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北師大版數學七年級（2025）下冊教材習題1.3乘法公式
1． 計算：
（1）(a+2)(a-2)；
（2）(3a+2b)(3a-2b)；
（3）(-x-1)(1-x)；
（4）(-4k+3)(-4k-3)。
2．如圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形。
（1） 請表示圖1中陰影部分的面積。
（2） 小穎將圖1中的陰影部分拼成了如圖2所示的長方形，如何表示這個長方形的面積
3．觀察·思考
（1）計算下列各組算式：
7×9=
8×8=
（2） 觀察上述算式及其結果，你發現了什么規律
（3）請用字母表示你發現的規律。
4．計算：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
5．計算：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
6．已知 ， 求 的值。
7．利用整式乘法公式計算：
（1） ；
（2） 。
8．計算：
（1） ；
（2）；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） 。
9．計算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
10．計算：
（1） ；
（2） ；
（3）
（4） ；
（5） ；
（6） 。
11．一個圓的半徑為 ， 半徑減少 2 cm 后， 這個圓的面積減少多少
12．計算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
13．利用平方差公式計算：
（1） ；
（2） 。
14．一個底面是正方形的長方體， 高為 6 cm ， 底面正方形邊長為 5 cm 。如果它的高不變，底面正方形邊長增加 ，那么它的體積增加多少？
15．利用完全平方公式計算：
（1） ；
（2） 。
16．借助幾何圖形可以直觀解釋平方差公式和完全平方公式， 其他乘法算式是否也可以用幾何圖形直觀解釋呢 請舉例說明你的思考。
17． 計算：
（1） ；
（2） 。
18． 觀察下列各式：
個位數字是 5 的兩位數平方后， 結果末尾的兩個數字有什么規律 為什么 你還能找到哪些類似的規律 試舉一例。
19． 計算： 。
20． 計算： 。
答案解析部分
1．【答案】（1）解： (a+2)(a-2)=a2-22=a2-4
（2）解： (3a+2b)(3a-2b)=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2.
（3）解： (-x-1)(1-x)=（-x）2-12=x2-1.
（4）解： (-4k+3)(-4k-3)=（-4k）2-32=16k2-9.
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【分析】利用平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）分析求解即可.
2．【答案】（1）解：根據題意可得：S陰影=a2-b2.
（2）解：根據題意可得：長方形的長為（a+b），寬為（a-b），
∴S長方形=（a+b）（a-b）=a2-b2.
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【分析】（1）利用正方形的面積公式及割補法求出陰影部分的面積即可；
（2）先求出長方形的長和寬，再利用長方形的面積公式及平方差公式計算即可.
3．【答案】（1）解：根據題意可得：
7×9=63 143 6399
8×8=64 144 6400
（2）解：連續的兩個奇數的乘積等于這兩個連續奇數中間的這個數的平方減1.
（3）解：根據（2）可得：（n-1）（n+1）=n2-1.
【知識點】平方差公式及應用；平方差公式的幾何背景
【解析】【分析】（1）利用有理數的乘法的計算方法分析求解即可；
（2）利用（1）的結果分析求解即可；
（3）根據（2）的規律直接利用代數式表示即可.
4．【答案】（1）解：.
（2）解：
=x2-（2y）2+x2-12
=x2-4y2+x2-1
=2x2-4y2-1
（3）解：
=x2-x-（x2-）
=x2-x-x2+
=-x.
【知識點】平方差公式及應用；整式的混合運算
【解析】【分析】（1）先將原式變形為（700+4）（700-4），再利用平方差公式計算即可；
（2）先利用平方差公式展開，再合并同類項即可；
（3）先利用單項式乘多項式和平方差公式展開，再合并同類項即可.
5．【答案】（1）解：
=
=x2+2xy+4y2.
（2）解：
=（2xy）2-2×2xy×x+
=4x2y2-x2y+x2.
（3）解：
=（-3m）2+2×（-3m）×n+n2
=9m2-6mn+n2.
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【分析】利用完全平方公式的定義及計算方法（兩個數的和或差的平方等于這兩個數的平方和與這兩個數積的2倍的和或差）分析求解即可.
6．【答案】解：∵，
∴.
【知識點】求代數式的值-整體代入求值
【解析】【分析】先將代數式變形為2（a+b）2，再將代入計算即可.
7．【答案】（1）解：=（100-4）2=1002-2×100×4+42=9216
（2）解：
=[（a-b）-3][（a-b）+3]
=（a-b）2-32
=a2-2ab+b2-9
【知識點】完全平方公式及運用；平方差公式及應用
【解析】【分析】（1）先將原式變形為（100-4）2，再利用完全平方公式計算即可；
（2）先將原式變形為[（a-b）-3][（a-b）+3]，再利用平方差公式及完全平方公式計算即可.
8．【答案】（1）解：
=x2-（7y）2
=x2-49y2.
（2）解：
=（0.2x）2-0.32
=0.04x2-0.09.
