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專題02 整式乘法
核心考點(diǎn)聚焦
單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式
單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式
多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式
乘法公式
單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式
單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。
單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式
單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
乘法公式
1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a -b ，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。
2.完全平方公式：a +2ab+b =(a+b) ，a -2ab+b =(a-b) ，即首平方、尾平方，倍首尾放中央。
難點(diǎn)強(qiáng)化一、陰影部分面積
1．如圖，有兩個正方形A、B，邊長分別為a和b，將A、B并列放置后構(gòu)造新的圖形，分別得到長方形圖甲與正方形圖乙．若圖甲、圖乙中陰影的面積分別為與，若，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
2．如圖所示，在周長為44的長方形中放入一個邊長為8的大正方形和兩個邊長為6的小正方形和，其中點(diǎn)E、G分別在、上，點(diǎn)H、K分別在邊、上，點(diǎn)P、Q在邊上，點(diǎn)N在邊上．記如圖的三個陰影部分的面積分別為，，，若，則長方形的面積為 ．
3．如圖，長方形被分割成四個小長方形，已知長方形的面積比長方形的面積大3，，那么陰影部分的面積是多少？
難點(diǎn)強(qiáng)化二、楊輝三角
1．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，例如：
利用上述規(guī)律計(jì)算：（　　）
A． B． C． D．
2．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人也將右表稱為“楊輝三角”
…
寫出展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和 ．
3．我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝（13世紀(jì)）寫了一本書《詳解九章算法》，書中記載了一個用數(shù)字排成的三角形，這個三角形數(shù)陣圖是北宋賈憲（約11世紀(jì)上半葉）首創(chuàng)的“開方作法本源圖”，后人稱之為賈憲三角或楊輝三角．（圖1）
楊輝三角實(shí)際是二項(xiàng)式乘方展開式的系數(shù)表（圖2），觀察圖2右側(cè)的系數(shù)表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：
(1)多項(xiàng)式展開式的第三項(xiàng)系數(shù)是_____________．
(2)請寫出的展開式：______________．
(3)已知多項(xiàng)式，當(dāng)時，求該多項(xiàng)式的值．
難點(diǎn)強(qiáng)化三、操作問題
1．我們把個單項(xiàng)式的和得到的多項(xiàng)式記為，即，將多項(xiàng)式中的任意個單項(xiàng)式，其系數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)得到新多項(xiàng)式，稱為相反數(shù)操作．例如：對于，當(dāng)時，可將變?yōu)椋玫叫露囗?xiàng)式：，下列說法中：
①當(dāng)時，若均為自然數(shù)，則與新多項(xiàng)式的積可能為
②當(dāng)時，若等于新多項(xiàng)式的絕對值，則的個單項(xiàng)式中一定存在兩個單項(xiàng)式的和為；
③當(dāng)時，得到的新多項(xiàng)式的所有可能結(jié)果之和記為，將再進(jìn)行“相反數(shù)操作”，得到的新多項(xiàng)式的所有可能結(jié)果之和記為．．．以此類推，則與的差為定值．正確的個數(shù)是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．有依次排列的2個整式：x，，對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個整式之間，可以產(chǎn)生一個新整式串：x，3，，這稱為第一次操作；將第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此類推．通過下列實(shí)際操作：
①第二次操作后整式串為：x，，3，x，；
②第二次操作后，當(dāng)時，所有整式的積為正數(shù)；
③第四次操作后整式串中共有19個整式；
④第2021次操作后，所有的整式的和為；
上面四個結(jié)論中正確的是 （填序號）
3．對任意一個三位數(shù)，如果滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，則稱這個數(shù)為“幸福數(shù)”，將的百位數(shù)字調(diào)到個位可以得到一個新的三位數(shù)，不斷重復(fù)此操作共可得到兩個不同的新三位數(shù)，把這兩個新數(shù)與原數(shù)的和與111的商記為．例如，456是“幸福數(shù)”，不斷將456的百位數(shù)字調(diào)到個位可得564，645，．
(1)求，．
(2)已知，（，，為整數(shù)），若、均為“幸福數(shù)”，且可被6整除，求的值．
難點(diǎn)強(qiáng)化四、整除問題
1．若k為任意整數(shù)，則的值總能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
2．一個正兩位數(shù)M，它的個位數(shù)字是，十位數(shù)字是a，把M十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置得到新兩位數(shù)N，若的值能被13整除，則a的值是 ．
3．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究了“相鄰兩個奇數(shù)的平方差是否能被8整除）”的問題．
(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下：
能否被8整除
能
能
能
能
能
… …
按上表規(guī)律，完成下列問題：
（ⅰ）____；
（ⅱ）若是正整數(shù)，請用含的式子描述你能得出的一般性結(jié)論，并證明你的結(jié)論；
(2)興趣小組還猜測：相鄰兩個偶數(shù)的平方差不能被8整除．師生一起研討，分析過程如下：
假設(shè)相鄰兩個偶數(shù)的平方差能被8整除．令一個偶數(shù)為（為正整數(shù)），則相鄰的一個偶數(shù)可表示為，則（為正整數(shù)）．因?yàn)開____，所以_____，這與為正整數(shù)相矛盾，故相鄰兩個偶數(shù)的平方差不能被8整除．
閱讀以上內(nèi)容，請?jiān)跈M線上填寫所缺內(nèi)容．
難點(diǎn)強(qiáng)化五、單(多)項(xiàng)式與多項(xiàng)式的應(yīng)用
