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第十八章平行四邊形
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如圖，點O是 ABCD的對稱中心，EF是過點O的任意一條直線，它將平行四邊形分成兩部分，四邊形ABFE和四邊形EFCD的面積分別記為S1，S2，那么S1，S2之間的關系為（ ）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．無法確定
2．在中，對角線與相交于點，若，，則的長是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．在ABCD中，∠A-∠B=20°，則∠B的度數為（ ）
A．80° B．60° C．100° D．120°
4．如圖，將線段AB沿箭頭方向平移2 cm得到線段CD，若AB＝3 cm，則四邊形ABDC的周長為( )
A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．20 cm
5．在中，對角線相交于點O，，則邊的長度x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．平行四邊形中兩個內角的度數比是，則其中較小的內角是（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，在中，，，平分，交邊于點E，則線段的長度分別是（ ）
A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
8．如圖，已知的頂點，，點B在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB、AD于點E、F，再分別以點E、F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，作射線CM交邊CD于點G．則G的坐標為( )
A． B． C． D．
9．如圖，△ABC的面積為16，點D是BC邊上一點，且BD＝BC，點G是AB邊上一點，點H在△ABC內部，BD∥GH，且BD＝GH.則圖中陰影部分的面積是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如圖，的頂點，點B在第二象限，將繞點O順時針旋轉得到，當點A的對應點落在x軸正半軸上時，點B的對應點恰好落在的延長線上，則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
11．下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12．如圖，折疊ABCD，使折痕經過點B，交AD邊于點E，點C落在BA延長線上的點G處，點D落在點H處，得到四邊形AEHG．若ABCD的面積是8，則下列結論中正確的是（ ）
A．四邊形AEHG不是平行四邊形
B．AB≠AE
C．設四邊形AEHG的面積為y，四邊形BCDE的面積為x，則y與x的函數關系式是
D．若BC=4，則點E到BG的距離為1
二、填空題
13．在平行四邊形中，若，則 ．
14．的周長是30，、相交于點O，的周長比的周長大3，則 ．
15．已知點O是平行四邊形ABCD對角線的交點,則下圖中關于點O對稱的三角形有 對；
16．如圖，在△ABC中，點O是AC的中點，△CDA與△ABC關于點O中心對稱，若AB=6，∠BAC=40°，則CD的長度為 ，∠ACD的度數為 °．
17．如圖所示，平行四邊形ABCD中，點A，B在x軸上，點D在y軸上，若，，點A的坐標為，則點C的坐標是 .
三、解答題
18．已知平行四邊形一個內角的度數，能確定其他內角的度數嗎？說說你的理由．
19．如圖，與有什么關系？線段與線段呢？為什么？
20．已知：在四邊形中，，且．
求證：四邊形為平行四邊形．
21．如圖，在ABCD中，F是AD的中點，延長BC到點E，使CE=BC，連結DE，CF．
（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的長．
22．如圖， ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC⊥AB，AB＝2，且AO∶BO＝2∶3.
(1)求AC的長；
(2)求 ABCD的面積．
23．如圖，在四邊形中，
(1)證明：四邊形是平行四邊形；
(2)當時，求四邊形的面積．
24．如圖，在 中，，是AB，上的點，且，求證：四邊形是平行四邊形．
《第十八章平行四邊形》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B B B B D B A
題號 11 12
答案 A C
1．C
【分析】根據已知可得S△BOF=S△DOE，再由對角線的性質可得，即可得出，由此可知．
【詳解】點O是 ABCD的對稱中心
OB=OD，AD∥BC
∠ADB=∠CBD
在△BOF和△DOE中
△BOF△DOE
S△BOF=S△DOE
BD是 ABCD的對角線
故選：C．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的突破口是由對角線的性質得出．
2．C
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，解題的關鍵是熟知平行四邊形的對角線互相平分．
根據平行四邊形的對角線互相平分即可判斷．
【詳解】如圖，
∵四邊形是平行四邊形，
∴對角線與互相平分，
∴，
又∵，
∴，
故選：C．
3．A
【詳解】試題分析：根據平行四邊形的性質可得∠A+∠B=180°，再由∠A-∠B=20°即可得到結果．
∵ABCD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A-∠B=20°，
∴∠B=80°，
故選A.