（3）解：
=（mn）2-（3n）2
=m2n2-9n2.
（4）解：
=（-2x）2-（3y）2
=4x2-9y2.
（5）解：
=
=x2-4y2.
（6）解：
=（-n）2-（5m）2
=n2-25m2.
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【分析】利用平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）分析求解即可.
9．【答案】（1）解：
=（2m）2-32
=4m2-9.
（2）解：
=x2+x+22-x2
=x+4.
（3）解：
=（3x）2-y2+xy+y2
=9x2-y2+xy+y2
=9x2+xy.
（4）解：
=a2--[（3a）2-（2b）2]
=a2-b2-9a2+4b2
=b2-8a2.
【知識點】平方差公式及應用；整式的混合運算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）分析求解即可；
（2）先利用單項式乘多項式的計算方法（先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加）和平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）展開，再合并同類項即可；
（3）先利用單項式乘多項式的計算方法（先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加）和平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）展開，再合并同類項即可；
（4）利用平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）分析求解即可.
10．【答案】（1）解：
=（2x）2+2×2x×5y+（5y）2
=4x2+20xy+25y2.
（2）解：
=
=m2-m+.
（3）解：
=（-2t）2+2×（-2t）×（-1）+（-1）2
=4t2+4t+1.
（4）解：
=
=x2+xy+y2.
（5）解：
=（7ab）2+2×7ab×2+22
=49a2b2+28ab+4.
（6）解：
=
=
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【分析】利用完全平方公式的定義及計算方法（兩個數的和或差的平方等于這兩個數的平方和與這兩個數積的2倍的和或差）分析求解即可.
11．【答案】解：∵原來的圓的面積為：πr2cm2；半徑減少2cm后圓的面積為：π（r-2）2cm2.
∴減少的面積為：πr2-π（r-2）2=4πr-4π cm2.
【知識點】整式加、減混合運算的實際應用
【解析】【分析】先求出原來圓的面積和減少后的圓的面積，再列出算式求解即可.
12．【答案】（1）解：
=[（2x+y）+1][（2x+y）-1]
=（2x+y）2-12
=4x2+4xy+y2-1.
（2）解：
=x2-22-（x2-3x+x-3）
=x2-4-x2+2x+3
=2x-1.
（3）解：
=[（ab+1）+（ab-1）][（ab+1）-（ab-1）]
=2ab×2
=4ab.
（4）解：
=4x2-4xy+y2-4（x2+2xy-xy-2y2）
=4x2-4xy+y2-4x2-8xy+4xy+8y2
=9y2-8xy.
【知識點】平方差公式及應用；整式的混合運算
【解析】【分析】（1）先將原式變形為[（2x+y）+1][（2x+y）-1]，再利用平方差公式和完全平方公式計算即可；
（2）先利用平方差公式和多項式乘多項式的計算方法展開，再合并同類項即可；
（3）先利用平方差公式化簡，再計算即可；
（4）先利用完全平方公式和多項式乘多項式的計算方法展開，再合并同類項即可.
13．【答案】（1）解：
=（1000+7）×（1000-7）
=10002-72
=999951.
（2）解：
=（110-2）×（110+2）
=1102-22
=12096.
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【分析】（1）先將原式變形為（1000+7）×（1000-7），再利用平方差公式計算即可；
（2）先將原式變形為（110-2）×（110+2），再利用平方差公式計算即可.
14．【答案】解：根據題意可得：
6（a＋5）2 6×52，
＝150＋60a＋6a2 150，
＝6a2＋60a.
答：它的體積增加了（6a2＋60a）cm3．
【知識點】整式的混合運算
【解析】【分析】利用長方體的計算方法并利用現在長方體的體積減去原正方體的體積即可.
15．【答案】（1）解：=（60+3）2=602+2×60×3+32=3969.
（2）解：=（1000-2）2=10002-2×1000×2+22=996004.
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【分析】（1）先將原式變形為（60+3）2，再利用完全平方公式計算即可；
（2）先將原式變形為（1000-2）2，再利用完全平方公式計算即可.
16．【答案】解：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2.
如圖所示：
【知識點】多項式乘多項式；整式的混合運算
【解析】【分析】利用不同的計算方法表示同一個圖形的面積，再利用長方形的面積公式和多項式乘多項式的計算方法分析求解即可.
17．【答案】（1）解：
=（an）2-b2
=a2n-b2.
（2）解：
=（a2-1）（a2+1）
=（a2）2-12
=a4-1.
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【分析】利用平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）分析求解即可.