1．如圖，小明制作了A類，B類，C類卡片各15張，其中A，B兩類卡片都是正方形，C類卡片是長方形，若小明要拼出一個寬為，長為的大長方形，則他準(zhǔn)備的C類卡片（ ）
A．夠用，剩余0張 B．夠用，剩余2張
C．不夠用，還缺1張 D．不夠用，還缺2張
2．如圖，長方形的面積是96，為上一點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，則的面積是 ．
3．如圖，在一個足夠長且寬為的紙帶上剪出一些矩形紙片A，B，C…，其面積分別為．圖中的虛線為裁剪紙，試用含x的式子解決下列問題．
(1)求；若，求矩形C落在邊l上的長；
(2)在（1）的前提下，若矩形D在邊l上的長為，比較與的大小，并通過計(jì)算說明理由．
難點(diǎn)強(qiáng)化六、平方差公式的應(yīng)用
1．如圖，大正方形與小正方形的面積之差是，則陰影部分的面積是（　　）
A． B． C． D．
2．已知邊長為a的大正方形A和邊長為b的小正方形B，現(xiàn)將B放在A內(nèi)部得到圖甲，將A，B并列放置后，構(gòu)造新的正方形得到圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別是1和12．
（1）根據(jù)圖甲、圖乙的面積關(guān)系，可以得到 ；
（2）若3個正方形A和2個正方形B按圖丙的方式擺放，則圖丙中陰影部分的面積為 ．
3．從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．
(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是 ；
(2)應(yīng)用你從（1）中選出的等式，完成下列各題．
①已知，，求的值．
②計(jì)算：．
難點(diǎn)強(qiáng)化七、完全平方公式的應(yīng)用
1．已知兩塊邊長都為的大正方形，兩塊邊長都為的小正方形和五塊長、寬分別是，的小長方形，按如圖所示的方式正好不重疊地拼成一個大長方形．已知拼成的大長方形周長為，圖中陰影部分四個正方形的面積之和為，則圖中每個小長方形的面積為（ ）
A． B． C． D．
2.有一張邊長為的大正方形卡片和三張邊長為的小正方形卡片如圖①所示，取出兩張小正方形卡片放入“大正方形卡片”內(nèi)拼成的圖案如圖②，再重新用三張小正方形卡片放入“大正方形卡片”內(nèi)拼成的圖案如圖③．已知圖②中的陰影部分面積是圖③中的陰影部分面積的2倍，則小正方形與大正方形的面積之比為 ．
3．【材料閱讀】
利用兩數(shù)和（差）的完全平方公式可以解決很多數(shù)學(xué)問題．
例：若滿足，求的值．
解：設(shè)，則，
．
請仿照上面的方法求解下面問題：
【初步應(yīng)用】（1）已知，，則___________；
【問題解決】（2），求；
【拓展延伸】（3）已知正方形的邊長為x，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，，長方形的面積是15，分別以，為邊長作正方形，求陰影部分的面積．
難點(diǎn)強(qiáng)化八、整式乘法的規(guī)律
1．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究了均為自然數(shù)，且）的問題．研究過程如下：
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
…………
(1)按照以上規(guī)律，填空．
①請你寫出當(dāng)時，（ ）（ ）；
②猜想（ ）
(2)興趣
…………
按照以上規(guī)律，請你猜想__________________，并證明．
2．某校的七年級數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，他們一起研究兩位整數(shù)的平方數(shù)問題，先從個位數(shù)是1的兩位整數(shù)的平方數(shù)開始．如：
；
．．．
按照以上規(guī)律，完成下列問題：
(1)___________；
(2)十位數(shù)字是，個位數(shù)字是1的兩位整數(shù)的平方數(shù)可以寫成：（___________）___________；（用含的代數(shù)式表示）
(3)請你猜想出十位數(shù)字是，個位數(shù)字是的兩位整數(shù)的平方數(shù)，寫成：（___________）___________（用含的代數(shù)式表示），并證明．
3．閱讀下面各式，尋找其中的計(jì)算規(guī)律．
①
②
③
(1)按這個規(guī)律，第10個式子是：______________
(2)觀測上式，并猜測： ________________
(3)根據(jù)你的猜測，計(jì)算（其中n是正整數(shù)）的值．
難點(diǎn)強(qiáng)化九、整式乘法的新定義
1．定義：對于依次排列的多項(xiàng)式（，，，是常數(shù)），當(dāng)它們滿足，且為常數(shù)時，則稱，，，是一組平衡數(shù)，是該組平衡數(shù)的平衡因子．如對于多項(xiàng)式，因?yàn)椋裕且唤M平衡數(shù)，是該組平衡數(shù)的平衡因子．
(1)已知，，，是一組平衡數(shù)，求該組平衡數(shù)的平衡因子．
(2)若a，b，c，d是一組平衡數(shù)，，請寫出一組b，c的值，
(3)當(dāng)a，b，c，d之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時，它們是一組平衡數(shù)？請說明理由．
2．配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數(shù)能表示成（，是整數(shù)）的形式．則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，10是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)椋?0是“完美數(shù)”；代數(shù)式可配方成（，為常數(shù)）．也可以求代數(shù)式的最大值或最小值，即：，因?yàn)椋裕宰钚≈禐?．
(1)解決問題：
下列各數(shù)中，“完美數(shù)”有______（填序號）．
①29； ②48； ③13； ④28．
(2)探究問題：
①已知（，是整數(shù)，是常數(shù)），猜想當(dāng)為何值時，為“完美數(shù)”，并說明理由．
②已知實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值．
3．定義：多項(xiàng)式A，B，C，如果滿足，m為常數(shù)時，則稱多項(xiàng)式A，B，C為一組和諧多項(xiàng)式．其中m是該組和諧多項(xiàng)式的和諧果．
例如：對于多項(xiàng)式，，，因?yàn)椋远囗?xiàng)式，，是一組和諧多項(xiàng)式，4是該組和諧多項(xiàng)式的和諧果．
(1)判斷多項(xiàng)式，，是否為一組和諧多項(xiàng)式？若是，請求出該組和諧多項(xiàng)式的和諧果；若不是，請說明理由；
(2)多項(xiàng)式，，（a，b，c是常數(shù)）是一組和諧多項(xiàng)式，求a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)多項(xiàng)式，，（d，e是常數(shù)）是一組和諧多項(xiàng)式，請直接寫出該組和諧多項(xiàng)式的和諧果m的值．
難點(diǎn)強(qiáng)化十、配方法求最值
1．教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”，如果一個多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng)，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．
