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第十九章矩形、菱形與正方形
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．中國結寓意團圓、美滿，以獨特的東方神韻體現中國人民的智慧和深厚的文化底蘊，小陶家有一個菱形中國結裝飾．測得．則該菱形的面積為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，矩形中，對角線交于點．，則的長為（ ）
A．4 B．8 C． D．10
3．下列選項中能使成為菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如圖，在菱形中，，菱形的面積為，則其邊長為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，已知正方形中，點E，F分別在邊，上，連接，．若，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，再以CF為邊作第3個正方形FCGH，…，按照這樣的規律作下去，第6個正方形的邊長為（　　）

A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6
7．如圖，在中，點是的中點，點、分別在線段及其延長線上，且．下列條件使四邊形為菱形的是（ ）
A．BE⊥CE B．BF // CE C．BE=CF D．AB=AC
8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M為BC中點，連接AM，過D作DE⊥AM于E，則DE的長度為( )
A．2 B． C．3 D．
9．如圖，在菱形ABCD中，AB=13，對角線BD=24，若過點C作CE⊥AB，垂足為E，則CE的長為（ ）
A． B．10 C．12 D．
10．矩形具有的性質是（ ）
A．對角線互相垂直 B．對角線相等
C．一條對角線平分一組對角 D．面積等于兩條對角線乘積的一半
11．如圖，在長方形中，，對角線，平分交于點E，是線段上的點，連接，過點C作交的延長線于點P，當為等腰三角形時，（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
12．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AE、DF分別是∠OAD與∠ODC的角平分線，AE的延長線與DF相交于點G，則下列結論中，不正確的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
13．我們知道，在圖形從一般向特殊變化的過程中，它的組成元索及相關元素之間的關系也越來越特殊.下面是小穎從“對角線”的角度對平行四邊形矩形、菱形、正方形之間關系的梳理，圖中“▲”處應填寫的內容是

14．如圖所示，正方形的邊長為4，以為邊作等邊三角形，，若正方形的對角線上有一動點M，則周長的最小值是 ．
15．如圖，四邊形OABC為矩形，點A，C分別在x軸和y軸上，連接AC，點B的坐標為（4，3），∠CAO的平分線與y軸相交于點D，則點D的坐標為 ．
16．如圖，正方形ABCD中，AB=2，點E為BC邊上的一個動點，連接AE，作∠EAF=45°，交CD邊于點F，連接EF.若設BE=x，則△CEF的周長為 .
17．如圖，□的四個內角的平分線相交，如能構成四邊形，則這個四邊形是 ．
三、解答題
18．小穎在商店里看到一塊漂亮的方紗巾，非常想買，但當她拿起來時，又感覺紗巾不太方．商店老板看她猶豫的樣子，馬上過來將紗中沿對角線對折，讓小穎檢驗（如圖）．小穎還是有些疑惑，老板又將紗巾沿另一條對角線對折，讓小穎檢驗．小穎發現這兩次對折后兩個對角都能對齊，終于下決心買下這塊紗巾．你認為小穎買的這塊紗巾一定是正方形嗎？你認為用什么方法可以檢驗紗巾是不是正方形？
19．如圖，已知平行四邊形ABCD中，M，N是BD上的兩點，且，．
(1)求證：四邊形AMCN是矩形；
(2)若，，AB⊥AC，求四邊形ABCD的面積．
20．如圖，矩形中，對角線，相交于點O，，．
(1)求對角線長；
(2)求的長；
(3)求矩形面積．
21．在矩形中，點是上一點，，，，垂足為F．
(1)求證：．
(2)若，，求四邊形的面積．
22．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，且與AD邊相交于點E，∠AEB＝45°．
(1)求證：平行四邊形ABCD是矩形；
(2)連接CE，若CE，DE＝1，求AD的長．
23．如圖，在中，為對角線，于點，交于點，交于點，連接，．請你探究當點滿足什么條件時，四邊形是菱形，并說明理由．
24．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別在邊AB，CD上，且四邊形BEDF為正方形．
(1)求證；
(2)已知平行四邊形ABCD的面積為，．求的長．
《第十九章矩形、菱形與正方形》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A B C D B A B
題號 11 12
答案 B D
1．A
【分析】本題考查菱形的性質，菱形的面積，熟練運用菱形的面積公式是解題的關鍵．
根據菱形的面積為對角線乘積的一半即可．
【詳解】四邊形是菱形，
，
，
，
故選：A．
2．B
【分析】本題考查了矩形的性質：矩形的對角線相等；利用此性質即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴；
故選：B．
3．B
【分析】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質；熟練掌握菱形的判定和矩形的判定是解題的關鍵．由菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質分別對各個選項進行判斷即可．
【詳解】解：如圖，
A、∵四邊形是平行四邊形，
∴，故選項A不符合題意；
B、∵四邊形是平行四邊形，，
∴為菱形，故選項B符合題意；
C、∵四邊形是平行四邊形，，
∴為矩形，故選項C不符合題意；
D、∵四邊形是平行四邊形，，
∴為矩形，故選項D不符合題意；
故選：B．
4．A
【分析】本題考查了菱形面積的計算公式，勾股定理；根據菱形的面積和可以計算的長，在中，已知、根據勾股定理即可求得的值，即可解題．
【詳解】解：菱形的面積，，，
，
，，
在中，
，
菱形的邊長為，
故選：A．
5．B
