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第十七章勾股定理
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如圖，在四邊形中，，，于點B，于點D，E、F分別是、上的點，且，，下列結論中：①；②平分；③平分；④若四邊形的周長是15，且的面積為3，則四邊形的面積等于11．上述結論中一定正確的有（ ）
A．①②④ B．②③ C．②④ D．③④
2．在平面直角坐標系中，已知點，點，在坐標軸上有一點P，且點P到A點和到B點的距離相等，則點P的坐標為（）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．如圖，邊長為的正方形兩個頂點分別與數軸上的和重合，以數軸上所在的點為圓心按圖示作弧線，交數軸于點，則點表示的數為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，一架的云梯AB斜靠在一豎直的墻上，這時為．如果梯子的底端向墻一側移動了，那么梯子的頂端向上滑動的距離是（　　）
A． B．
C． D．
5．在中，下列條件：①；②；③；④，，．能判斷是直角三角形的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．如圖，在銳角中，，，的平分線交于點，、分別是，上的動點，則的最小值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．若△ABC是直角三角形，兩條直角邊分別為5和12，在三角形內有一點D，D到△ABC各邊的距離都相等，則這個距離等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如圖，將三角形紙片沿折疊，使點C落在邊上的點E處．若，，則的值為（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
9．下面四組數中是勾股數的一組是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，10 C．5，11，12 D．10，20，26
10．如圖，在中，，，，點D為AB的中點，點E為AC上一點，把沿DE折疊得到，連接．若，則的長為（ ）
A． B． C．4 D．
11．如圖，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則ABC的面積是（ ）
A． B．1+ C．2 D．2+
12．一位工人師傅測量一個等腰三角形工件的腰，底及底邊上的高，并按順序記錄下數據，量完后，不小心與其他記錄的數據記混了，請你幫助這位師傅從下列數據中找出等腰三角形工件的數據（　　）
A．13，10，10 B．13，10，12 C．13，12，12 D．13，10，11
二、填空題
13．如圖，長方體的長為3cm，寬為2cm，高為1cm的長方體，螞蟻沿著表面從A爬行到B的最短路程是 ．
14．如圖，動點在直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點，第2次接著運動到點，第3次接著運動到點，……按這樣的運動規律，經過第110次運動后，動點經過的路徑長為 ．
15．如圖，線段，用尺規作圖法按如下步驟作圖．
（1）過點B作的垂線，并在垂線上取；
（2）連接，以點C為圓心，為半徑畫弧，交于點E；
（3）以點A為圓心，為半徑畫弧，交于點D．即點D為線段的黃金分割點．
則線段的長度約為 （結果保留兩位小數，參考數據：）
16．若點A（x，0）與B（2，0）的距離為5，則x= ．
17．如果一個三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個三角形叫做半高三角形.已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜邊AB=10，則它的周長等于 ．
三、解答題
18．勾股定理是一個基本的幾何定理，又稱為勾股弦定理、勾股定律等，由中國人商高在周朝時期最早提出，我國東漢數學家趙爽通過四個全等直角三角形構造圖形，證明出勾股定理，稱為趙爽弦圖，其中．
(1)請同學們根據趙爽弦圖證明；
(2)若正方形的面積為100，正方形的面積為36，求的值；
19．如圖，分別以等腰的邊，，為直徑畫半圓．求證：所得兩個月形圖案和的面積之和（圖中陰影部分）等于的面積．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)已知AB=25，AC=15，求BC；
(2)已知BC=，∠B=60°，求AB．
21．如圖，點C為線段上一點，都是等邊三角形，與交于點與相交于點G．
（1）求證：；
（2）求證：
（3）若，求的面積．
22．數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：
如圖1，在中，，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．
【閱讀理解】
小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：
（1）如圖1，延長到點E，使，連接．根據__________可以判定__________，得出__________．
這樣就能把線段集中在中．利用三角形三邊的關系，即可得出中線的取值范圍是__________．
【方法感悟】
當條件中出現“中點”，“中線”等條件時，可以考慮作“輔助線”——把中線延長一倍，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中，這種作輔助線的方法稱為“中線加倍”法．
【問題解決】
（2）如圖2，在中，，D是邊的中點，，交于點E，交于點F，連接，請判斷的數量關系，并說明理由．
【問題拓展】
（3）如圖3，中，，，是的中線，，，且，請直接寫出的長．
23．我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．
（1）寫出你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱　 　，　 　．
（2）如圖（1），請你在圖中畫出以格點為頂點，OA、OB為勾股邊，且對角線相同的所有勾股四邊形OAMB．
（3）如圖（2），以邊AB作如圖正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，連接DE、DC，∠DCB＝30°．求證：DC2+BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．
24．在中，，分別以的三邊為直徑作半圓.
