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第六章平行四邊形
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如圖，在腰長為的等腰中，，，，分別是，，上的點，并且，，則四邊形的周長是（ ）
A． B． C． D．
2．一個四邊形四個內角的度數之比為 ，則該四邊形最小內角的度數為（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
3．如圖，在四邊形中，，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
4．將一個n邊形變成(n＋1)邊形，內角和將(　　)
A．減少180° B．增加90° C．增加180° D．增加360°
5．如圖，，，，垂足為 A，，垂足為D．下面四個結論：①；②；③；④．其中正確的有（　　）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
6．在平面直角坐標系中，平行四邊形的邊在軸上，頂點，，對角線、相交于點、分別以點、為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接交于點，則點的橫坐標為（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．1
7．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，且AE=AD，BC＝3AE， 則∠BAD等于 （ ）
A．120° B．135° C．130° D．不能確定
8．如圖，將平行四邊形沿對角線折疊，使點落在點處，若，，則的度數為（ ）．
A．124° B．114° C．104° D．56°
9．不能作為正多邊形的內角的度數的是( )
A．120° B．108° C．144° D．145°
10．如果一個正多邊形的每個外角是，則這個正多邊形的對角線共有（ ）條．
A．8 B．9 C． D．
11．如圖，在中，，的平分線分別交于點E，F，若，，則EF的長是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
12．如圖，折疊ABCD，使折痕經過點B，交AD邊于點E，點C落在BA延長線上的點G處，點D落在點H處，得到四邊形AEHG．若ABCD的面積是8，則下列結論中正確的是（ ）
A．四邊形AEHG不是平行四邊形
B．AB≠AE
C．設四邊形AEHG的面積為y，四邊形BCDE的面積為x，則y與x的函數關系式是
D．若BC=4，則點E到BG的距離為1
二、填空題
13．如圖，，，，，都在上.（1）圖中圓內接四邊形的外角是 ；（2）的內對角是 .
14．如圖，順次連接四邊形四邊的中點，則四邊形的形狀一定是 ．
15．如果一個正多邊形的一個外角是60°，那么這個正多邊形的邊數是 ．
16．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，且∠B＋∠C＝90°，分別以AB、AD、DC為邊向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面積依次記為S1、S2、S3，若S1＋S3＝4S2，則＝ ．
17．在①矩形、②菱形、③正方形、④平行四邊形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有　 （填序號）．
三、解答題
18．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE⊥AC， DF⊥AC，求證：AE＝CF．
19．如圖，在中，平分平分．求證：四邊形是平行四邊形．
20．如圖，在平行四邊形ABCD中，點M是邊AD上的點，連接MB，MC，點N為BC邊上的動點，點E，F為MB，MC上的兩點，連接NE，NF，且∠BNE＝∠CMD，∠BEN＝∠NFC．求證：四邊形MENF為平行四邊形．
21．求出下列圖中的x值．
22．如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．

(1)如圖1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度數；
(2)如圖1，若BE與DF相交于點G，∠BGD＝45°，請直接寫出α，β所滿足的數量關系式；
(3)如圖2，若α＝β，判斷BE，DF的位置關系，并說明理由．
23．如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，在AB的延長線上截取BE=AB，BF=BD，連接CE，DF，相交于點M．求證：CD=CM．
24．平行四邊形中，點O是對角線中點，點E在邊上，的延長線與邊交于點F，連接 ，如圖1．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)在（1）中，若，過點C作的垂線，與 分別交于點G H R，如圖2
