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中小學教育資源及組卷應用平臺
第六章變量之間的關系
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．某輛速度為的車從甲地開往相距的乙地，全程所用的時間為，在這個變化過程中，（ ）
A．是變量 B．是常量 C．是常量 D．是常量
2．質量P（P為整數）的對應關系如下表所示：
P（kg） 1 2 3 4 5 …
C（元） 2 2.5 3 3.5 4 …
則C與P之間的關系式為（ ）
A． B． C． D．
3．表中給出的統計數據，表示皮球從高度落下時與反彈到高度的關系：
40 50 60 80 100
25 30 35 45 55
用關系式表示y與x的這種關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．某商店銷售一批玩具時，其收入y（元）與銷售數量x（個）之間有如下關系：
銷售數量x（個） 1 2 3 4 ……
收入y（元） 8＋0.3 16＋0.6 24＋0.9 32＋1.2 ……
則收入y與銷售數量x之間的關系式可表示為（ ）
A． B． C． D．
5．2023年5月21日，“錦繡太原·激情太馬”2023太原馬拉松賽成功舉行，3.5萬名選手沿汾河岸畔同場競技，暢跑魅力并州．如圖是甲、乙兩人從起點出發一段時間內路程與時間的關系，則下列說法正確的是（ ）

A．在這段時間內，甲的平均速度為
B．在這段時間內，乙的平均速度為
C．在這段時間內，甲休息了
D．出發時兩人相遇
6．4個高度相同的容器，以相同的流速向這四個容器中注水，能正確反映容器中水的高度變化的是（ ）．
A． B． C． D．
7．在一定范圍內，彈簧掛重物后會伸長，測得彈簧長度最長為，與所掛物體質量間有下面的關系：
0 1 2 3 4 …
8 8.5 9 9.5 10 …
下列說法不正確的是（ ）
A．x與y都是變量，x是自變量，y是因變量
B．所掛物體為時，彈簧長度為
C．在彈性限度內，物體每增加，彈簧長度就增加
D．掛物體時，彈簧長度一定比原長增加
8．如圖，大拇指與小拇指盡量張開時，兩指尖的距離稱為指距．根據最近人體構造學的研究成果，下表是測得的指距與身高的一組數據：
指距d（） 20 21 22 23
身高h（）
已知，世界上被證實最高的人的身高是厘米，則他的指距約為（ ）
A． B． C． D．
9．某學習小組在網上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度之間的關系的一些數據（如下表）：
溫度 0 10 20 30
聲速 318 324 330 336 342 348
下列說法中錯誤的是（ ）
A．在這個變化過程中，自變量是溫度，因變量是聲速
B．在一定范圍內，溫度越高，聲速越快
C．當空氣溫度為時，內聲音可以傳播
D．在一定范圍內，溫度每升高，聲速增加
10．彈簧的受力和伸長量成正比．某次實驗中，小軍組的同學們記錄了同一根彈簧的長度y（cm）和所掛物體質量x（kg）（0≤x≤12）的對應數據如下表（部分）所示，下列說法中正確的是（ ）
x（kg） 0 1 2 3 4 ...
y（cm） 10.5 11 11.5 12 ...
A．x，y都是變量，y是x的正比例函數
B．當所掛物體的質量為10kg時，彈簧長度是19cm
C．物體質量由4 kg增加到7kg，彈簧的長度增加1cm
D．彈簧不掛物體時的長度是10cm
11．某市出租車收費標準如下表：設行駛里程數為，收費為y元，則y與x（）之間的關系式為（ ）
里程數 收費/元
3以下（含3） 8
3以上每增加1 1.8
A． B． C． D．
二、填空題
12．一輛汽車在行駛的過程中，已知汽車行駛的速度是60千米/小時，若設x小時行駛的路程為y千米，那么變量y與x之間的關系式為 ．
13．高山地區海拔高，空氣稀薄，所以大氣壓低于一個標準大氣壓，水的沸點隨高原氣壓的減小而降低．下表是各個城市的海拔高度及水的沸點統計情況，請根據表中的大致數據，推斷地水的沸點為 ．
城市 地 地 地 地 地
海拔（米 0 300 600 1500
沸點（度 100 99 98
14．表格中列出了一個試驗的統計數據，表示皮球從高處落下時，彈跳高度與下降高度的關系．給出下列關系式：①；②；③；④.其中能表示這種關系的是 ．（填序號）
