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第三章概率初步
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．酒瓶會爆炸
B．拋擲一枚硬幣，正面朝上
C．地球在自轉
D．今天的氣溫是100度
2．某人在做拋擲硬幣試驗中，拋擲n次，正面朝上有m次，若正面朝上的頻率是P，則下列說法正確的是( )
A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5
C．P一定不等于0.5 D．投擲次數逐漸增加，P穩定在0.5附近
3．如圖，一個可以自由轉動的轉盤被平均分成8個區域，每個區域分別標注數1，2，3，4，5，6，7，8．任意轉動轉盤一次，當轉盤停止轉動時，對于下列事件，發生可能性最大的事件是（ ）
A．指針落在標有5的區域 B．指針落在標有10的區域
C．指針落在標有奇數的區域 D．指針落在標有能被3整除的數的區域
4．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．射擊運動員射擊一次，命中靶心
B．擲一次骰子，向上一面的點數是6
C．任意買一張電影票，座位號是2的倍數
D．從一個只裝有紅球的盒子里摸出一個球是紅球
5．下列說法正確的是（ ）
A．“打開電視，正在播放本溪新聞節目”是必然事件 B．某種彩票中獎率為10%是指買十張一定有一張中獎
C．“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨 D．“擲一次骰子，向上一面的點數是6”是隨機事件
6．下列事件屬于必然事件的是（　　）
A．三角形內角和是
B．電視打開時正在播放球賽
C．任意兩個負數的乘積為正數
D．杯子掉在水泥地面上會破碎
7．如圖1所示，有一個不規則的圖案（圖中畫圖部分），小帆想估算該圖案的面積.他采取了以下的辦法：用一個長為，寬為的矩形，將不規則圖案圍起來，再在適當位置隨機地向矩形區域扔小球，并記錄小球在不規則圖案內的頻率，如圖2（球扔在界線上或長方形區域外不計入試驗結果），則不規則圖案的面積大約為（ ）
A． B． C． D．
8．如圖為一正方形草坪，四邊形為正方形， ，，若小鳥落在正方形草坪內的任一位置的可能性相同，則落在陰影部分中的概率為（ ）
A． B． C． D．
9．下列事件是必然事件的是（　　）
A．打開電視機，正在播放動畫片 B．中秋節晚上能看到月亮
C．買100張彩票一定會中獎 D．在只裝有紅球的袋中摸出1個球是紅球
10．一個不透明的袋子中裝有個紅球和若干個白球，這些球除了顏色外都相同.若小明每次從袋子中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回,經過多次重復試驗，小明發現摸到白球的頻率逐漸穩定于，則小明估計袋子中白球的個數為( )
A． B． C． D．
11．下列事件中，屬于隨機事件的是（ ）
A．刻舟求劍
B．從長度分別為、、、的4根小木棒中，任取3根為邊拼成一個三角形
C．方程在實數范圍內有解
D．在裝有10個紅球的口袋內，摸出一個白球
12．數學社團的同學做了估算π的實驗．方法如下：
第一步：請全校同學隨意寫出兩個實數x、y（x、y可以相等），且它們滿足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：統計收集上來的有效數據，設“以x，y，1為三條邊長能構成銳角三角形”為事件A；
第三步：計算事件A發生的概率，及收集的本校有效數據中事件A出現的頻率；
第四步：估算出π的值．
為了計算事件A的概率，同學們通過查閱資料得到以下兩條信息：