①當時時，求的長．
②探究與的數量關系，直接寫出答案．
《第六章平行四邊形》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C A C B A D B
題號 11 12
答案 A C
1．D
【分析】本題考查了平行四邊形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，熟練掌握平行四邊形的性質與判定是解題的關鍵．根據題意得出四邊形是平行四邊形，進而根據等邊對等角以及平行線的性質，得，得出，則，進而根據平行四邊形的性質，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四邊形的周長為：．
故選：D．
2．D
【分析】根據題意：可設這四個內角分別為：x，x， ，x，再根據四邊形的內角和為 ，可求出x的值，即可求解．
【詳解】解：根據題意：可設這四個內角分別為：x，x， ，x，
∵四邊形的內角和為 ，
∴ ，
解得：
∴最小內角的度數為： ．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了四邊形的內角和，熟練掌握四邊形的內角和為360度是解題的關鍵．
3．B
【分析】本題考查了平行四邊形的性質和判定，熟練掌握平行四邊形的性質和判定是解題的關鍵．
證明四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的性質即可得到結論．
【詳解】解：∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
，
故選：B．
4．C
【分析】利用多邊形的內角和公式即可求出答案．
【詳解】解：n邊形的內角和是（n﹣2） 180°，
n+1邊形的內角和是（n﹣1） 180°，
因而（n+1）邊形的內角和比n邊形的內角和大（n﹣1） 180°﹣（n﹣2） 180=180°．
故選C．
5．A
【分析】本題考查平行線間距離，三角形和四邊形平移性質，平行四邊形判定及性質等．根據題意逐一對序號進行分析即可得到本題答案．
【詳解】解：∵，，，，
∴四邊形和四邊形均為平行四邊形，
∴，，，，
∴向右平移即可得到，
∴，
∵平行四邊形和平行四邊形有公共邊和公共的高，
∴，
∴①②③④都正確，
故選：A．
6．C
【分析】連接，根據作圖得到垂直平分線段，從而得到，設，在中利用勾股定理列出方程得出，即可得出點的橫坐標
【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴為對角線中點，
由作圖可知，垂直平分線段，
連接，則，
延長交軸于點，則軸，
∵，，平行四邊形
∴OC=AB=6，AM=2，OM=4
設，則，
在中，有，
解得，，
∴ME=3
∴點的橫坐標為3．
故選：C．
【點睛】本題考查了基本作圖、線段垂直平分線的性質、平行四邊形的性質，勾股定理，得出AE=1是解本題的關鍵．
7．B
【詳解】解：過點D作DF⊥BC于點F．
∵AE⊥BC，DF⊥BC，AD=AE，∴四邊形AEFD為正方形，∴AD=EF．
∵AD=AE，BC=3AD，∴BE=AE=EF=FC，∴∠B=45°，∴∠BAD=135°．
故選B．
8．A
【分析】根據折疊、平行四邊形的性質，三角形的內角和定理，即可求出答案．
【詳解】解：
由折疊得，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
故選：A．
【點睛】本題考查折疊的性質、平行四邊形的性質，三角形的內角和定理等知識，由圖形直觀得出各個角之間的關系是正確解答的關鍵．
9．D
【詳解】試題分析：設邊數為n（n為大于等于3的整數），根據正多邊形各個內角相等和多邊形的內角和公式建立方程，求出n，進行判斷即可．
A、（n－2） 180＝120 n，解得n＝6，所以A選項錯誤；
B、（n－2） 180＝108 n，解得n＝5，所以B選項錯誤；
C、（n－2） 180＝144 n，解得n＝10，所以C選項錯誤；
D、（n－2） 180＝145 n，解得n＝，不為整數，所以D選項正確．
故選D．
10．B
【分析】本題考查多邊形內角與外角．解題的關鍵在于掌握正多邊形的外角和為，并且正多邊形的每一個外角都相等．
根據正多邊形的每一個外角都相等，多邊形的邊數=，進而求得多邊形的對角線條數．
【詳解】解：這個正多邊形的邊數：，
則對角線的條數是：，
故選：B．
11．A
【分析】根據平行四邊形的性質證明DF=CD，AE=AB，進而可得AF和ED的長，然后可得答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥CB，AB=CD=3，AD=BC=4，
∴∠DFC=∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC=3，
同理可證：AE=AB=3，
∴AF=DE
∵AD=4，
∴AF=4-3=1，