考點：本題考查的是平行四邊形的性質
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的鄰角互補．
4．B
【分析】根據平移證明四邊形ABDC為平行四邊形，利用平行四邊形周長=（長+寬）×2計算即可
【詳解】解：根據平移，AB∥CD，并且AB=CD，
∴四邊形ABDC為平行四邊形，
∴(3+2) cm，
故選：B．
【點睛】本題考查平移性質，平行四邊形判定，線段和差．
5．B
【分析】此題考查了平行四邊形的性質，三角形三邊的關系．熟練掌握平行四邊形的對角線互相平分是解答本題的關鍵．根據平行四邊形的性質，可求得與的長，然后由三角形三邊關系可求得x的取值范圍．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，
， ，
∴邊的長度x的取值范圍是：，即，
故選：．
6．B
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，設平行四邊形的內角為，根據平行四邊形的性質可知，求出解即可．
【詳解】解：設平行四邊形的內角為，根據題意，得
，
解得，
所以其中較小的內角是．
故選：B．
7．B
【分析】本題主要考查了角平分線、平行四邊形的性質及等腰三角形的判定，根據已知得出∠BAE=∠AEB是解決問題的關鍵．
先根據角平分線及平行線的性質得出，再由等角對等邊得出，從而求出的長．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
8．D
【分析】先根據平行四邊形的性質和角平分線的作圖方法證得AD=DG，結合坐標與圖形性質求得OA、OD，再根據勾股定理求得AD即可求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴∠DGA=∠BAG，
由作圖過程知，AM平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴DG=AD，
∵，，
∴OA=6，D（0,8）即OD=8，
∴在Rt△AOD中，AD==10，
∴DG=10，
∴G的坐標為（10，8），
故選：D．
【點睛】本題考查尺規作圖-作角平分線、平行四邊形的性質、平行線的性質、等角對等邊、勾股定理、坐標與圖形，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵．
9．B
【詳解】試題分析：設△ABC底邊BC上的高為h，△AGH底邊GH上的高為h1，△CGH底邊GH上的高為h2，
則有h=h1+h2．所以S△ABC=BC h=16，S陰影=S△AGH+S△CGH=GH h1+GH h2=GH （h1+h2）=GH h．因為四邊形BDHG是平行四邊形，且BD=BC，可得GH=BD=BC，所以S陰影=×（BC h）=S△ABC=4．
故答案選B．
考點：三角形的面積公式；平行四邊形的性質.
10．A
【分析】由旋轉的性質得，由平行四邊形的性質得，，可證，過點作于點E，由三線合一的性質求出，由勾股定理求出，進而可求出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵將繞點O順時針旋轉得到，
∴，
∵四邊形和四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
過點作于點E，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查了旋轉的性質，平行四邊形的性質，三線合一的性質，勾股定理，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．
11．A
【分析】根據平行四邊形的判定方法逐個判斷即可解決問題．
【詳解】解：A、若AB＝CD，∠A＝∠B，不可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；
B、∵AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故B可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；
C、根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知C可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；
D、根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可知D可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；
故選A．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定，解題的關鍵是記住平行四邊形的判定方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
12．C
【分析】根據軸對稱、平行四邊形、等腰三角形的性質，得，，從而證明四邊形AEHG是平行四邊形；根據軸對稱和平行四邊形的性質，得；設點E到BG的距離為，結合根據軸對稱的性質分析，即可得到答案．
【詳解】解：∵折疊ABCD，使折痕經過點B，交AD邊于點E，點C落在BA延長線上的點G處，點D落在點H處，
∴，，，四邊形面積=四邊形面積
∵ABCD
∴，，
∴，
∴，
∴，即選項B不正確；
∴
∴四邊形AEHG是平行四邊形，即選項A不正確；
∴
∵四邊形面積=四邊形面積
∴四邊形面積=+四邊形AEHG面積
∵四邊形AEHG的面積為y，四邊形BCDE的面積為x，ABCD的面積是8
∴，即
∵點E在AD邊上
∴四邊形BCDE面積，即
∴，即選項C正確；
設點E到BG的距離為
∵四邊形面積
∴四邊形面積
∴，即
∴
∴，即點E到BG的距離為2
∴選項D不正確
故選：C．
【點睛】本題考查了一次函數、平行四邊形、等腰三角形、軸對稱的知識；解題的關鍵是熟練掌握軸對稱、平行四邊形的性質，從而完成求解．
13．30
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解此題的關鍵，根據平行四邊形對角相等可得．
【詳解】解：在平行四邊形中，若，則．
故答案為：30．
14．9
【分析】此題考查了平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等，對角線互相平分．解題時要注意利用方程思想與數形結合思想求解．由四邊形是平行四邊形，可得，，，；又由的周長比的周長大3，可得，又因為的周長是30，所以；解方程組即可求得．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，，
又∵的周長比的周長大3，
∴
∴，
又∵的周長是30，
∴，
∴．
故答案為：9．
15．四
【詳解】根據圖形可得有四對，它們是：
△ACD與△CAB；△AOB與△COD；△ABD與△CDB；△AOD與△COB．
故答案為：四．
16． 6 40．
【分析】由兩個三角形關于點O中心對稱可得AD=BC，AB=CD，則可證明四邊形ABCD為平行四邊形.