15．變量x，y的一些對應值如表：
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … -8 -1 0 1 8 27 …
根據表格中的數據規律，當時，y的值是 ．
16．等腰三角形頂角度數隨底角度數的變化而變化．若設底角為，頂角為，則y與x的關系式為 ．
三、解答題
17．某公交車司機統計了月乘車人數x（人）與月利潤y（元）的部分數據如下表，假設每位乘客的公交票價固定不變，公交車月支出費用為6000元．（月利潤=月收入－月支出費用）
x(人) … 2500 2750 3000 3500 4000 …
y（元） … －1000 －500 0 1000 2000 …
(1)根據函數的定義，y是關于x的函數嗎？
(2)結合表格解答下列問題：
①公交車票的單價是多少元？
②當x=2750時，y的值是多少？它的實際意義是什么？
18．如圖所示，梯形上底的長是，下底長，高．
(1)梯形面積與上底之間的關系式是什么；
(2)當x每增加時，y如何變化？
(3)當時，y等于什么？此時y表示的是什么？
19．如圖表示一輛汽車在行駛途中的速度v（千米/時）隨時間t（分鐘）的變化示意圖，請根據圖象回答下列問題：

(1)汽車勻速行駛了______分鐘，時速是______千米/時；
(2)汽車在行駛途中在哪段時間停車休息？休息了多長時間？
(3)若司機從第28分鐘開始先勻速行駛8分鐘后，立即減速行駛2分鐘，至停止．請你按照以上敘述在途中補畫出從第28分鐘以后汽車的速度與行駛時間的關系圖．
20．下圖是某水庫的庫容曲線圖，其中x表示水庫的平均水深（m），表示水庫的庫容（萬）．根據圖象回答下面的問題：
(1)這個函數反映了哪兩個變量之間的關系？
(2)填表：
5 10 15 20 25
V（萬）
(3)當平均水深取至之間的一個確定的值時，相應的庫容確定嗎？
(4)庫容V可以看成平均水深x的函數嗎？
(5)求當時的函數值，并說明它的實際意義．
21．興平市南市鎮的蘋果種植歷史悠久，以紅富士為主，種植規模達到萬畝，深秋，這里的蘋果迎來豐收，鮮紅透亮，飽滿圓潤．鮮上鮮水果店劉老板購進一批紅富士蘋果銷售，售價為每千克9元，如果一次購買4千克以上的這種蘋果，超過4千克的部分按售價的七五折售賣．設（元）表示付款金額，（千克）表示購買的質量．
(1)求出與之間的關系式；（提示：分兩種情況）
(2)隔壁的水果店也銷售同樣品質的這種蘋果，售價為每千克9元，且全部按售價的八五折售賣．李阿姨和王阿姨分別在這兩個水果店購買蘋果，結果付款金額與購買蘋果的質量都一樣，那么她們各自買了多少千克蘋果？各自花了多少錢？
22．某公交車每月的支出費用為4000元，每月的乘車人數(人)與每月利潤(利潤=收入費用-支出費用)(元)的變化關系如下表所示(每位乘客的公交票價是固定不變的)；
（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 ……
（元） -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 ……
（1）在這個變化過程中，______是自變量，______是因變量；(填中文)
（2）觀察表中數據可知，每月乘客量達到______人以上時，該公交車才不會虧損；
（3）請你估計當每月乘車人數為3500人時，每月利潤為_______元？
（4）若5月份想獲得利潤5000元，則請你估計5月份的乘客量需達_______人．
23．如圖1，兩地之間有一條筆直的道路，地位于兩地之間，甲從地出發駕車駛往地，乙從地出發駕車駛向地．在行駛過程中，乙由于汽車故障，換乘客車（換乘時間忽略不計）繼續前行，并與甲同時到達地．圖2中線段和折線段分別表示甲、乙兩人與地的距離與甲行駛的時間的變化關系，其中與交于點．
(1)在圖2中表示的變量是______，因變量是______；
(2)乙比甲晚出發______，兩地相距______；
(3)請直接寫出甲的速度為______；
(4)______，______；
(5)在圖2中點表示的含義是______；
(6)請直接寫出當______時，甲、乙相距．
《第六章變量之間的關系》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A B D D B C D