∴EF=4-1-1=2．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，解題的關鍵是掌握在平行四邊形中，當出現角平分線時，一般可利用等腰三角形的性質解題．
12．C
【分析】根據軸對稱、平行四邊形、等腰三角形的性質，得，，從而證明四邊形AEHG是平行四邊形；根據軸對稱和平行四邊形的性質，得；設點E到BG的距離為，結合根據軸對稱的性質分析，即可得到答案．
【詳解】解：∵折疊ABCD，使折痕經過點B，交AD邊于點E，點C落在BA延長線上的點G處，點D落在點H處，
∴，，，四邊形面積=四邊形面積
∵ABCD
∴，，
∴，
∴，
∴，即選項B不正確；
∴
∴四邊形AEHG是平行四邊形，即選項A不正確；
∴
∵四邊形面積=四邊形面積
∴四邊形面積=+四邊形AEHG面積
∵四邊形AEHG的面積為y，四邊形BCDE的面積為x，ABCD的面積是8
∴，即
∵點E在AD邊上
∴四邊形BCDE面積，即
∴，即選項C正確；
設點E到BG的距離為
∵四邊形面積
∴四邊形面積
∴，即
∴
∴，即點E到BG的距離為2
∴選項D不正確
故選：C．
【點睛】本題考查了一次函數、平行四邊形、等腰三角形、軸對稱的知識；解題的關鍵是熟練掌握軸對稱、平行四邊形的性質，從而完成求解．
13． （1）∠DBG； （2）∠AED.
【分析】根據圓內接四邊形外角的定義和內對角的定義即可得到答案.
【詳解】由圖可知，根據圓內接四邊形外角的定義可得圖中圓內接四邊形的外角是為∠DBG；因為的鄰補角為，所以的內對角是∠AED.
【點睛】本題考查圓內接四邊形外角的定義和內對角的定義，解題的關鍵是熟練掌握圓內接四邊形外角的定義和內對角的定義.
14．平行四邊形
【分析】順次連接任意四邊形四邊中點所得的四邊形，由三角形中位線的性質可得一組對邊平行且相等，再根據平行四邊形的判定進行判斷即可．
【詳解】如圖，連接，
∵分別是四邊形邊的中點，
∴,
∴且
∴四邊形是平行四邊形,
故答案為：平行四邊形．
【點睛】本題考查了三角形中位線的性質，平行四邊形的判定，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
15．6
【詳解】解：根據多邊形的外角和等于360°和正多邊形的每一個外角都相等，得多邊形的邊數為360°÷60°=6．
故答案為：6.
16．3
【分析】過點A作AE∥BC交CD于點E，得到平行四邊形ABCE和Rt△ADE，根據平行四邊形的性質和勾股定理，不難證明三個正方形的邊長對應等于所得直角三角形的邊．
【詳解】解：過點A作AE∥DC交CB于點E，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AD＝CE，DC＝AE，∠BCD＝∠AEB，
∵∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∵S1＝AB2，S2＝AD2＝BE2，S3＝DC2＝AE2，
∵S1+S3＝4S2，
∴AB2+DC2＝AB2+AE2＝4AD2＝BE2，
∴，
∴．
故答案為：3．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質、勾股定理，準確計算是解題的關鍵．
17．①②③
【詳解】矩形、菱形、正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．
平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形．　
故答案為：①②③
18．見解析
【分析】可證明ABECDF，即可得到結論．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB=CD，ABCD
∴∠BAC=∠DCA
∵BEAC于E，DFAC于F
∴∠AEB=∠DFC=90°
在ABE和CDF中 ，
∴ABECDF（AAS）
∴AE=CF
【點睛】此題考查平行四邊形的性質和全等三角形的判定及性質，掌握平行四邊形的性質和全等三角形的判定是解決問題的關鍵．
19．見解析
【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質，根據平行四邊形的性質得到，，根據角平分線的性質，結合平行線的性質，得到，進而得到，結合，即可得證．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，即，
∴四邊形是平行四邊形．
20．證明見解析
【分析】只需要分別證明ENMC，NFMB，即可證明四邊形MENF為平行四邊形．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ADBC，
∴∠MCB＝∠CMD，
∵∠BNE＝∠CMD，
∴∠BNE＝∠MCB，
∴ENMC，
∴∠NFC＝∠ENF，
∵∠BEN＝∠NFC，
∴∠BEN＝∠ENF，
∴NFMB，
∴四邊形MENF為平行四邊形．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，熟知平行四邊形的性質與判定條件是解題的關鍵．
21．65;60.