例如：分解因式；例如求代數(shù)式的最小值．．可知當(dāng)時，有最小值，最小值是，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：
(1)分解因式：　　　　　　；
(2)當(dāng)x為何值時，多項(xiàng)式有最小值，并求出這個最小值．
(3)當(dāng)　　　　　　，　　　　　　時，多項(xiàng)式有最小值，最小值是　　　　　　．
2．在學(xué)習(xí)用乘法公式時，我們知道把多項(xiàng)式及叫做“完全平方式”．周老師布置了一道思維拓展題：代數(shù)式 有最大值還是最小值？并求出這個最值．小宸的解題步驟如下：
∴當(dāng)時，數(shù)式的最小值是4，此時
小宸的解法及結(jié)果得到了周老師的肯定，請根據(jù)上述內(nèi)容完成以下問題：
(1)若是一個完全平方式，則k的值等于 ；
(2)求代數(shù)式的最小值，并求此時x的值；
(3)對于任意實(shí)數(shù)x、y，若多項(xiàng)式的最小值為2，求m的值．
3．閱讀與思考：我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方公式．如果一個多項(xiàng)式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng)，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值．
例如：求代數(shù)式的最小值．
，可知當(dāng)時，有最小值，最小值是．
再例如：求代數(shù)式的最大值．
．可知當(dāng)時，有最大值．最大值是．
【直接應(yīng)用】
（1）在橫線上添上一個常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式： ；
（2）代數(shù)式的最小值為 ；
【類比應(yīng)用】
（3）試判斷代數(shù)式與的大小，并說明理由；
【知識遷移】
（4）如圖，學(xué)校打算用長16米的籬笆圍一個長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，生物園的一面靠墻（墻足夠長），求圍成的生物園的最大面積．
真題感知
1．（2024·江蘇南京·中考真題）任意兩個奇數(shù)的平方差總能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
2．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）下列運(yùn)算中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江蘇徐州·中考真題）若，，則代數(shù)式的值是 ．
4．（2023·江蘇·中考真題）若圓柱的底面半徑和高均為，則它的體積是 （用含的代數(shù)式表示）．
5．（2023·江蘇宿遷·中考真題）若實(shí)數(shù)m滿足，則 ．
6．（2023·江蘇鹽城·中考真題）先化簡，再求值：，其中，.
答案與解析
難點(diǎn)強(qiáng)化一、陰影部分面積
1．如圖，有兩個正方形A、B，邊長分別為a和b，將A、B并列放置后構(gòu)造新的圖形，分別得到長方形圖甲與正方形圖乙．若圖甲、圖乙中陰影的面積分別為與，若，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，完全平方公式，圖甲種陰影部分是一個長為，寬為的長方形，圖2種陰影部分面積等于邊長為的正方形面積減去正方形A和正方形B的面積，據(jù)此分別表示出與，再根據(jù)建立方程求解即可．
【詳解】解：由題意得，，
∵，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故選；D．
2．如圖所示，在周長為44的長方形中放入一個邊長為8的大正方形和兩個邊長為6的小正方形和，其中點(diǎn)E、G分別在、上，點(diǎn)H、K分別在邊、上，點(diǎn)P、Q在邊上，點(diǎn)N在邊上．記如圖的三個陰影部分的面積分別為，，，若，則長方形的面積為 ．
【答案】120
【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，根據(jù)所給圖形，數(shù)形結(jié)合，正確表示出相關(guān)圖形的長度和面積，是解題的關(guān)鍵．
設(shè)長方形的長，寬，表示出，則由已知及圖形可得、、代的長、寬及面積如何表示，根據(jù)，及可整體求得的值，即長方形的面積．
【詳解】設(shè)長方形的長，寬，
∵周長為44，
∴ ．
的長為，寬為，
．
的長為，寬為，
．
：長為，寬為，
所以．
將、、代入得：

將代入中得：
．
∴長方形的面積為120．
故答案為：120．
3．如圖，長方形被分割成四個小長方形，已知長方形的面積比長方形的面積大3，，那么陰影部分的面積是多少？
【答案】陰影部分面積為1．
【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，根據(jù)題意得出，設(shè)
則，根據(jù)題意得出，最后根據(jù)，即可解答．
【詳解】解：連接
∵，
∴，
設(shè)
則，
∵長方形的面積比長方形的面積大3，
∴，
∵
，
∴陰影部分的面積．
難點(diǎn)強(qiáng)化二、楊輝三角
1．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，例如：
利用上述規(guī)律計(jì)算：（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了多項(xiàng)式的系數(shù)規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確分析出各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．根據(jù)楊輝三角的規(guī)律可知，令，則，計(jì)算即可．
【詳解】解：，
∴，
令，
∴，
故選：D．
2．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人也將右表稱為“楊輝三角”
…
寫出展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和 ．
【答案】
【分析】本題考查了“楊輝三角”展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和的求法，掌握展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和，得到規(guī)律即可求解是關(guān)鍵．
由“楊輝三角”得到：應(yīng)該是為非負(fù)整數(shù)展開式的項(xiàng)系數(shù)和為．
【詳解】解：當(dāng)時，展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，
當(dāng)時，展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，
當(dāng)時，展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，
當(dāng)時，展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，
當(dāng)時，展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，
．
故答案為：．
3．我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝（13世紀(jì)）寫了一本書《詳解九章算法》，書中記載了一個用數(shù)字排成的三角形，這個三角形數(shù)陣圖是北宋賈憲（約11世紀(jì)上半葉）首創(chuàng)的“開方作法本源圖”，后人稱之為賈憲三角或楊輝三角．（圖1）