①如果一次試驗中，結果落在區域D中每一個點都是等可能的，用A表示“試驗結果落在區域D中一個小區域M中”這個事件，那么事件A發生的概率為P(A)＝；
②若x，y，1三個數據能構成銳角三角形，則需滿足x2＋y2＞1．
根據上述材料，社團的同學們畫出圖，若共搜集上來的m份數據中能和“1”成銳角三角形的數據有n份，則可以估計π的值為（　　 ）
A． B．
C． D．
二、填空題
13．至少需要調查 名同學，才能使“有兩個同學生日在同一個月”為必然事件．
14．某家庭電話，打進的電話響第一聲時被接的概率為0.1，響第二聲被接的概率為0.2，響第三聲或第四聲被接的概率都是0.25，則電話在響第五聲之前被接的概率為 ．
15．拋擲一枚質地均勻的骰子，對于事件①向上一面的數為偶數、②向上一面的數為1、③向上一面的數為3的倍數，將它們的序號按事件發生可能性從小到大的順序排列： ．
16．一個不透明的袋中裝有2個紅球和1個白球，這些球除顏色外無其他差別．現隨機從袋中摸出一個球，記下它的顏色后放回搖勻，再從袋中摸出一個球，則兩次摸出的球都是“紅球”的概率是 ．
17．在的兩個空格口中，任意填上“”或“”．若運算結果是3，則麗麗獲勝，否則穎穎獲勝．這個游戲對雙方 （填“公平”或“不公平”）．
三、解答題
18．如圖，轉盤被分成六個相同的扇形，并在上面依次寫上數字：，指針的位置固定，轉動轉盤后任其自由停止．
(1)當轉盤停止時，指針指向奇數區域的概率是多少？
(2)當轉盤停止時，指針指向的數小于或等于5的概率是多少？
19．在本節課的“石頭、剪刀、布”游戲中，小凡沒有參與活動，有“任人宰割”的感覺，于是他們修改游戲規則如下：三人同時做“石頭、剪刀、布”游戲，如果三人的手勢都相同或三人的手勢互不相同，那么三人不分勝負；如果有兩個人的手勢相同，那么按照“石頭勝剪刀，剪刀勝布，布勝石頭”的規則決定勝負（有可能有兩個勝者）這個游戲對三人公平嗎？先算一算，再做一做．
20．有一個轉盤如圖所示，被分成6個大小相同的扇形，顏色分別為紅、綠、黃三種，指針的位置固定，轉動轉盤后任其自由停止，其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置（指針指向兩個扇形的交線時，重新轉動）．有下列事件：①指針指向紅色；②指針指向綠色；③指針指向黃色；④指針不指向黃色．
(1)在上述事件中，可能性最大的是________，可能性最小的事件是________（填序號）；
(2)將上述事件按發生的可能性從小到大的順序排列________（填序號）．
21．下列4個事件，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機事件？根據你的判斷，把這些事件的序號按發生的可能性從小到大的順序排列．
（1）13人中至少有2個人的生日在同一個月；
（2）公路上行駛的一輛汽車的車牌號為偶數；
（3）的絕對值小于0；
（4）從裝有1個黃球和8個紅球的袋子中摸出1個球是紅球．
22．“共和國勛章”獲得者鐘南山院士說：按照疫苗保護率達到70%計算，中國的新冠疫苗覆蓋率需要達到近80%，才有可能形成群體免疫，本著自愿的原則，18至60周歲符合身體條件的中國公民均可免費接種新冠疫苗．居民甲、乙準備接種疫苗，其居住地及工作單位附近有兩個大型醫院和兩個社區衛生服務中心均可免費接種疫苗，提供疫苗種類如下表：
接種地點 疫苗種類
醫院 A 新冠病毒滅活疫苗
B 重組新冠病毒疫苗（CHO細胞）
社區衛生服務中心 C 新冠病毒滅活疫苗
D 重組新冠病毒疫苗（CHO細胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中隨機獨立選取一個接種點接種疫苗，且選擇每個接種點的機會均等（提示：用A、B、C、D表示選取結果）