（1）若這三個半圓在的兩側（如圖所示），半圓的面積分別為，，，則，之間有什么數量關系 請說明理由.
（2）若這三個半圓在的同一側（如圖所示），的面積等于，兩個“月牙”的面積分別為，，則，，之間有什么數量關系 請說明理由.
《第十七章勾股定理》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D A B A A C B D
題號 11 12
答案 D B
1．C
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定定理，角平分線的定義，三角形的三邊關系定理，垂直定義等知識點，延長到G，使，連接，，根據全等三角形的判定定理求出，根據全等三角形的性質得出，，，求出，根據全等三角形的判定定理得出，根據全等三角形的性質得出，，，再進行判斷即可．
【詳解】解：延長到G，使，連接，，
∵，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，，
∴平分，故②正確；
根據已知不能推出，平分，故①③不正確；
在和中，
，
∴，
∴，
設，，
∵四邊形的周長是15，
∴，
∵的面積為3，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形的面積，故④正確；
綜上，正確的有②④．
故選：C．
2．A
【分析】本題考查了坐標與圖形及用勾股定理求兩點間距離，熟練掌握坐標與圖形及用勾股定理求兩點間距離是解題的關鍵．若點P在軸上，設，可得，，再根據，列出方程，再求解，若點P在軸上，設，再同理求解即可．
【詳解】解：若點P在軸上，設，
，，
，，
，即，
，
，
，
若點P在軸上，設，
，點，
，，
，即，
，
，
，
即或，
故選：A．
3．D
【分析】本題考查勾股定理，無理數的知識，解題的關鍵是根據題意，求出正方形的對角線，再根據以對角線為半徑，作弧線，即可得到點表示的數．
【詳解】解：∵正方形的邊長為，
∴正方形的對角線為，
以數軸上所在的點為圓心，對角線為半徑，按圖示作弧線，
∴點表示的數為：．
故選：D．
4．A
【分析】此題考查了勾股定理，利用勾股定理求出的長，再求出的長，進而即可得解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴．
故選：A．
5．B
【分析】本題考查了三角形內角和定理、勾股定理逆定理、等邊三角形的判定定理，根據三角形內角和定理、勾股定理逆定理、等邊三角形的判定定理分析即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：①∵，
∴，
∵，
∴，故是直角三角形，符合題意；
②∵，
∴，故不是直角三角形，不符合題意；
③∵，
∴，故是直角三角形，符合題意；
④∵，，，
∴，故是等邊三角形，不符合題意；
綜上所述，能判斷是直角三角形的有①③，共個，
故選：B．
6．A
【分析】作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M點，過M點作MN⊥AB，垂足為N，則BM+MN為所求的最小值，再根據AD是∠BAC的平分線可知MH=MN，再求出BH即可得出結論．
【詳解】解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M點，過M點作MN⊥AB，垂足為N，則BM+MN為所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴M′H=MN，
∴BH是點B到直線AC的最短距離（垂線段最短），
∵AB=，∠BAC=45°，
∴BH=，
∴BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=3．
故選：A．
【點睛】本題考查的是軸對稱最短路線問題，解答此類問題時要從已知條件結合圖形認真思考，通過角平分線性質，垂線段最短，確定線段和的最小值．
7．A
【分析】根據勾股定理列式求出斜邊的長度，然后根據三角形的面積不變列式求解即可．
【詳解】解：的兩條直角邊分別為和，
斜邊，
設D到各邊的距離都相等為,
則,
解得．
故選：A．
【點睛】本題考查了角平分線的性質，勾股定理的應用，本題利用三角形的面積列式求解更加簡便．
8．C
【分析】根據折疊的性質得到，由勾股定理得到，兩式相減，通過整式的化簡即可得到結論．
【詳解】解：∵將三角形紙片沿折疊，使點C落在邊上的點E處，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴．
故選C．
【點睛】本題考查了翻折變換—折疊問題，勾股定理，整式的化簡，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．
9．B
【詳解】根據勾股數的定義：滿足a2+b2=c2 的三個正整數，稱為勾股數解答可得：
A、42+52≠62，不能構成勾股數，故錯誤；
B、62+82=102能構成勾股數，故正確誤；
C、52+112≠122不能構成勾股數，故錯誤；
D、102+202≠262不能構成勾股數，故錯誤；
故選B．
10．D
【分析】過點A作AF⊥DE于點F，由直角三角形的性質可得AF=1，AE=，即可求A'E，EC的長，由勾股定理可求A'C的長．
【詳解】解：如圖，過點A作AF⊥DE于點F，
∵AB=4，點D為AB的中點，
∴AD=2，
∵∠ADE=30°，AF⊥DE，
∴AF=1，∠FAD=60°，
∵∠BAC=105°，
∴∠FAE=45°，AF⊥DE，
∴∠AEF=45°=∠EAF，
∴AF=EF=1，
∴AE=，
∴EC=AC-AE=2，
∵把△ADE沿DE折疊得到△A'DE，
∴∠AEA'=2∠AEF=90°，A'E=AE=，
∴A'C=，
故選D.