楊輝三角實(shí)際是二項(xiàng)式乘方展開式的系數(shù)表（圖2），觀察圖2右側(cè)的系數(shù)表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：
(1)多項(xiàng)式展開式的第三項(xiàng)系數(shù)是_____________．
(2)請寫出的展開式：______________．
(3)已知多項(xiàng)式，當(dāng)時，求該多項(xiàng)式的值．
【答案】(1)10；
(2)
(3)
【分析】本題考查對題干“楊輝三角”規(guī)律的理解，以及規(guī)律的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是找出展開式的各項(xiàng)系數(shù)規(guī)律并靈活運(yùn)用．
（1）根據(jù)“楊輝三角”規(guī)律寫出多項(xiàng)式的展開式，即可得到展開式中的第三項(xiàng)；
（2）根據(jù)“楊輝三角”規(guī)律得到多項(xiàng)式展開式；
（3）根據(jù)“楊輝三角”規(guī)律得到為的展開式，即可解題．
【詳解】（1）解：由題可得：多項(xiàng)式的展開式各系數(shù)依次為1，5，10，5，1，
多項(xiàng)式的展開式中第三項(xiàng)系數(shù)是10．
故答案為：；
（2）解：由題意可得：．
故答案為：；
（3）解：
，
當(dāng)時，原式．
難點(diǎn)強(qiáng)化三、操作問題
1．我們把個單項(xiàng)式的和得到的多項(xiàng)式記為，即，將多項(xiàng)式中的任意個單項(xiàng)式，其系數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)得到新多項(xiàng)式，稱為相反數(shù)操作．例如：對于，當(dāng)時，可將變?yōu)椋玫叫露囗?xiàng)式：，下列說法中：
①當(dāng)時，若均為自然數(shù)，則與新多項(xiàng)式的積可能為
②當(dāng)時，若等于新多項(xiàng)式的絕對值，則的個單項(xiàng)式中一定存在兩個單項(xiàng)式的和為；
③當(dāng)時，得到的新多項(xiàng)式的所有可能結(jié)果之和記為，將再進(jìn)行“相反數(shù)操作”，得到的新多項(xiàng)式的所有可能結(jié)果之和記為．．．以此類推，則與的差為定值．正確的個數(shù)是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，平方差公式，解絕對值方程，根據(jù)新定義，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．
【詳解】解：①∵．
當(dāng) 時，有兩種可能的新多項(xiàng)式：
改變 的系數(shù)：新多項(xiàng)式為 ．
改變 的系數(shù)：新多項(xiàng)式為 ．
計(jì)算與新多項(xiàng)式的積：
若改變 ，積為 ．
若改變 ，積為 ．
設(shè) ， ，則 ，且 ， 和 同奇偶（確保 為整數(shù)）．
積的絕對值為 ，需等于 12．
符合條件的解：， （例如 或 ）．
當(dāng) 時，改變 得新多項(xiàng)式 ，，積為 ．因此，說法①正確．
．
當(dāng) 時，選擇任意兩個單項(xiàng)式（設(shè)其和為 ），新多項(xiàng)式為 ．
條件：，且 ．
解絕對值方程：情況一：
∴，則選中的兩個單項(xiàng)式之和為 0．
情況二：
∴，則未選中的兩個單項(xiàng)式之和為
因此，無論如何，都存在兩個單項(xiàng)式之和為 0．說法②正確．
．
定義迭代過程：：所有可能一次操作（）后新多項(xiàng)式的和．
新多項(xiàng)式：，，．
∴．
：將（即）進(jìn)行所有可能一次操作后新多項(xiàng)式的和．
操作 得：，，．
同樣得 ．
對任意多項(xiàng)式 ，其所有可能一次操作后新多項(xiàng)式的和仍等于 ．
因此， 對所有 成立．
，差為 （定值）．
說法③正確．
三個說法均正確，正確個數(shù)為 3．
故選：A．
2．有依次排列的2個整式：x，，對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個整式之間，可以產(chǎn)生一個新整式串：x，3，，這稱為第一次操作；將第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此類推．通過下列實(shí)際操作：
①第二次操作后整式串為：x，，3，x，；
②第二次操作后，當(dāng)時，所有整式的積為正數(shù)；
③第四次操作后整式串中共有19個整式；
④第2021次操作后，所有的整式的和為；
上面四個結(jié)論中正確的是 （填序號）
【答案】①④/④①
【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則和整式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，從而作出判斷．
【詳解】解：∵第一次操作后的整式串為：x，3，，
∴第二次操作后的整式串為x，，3，，，
即x，，3，，，故①的結(jié)論正確，符合題意；
第二次操作后整式的積為，
∵，
∴，即，
∴，
即第二次操作后，當(dāng)時，所有整式的積為非負(fù)數(shù)，故②的說法錯誤，不符合題意；
第三次操作后整式串為，
第四次操作后整式串為，
共17個，故③的說法錯誤，不符合題意；
第一次操作后所有整式的和為，
第二次操作后所有整式的和為，
第三次操作后所有整式的和為，
...，
第n次操作后所有整式的積為，
∴第次操作后，所有的整式的和為，
故④的說法正確，符合題意；
正確的說法有①④，
故答案為：①④．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減，整式的乘法，掌握合并同類項(xiàng)（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號的運(yùn)算法則（括號前面是“＋”號，去掉“＋”號和括號，括號里的各項(xiàng)不變號；括號前面是“ ”號，去掉“ ”號和括號，括號里的各項(xiàng)都變號）和平方差公式是解題關(guān)鍵．
3．對任意一個三位數(shù)，如果滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，則稱這個數(shù)為“幸福數(shù)”，將的百位數(shù)字調(diào)到個位可以得到一個新的三位數(shù)，不斷重復(fù)此操作共可得到兩個不同的新三位數(shù)，把這兩個新數(shù)與原數(shù)的和與111的商記為．例如，456是“幸福數(shù)”，不斷將456的百位數(shù)字調(diào)到個位可得564，645，．
(1)求，．
(2)已知，（，，為整數(shù)），若、均為“幸福數(shù)”，且可被6整除，求的值．
【答案】(1)，
(2)18
【分析】(1)根據(jù)定義計(jì)算，即可分別求得；
(2)首先可求得且，，再分兩種情況可求得或(且，，)，再根據(jù)可被6整除，即可分別求得x、y的值，即可求得s、t的值，據(jù)此即可解答
【詳解】（1）解：，
；
（2）解：、均為“幸福數(shù)”，
且，且且，
，且，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，且，，，
當(dāng)，，且，時，
可被6整除，
或或，
由得，(舍去)，
由得，或或或，都不符合題意，故舍去，
同理，也沒有符合要求的x、y的值；
當(dāng)，，且，，且，，時，
可被6整除，
或或，
同理，可得或，
當(dāng)時，，，
此時，，不合題意舍去，
當(dāng)時，，，