【分析】先求出多邊形的內角和，然后再利用方程求得未知數的值.
【詳解】解：由四邊形的內角和為360°，
則有：150°+80°+2x°=360°，解得x=65
由五邊形內角和為：180°×（5-2）=540°，
則有：3x°+160°+90°+110°=540°，解得x=60
故答案為:65，60.
【點睛】本題考查了運用多邊形內角和定理求多邊形的內角的大小，解題關鍵在于求得多邊形內角和，即多邊形內角和=180°×（n-2）（n為多邊形的邊數）.
22．(1)105°
(2)β-α=90°
(3)BE∥DF，理由見解析
【分析】（1）利用四邊形的內角和和平角的定義推導即可；
（2）利用角平分線的定義，四邊形的內角和以及三角形的內角和轉化即可；
（3）利用角平分線的定義以及平行線的判定與性質即可解答．
【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD的內角和為360°，
∴α+β=∠A+∠BCD=360°－（∠ABC+∠ADC），
∵∠MBC和∠NDC是四邊形ABCD的外角，
∴∠MBC=180°－∠ABC，∠NDC=180°－∠ADC，
∴∠MBC+∠NDC=180°－∠ABC+180°－∠ADC
=360°－（∠ABC+∠ADC），
=α+β
=105°；
（2）解：β-α=90°（或α－β=-90°等均正確）．
理由：如圖1，連接BD，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG= ∠MBC，∠CDG= ∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG= ∠MBC+ ∠NDC= （∠MBC+∠NDC）= （α+β），
在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β，
在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD=180°，
∴（α+β）+180°-β+45°=180°，
∴β-α=90°．
故答案為β-α=90°（或α－β=－90°等均正確）；
（3）解：BE∥DF．
理由：如圖2，過點C作CP∥BE，

則∠EBC=∠BCP，
∴∠DCP=∠BCD－∠BCP=β－∠EBC，
由（1）知∠MBC+∠NDC=α+β，
∵α=β，
∴∠MBC+∠NDC=2β，
又∵BE、DF分別平分∠MBC和∠NDC，
∴∠EBC+∠FDC=（∠MBC+∠NDC）=β，
∴∠FDC=β－∠EBC，
又∵∠DCP=β－∠EBC，
∴∠FDC=∠DCP，
∴CP∥DF，
又CP∥BE，
∴BE∥DF．
【點睛】此題主要考查了平行線的性質及其判定、平角的定義，四邊形的內角和，三角形內角和，角平分線的定義，用整體代換的思想是解本題的關鍵，整體思想是初中階段的一種重要思想，要多加強訓練．
23．詳見解析
【分析】利用一組對邊平行且相等得到四邊形BDCE是平行四邊形，然后利用對邊平行得到兩組角相等，進而整理到∠CDF=∠CMD，進而得證．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形．
∴ABDC．
又∵BE=AB，
∴BEDC，
∴四邊形BDCE是平行四邊形．
∴DC∥BF，BD∥CE，
∴∠CDF=∠F，∠BDM=∠DMC．
∵BD=BF，
∴∠BDF=∠F．
∴∠CDF=∠CMD，
∴CD=CM．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵．當證明兩條在一個三角形中的邊相等時，通常是利用等角對等邊來進行證明．
24．(1)見解析
(2)①；②
【分析】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．
（1）由可得，可得，可得結論；
（2）①由等腰三角形的性質可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性質可求的長，即可求解；
②如圖，過點H作于點M，證明，可得，由等腰直角三角形的性質可得，即可得結論．
【詳解】（1）證明：∵平行四邊形中，點O是對角線中點，
∴，
∴，且，
∴，
∴，且，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）①如圖2，過點D作點N，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②，
理由如下：如圖，過點H作于點M，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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