（1）求居民甲接種的是新冠病毒滅活疫苗的概率；
（2）請用列表或畫樹狀圖的方法求居民甲、乙接種的是相同種類疫苗的概率．
23．一個不透明的口袋中放著若干個紅球和黑球，這兩種球除了顏色之外沒有其他任何區別，將袋中的球充分搖勻，閉眼從口袋中摸出一個球，經過很多次實驗發現摸到黑球的頻率逐漸穩定在．
(1)估計摸到黑球的概率是_______；
(2)如果袋中原有黑球15個，估計原口袋中共有幾個球？
(3)在（2）的條件下，又放入個黑球，再經很多次實驗發現摸到黑球的頻率逐漸穩定在，估計的值．
24．袋中裝有個紅球、個白球和個黑球，每個球除顏色外其他都相同．事先選擇要摸的球的顏色，任意摸出個球，若摸到的球的顏色與事先選擇的一樣，則獲勝．為了盡可能獲勝，你事先應該選擇摸哪種顏色的球？
《第三章概率初步》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D D C B C D C
題號 11 12
答案 B D
1．C
【分析】此題考查必然事件，必然事件指在一定條件下一定發生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，難度適中．根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念解答．
【詳解】必然事件指在一定條件下一定發生的事件，依據定義即可判斷．
A、B是隨機事件，C是必然事件，D是不可能事件，
故選C．
2．D
【分析】大量反復試驗時，某事件發生的頻率會穩定在某個常數的附近，這個常數就叫做此事件概率的估計值，從而可得答案．
【詳解】解：根據頻率和概率的關系可知，投擲次數逐漸增加，P穩定在0.5附近，
故選：D．
【點睛】考查利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．注意隨機事件可能發生，也可能不發生．
3．C
【分析】此題考查了可能性大小，根據每個選項占的區域個數從而確定正確的選項即可．
【詳解】解：∵一共被平均分成8個區域，
其中5有1個區域，10沒有區域，奇數有4個區域，被3整除的數的區域有3和6，共2個，
∴發生可能性最大的事件是指針落在標有奇數的區域．
故選：C．
4．D
【分析】根據隨機事件是有可能發生，也有可能不生發，必然是事件是一定要發生的來進行判定．
【詳解】解：A．射擊運動員射擊一次，命中靶心，是隨機事件，故A不符合題意；
B．擲一次骰子，向上一面的點數是6，是隨機事件，故B不符合題意；
C．任意買一張電影票，座位號是2的倍數，是隨機事件，故C不符合題意；
D．從一個只裝有紅球的盒子里摸出一個球是紅球，是必然事件，故D符合題意．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了隨機事件和必然事件的判定，理解隨機事件和必然事件的定義是解答關鍵．
5．D
【分析】根據必然事件、隨機事件和概率的定義逐項判斷即得答案.
【詳解】解：A、“打開電視，正在播放本溪新聞節目”是隨機事件，故本選項說法錯誤；
B、某種彩票中獎率為10%是指買十張不一定有一張中獎，故本選項說法錯誤；
C、“明天降雨的概率是50%”表示明天有可能降雨，故本選項說法錯誤；
D、擲一次骰子，向上一面的點數是6”是隨機事件，故本選項說法正確；
故選：D.
【點睛】本題考查了必然事件、隨機事件和概率的意義，熟知相關概念是解題的關鍵.注意：事先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發生的事件稱為不可能事件，可能發生也可能不發生的事件叫隨機事件.