此時，，合題意，
，
綜上，的值為18．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用；理解題意，從題目中獲取信息，列出正確的代數(shù)式，再由數(shù)的特點(diǎn)求解是解題的關(guān)鍵．
難點(diǎn)強(qiáng)化四、整除問題
1．若k為任意整數(shù)，則的值總能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】C
【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握乘法公式的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
運(yùn)用乘法公式展開，再根據(jù)整式的加減運(yùn)算得到，結(jié)合為任意整數(shù)，得到是整數(shù)，由此即可求解．
【詳解】解：
，
∵為任意整數(shù)，
∴是整數(shù)，
∴的值總能被5整除，
故選：C．
2．一個正兩位數(shù)M，它的個位數(shù)字是，十位數(shù)字是a，把M十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置得到新兩位數(shù)N，若的值能被13整除，則a的值是 ．
【答案】6
【分析】本題考查整式的加減運(yùn)算，因式分解的應(yīng)用，求出的值，因式分解后，根據(jù)的值能被13整除可得出，進(jìn)而可求出a的值．
【詳解】解：正兩位數(shù)，
新兩位數(shù)，，
因?yàn)榈闹的鼙?3整除，且a為整數(shù)，，，
所以，
解得．
故答案為：6．
3．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究了“相鄰兩個奇數(shù)的平方差是否能被8整除）”的問題．
(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下：
能否被8整除
能
能
能
能
能
… …
按上表規(guī)律，完成下列問題：
（ⅰ）____；
（ⅱ）若是正整數(shù)，請用含的式子描述你能得出的一般性結(jié)論，并證明你的結(jié)論；
(2)興趣小組還猜測：相鄰兩個偶數(shù)的平方差不能被8整除．師生一起研討，分析過程如下：
假設(shè)相鄰兩個偶數(shù)的平方差能被8整除．令一個偶數(shù)為（為正整數(shù)），則相鄰的一個偶數(shù)可表示為，則（為正整數(shù)）．因?yàn)開____，所以_____，這與為正整數(shù)相矛盾，故相鄰兩個偶數(shù)的平方差不能被8整除．
閱讀以上內(nèi)容，請?jiān)跈M線上填寫所缺內(nèi)容．
【答案】(1)（ⅰ）48；（ⅱ）能被8整除，證明見解析
(2)（或），
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，因式分解的應(yīng)用，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
（1）（ⅰ）根據(jù)表中規(guī)律作答即可；
（ⅱ）根據(jù)表中規(guī)律即可得出能被8整除；根據(jù)平方差公式化簡，即可得解；
（2）根據(jù)題中方法利用平方差公式化簡即可求解．
【詳解】（1）解：（ⅰ）；
（ⅱ）能被8整除；
證明：
，
又是正整數(shù)，
能被8整除，結(jié)論成立；
（2）解：
，
．
故答案為：（或），．
難點(diǎn)強(qiáng)化五、單(多)項(xiàng)式與多項(xiàng)式的應(yīng)用
1．如圖，小明制作了A類，B類，C類卡片各15張，其中A，B兩類卡片都是正方形，C類卡片是長方形，若小明要拼出一個寬為，長為的大長方形，則他準(zhǔn)備的C類卡片（ ）
A．夠用，剩余0張 B．夠用，剩余2張
C．不夠用，還缺1張 D．不夠用，還缺2張
【答案】B
【分析】本題主要考查多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法與圖形的面積，根據(jù)大長方形的面積公式求出拼成大長方形的面積，再對比卡片的面積，即可求解．
【詳解】解：大長方形的面積為，C類卡片的面積為，
∴需要C類卡片的張數(shù)是13，
∴夠用，剩余2張，
故選：B．
2．如圖，長方形的面積是96，為上一點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，則的面積是 ．
【答案】45
【分析】此題考查了整式的乘法以及代數(shù)求值的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確表示出，，．
設(shè)長方形的長為x，寬為y，然后表示出，，，然后根據(jù)的面積列式代數(shù)求解即可．
【詳解】設(shè)長方形的長為x，寬為y，
∵，，
∴，，
∴的面積
．
故答案為：45．
3．如圖，在一個足夠長且寬為的紙帶上剪出一些矩形紙片A，B，C…，其面積分別為．圖中的虛線為裁剪紙，試用含x的式子解決下列問題．
(1)求；若，求矩形C落在邊l上的長；
(2)在（1）的前提下，若矩形D在邊l上的長為，比較與的大小，并通過計(jì)算說明理由．
【答案】(1)；x
(2)，見解析
【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)面積等于長乘寬，先表示，因?yàn)椋剩纯勺鞔穑?br/>（2）依題意，，，結(jié)合，即一定大于0，所以，即可作答．
【詳解】（1）解：結(jié)合圖形，；
∵
∴，
∴矩形C落在邊l上的長為x；
（2）解：，理由如下：
依題意，，
∴
∵，
∴一定大于0，
∴，
即．
難點(diǎn)強(qiáng)化六、平方差公式的應(yīng)用
1．如圖，大正方形與小正方形的面積之差是，則陰影部分的面積是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查利用平方差公式求圖形的面積，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．
設(shè)大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，得到，，再根據(jù)陰影部分的面積等于進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，
∴，，，，
∴
，
故選：．
2．已知邊長為a的大正方形A和邊長為b的小正方形B，現(xiàn)將B放在A內(nèi)部得到圖甲，將A，B并列放置后，構(gòu)造新的正方形得到圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別是1和12．
（1）根據(jù)圖甲、圖乙的面積關(guān)系，可以得到 ；
（2）若3個正方形A和2個正方形B按圖丙的方式擺放，則圖丙中陰影部分的面積為 ．
【答案】 1 29
【分析】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式的變式應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式和平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
（1）圖甲中陰影面積等于所在大正方形面積減去正方形的面積，再減去兩個長方形面積；
（2）圖丙中陰影部分面積等于所在大正方形面積減去3個正方形A的面積，再減去2個正方形B的面積，據(jù)此列出算式后，利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算即可；．
【詳解】解：（1）圖甲陰影面積可以表示為：，
為正方形邊長，，
，
，
故答案為：；
（2）圖乙中陰影部分面積可以表示為：，
，
圖丙中陰影部分面積為：
，
，，
，
，
