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第五章圖形的軸對稱
學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如下圖所示，四邊形與四邊形關(guān)于直線對稱，若點到直線的距離為，則的長度為（ ）
A． B． C． D．無法確定
2．下列英文字母中，經(jīng)軸對稱變換后形狀不發(fā)生變化的是（ ）
A． B． C． D．形狀都不變
3．若一個三角形是軸對稱圖形，且有一個角是60度，那么這個三角形是（ ）
A．等腰直角三角形 B．含有120度角的等腰三角形
C．等邊三角形 D．含有60度角的直角三角形
4．如圖，關(guān)于直線進行軸對稱變換后得到，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．
5．如圖，直線l是的垂直平分線，P，Q是直線l上兩點，則下列說法一定正確的是（　?。?br/>A．， B．
C．， D．
6．下面是常見的化學(xué)儀器簡易平面圖，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，在正十邊形中已有3個小三角形涂上陰影，請你再選擇一個三角形涂上陰影，使其陰影部分是軸對稱圖形，則一共有幾種涂法（ ）

A．1種 B．3種 C．5種 D．7種
8．如圖，在中，，垂足為，點是上一點，連接．下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如圖，點E是的中點，，，平分，下列結(jié)論：①；②；③；④．四個結(jié)論中成立的是（ ）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
10．下列說法中，正確的有（ ）
①P是線段上的一點，直線l經(jīng)過點P且，則l是線段的垂直平分線；
②直線l經(jīng)過線段的中點，則l是線段的垂直平分線；
③若，直線l經(jīng)過點P且垂直于線段，則l是線段的垂直平分線；
④經(jīng)過線段的中點P且與垂直的直線l是線段的垂直平分線．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
11．如圖，電信部門要在某區(qū)三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的中心圍成的區(qū)域內(nèi)修建一個電視信號發(fā)射塔，使得該發(fā)射塔到三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)中心三地的距離相等，以下選址正確的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如圖，AB∥CD，點E，P在直線AB上（P在E的右側(cè)），點G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動點，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點Q，且點Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個數(shù)是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空題
13．如果一個圖形是軸對稱圖形，那么連結(jié)對稱點的線段的 就是該圖形的對稱軸．
14．如圖，在中，，D是上一點，，E是上一點，，則為 度．
15．如圖是的正方形網(wǎng)格，要在圖中再給一個小正方形涂色，使得圖中涂色部分成為軸對稱圖形，這樣的小正方形有 個．
16．如圖，平分，，則圖中的全等三角形有 對．
17．如圖①是長方形紙帶，，將紙帶沿折疊成圖②，再沿折疊成圖③，則圖③中的的度數(shù)是 度．
三、解答題
18．作出下列軸對稱圖形的一條對稱軸．
19．如下圖，在中，和的平分線相交于點O，過點O作于點．若，求的面積．
20．如圖，平分，，求證：．
21．已知，分別是長方形紙條邊，上兩點，如圖1所示，沿，所在直線進行第一次折疊，點，的對應(yīng)點分別為點，，交于點．
(1)若，求的度數(shù)．
(2)如圖2，繼續(xù)沿進行第二次折疊，點，的對應(yīng)點分別為點，．
①若，求和的度數(shù)．
②若，請直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
22．如圖，和的頂點都在邊長為1的正方形網(wǎng)格線的交點上，且和關(guān)于直線成軸對稱．
(1)的面積為________；
(2)請在如圖所示的網(wǎng)格中作出對稱軸；
(3)請在線段的上方找一點（不與點重合），畫出，使．
23．如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，F(xiàn)E垂直平分AD，交AD于E，交BC的延長線于F，那么∠B與∠CAF相等嗎？為什么？
24．如圖1，已知中內(nèi)部的射線與的外角的平分線相交于點，若，．
(1)求證：平分；
(2)如圖2，點是射線上一點，垂直平分于點，于點，連接，若，，求．
《第五章圖形的軸對稱》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D C D B C A B
題號 11 12
答案 B A
1．A
【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
由軸對稱的性質(zhì)可知，點與點到直線的距離相等，于是得解．
【詳解】解：點與點是關(guān)于直線的對稱點，
兩點到直線的距離相等，
，
故選：．
2．B
【分析】此題考查了軸對稱， 把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形完全重合，稱這兩個圖形為軸對稱，據(jù)此判斷即可求解，掌握軸對稱的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：經(jīng)軸對稱變換后形狀不發(fā)生變化的是，
故選：．
3．C
【分析】三角形是軸對稱圖形，則該三角形是等腰三角形，根據(jù)有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即可作出判斷．
【詳解】解：因為三角形是軸對稱圖形，則該三角形是等腰三角形，
根據(jù)有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定方法，是需要熟記的內(nèi)容．
4．D
【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)等知識，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由軸對稱的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵關(guān)于直線進行軸對稱變換后得到，
∴，，垂直平分，，
故選項A、B、C正確；故選項D不一定正確．
故選：D．
5．C
【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可作出判斷．
【詳解】∵直線l是的垂直平分線，P，Q是直線l上兩點，
∴，．