【分析】連接作關于的對稱點，連接，則，證明，可得，根據，勾股定理即可求得，即的最小值．
【詳解】如圖，連接作關于的對稱點，則，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
，
的最小值為的長，
，
，
中
，
，
的最小值為
故選B
【點睛】本題考查了正方形的性質，線段和最值問題，添加輔助線將轉化為是解題的關鍵．
6．C
【分析】根據勾股定理得出正方形的對角線是邊長的，第1個正方形的邊長為1，其對角線長為；第2個正方形的邊長為，其對角線長為；第3個正方形的邊長為，其對角線長為； ；第n個正方形的邊長為．所以，第6個正方形的邊長．
【詳解】解：由題知，第1個正方形的邊長，
根據勾股定理得，第2個正方形的邊長，
根據勾股定理得，第3個正方形的邊長，
根據勾股定理得，第4個正方形的邊長，
根據勾股定理得，第5個正方形的邊長，
根據勾股定理得，第6個正方形的邊長．
故選：C．
【點睛】本題主要考查勾股定理，根據勾股定理找到正方形邊長之間的倍關系是解題的關鍵．
7．D
【詳解】試題解析：條件是AB=AC，
理由是：∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴EF⊥BC，BD=DC，
∵DE=DF，
∴四邊形BECF是平行四邊形，
∵EF⊥BC，
∴四邊形BECF是菱形，
選項A、B、C的條件都不能推出四邊形BECF是菱形，
即只有選項D正確，選項A、B、C都錯誤；
故選D．
考點：菱形的判定．
8．B
【詳解】連接DM，
則△ADM的面積為3，根據中點的性質可得：BM=1.5，在Rt△ABM中，根據勾股定理可得：AM=2.5，則根據等面積法可得：DE=3×2÷2.5=.
故選B.
9．A
【詳解】試題分析：連接AC交BD于O，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD=12，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，
∴OA==5，∴AC=10，∵菱形的面積=AB CE=AC BD，
即13×CE=×10×24，解得：CE=．故選A．
考點：菱形的性質．
10．B
【分析】根據矩形的性質即可判斷；
【詳解】根據矩形的對角線相等，可知選項B正確，
故選B．
【點睛】考查矩形的性質、解題的關鍵是記住矩形的性質：①平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等； ⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．
11．B
【分析】根據矩形的性質得到，，，根據勾股定理得到的長，求得，過Q作于H，根據等腰直角三角形的性質得到，根據全等三角形的性質得到，于是得到問題答案．
【詳解】∵四邊形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
過Q作于H，

∴，
∵平分交于點E，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵為等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等知識點，熟練掌握其性質的綜合應用是解題的關鍵．
12．D
【分析】A證明∠DAE=∠CDF，進而得∠DAF+∠ADG=90°，便可判斷正誤；B證明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF，得ED=EF，得∠EFD=∠EDF=∠CDF，得EFCD，便可判斷正誤；C由△AGF≌△AGD得AF=AD，便可判斷正誤；D證明EF=ED=，由平行于三角形一邊的直線所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例便可得AB與EF的數量關系，進而判斷正誤．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠CAD=∠BDC=45°，
∵AE，DF分別是∠OAD與∠ODC的平分線，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠DAF+∠ADG=90°，
∴∠AGD=90°，即AG⊥DF，
故A結論正確；
在△AGF和△AGD中，
，
∴△AGF≌△AGD（ASA），
∴GF=GD，
∵AG⊥DF，
∴EF=ED，
∴∠EFD=∠EDF=∠CDF，
∴EFCDAB，
故B正確；
∵△AGF≌△AGD（ASA），
∴AD=AF=AB，故C正確；
∵EFAB，
∴∠OEF=∠ABO=45°，
∵∠AOB=∠EOF=90°，
∴EF=ED=OE，
∴，
∴OB=（1+）OE，
故D錯誤．
故選：D
【點睛】本題考查了正方形的性質，直角三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，角平分線的性質，平行線的性質與判定，涉及的知識點多，關系復雜，增加了解題的難度，關鍵是靈活運用這些知識解題．
13．對角線互相垂直且相等
【分析】本題考查了正方形的判斷方法，根據圖形即可得到答案，熟記正方形的判斷方法是解題的關鍵．
【詳解】解：由圖可得，對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，
故答案為：對角線互相垂直且相等．
14．
【分析】本題考查正方形的性質，等邊三角形的性質及軸對稱最短距離和問題，根據等邊三角形及正方形得到及當A，M，E三點共線時，取得最小值代入求解即可得到答案；
【詳解】∵為等邊三角形，
∴，
連接，
∵，又長為定值，
∴周長的最小值在最小時取得，
又∵正方形的對角線所在的直線是它的一條對稱軸，
∴點A與點C關于對稱，
∴，
故，
∴當A，M，E三點共線時，取得最小值，時，，
∴周長的最小值為．
故答案為：
15．（0，）
【詳解】解：過D作DE⊥AC于E，
∵四邊形ABCO是矩形，B（4，3），
∴OC=AB=3，OA=BC=4，∠COA=90°，
∵AD平分∠OAC，
∴OD=DE，
由勾股定理得：OA2=AD2﹣OD2，AE2=AD2﹣DE2，
∴OA=AE=4，
由勾股定理得：AC=5，
在Rt△DEC中，DE2+EC2=CD2，
即OD2+（5﹣4）2=（3﹣OD）2，
解得：OD=，
所以D的坐標為（0，）．
考點：矩形的性質；坐標與圖形性質．
16．4
【分析】先根據正方形的性質得，，把繞點順時針旋轉可得到，接著利用“”證明，得到，然后利用三角形周長的定義得到的周長，由此即可解決問題.