，（舍去），
．
故答案為：．
3．從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．
(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是 ；
(2)應(yīng)用你從（1）中選出的等式，完成下列各題．
①已知，，求的值．
②計(jì)算：．
【答案】(1)
(2)①3；②
【分析】本題考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)圖1和圖2的面積相等即可得到答案；
（2）①運(yùn)用平方差公式求解即可；
②將原式變形為，然后連續(xù)運(yùn)用平方差公式求解即可．
【詳解】（1）解：圖1的陰影部分的面積是，圖2的陰影部分的面積是，
這兩個陰影部分的面積相等，所以上述操作能驗(yàn)證的等式是；
故答案為：；
（2）解：①∵，，且，
∴，
∴；
②
．
難點(diǎn)強(qiáng)化七、完全平方公式的應(yīng)用
1．已知兩塊邊長都為的大正方形，兩塊邊長都為的小正方形和五塊長、寬分別是，的小長方形，按如圖所示的方式正好不重疊地拼成一個大長方形．已知拼成的大長方形周長為，圖中陰影部分四個正方形的面積之和為，則圖中每個小長方形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了完全平方公式的變形求值，掌握是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)拼成的大長方形周長為，四個正方形的面積之和為，得到，，根據(jù)完全平方公式求出的值即可．
【詳解】解：大長方形周長為，
，
，
四個正方形的面積之和為，
，
，
，
，
，
故選：B．
2.有一張邊長為的大正方形卡片和三張邊長為的小正方形卡片如圖①所示，取出兩張小正方形卡片放入“大正方形卡片”內(nèi)拼成的圖案如圖②，再重新用三張小正方形卡片放入“大正方形卡片”內(nèi)拼成的圖案如圖③．已知圖②中的陰影部分面積是圖③中的陰影部分面積的2倍，則小正方形與大正方形的面積之比為 ．
【答案】
【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，由圖可得，圖②陰影部分面積，圖③陰影部分面積，即得，得到，據(jù)此即可求解，根據(jù)圖形表示出圖①②陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由圖②可得，陰影部分面積，
由圖③可得，陰影部分面積，
∵圖②中的陰影部分面積是圖③中的陰影部分面積的倍，
∴，
整理得，，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
3．【材料閱讀】
利用兩數(shù)和（差）的完全平方公式可以解決很多數(shù)學(xué)問題．
例：若滿足，求的值．
解：設(shè)，則，
．
請仿照上面的方法求解下面問題：
【初步應(yīng)用】（1）已知，，則___________；
【問題解決】（2），求；
【拓展延伸】（3）已知正方形的邊長為x，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，，長方形的面積是15，分別以，為邊長作正方形，求陰影部分的面積．
【答案】（1）22；（2）；（3）陰影部分的面積為16．
【分析】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用：
（1）先利用完全平方公式求得，再根據(jù)，代入計(jì)算即可；
（2）設(shè)，，根據(jù)題意可求出，，再求出的值，即可求出答案；
（3）長方形的長，寬，則有，因此有，求出x的值，再代入陰影部分的面積中計(jì)算即可求出結(jié)果．
【詳解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）設(shè)，，
則，
，
∵，
∴，
∴；
（3）由題意得，長方形的長，寬，
則有，
由題意得，
即，
∴，
∴或（舍去）．
∴陰影部分的面積為：，
答：陰影部分的面積為16．
難點(diǎn)強(qiáng)化八、整式乘法的規(guī)律
1．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究了均為自然數(shù)，且）的問題．研究過程如下：
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
…………
(1)按照以上規(guī)律，填空．
①請你寫出當(dāng)時，（ ）（ ）；
②猜想（ ）
(2)興趣
…………
按照以上規(guī)律，請你猜想__________________，并證明．
【答案】(1)①，43；②
(2)，，，證明見解析
【分析】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律及整式的混合運(yùn)算，能根據(jù)所給等式發(fā)現(xiàn)各部分的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)所給等式，觀察各部分的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決①②．
（2）根據(jù)所給等式，觀察各部分的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并進(jìn)行證明即可．
【詳解】（1）解：①當(dāng)時，；
②猜想：．
故答案為：①，43；②；
（2）解：猜想：，
證明：
，
所以左邊右邊，猜想成立．
2．某校的七年級數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，他們一起研究兩位整數(shù)的平方數(shù)問題，先從個位數(shù)是1的兩位整數(shù)的平方數(shù)開始．如：
；
．．．
按照以上規(guī)律，完成下列問題：
(1)___________；
(2)十位數(shù)字是，個位數(shù)字是1的兩位整數(shù)的平方數(shù)可以寫成：（___________）___________；（用含的代數(shù)式表示）
(3)請你猜想出十位數(shù)字是，個位數(shù)字是的兩位整數(shù)的平方數(shù)，寫成：（___________）___________（用含的代數(shù)式表示），并證明．
【答案】(1)
(2)
(3)，證明見解析
【分析】本題考查了數(shù)字的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，找到規(guī)律后即可求解．
（1）根據(jù)已知等式得出規(guī)律，寫出即可；
（2）根據(jù)已知等式得出規(guī)律，寫出即可；
（3）根據(jù)已知等式得出規(guī)律，寫出即可．
【詳解】（1）解：∵；
；
；
；
∴；
故答案為：；
（2）解：；
故答案為：；
（3）解：；
證明：,
，
左邊右邊，
故答案為：；．
3．閱讀下面各式，尋找其中的計(jì)算規(guī)律．
①
②
③
(1)按這個規(guī)律，第10個式子是：______________
(2)觀測上式，并猜測： ________________
(3)根據(jù)你的猜測，計(jì)算（其中n是正整數(shù)）的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了數(shù)字類變化規(guī)律，平方差公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
（1）仿照題干即可求解；
（2）仿照題干，即可歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，
（2）原式變形后，利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】（1）解：∵①