故選：C．
6．D
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
B．不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．是軸對稱圖形，故本選項符合題意．
故選：D．
7．B
【分析】本題考查利用軸對稱設(shè)計圖案，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案．
【詳解】解：如圖所示，

一共有3種涂法，
故選：B．
8．C
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)等等腰三角形的三線合一得，，進而得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵在中，，
∴，，A、B正確，不符合題意；
∴是線段的垂直平分線，
∴，D正確，不符合題意；
在，是斜邊，是直角邊，，
∴C錯誤，符合題意．
故選：C．
9．A
【分析】過E作于F，可得，運用全等三角形的判定可得，再運用全等三角形的性質(zhì)可得，；運用點E是的中點即可判斷③是否正確；運用全等三角形的判定可得，再運用全等三角形的性質(zhì)即可判斷②④是否正確；運用即可判斷①是否正確
【詳解】解：過E作于F，如圖，

∵，平分，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，，
∵點E是的中點，
∴，
而，，故③錯誤；
在和中，，
∴，
∴，，，故②正確；
∴，故④正確；
∴，故①正確．
因此正確的有①②④，
故選：A．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．側(cè)重考查知識點的理解、應(yīng)用能力．學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)從以下3個方向（【邏輯推理】【直觀想象】【數(shù)學(xué)運算】）培養(yǎng)對知識點的理解、應(yīng)用能力．
10．B
【分析】本題主要考查了線段的垂直平分線的定義和判定定理，根據(jù)線段的垂直平分線的定義和判定定理：到線段的兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，即可判斷．
【詳解】解：①不是的中點，則不平分線段，故錯誤；
②直線經(jīng)過線段的中點，且垂直于則是線段的垂直平分線，故錯誤；
③若，直線l經(jīng)過點P且垂直于線段，則l是線段的垂直平分線，故正確；
④經(jīng)過線段的中點P且與垂直的直線l是線段的垂直平分線，故正確．
故選：B．
11．B
【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：發(fā)射塔到三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)中心三地的距離相等，
則，
∴點在線段、的垂直平分線上，
即線段、的垂直平分線的交點即為發(fā)射塔，
選項B符合題意．
故選：B．
12．A
【分析】①過點F作FH∥AB，利用平行線的性質(zhì)以及已知即可證明；
②利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；
③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；
④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明．
【詳解】解：①過點F作FH∥AB，如圖：
∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，
∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，
∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，
∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；
②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，
∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，
∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，
∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，
即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，
∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，
∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，
∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF，
∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；
③∵∠MGF＝2∠CGF，
∴∠MGC＝3∠CGF，
∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°；
3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；
④∵∠MGF＝n∠CGF，
∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，
∵∠AEF+∠CGF=90°，
∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．
綜上，①②③④都正確，共4個，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識點，作輔助線求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此題的關(guān)鍵．
13．垂直平分線（或中垂線）
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的對稱軸的定義，即可求解．
【詳解】解：∵軸對稱圖形對稱點的連線被對稱軸垂直平分，
∴連結(jié)對稱點的線段的垂直平分線就是該圖形的對稱軸．
故答案為：垂直平分線（或中垂線）．
【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的對稱軸的定義，理解并掌握對稱軸的定義——連結(jié)對稱點的線段的垂直平分線就是該圖形的對稱軸是解題的關(guān)鍵．
14．
【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，∠AED＝∠EDC＋∠C，∠ADC＝∠B＋∠BAD，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，代入數(shù)據(jù)計算即可求出∠BAD的度數(shù)．