【點睛】本題是對折疊幾何問題的考查，熟練掌握勾股定理及三角函數知識是解決本題的關鍵.
11．D
【分析】如圖，過點A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點A作AE⊥BC于E，先證明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再證明AD＝BD，計算AE和BC的長，根據三角形的面積公式可解答．
【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴
∴△ABC的面積．
故選：D．
【點睛】本題考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性質，三角形的面積，熟知掌握等腰三角形的性質是解本題的關鍵．
12．B
【分析】根據等腰三角形的三線合一，得底邊上的高也是底邊上的中線．根據勾股定理知：底邊的一半的平方加上高的平方應等于腰的平方，即可得出正確結論．
【詳解】解：由題可知，在等腰三角形中，底邊的一半、底邊上的高以及腰正好構成一個直角三角形，且（）2+122＝132，符合勾股定理．
故選B．
【點睛】本題考查等腰三角形的三線合一以及勾股定理的逆定理，熟練掌握相關定理是解題的關鍵．
13．
【分析】將長方體從不同側面展開，分別利用從不同的表面得出其路徑長，進而得出答案．
【詳解】解：如圖1，
AB= （cm），
如圖2，
AB= （cm），
如圖3，
AB= （cm），
故沿長方體的表面爬到對面頂點B處，只有圖2最短， 其最短路線長為： cm．
故答案為：.
【點睛】本題主要考查了平面展開圖最短路徑問題，解決本題的關鍵要將長方體分情況正確展開并利用勾股定理計算．
14．/
【分析】本題考查了兩點之間的距離公式、實數的加法，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵．先求出動點第次運動的路徑長，再歸納類推出一般規律，由此即可得．
【詳解】解：動點第1次運動的路徑長為，
動點第2次運動的路徑長為，
動點第3次運動的路徑長為，
動點第4次運動的路徑長為，
則動點第次運動的路徑總長為，
觀察可知，動點運動的路徑長是以為一個循環往復的，
∵，
∴經過第110次運動后，動點經過的路徑長為，
故答案為：．
15．6.18
【分析】根據作圖得△ABC為直角三角形，，AE=AD,
根據勾股定理求出AC，再求出AE，即可求出AD．
【詳解】解：由作圖得△ABC為直角三角形，，AE=AD,
∴cm，
∴cm，
∴cm．
故答案為：6.18
【點睛】本題考查了尺規作圖，勾股定理等知識，根據作圖步驟得到相關已知條件是解題關鍵．
16．-3或7.