題號 11
答案 D
1．D
【分析】根據常量、變量的定義結合具體問題情境進行判斷即可．
【詳解】解：某輛速度為的車從甲地開往相距的乙地，全程所用的時間為，在這個變化過程中，
速度為與所用的時間為是變量，甲乙兩地的距離是常量，
故選：D．
【點睛】本題考查常量與變量，理解常量與變量的定義是正確判斷的前提．常量就是在變化過程中不變的量，變量就是可以取到不同數值的量．
2．D
【分析】根據表可以得到增加1，則對應的C增加，據此即可求解．
【詳解】解：根據表可以得到增加1，則對應的C增加，則C與P之間的關系式為．
故選：D
【點睛】此題考查了函數關系式，找到規律“增加1，則對應的C增加”是解題的關鍵．
3．D
【分析】本題主要考查了函數的表示法，分析表格中的數據得出x每增加10，y增加5，從表格中的數據得出規律，求出函數解析式即可．
【詳解】解：由表格中的數據可知，當x每增加10，y增加5，
∵，
，
，
，
，
∴．
故選：D．
4．A
【分析】根據表格中、、和時，的值進行歸納類推即可得．
【詳解】解：由表格可知，當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
所以收入與銷售數量之間的關系式可表示為，即，
故選：A．
【點睛】本題考查了用表格表示變量間的關系、用關系式表示變量間的關系，正確觀察出表格中列出的兩個變量的對應值之間的關系是解題關鍵．
5．B
【分析】根據速度＝路程÷時間結合圖象可求出甲、乙的平均速度；根據時甲的路程沒有改變可知此時甲在休息，然后可得休息的時間；甲、乙圖象交點的橫坐標即是兩人相遇的時間，問題得解．
【詳解】解：A. 甲的平均速度為，說法錯誤，不符合題意；
B. 乙的平均速度為，說法正確，符合題意；
C. 甲休息了，說法錯誤，不符合題意；
D. 由函數圖象得，出發時兩人相遇，說法錯誤，不符合題意，
故選：B．
【點睛】本題考查了從圖象獲取信息的能力，正確理解橫縱坐標所表示的意義是解題的關鍵．
6．D
【分析】本題主要考查了折線統計圖，根據容器的形狀，判斷出水面升高的高度隨時間變化的規律，逐項進行判斷即可．
【詳解】解：AC．因為水流速度相同，A選項中容器的底面積較小，C選項中容器的底面積較大，所以向A容器中注水時，高度隨時間變化的較快，向A容器中注水時，高度隨時間變化的較慢，故AC錯誤；
B．因為容器越向上橫截面積越小，所以高度隨時間變化的越來越快，故B錯誤；
D．因為容器越向上橫截面積越大，所以高度隨時間變化的越來越慢，故D正確．
故選：D．
7．D
【分析】本題考查了變量、自變量、因變量的概念，認真審題能從題目中抽取出有效信息是解題的關鍵．彈簧長度隨所掛物體的重量的變化而變化，由表格數據可知物體每增加，彈簧長度就增加，可以計算當所掛物體為或時彈簧的長度，但應注意彈簧的最大長度為．
【詳解】解：A．因為彈簧長度隨所掛物體的重量的變化而變化，所以x是自變量，y是因變量．故本選項正確，不符合題意；
B．當所掛物體為時，彈簧的長度為．故本選項正確，不符合題意；
C．從表格數據中分析可知，物體每增加，彈簧長度就增加．故本選項正確，不符合題意；
D．當所掛物體為時，彈簧長度為．故本選項不正確，符合題意．
故選：D．
8．B
【分析】本題考查了用表格表示函數關系，根據表格可知，指距每增加身高就增加，據此列式計算即可求出答案．
【詳解】解：根據表格可知，指距每增加身高就增加，
，
即世界上被證實最高的人的身高是厘米，則他的指距約為，
故選：B．
9．C
【分析】本題主要考查了函數的表示方法和有理數的混合運算．根據圖表里的信息，以及聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關系逐一判斷即可．
【詳解】解：A. 在這個變化過程中，自變量是溫度，因變量是聲速，正確，此選項不符合題意；
B.根據數據表可知，在一定范圍內，溫度越高，聲速越快，正確，此選項不符合題意；
C、，當空氣溫度為時，聲音可以傳播，故選項不符合題意；
D、∵，，，，，
∴當溫度每升高，聲速增加，正確，此選項不符合題意；
故選：C．
10．D
【分析】根據圖表數據可得，彈簧的長度隨所掛重物的質量的變化而變化，并且質量每增加1千克，彈簧的長度增加0.5cm，先求出一次函數的解析式，然后對各選項分析判斷后利用排除法．
【詳解】解：A、x，y都是變量，y是x的一次函數；故A錯誤；