【詳解】解：由三角外角的性質(zhì)得∠AED＝∠EDC＋∠C，∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＋∠BAD＝∠EDC＋∠C＋∠EDC，
即∠BAD＝2∠EDC，
∵∠BAD＝40°，
∴∠EDC＝20°．
故答案為：20°．
【點睛】此題考查的知識點是等腰三角形的性質(zhì)，利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．5
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的設(shè)計，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，據(jù)此畫圖求解即可．
【詳解】解：由軸對稱圖形的定義可涉及圖形如下：
∴一共有五個小正方形滿足題意，
故答案為：5．
16．5
【分析】由平分推出，從而證明出，得到，，從而證明出，得到，從而證明出，得到，從而證明出，得到，從而證明出，即可得到答案．
【詳解】解：平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
全等三角形共有5對，
故答案為：5．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定定理有，全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．
17．
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DEF=∠EFB，圖2中根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)得出∠EFB的度數(shù)，從而求得∠GFC的度數(shù)，圖3中根據(jù)∠CFE=∠GFC-∠EFB，再由∠CFG＝∠CFE+∠EFB即可得出結(jié)論．
【詳解】∵AD//BC，，
∴∠EFB，
在圖②中，∠CFG＝180゜－2∠EFB=180゜，
在圖③中，∠CFE=∠GFC-∠EFB＝180゜，
又∵在圖③中，∠CFG＝∠CFE+∠EFB，
∴∠CFG＝180゜+∠＝．
故答案為：．
【點睛】考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變．
18．
【分析】本題考查了畫對稱軸，根據(jù)軸對稱圖形的特征，作一個圖形的對稱軸時，可連結(jié)兩個對稱點，對稱軸就是對稱點連線的垂直平分線，解決本題的關(guān)鍵是熟記軸對稱圖形的定義．
依據(jù)軸對稱圖形的概念，即在平面內(nèi)，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是其對稱軸，據(jù)此即可解答．
【詳解】解：如圖所示，
．
19．
【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，過點O分別作于點M，作于點N，連接，根據(jù)角平分線性質(zhì)，得出，根據(jù)求出結(jié)果即可．
【詳解】解：如圖，過點O分別作于點M，作于點N，連接，如圖所示：
因為和的平分線分別是，
所以，
因為，
所以．
20．見解析
【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠1=∠B，兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠2=∠C，再根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，故可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵AE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵AE平分∠DAC，
∴∠1=∠2，
∴∠B=∠C．
【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等是解答此題的關(guān)鍵．
21．(1)
(2)①，；②
【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，利用圖形翻折性質(zhì)及平行線的性質(zhì)準(zhǔn)確的找出相關(guān)的角的關(guān)系．
（1）利用翻折變換的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求得答案；
（2）①根據(jù)平行線性質(zhì)可得，由平角定義可得，再利用翻折變換的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)即可求得答案．
②由平行線性質(zhì)可得，由翻折得，推出，根據(jù)翻折得出，結(jié)合已知，聯(lián)立求得，再由平行線性質(zhì)即可求得答案．
【詳解】（1）解：如圖1，由翻折的性質(zhì)得：，
．
四邊形是長方形，
，，
，，
．
（2）解：①如圖2，，
，
，
．
由翻折的性質(zhì)得：，
，
．
繼續(xù)沿進行第二次折疊，
，
．
②如圖3，
，
．
由翻折得，
，
．
繼續(xù)沿進行第二次折疊，
，
．
，
，
，
．
，
．
22．(1)
(2)圖見解析
(3)圖見解析
【分析】（1）利用割補法求解即可；
（2）在如圖所示的網(wǎng)格中作出對稱軸即可；
（3）在線段的上方找一點（不與點重合），畫出，使即可．
【詳解】（1）解：，
故答案為：；
（2）解：如圖，直線即為所求作；
（3）解：如圖，即為所求作．
【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式，畫對稱軸，三角形全等的判定，畫出直線、射線、線段等知識點，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)及全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
23．∠B=∠CAF，理由見解析
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到FA=FD，得到∠FAD=∠FDA，根據(jù)角平分線的定義、三角形的外角的性質(zhì)解答．
【詳解】解：∠B=∠CAF，
理由如下：∵FE垂直平分AD，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD為∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠CAF．
【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
24．(1)證明過程見詳解
(2)1
【分析】（1）由外角的性質(zhì)可得，，可得結(jié)論；
（2）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖1，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
（2）如圖2，連接，過點作于，
由（1）可知平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
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