【詳解】解：由題意得AD=BC，AB=CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD=6，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA=40°.
故CD的長度為6，∠ACD的度數為40°．
【點睛】本題結合中心對稱考查了平行四邊形的判定及性質.
17．
【分析】可先解直角三角形AOD得出點D的縱坐標，即為點C的縱坐標，再由平行四邊形的對邊相等得出各個點的橫坐標即可．
【詳解】∵AD=4，OA=2，
∴在Rt△AOD中,由勾股定理可得OD= =2 ,即點C. D的縱坐標為2，
又CD=AB=5，點D的橫坐標為O，∴可得點C的橫坐標為5，
而點B的橫坐標則為5 2=3，
∴可得B(3,0);D(0,2);C(5,2).
故答案為.
【點睛】此題考查平行四邊形的性質，坐標與圖形性質，解題關鍵在于利用勾股定理進行計算.
18．能，理由見解析
【分析】根據平行四邊形的性質即可得到結論．
【詳解】解：能確定其他內角的度數，
理由：∵設一個平行四邊形的一個內角是α，
∴相鄰的內角為：180°-α，
∵平行四邊形的對角相等，鄰角互補，
∴它的四個內角的度數分別是α，180°-α，α，180°-α．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質．注意掌握平行四邊形的對角相等，鄰角互補．
19．見解析
【分析】根據平行四邊形的判定證得四邊形和四邊形均是平行四邊形，進而得出對角相等，對邊相等繼而即可求證結論．
【詳解】∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，；
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定及其性質，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法和平行四邊形對角相等，對邊相等的性質．
20．證明見解析
【分析】
勾股定理逆定理說明是直角三角形，則，在中，由勾股定理求，則，進而結論得證．
【詳解】
證明：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵
∴，
在中，由勾股定理得，
∴
∴四邊形為平行四邊形．
【點睛】
本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，平行四邊形的判定．解題的關鍵在于對知識的靈活運用．
21．（1）見解析（2）
【分析】（1）由“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質推知AD∥BC，且AD=BC；然后根據中點的定義、結合已知條件推知四邊形CEDF的對邊平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）如圖，過點D作DH⊥BE于點H，構造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通過解直角△DCH和在直角△DHE中運用勾股定理來求線段ED的長度．
【詳解】（1）證明：在 ABCD中，ADBC，且AD=BC
∵F是AD的中點
∴DF=AD
又∵CE=BC
∴DF=CE，且DFCE
∴四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）如圖，過點D作DH⊥BE于點H．
在 ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=CD=2，DH=2．
在 CEDF中，CE=DF=AD=3，則EH=1．
∴在Rt△DHE中，根據勾股定理知DE=．
22．(1)AC=8；(2) S ABCD＝16.
【分析】（1）由平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O， OA：OB=2：3，又由AB=2，即可求得OA的長，繼而求得答案；
（2）由平行四邊形的面積等于△ABC面積的二倍可得結果．
【詳解】(1)∵AO∶BO＝2∶3，
∴設AO＝2x，BO＝3x(x＞0)．
∵AC⊥AB，AB＝2，
∴(2x)2＋(2)2＝(3x)2.
解得x＝2.
∴AO＝4.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC＝2AO＝8.
(2)∵S△ABC＝AB·AC
＝×2×8
＝8，
∴S ABCD＝2S△ABC＝2×8＝16.
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，勾股定理以及三角形的面積．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．
23．(1)見詳解
(2)216
【分析】本題考查了平行四邊的性質與判定，勾股定理，求平行四邊的面積，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）先由平行線的性質得，因為得，則兩組對應邊互相平行的四邊形是平行四邊形，即可作答．
（2）運用勾股定理列式，，則，解出，再運算出，結合平行四邊形的面積等于底乘高，即可作答．
【詳解】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：過點作
設
∵
∴在
在
則
解得
∴
則四邊形的面積
24．見解析
【分析】根據平行四邊形性質得出，且，推出，，根據平行四邊形的判定推出即可．
【詳解】證明：連接、，如圖所示：
四邊形是平行四邊形，
，且，
，
，
，
四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和判定的應用，注意：平行四邊形的對邊平行且相等，有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
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