設一次函數的解析式為，結合表格的數據可得：
，解得，
∴；
B、當所掛物體的質量為10kg時，彈簧長度是cm；故B錯誤；
C、物體質量4 kg時彈簧長度是cm；
物體質量7kg時，彈簧的長度是cm，
∴增加了cm；故C錯誤；
D、彈簧不掛物體時的長度是10cm，故D正確；
故選：D
【點睛】本題考查了求一次函數的解析式，函數關系的確認，常量與變量的確定，讀懂圖表數據，并從表格數據得出正確結論是解題的關鍵，是基礎題，難度不大．
11．D
【分析】本題考查了函數的關系式，審題是解題的關鍵．
根據3以下（含3）收費8元，3以上每增加1米收費1.8元，列出關系式即可．
【詳解】解：由題意得，所付車費為：，
即．
故選：D．
12．
【分析】本題主要考查函數關系式．根據路程速度時間，即可得出答案．
【詳解】解：由題意得．
故答案為：．
13．95度
【分析】本題考查了函數關系式，發現表格中兩個變量對應值的變化規律是解題的關鍵．根據表格中兩個變量變化關系可知，海拔每增加，沸點就降低1度，由此得解．
【詳解】解：由表格中兩個變量對應值的變化規律可知，海拔每增加，沸點就降低1度，
即，
當，地水的沸點（度．
故答案為：95度．
14．②
【分析】本題考查求函數關系式，根據表格即可得到，關系即可得到答案；
【詳解】解：由表格可得，
∵，，，，
∴，
故答案為：②．
15．－125
【分析】根據表格中兩個變量對應值的變化規律得出答案．
【詳解】解：由表格中兩個變量對應值的變化規律可知，y＝x3，
當x＝﹣5時，y＝（﹣5）3＝﹣125，
故答案為：﹣125．
【點睛】本題考查了用表格表示變量間的關系，發現表格中兩個變量對應值的變化規律是解題的關鍵．
16．
【分析】本題考查了三角形的內角和定理、等腰三角形的性質、利用關系式表示函數關系，熟練掌握三角形的內角和定理和等腰三角形的性質是解題關鍵．先根據三角形的內角和定理可得，再根據等腰三角形的性質可得的取值范圍，由此即可得．
【詳解】解：由題意得：，
則，
∵等腰三角形的底角為，
∴，
所以與的關系式為，
故答案為：．
17．(1)y是關于x的函數，理由見詳解
(2)①2元；②當x=2750時，函數值y=－500，實際意義是：月乘車人數為2750人時，公交車本月虧損500元．
【分析】（1）根據函數的定義：在一個變化過程中，因變量隨著自變量的變化而變化，對于每一個確定的自變量都有唯一確定的因變量與之對應，進行解答即可；
（2）結合表格進行解答即可．
【詳解】（1）解：根據函數的定義可知：y是關于x的函數．
（2）解：①由題意得：
公交車票價：6000÷3000=2(元)．
②當x=2750時，函數值y=－500，
實際意義是：月乘車人數為2750人時，公交車本月虧損500元．
【點睛】本題考查函數的定義，以及用表格法表示函數．理解函數的定義是解題的關鍵．
18．(1)
(2)當x每增加時，y增加
(3)當時，，此時y表示的是的面積
【分析】本題主要考查了列函數關系式，求函數值：
（1）根據梯形面積計算公式求解即可；
（2）根據（1）所求求出當時，當時的函數值即可得到答案；
（3）根據（1）所求求出當時的值，根據可得點A和點D重合，則此時y表示的是的面積．
【詳解】（1）解：由題意得：；
（2）解：當時，，
當時，，
∵，
∴當x每增加時，y增加；
（3）解：當時，，此時y表示的是的面積．
19．(1)4，45
(2)汽車在行駛途中，在分鐘這個時間段停車休息，休息了6分鐘
(3)見解析
【分析】（1）直接由圖象知汽車在段勻速行駛，進而可得結論；
（2）直接由圖知，汽車在段的速度為0，進而可求解；
（3）根據題中描述補畫圖象即可．
【詳解】（1）解：由圖知，汽車勻速行駛了（分鐘），時速是45千米/時，
故答案為：4，45；
（2）解：由圖可知，汽車在段的速度為0，所以汽車在行駛途中，在分鐘這個時間段停車休息，休息了（分鐘）．
（3）解：如圖所示：

【點睛】本題考查用圖象表示變量間的關系，理解題意，從圖象上獲取所需信息是解答的關鍵．
20．(1)水庫的庫容與平均水深之間的關系．
(2)10，40，75，150，250
(3)確定
(4)是
(5)當時的函數值為，表示的意義是：當水庫的平均水深為18m時，水庫的庫容是125萬．
【分析】（1）觀察水庫的庫容曲線圖，理解橫、縱坐標代表的實際意義，就可解答問題；