【詳解】
四邊形為正方形，
，，
把繞點順時針旋轉可得到，
，，，，
點在的延長線上，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
而，
，
的周長.
故答案為：.
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、正方形的性質等知識，解題的關鍵是利用旋轉添加輔助線構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.
17．矩形
【分析】本題考查平行四邊形的性質和矩形的判定．利用平行四邊形的性質得出即可證明四邊形是矩形．
【詳解】∵四邊形是平行四邊形，
∴
∴．
∵分別平分，
∴，即．
同理可證，
∴四邊形是矩形．
故答案為：矩形．
18．不一定，如要判斷這塊紗巾是否為正方形，還需要檢驗對角線是否相等．
【分析】根據正方形的判定定理求解即可．正方形的判定定理：1.對角線相等的菱形是正方形；2.對角線垂直的矩形是正方形；3.有一個角是直角的菱形是正方形．
【詳解】不能認為小穎買的這塊紗巾一定是正方形．
∵菱形也滿足要求，如要判斷這塊紗巾是否為正方形，還需要檢驗對角線是否相等．
【點睛】此題考查了正方形的判定定理，解題的關鍵是熟練掌握正方形的判定定理．正方形的判定定理：1.對角線相等的菱形是正方形；2.對角線垂直的矩形是正方形；3.有一個角是直角的菱形是正方形．
19．(1)見解析
(2)四邊形ABCD的面積為
【分析】（1）先證明，，再證明，證明四邊形AMCN是平行四邊形， 再證明，從而可得結論；
（2）證明，，再利用四邊形ABCD的面積公式進行計算即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，
∵對角線BD上的兩點M、N滿足，
∴，即，
∴四邊形AMCN是平行四邊形，∴，
∵，∴，
∴四邊形AMCN是矩形
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，∴，
∵AB⊥AC，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
∴四邊形ABCD的面積為．
【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質，矩形的判定與性質，熟練的運用矩形的判定定理解決問題是關鍵．
20．(1)12
(2)
(3)
【分析】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理等知識，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
（1）根據矩形的性質先得出，進而得出是等邊三角形，即可得出答案；
（2）根據勾股定理即可得出答案；
（3）根據矩形的面積公式即可得出答案．
【詳解】（1）解：四邊形是矩形，
，，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
矩形對角線．
（2）解：在中，，，由勾股定理，得．
（3）解：矩形的面積．
21．(1)見解析
(2)3
【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，證明三角形全等是解題的關鍵．
（1）由“”可證，可得；
（2）由勾股定理可求，由面積和差關系可求解．
【詳解】（1）證明：在矩形中，，，，
．
，
．
在和中，
，
；
，
；
（2）解：，
，
，
，
四邊形的面積．
22．(1)證明見解析；
(2)3
【分析】（1）根據角平分線及平行四邊形的性質得出∠ABC=90°，利用矩形的判定定理即可證明；
（2）連接CE，由勾股定理及等角對等邊得出AB=AE=2，結合圖形即可得出結果．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，∠AEB=45°，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∴∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD為矩形；
（2）解：連接CE，
∵，DE=1，
∴，
∴AB=2，
由（1）可知∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE=2，
∴AD=2+1=3．
【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質及矩形的判定，角平分線的定義，勾股定理解三角形及等角對等邊等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．
23．當點是的中點時，四邊形是菱形．理由見解析.
【分析】當O是AC的中點時，四邊形AFCE是菱形；根據平行四邊形性質推出AD∥BC，根據全等三角形的判定和性質求出OE=OF，推出平行四邊形AFCE，根據菱形的判定推出即可．
【詳解】解：當點是的中點時，四邊形是菱形．
理由如下：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，．
∵是的中點，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴平行四邊形是菱形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，菱形的判定等知識點的運用，關鍵是根據題意推出OE=OF，題目比較典型．
24．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）直接根據已知條件證明和全等即可得出答案．
（2）由平行四邊形的面積公式求出，然后即可得出答案．
【詳解】（1）四邊形是正方形，是平行四邊形，
，，，
在和中，
，
，
；
（2）由題意可知：，
，
，
，，
由（1）得．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質、正方形的性質及三角形全等的判定，解題的關鍵是熟練掌握相關性質并能靈活運用．
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