【詳解】試題解析：∵點A（x，0）與B（2，0）的距離為5，
∴AB==5，
解得x=-3或x=7．
考點：兩點間的距離公式．
17．或
【分析】分兩種情況討論：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝5；②Rt△ABC中，AC＝BC，分別依據勾股定理和三角形的面積公式，即可得到該三角形的周長．
【詳解】解：如圖所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝5，
設BC＝a，AC＝b，則
解得a＋b＝10，或a＋b＝ 10（舍去），
∴△ABC的周長為10＋10；
如圖所示，Rt△ABC中，AC＝BC，
設BC＝a，AC＝b，則
，
解得，
∴△ABC的周長為；
綜上所述，該三角形的周長為或．
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了三角形的高線以及勾股定理的運用，解決問題的關鍵是利用勾股定理進行推算．
18．(1)見詳解
(2)
【分析】此題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是面積公式的計算．
（1）根據面積公式證明勾股定理即可；
（2）根據面積公式和勾股定理解得即可．
【詳解】（1）證明：∵大正方形的面積是，直角三角形的面積是，
小正方形的面積為，
∴
即；
（2）解：由正方形的面積是100，得，
解得：，
由正方形的面積為36，得，
一個直角三角形面積為：
解得：，
∴，
則，
故．
19．見解析
【分析】由勾股定理可得，然后確定出，從而得證．
【詳解】證明：是直角三角形，
，
以等腰的邊、、為直徑畫半圓，
∴，，，
∵，
∴，
，
∴①的面積＋②的面積＋③的面積＋④的面積＝①的面積＋＋③的面積，
∴②的面積＋④的面積＝，
所得兩個月型圖案和的面積之和（圖中陰影部分）等于的面積．
【點睛】本題考查了勾股定理的應用，是基礎題，熟記勾股定理是解題的關鍵．
20．（1）20；（2）2
【分析】（1）根據勾股定理即可直接求出BC的值；
（2）根據直角三角形的性質即可求出AB的值．
【詳解】解：（1）根據勾股定理可得：
BC==20；
（2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
【點睛】本題考查解直角三角形，主要利用了含30°角的直角三角形的性質和勾股定理．
21．（1）見解析；（2）見解析；（3）
【分析】（1）根據SAS即可證明△BCE≌△ACD；
（2）由△ACD≌△BCE可得∠CBG=∠CAF，從而利用ASA可證明△ACF≌△BCG；
（3）求出CG=CF=4，過G作GM⊥BD于M，過點F作FN⊥BD于N，求出GM，FN，根據S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF可求出答案．
【詳解】解：（1）證明：∵△ABC，△CDE是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠DCA，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）由（1）得△ACD≌△BCE，
∴∠CBG=∠CAF，
又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC，
在△ACF和△BCG中，
，
∴△ACF≌△BCG（ASA）；
（3）∵△ACF≌△BCG，
∴S△ACF=S△BCG，CG=CF，而CF+CG=8，
∴CG=CF=4，
過G作GM⊥BD于M，過點F作FN⊥BD于N，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴GM=CG=，FN=CF=，
∴S△ACD=S△ACF+S△CDF
=S△BCG+S△CDF
=BC GM+CD FN
=（BC+CD）
=BD
=．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質以及等邊三角形的判定和性質，利用全等三角形的性質得出CG=CF是解答此題的關鍵．
22．（1）；；；；（2），理由見解析；（3）
【分析】（1）如圖1，延長，使，連接，利用證明，得到，再由三角形三邊的關系得到，則，即可求出；
（2）延長使，連接，根據垂直平分線的性質得到，然后利用證明，得到，，進而得到，最后根據勾股定理證明即可；
（3）延長交的延長線于點F，根據證明，然后根據垂直平分線的性質得到，最后根據全等三角形的性質求解即可．
【詳解】解：（1）延長，使，連接，
∵D是的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2），
證明：如圖所示，延長到G，使，連接，
∵，，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∵D是的中點，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴；
（3）解：如圖所示，延長交的延長線于點F，
∵，
∴，
∵是中線，
∴，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴是的垂直平分線，
∴，
∵，
∴．
【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定方法，三角形的三邊關系，勾股定理，線段垂直平分線的性質，“倍長中線”法的運用，解題的關鍵是根據題意作出輔助線構造全等三角形．
23．（1）直角梯形，長方形；（2）圖見解析；（3）證明見解析
【分析】（1）利用含有直角的四邊形找出特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形即可；
（2）利用勾股定理計算畫出即可；
（3）首先證明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，連接CE，進一步得出△BCE為等邊三角形；利用等邊三角形的性質，進一步得出△DCE是直角三角形，問題得解．
【詳解】解：（1）填直角梯形，長方形；
（2）如圖，
（3）證明：∵△ABD為等邊三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝60°，
∵∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
又∵BE＝BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
連接EC，連接AC．則△BCE為等邊三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
【點睛】此題主要考查勾股定理，三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，是一道綜合性很強的題目．
24．（1）.理由見解析；（2）.理由見解析.
【分析】（1）S1+S2=S3，理由為：根據圓的面積公式表示出S1、S2、S3，利用勾股定理列出關系式，整理即可得證；
（2）S1+S2=S3，同理可證．
【詳解】（1）.理由如下：
由題意得，，，.
在中，由勾股定理.得，
所以，所以
（2）.理由如下：
如圖，由題意得，，，
在中，由勾股定理，得，
所以，
所以
【點睛】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．
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