（2）從圖象可以讀出來即可；
（3）抓住函數的概念，就可以判斷出來；
（4）抓住函數的概念，就可以判斷出來；
（5）從圖象可以讀出來，還要結合橫、縱坐標代表的實際意義，即可解答．
【詳解】（1）根據圖像可知，這個函數反映了水庫的庫容與平均水深之間的關系．
（2）根據圖像可知，
5 10 15 20 25
V（萬） 10 40 75 150 250
故答案為：10，40，75，150，250；
（3）根據圖像可知，當平均水深取至之間的一個確定的值時，相應的庫容確定；
（4）根據函數圖像及函數定義可知，庫容V可以看成平均水深x的函數；
（5）根據圖像可知，當時的函數值為，
表示的意義是：當水庫的平均水深為18m時，水庫的庫容是125萬．
【點睛】本題考查的是由圖象反映的信息來解決的題目，解此類題的關鍵是理解點的橫坐標和縱坐標的實際意義，明確點的坐標與點的對應關系，培養觀察能力和分析問題的能力，體現了數形結合的思想，將“數”和“形”結合在一起研究、探索，從而解決問題．函數的三種表示形式是：列表法、圖象法、解析法．本題考查的是圖象法．
21．(1)
(2)她們各自買了10千克蘋果？各自花了元
【分析】本題主要考查了列函數關系式，一元一次方程的應用，
（1）分和，兩種情況根據所給蘋果價格方案列式求解即可；
（2）當時，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元，則在購買了蘋果的前提下，兩位阿姨的付款金額不可能相同，故，則，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：當時，；
當時，；
∴；
（2）解：當時，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元，
∴在購買了蘋果的前提下，兩位阿姨的付款金額不可能相同，
∴，
∴，
解得，
∴，
答：她們各自買了10千克蘋果？各自花了元．
22．（1）每月的乘車人數，每月利潤；（2）2000；（3）3000；（4）4500．
【分析】（1）直接利用常量與變量的定義分析即可得答案；
（2）直接利用表中數據分析得出答案；
（3）利用由表中數據可知，每月的乘車人數每增加500人，每月的利潤可增加1000元，進而得出答案；
（4）由（3）得出當利潤為5000元時乘客人數，即可得出答案．
【詳解】（1）在這個變化過程中，每月的乘車人數是自變量，每月利潤是因變量；
（2）∵觀察表中數據可知，當每月乘客量達到2000人以上時，每月利潤為0，
∴每月乘客量達到2000人以上時，該公交車才不會虧損；
（3）∵每月乘客量增加500人時，每月利潤增加1000元，
∴當每月乘車人數為3500人時，每月利潤為3000元；
（4）∵每月乘客量增加500人時，每月利潤增加1000元，
∴若5月份想獲得利潤5000元，5月份的乘客量需達4500人．
【點睛】本題主要考查了常量與變量以及函數的表示方法，正確把握函數的定義是解題關鍵．
23．(1)甲行駛的時間；甲、乙兩人與地的距離
(2)
(3)
(4)
(5)乙出發后(或甲出發后)兩人相遇，相遇地點距地
(6)或或14
【分析】本題考查了函數的圖象，從圖象上獲取信息，求出甲乙兩人的速度是正確解答的關鍵．
（1）根據函數的定義解答即可；
（2）由圖象可得乙比甲晚出發兩地相距(千米)；
（3）根據點的坐標可求出甲，乙兩人的駕車速度；
（4）根據兩車的速度可得答案；
（5）根據點的坐標解答即可；
（6）分兩種情況，①時，②時，分別列方程求解即可．
【詳解】（1）解：在圖2中表示的自變量是甲行駛的時間，因變量是甲、乙兩人與地的距離；
故答案為：甲行駛的時間；甲、乙兩人與地的距離；
（2）解：由圖象可知，乙比甲晚出發的是兩地相距(千米)；
故答案為：；
（3）解：甲的駕車速度為：；
故答案為：；
（4）解：由題意可得，，
乙的駕車速度為：，
所以，
故答案為：；
（5）解：在圖2中點表示的含義是乙出發后(或甲出發后)兩人相遇，相遇地點距地；
故答案為：乙出發后(或甲出發后)兩人相遇，相遇地點距地；
（6）解：分兩種情況，①時，
，
解得：，
②時，
乙的速度為，
∴，
∴，
綜上，當或6.5或14時，甲，乙相距．
故答案為：或或14．
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