6．C
【分析】根據隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，逐一判斷即可解答．
【詳解】解：A．三角形內角和是，是不可能事件，故A不符合題意；
B．電視打開時正在播放球賽，是隨機事件，故B不符合題意；
C．任意兩個負數的乘積為正數，是必然事件，故C符合題意；
D．杯子掉在水泥地面上會破碎，是隨機事件，故D不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了隨機事件，三角形內角和定理，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關鍵．
7．B
【分析】本題考查了幾何概率和用頻率估計概率，解題的關鍵是理解題意，得出小球落在不規則圖案內的概率約為．根據圖可得，小球落在不規則圖案內的概率約為，設不規則圖案的面積為，再根據幾何概率可得：不規則圖案的面積長方形的面積=小球落在不規則圖案內的概率，列出方程即可求解．
【詳解】解：由題意可得：小球落在不規則圖案內的概率約為，
長方形的面積為，
設不規則圖案的面積為，則，
解得：．
即不規則圖案的面積約為．
故選：B．
8．C
【分析】本題考查幾何概率，熟練掌握數形結合思想是解題的關鍵；
根據題意，求得正方形的面積，再求得陰影部分面積，進而求解；
【詳解】解：陰影部分面積為：，
正方形面積為：，
落在陰影部分中的概率為；
故選：C
9．D
【分析】直接利用隨機事件以及必然事件的定義分析得出答案．
【詳解】解：A、打開電視機，正在播放動畫片，是隨機事件，故此選項不符合題意；
B、中秋節晚上能看到月亮，是隨機事件，故此選項不符合題意；
C、買100張一定會中獎，是隨機事件，故此選項不符合題意；
D、在只裝有紅球的袋中摸出1球，是紅球，是必然事件，故此選項符合題意．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了隨機事件以及必然事件的定義，正確把握相關定義是解題關鍵．
10．C
【分析】設袋子中白球有x個，根據概率公式即可得到答案．
【詳解】解：設袋子中白球有x個，由題意可得，
解得，
故選C．
【點睛】本題主要考查利用頻率算隨機事件概率及概率公式，解題的關鍵是熟練掌握．
11．B
【分析】本題主要考查了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．根據事件發生的可能性大小判斷即可．
【詳解】解：A、刻舟求劍，是不可能事件，不符合題意；
B、從長度分別為、、、的4根小木棒中，任取3根為邊拼成一個三角形，是隨機事件，符合題意；
C、方程在實數范圍內有解，是不可能事件，不符合題意；
D、在裝有10個紅球的口袋內，摸出一個白球，是不可能事件，不符合題意；
故選：B．
12．D
【分析】根據x，y，1三個數據能構成銳角三角形，則需滿足x2＋y2＞1的條件，可以判斷符合條件的區域為圖中（3）的區域，再根據①幾何概率的計算方法即可得到滿足題意的概率，最后通過搜集上來的m份數據中能和“1”成銳角三角形的數據有n份的條件，得到用m，n表示上述方法計算的概率，從而解出π的值，得出答案．
【詳解】解：根據第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用圖中正方形區域表示，
∴，
再根據若x，y，1三個數據能構成銳角三角形，
則需滿足x2＋y2＞1，
可以用圖中（3）區域表示，
∴面積為正方形面積減去四分之一圓的面積，
∴，
設“以x，y，1為三條邊長能構成銳角三角形”為事件A，
∴根據①概率計算方法可以得到：
，
又∵共搜集上來的m份數據中能和“1”成銳角三角形的數據有n份，
∴，
解得，
故選：D．
【點睛】本題主要考查利用頻率估計概率，幾何概率的計算方法以及圓的面積公式，解題的關鍵是利用圖中所給條件找出符合條件的圖形的面積，從而求出概率．
13．13
【分析】本題主要考查了事件的判斷，根據一年有12個月，結合必然事件的定義解答即可.
【詳解】解：一年有12個月，所以至少需要調查13名學生，才能使“有兩個同學生日在同一個月”為必然事件.
故答案為：13.
