是方程的融合點(diǎn)，且，求k的值．
【答案】(1)3
(2)或
(3)
【分析】（1）根據(jù)融合點(diǎn)的定義，進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)融合點(diǎn)的定義，列出二元一次方程，求正整數(shù)解即可；
（3）根據(jù)融合點(diǎn)的定義，得到，，推出，結(jié)合，得到，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得：，
∴，
故答案為：3；
（2）由題意，得：，
整理，得：，
∴，
∵u，v為正整數(shù)，
∴；
∴或；
（3）由題意，得：，，
∴，得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解．理解并掌握融合點(diǎn)的定義，是解題的關(guān)鍵．
真題感知
1．（2023·江蘇無錫·中考真題）下列4組數(shù)中，不是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將選項(xiàng)中的的值分別代入方程的左邊，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，，則是二元一次方程的解，不合題意；
B、當(dāng)時(shí)，，則是二元一次方程的解 ，不合題意；
C、 當(dāng)時(shí)，，則是二元一次方程的解，不合題意；
D、當(dāng)時(shí)，，則不是二元一次方程的解，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于x、y的方程組的解是 ．
【答案】
【分析】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，把，代入，得到，整體代入中，得到方程組，加減消元法解方程組即可．
【詳解】解：把代入，得：，
∵，
∴，即：，
，得：，
∵方程組有解，
∴，
∴，
把代入①，得：，解得：；
∴方程組的解集為：；
故答案為：．
3．（2024·江蘇鹽城·中考真題）中國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現(xiàn)有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對(duì)折去量竿子，繩索就比竿子短5尺，問繩索、竿子各有多長？該問題中的竿子長為 尺．
【答案】15
【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題關(guān)鍵．
設(shè)繩索長 尺，竿長 尺，根據(jù)“用繩索去量竿，繩索比竿長尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出關(guān)于 的二元一次方程組，此題得解．
【詳解】解：設(shè)繩索長 尺，竿長 尺，
根據(jù)題意得： ．
解得：
故答案為15．
4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”意思是：“幾個(gè)人一起去購買某物品，每人出8錢，則多出3錢；每人出7錢，則還差4錢．問人數(shù)、物品的價(jià)格分別是多少？”該問題中的人數(shù)為 .
【答案】7人
【分析】設(shè)共有x人，價(jià)格為y錢，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解．
【詳解】解：設(shè)共有x人，價(jià)格為y錢，依題意得：
，
解得：，
答：物品價(jià)格為53錢，共同購買該物品的人數(shù)有7人,
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組即可求解．
5．（2024·江蘇徐州·中考真題）中國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中有一道問題；“今有甲、乙懷錢，各不知其數(shù)．甲得乙十錢，多乙余錢五倍．乙得甲十錢，適等．問甲、乙懷錢各幾何？”問題大意：甲、乙兩人各有錢幣若干枚．若乙給甲10枚錢，此時(shí)甲的錢幣數(shù)比乙的錢幣數(shù)多出5倍，即甲的錢幣數(shù)是乙錢幣數(shù)的6倍；若甲給乙10枚錢，此時(shí)兩人的錢幣數(shù)相等．問甲、乙原來各有多少枚錢幣？請(qǐng)用二元一次方程組解答上述問題．
【答案】甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解決本題的關(guān)鍵．
設(shè)甲有錢x枚，乙有錢y枚，根據(jù)“甲得乙十錢，多乙余錢五倍．乙得甲十錢，適等”列出方程組，求解即可．
【詳解】解：設(shè)甲有錢x枚，乙有錢y枚，由題意，得
，
解這個(gè)方程組，得．
答：甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣．
6．（2024·江蘇蘇州·中考真題）解方程組：．
【答案】
【分析】本題考查的是解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握加減消元法求解．根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可．
【詳解】解：
得，，解得，．
將代入①得．
方程組的解是
7．（2023·江蘇連云港·中考真題）解方程組
【答案】
【分析】方程組運(yùn)用加減消元法求解即可．
【詳解】解：
①+②得，
解得，
將代入①得，
解得．
∴原方程組的解為
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，方法主要有：代入消元法和加減消元法．
思維導(dǎo)圖
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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