②
③
∴第10個式子是：，
故答案為：；
（2）解：由題干規(guī)律可得：，
故答案為：；
（3）解：
．
難點(diǎn)強(qiáng)化九、整式乘法的新定義
1．定義：對于依次排列的多項(xiàng)式（，，，是常數(shù)），當(dāng)它們滿足，且為常數(shù)時，則稱，，，是一組平衡數(shù)，是該組平衡數(shù)的平衡因子．如對于多項(xiàng)式，因?yàn)椋裕且唤M平衡數(shù)，是該組平衡數(shù)的平衡因子．
(1)已知，，，是一組平衡數(shù)，求該組平衡數(shù)的平衡因子．
(2)若a，b，c，d是一組平衡數(shù)，，請寫出一組b，c的值，
(3)當(dāng)a，b，c，d之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時，它們是一組平衡數(shù)？請說明理由．
【答案】(1)
(2)（答案不唯一）
(3)當(dāng)時，a，b，c，d是一組平衡數(shù)
【分析】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵在于觀察兩個展開式中各項(xiàng)之間的關(guān)系，通過觀察，我們會發(fā)現(xiàn)，．
（1）直接根據(jù)定義計(jì)算的值；
（2）根據(jù)定義表示平衡數(shù)的平衡因子，令一次項(xiàng)的系數(shù)為，代入可得結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）可得，，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系式．
【詳解】（1）解：
（2）由題意，得
，
因?yàn)椋浅?shù)，所以，即，所以，的值可以是．（答案不唯一，滿足即可）
（3），
，，，都是常數(shù)，所以當(dāng)時，是常數(shù)，即當(dāng)時，，，，是一組平衡數(shù)
2．配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數(shù)能表示成（，是整數(shù)）的形式．則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，10是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)椋?0是“完美數(shù)”；代數(shù)式可配方成（，為常數(shù)）．也可以求代數(shù)式的最大值或最小值，即：，因?yàn)椋裕宰钚≈禐?．
(1)解決問題：
下列各數(shù)中，“完美數(shù)”有______（填序號）．
①29； ②48； ③13； ④28．
(2)探究問題：
①已知（，是整數(shù)，是常數(shù)），猜想當(dāng)為何值時，為“完美數(shù)”，并說明理由．
②已知實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值．
【答案】(1)①③
(2)①當(dāng)時，為“完美數(shù)”，理由見解析；②
【分析】本題考查了新定義的運(yùn)算法則，因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的運(yùn)算：
（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義分別進(jìn)行判斷即可；
（2）利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求得對應(yīng)字母的值；
（3）利用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得最小值；
仔細(xì)閱讀材料，理解新定義含義，把算式靈活配方是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵，
∴29是“完美數(shù)”，
∵，
∴13是“完美數(shù)”，
故答案為：①③；
（2）①當(dāng)時，為“完美數(shù)”，理由如下：，
當(dāng)時完全平方數(shù)時，即，
即時，是“完美數(shù)”；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值為．
3．定義：多項(xiàng)式A，B，C，如果滿足，m為常數(shù)時，則稱多項(xiàng)式A，B，C為一組和諧多項(xiàng)式．其中m是該組和諧多項(xiàng)式的和諧果．
例如：對于多項(xiàng)式，，，因?yàn)椋远囗?xiàng)式，，是一組和諧多項(xiàng)式，4是該組和諧多項(xiàng)式的和諧果．
(1)判斷多項(xiàng)式，，是否為一組和諧多項(xiàng)式？若是，請求出該組和諧多項(xiàng)式的和諧果；若不是，請說明理由；
(2)多項(xiàng)式，，（a，b，c是常數(shù)）是一組和諧多項(xiàng)式，求a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)多項(xiàng)式，，（d，e是常數(shù)）是一組和諧多項(xiàng)式，請直接寫出該組和諧多項(xiàng)式的和諧果m的值．
【答案】(1)多項(xiàng)式，，是一組和諧多項(xiàng)式，和諧果為；
(2)；
(3)9
【分析】本題考查了新定義，整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，熟練計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)和諧多項(xiàng)式的概念，計(jì)算即可驗(yàn)證；
（2）根據(jù)和諧多項(xiàng)式的概念，列式，可得結(jié)果中和的系數(shù)都為０，即可解答；
（3）根據(jù)和諧多項(xiàng)式的概念，列式，可得結(jié)果中和的系數(shù)都為０，即可解答；
【詳解】（1）解：，
，
，
故多項(xiàng)式，，是一組和諧多項(xiàng)式，和諧果為
（2）解： ，
，
多項(xiàng)式，，（a，b，c是常數(shù)）是一組和諧多項(xiàng)式，
；
（3）解：
多項(xiàng)式，，（d，e是常數(shù)）是一組和諧多項(xiàng)式，
，
解得，
．
難點(diǎn)強(qiáng)化十、配方法求最值
1．教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”，如果一個多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng)，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．
例如：分解因式；例如求代數(shù)式的最小值．．可知當(dāng)時，有最小值，最小值是，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：
(1)分解因式：　　　　　　；
(2)當(dāng)x為何值時，多項(xiàng)式有最小值，并求出這個最小值．
(3)當(dāng)　　　　　　，　　　　　　時，多項(xiàng)式有最小值，最小值是　　　　　　．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時，有最小值，最小值是
(3)， 5
【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．
（1）根據(jù)材料用配方法分解因式即可；
（2）根據(jù)材料用配方法求出最小值即可；
（3）對多項(xiàng)式利用配方法求出最小值即可．
【詳解】（1）解：
，
（2）解：
，
當(dāng)時，有最小值，最小值是．
（3）解：
當(dāng)時，有最小值，最小值是5．