14．0.8
【分析】依題意電話在響第五聲之前被接的概率等于打進的電話響第一聲時被接的概率+響第二聲被接的概率+響第三聲和第四聲被接的概率，計算得出結果．
【詳解】打進的電話響第一聲時被接的概率為0.1，響第二聲被接的概率為0.2，響第三聲或第四聲被接的概率都是0.25，
電話在響第五聲之前被接的概率為．
故答案為：0.8．
【點睛】本題考查了概率的應用，掌握概率的定義是解題的關鍵．
15．②③①
【分析】本題考查的是可能性的大小，先求出各自的可能性大小，再進行比較即可．解決這類題目要注意具體情況具體對待，最準確的方法是計算出事件發生的可能性大小進行比較．一般地必然事件的可能性大小為1，不可能事件發生的可能性大小為0，隨機事件發生的可能性大小在0至1之間．
【詳解】解：①骰子能擲出三面為偶數，故向上一面的數為偶數的可能性大小為；
②向上一面的數為1的可能性大小為；
③骰子能擲出兩面為3的倍數，向上一面的數為3的倍數的可能性大小為；
它們的序號按事件發生可能性從小到大的順序排列為②③①，
故答案為：②③①．
16．
【分析】此題主要考查畫樹狀圖或列表法求概率，解題的關鍵是畫出所有的情況，再用概率公式進行求解．
根據題意畫出樹狀圖，再利用概率公式進行求解．
【詳解】解：畫樹狀圖為
由此可得，一共有9種等可能的情況，兩次摸出的球都是“紅球”的有4種，
∴兩次摸出的球都是“紅球”的概率為．
故答案為：
17．公平
【分析】本題主要考查了有理數加減運算、簡單概率計算等知識，正確計算兩人獲勝的概率是解題關鍵．根據題意，可知共有4種運算結果，其中運算結果是3的有2種，結果不為3的有2種，然后分別計算兩人獲勝概率，比較即可獲得答案．
【詳解】解：根據題意，在的兩個空格口中，任意填上“”或“”，
可有4種結果，如下所示：
，，，，
其中運算結果是3的有2種，結果不為3的有2種，
所以麗麗獲勝的概率為，穎穎獲勝的概率為，
又因為，
所以，這個游戲對雙方公平．
故答案為：公平．
18．(1)
(2)
【分析】本題考查了用列舉法求概率，解題的關鍵是熟練掌握概率公式，一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率為且．
（1）當轉盤停止轉動時，指針指向數字區域2，3，4，5，6，7的機會是均等的，故共有6種均等的結果，其中指針指向奇數區域3，5，7有3種結果，根據概率公式求解即可．
（2）當轉盤停止轉動時，指針指向數字區域2，3，4，5，6，7的機會是均等的，故共有6種均等的結果，其中指針指向的數小于或等于5區域2，3，4，5有4種結果，根據概率公式求解即可．
【詳解】（1）解：當轉盤停止轉動時，指針指向數字區域2，3，4，5，6，7的機會是均等的，故共有6種均等的結果，其中指針指向奇數區域3，5，7有3種結果，
所以指針指向奇數區域的概率是；
（2）解：當轉盤停止轉動時，指針指向數字區域2，3，4，5，6，7的機會是均等的，故共有6種均等的結果，其中指針指向的數小于或等于5區域2，3，4，5有4種結果，
所以指針指向的數小于或等于5的概率是．
19．公平
【分析】先畫出表格展示所有27種等可能的結果數，再找出三個人贏的結果數，然后計算他們獲勝的概率，再通過比較概率的大小判斷游戲是否公平．
【詳解】列表如下：
第一人 第二人 第三人 所有可能出現的結果
石頭 石頭 石頭 （石頭，石頭，石頭）
剪刀 （石頭，石頭，剪刀）
布 （石頭，石頭，布）
剪刀 石頭 （石頭，剪刀，石頭）
剪刀 （石頭，剪刀，剪刀）
布 （石頭，剪刀，布）
布 石頭 （石頭，布，石頭）
剪刀 （石頭，布，剪刀）
布 （石頭，布，布）
剪刀 石頭 石頭 （剪刀，石頭，石頭）
剪刀 （剪刀，石頭，剪刀
布 （剪刀，石頭，布）
剪刀 石頭 （剪刀，剪刀，石頭
剪刀 （剪刀，剪刀，剪刀）
布 （剪刀，剪刀，布）
布 石頭 （剪刀，布，石頭）
剪刀 （剪刀，布，剪刀）
布 （剪刀，布，布）
布 石頭 石頭 （布，石頭，石頭）
剪刀 （布，石頭，剪刀）
布 （布，石頭，布）
剪刀 石頭 （布，剪刀，石頭）
剪刀 （布，剪刀，剪刀）