2．在學(xué)習(xí)用乘法公式時，我們知道把多項(xiàng)式及叫做“完全平方式”．周老師布置了一道思維拓展題：代數(shù)式 有最大值還是最小值？并求出這個最值．小宸的解題步驟如下：
∴當(dāng)時，數(shù)式的最小值是4，此時
小宸的解法及結(jié)果得到了周老師的肯定，請根據(jù)上述內(nèi)容完成以下問題：
(1)若是一個完全平方式，則k的值等于 ；
(2)求代數(shù)式的最小值，并求此時x的值；
(3)對于任意實(shí)數(shù)x、y，若多項(xiàng)式的最小值為2，求m的值．
【答案】(1)4
(2)最小值為2，此時
(3)
【分析】本題考查的是利用完全平方式的特點(diǎn)及其非負(fù)性求解代數(shù)式的最值，掌握利用完全平方式的特點(diǎn)把代數(shù)式變形是解本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)解答即可；
（2）根據(jù)題目提供的方法配方成完全平方公式，然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性即可得答案．
（3）根據(jù)題目提供的方法配方成完全平方公式，根據(jù)偶次方的非負(fù)性幾何多項(xiàng)式的最小值為2，解方程即可得答案．
【詳解】（1）解：，
∵是一個完全平方式，
∴，
故答案為：4；
（2）
當(dāng)時，代數(shù)式有最小值是2，
此時；
（3）
依題意得，
．
3．閱讀與思考：我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方公式．如果一個多項(xiàng)式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng)，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值．
例如：求代數(shù)式的最小值．
，可知當(dāng)時，有最小值，最小值是．
再例如：求代數(shù)式的最大值．
．可知當(dāng)時，有最大值．最大值是．
【直接應(yīng)用】
（1）在橫線上添上一個常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式： ；
（2）代數(shù)式的最小值為 ；
【類比應(yīng)用】
（3）試判斷代數(shù)式與的大小，并說明理由；
【知識遷移】
（4）如圖，學(xué)校打算用長16米的籬笆圍一個長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，生物園的一面靠墻（墻足夠長），求圍成的生物園的最大面積．
【答案】（1）；（2）；（3），理由見解析；（4）32平方米
【分析】本題考查了完全平方式的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性，熟練掌握完全平方式的特點(diǎn)、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)完全平方公式的特征添加即可得解；
（2）把原式化為完全平方式與一個數(shù)的和的形式，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可；
（3）利用完全平方式把原式進(jìn)行變形，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可；
（4）設(shè)垂直于墻的一邊長為米，則另一邊長為米，利用矩形的面積公式可得，再利用完全平方式把原式進(jìn)行變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可．
【詳解】解：（1）由題意得， ，
故答案為：4．
（2），
當(dāng)時，代數(shù)式有最小值，最小值為，
故答案為：；
（3），理由如下：
，
∵，
∴，
∴；
（4）設(shè)垂直于墻的一邊長為米，則另一邊長為米，
根據(jù)題意得：，
當(dāng)時，有最大值，最大值是，
圍成的菜地的最大面積是32平方米．
真題感知
1．（2024·江蘇南京·中考真題）任意兩個奇數(shù)的平方差總能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
【答案】D
【分析】設(shè)一個奇數(shù)為，另一個奇數(shù)為，且是較大一個，都是正整數(shù)，根據(jù)題意，得，分類解答即可．
本題考查了平方差公式的應(yīng)用，整數(shù)的整除性質(zhì)，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)一個奇數(shù)為，另一個奇數(shù)為，且是較大一個，都是正整數(shù)，
根據(jù)題意，得
，
當(dāng)時，，都能成立；
當(dāng)時，則，則，
故，
故，
故一定能被8整除，
故選：D．
2．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）下列運(yùn)算中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了乘法公式，合并同類項(xiàng)，冪的乘方，單項(xiàng)式乘法，掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、，原選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
B、，正確，符合題意；
C、，原選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
D、，原選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
故選：B ．
3．（2024·江蘇徐州·中考真題）若，，則代數(shù)式的值是 ．
【答案】2
【分析】本題考查代數(shù)式求值．先將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后將條件代入即可求值．
【詳解】解：∵，，
，
故答案為：2．
4．（2023·江蘇·中考真題）若圓柱的底面半徑和高均為，則它的體積是 （用含的代數(shù)式表示）．
【答案】
【詳解】根據(jù)圓柱的體積圓柱的底面積圓柱的高，可得
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查代數(shù)式和整式的乘法運(yùn)算，牢記整式乘法的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·江蘇宿遷·中考真題）若實(shí)數(shù)m滿足，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)完全平方公式得，再代值計(jì)算即可．
【詳解】解：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，求代數(shù)式值，掌握完全平方公式及其變式是解題本題的關(guān)鍵．
6．（2023·江蘇鹽城·中考真題）先化簡，再求值：，其中，.
【答案】，
【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式展開后化簡，最后代入求值即可．
【詳解】
當(dāng)，時，原式．
【點(diǎn)睛】本題考查整式混合運(yùn)算的化簡求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)完全平方公式和平方差公式展開．
思維導(dǎo)圖
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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