布 （布，剪刀，布）
布 石頭 （布，布，石頭）
剪刀 （布，布，剪刀）
布 （布，布，布）
共有27種等可能的結果，其中第一人獲勝的結果有9種，所以第一人獲勝的概率為，第二人和第三人獲勝的結果也都有9種，所以第二人和第三人獲勝的概率也都是，所以這個游戲對三人是公平的．
【點睛】本題考查了游戲公平性：判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．
20．(1)④；②
(2)②③①④
【分析】分別求出摸出各種顏色球的概率，即可比較出摸出何種顏色球的可能性大．
【詳解】（1）∵共3紅2黃1綠相等的六部分，
∴①指針指向紅色的概率為；
②指針指向綠色的概率為；
③指針指向黃色的概率為；
④指針不指向黃色為，
∴可能性最大的是④，可能性最小的事件是②，
故答案為：④；②；
（2）由（1）得：②＜③＜①＜④，
故答案為：②③①④．
【點睛】本題考查的是可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對待．用到的知識點為：可能性等于所求情況數與總情況數之比．
21．（1）必然事件，（2）隨機事件，（3）不可能事件，（4）隨機事件；（3）、（2）、（4）、（1）
【分析】本題主要考查了可能性的大小、隨機事件等知識點，掌握各類事件的定義以及發生概率是解題的關鍵．
根據可能性的大小以及隨機事件的定義逐個判斷，然后比較即可解答．
【詳解】解：（1）13人中至少有2人的生日在同一個月是必然事件，發生的可能性是1；
（2）公路上行駛的一輛汽車的車牌號為偶數，屬于隨機事件，發生的概率為；
（3）的絕對值小于0是不可能事件，發生的可能性是0；
（4）從裝有1個黃球和8個紅球的袋子中摸出1個球是紅球是隨機事件，摸到紅球的概率是．
這些事件的序號按發生的可能性從小到大的順序排列為：（3）、（2）、（4）、（1）．
22．（1）；（2）
【分析】（1）利用概率公式直接計算即可；
（2）先列表求解所有的等可能的結果數，再得到符合條件的結果數，從而利用概率公式進行計算即可.
【詳解】解：（1）由概率的含義可得：
居民甲接種的是新冠病毒滅活疫苗的概率是
（2）列表如下：
由表中信息可得一共有種等可能的結果數，屬于同種疫苗的結果數有：
，，，，，，，共 種，
所以居民甲、乙接種的是相同種類疫苗的概率為：
【點睛】本題考查的是隨機事件的概率，利用列表法或畫樹狀圖求解概率，掌握列表的方法與畫樹狀圖的方法是解題的關鍵.
23．(1)
(2)估計原口袋中共有40個球
(3)估計的值為60
【分析】（1）利用頻率估計概率即可得出答案；
（2）設原口袋中有m個球，根據題意得，解之即可得出答案；
（3）根據題意得，解之即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵經過很多次實驗發現摸到黑球的頻率逐漸穩定在，
∴估計摸到黑球的概率是．
故答案為：．
（2）設原口袋中有m個球，根據題意得：
，
解得：m＝40，
經檢驗m＝40是分式方程的解，且符合題意，
答：袋中原有40個球．
（3）解：根據題意得：，
解得：n＝60，
經檢驗n＝60是分式方程的解，且符合題意，
∴n＝60．
答：估計的值為60．
【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢，估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
24．事先應該選擇摸黑色的球，因為袋中黑球的個數最多，摸到它的可能性最大．
【分析】本題考查了事件發生的可能性大小，根據袋中裝有紅球、白球和黑球個數最多，摸到它的可能性最大，從而求解，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：由袋中裝有個紅球、個白球和個黑球，
∵，
∴為了盡可能獲勝，事先應該選擇摸黑色的球．
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