18．【答案】解：觀察下列各式：152＝225，252＝625，352＝1225，…個位數字是5的兩位數平方后，末尾的兩個數總是25．
理由如下：
設該兩位數是10n＋5，其中n是小于10的正整數，
∵（10n＋5）2＝100n2＋100n＋25
∴100n2＋100n的末尾兩個數都是0，
∴100n2＋100n＋25的末尾兩個數必是25，
∴（10n＋5）2的末尾兩個數總是25．
舉例：個位數字是5的三位數平方后，末尾的兩個數總是25．
【知識點】完全平方公式及運用；探索數與式的規律；探索規律-末尾數字規律
【解析】【分析】通過觀察等式之間的規律可得末位數字是5的兩位數平方后，末尾的兩個數總是25．
19．【答案】解：
=[（a+b）2]2
=（a2+2ab+b2）2
=（a2+b2）2+2×（a2+b2）×2ab+（2ab）2
=a4+2a2b2+b4+4ab（a2+b2）+4a2b2
=a4+2a2b2+b4+4a3b+4ab3+4a2b2
=a4+6a2b2+4a3b+4ab3+b4.
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【分析】先將原式變形為[（a+b）2]2，再利用完全平方公式的定義及計算方法（兩個數的和或差的平方等于這兩個數的平方和與這兩個數積的2倍的和或差）分析求解即可.
20．【答案】解：
=[（a+b）+c]2
=（a+b）2+2（a+b）c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【分析】先將原式變形為[（a+b）+c]2，利用完全平方公式的定義及計算方法（兩個數的和或差的平方等于這兩個數的平方和與這兩個數積的2倍的和或差）分析求解即可.
1 / 1北師大版數學七年級（2025）下冊教材習題1.3乘法公式
1． 計算：
（1）(a+2)(a-2)；
（2）(3a+2b)(3a-2b)；
（3）(-x-1)(1-x)；
（4）(-4k+3)(-4k-3)。
【答案】（1）解： (a+2)(a-2)=a2-22=a2-4
（2）解： (3a+2b)(3a-2b)=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2.
（3）解： (-x-1)(1-x)=（-x）2-12=x2-1.
（4）解： (-4k+3)(-4k-3)=（-4k）2-32=16k2-9.
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【分析】利用平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）分析求解即可.
2．如圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形。
（1） 請表示圖1中陰影部分的面積。
（2） 小穎將圖1中的陰影部分拼成了如圖2所示的長方形，如何表示這個長方形的面積
【答案】（1）解：根據題意可得：S陰影=a2-b2.
（2）解：根據題意可得：長方形的長為（a+b），寬為（a-b），
∴S長方形=（a+b）（a-b）=a2-b2.
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【分析】（1）利用正方形的面積公式及割補法求出陰影部分的面積即可；
（2）先求出長方形的長和寬，再利用長方形的面積公式及平方差公式計算即可.
3．觀察·思考
（1）計算下列各組算式：
7×9=
8×8=
（2） 觀察上述算式及其結果，你發現了什么規律
（3）請用字母表示你發現的規律。
【答案】（1）解：根據題意可得：
7×9=63 143 6399
8×8=64 144 6400
（2）解：連續的兩個奇數的乘積等于這兩個連續奇數中間的這個數的平方減1.
（3）解：根據（2）可得：（n-1）（n+1）=n2-1.
【知識點】平方差公式及應用；平方差公式的幾何背景
【解析】【分析】（1）利用有理數的乘法的計算方法分析求解即可；
（2）利用（1）的結果分析求解即可；
（3）根據（2）的規律直接利用代數式表示即可.
4．計算：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
【答案】（1）解：.
（2）解：
=x2-（2y）2+x2-12
=x2-4y2+x2-1
=2x2-4y2-1
（3）解：
=x2-x-（x2-）
=x2-x-x2+
=-x.
【知識點】平方差公式及應用；整式的混合運算
【解析】【分析】（1）先將原式變形為（700+4）（700-4），再利用平方差公式計算即可；
（2）先利用平方差公式展開，再合并同類項即可；
（3）先利用單項式乘多項式和平方差公式展開，再合并同類項即可.
5．計算：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
【答案】（1）解：
=
=x2+2xy+4y2.
（2）解：
=（2xy）2-2×2xy×x+
=4x2y2-x2y+x2.
（3）解：
=（-3m）2+2×（-3m）×n+n2
=9m2-6mn+n2.
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【分析】利用完全平方公式的定義及計算方法（兩個數的和或差的平方等于這兩個數的平方和與這兩個數積的2倍的和或差）分析求解即可.
6．已知 ， 求 的值。
【答案】解：∵，
∴.
【知識點】求代數式的值-整體代入求值
【解析】【分析】先將代數式變形為2（a+b）2，再將代入計算即可.
7．利用整式乘法公式計算：
（1） ；
（2） 。
【答案】（1）解：=（100-4）2=1002-2×100×4+42=9216
（2）解：
=[（a-b）-3][（a-b）+3]
=（a-b）2-32
=a2-2ab+b2-9
【知識點】完全平方公式及運用；平方差公式及應用
【解析】【分析】（1）先將原式變形為（100-4）2，再利用完全平方公式計算即可；
（2）先將原式變形為[（a-b）-3][（a-b）+3]，再利用平方差公式及完全平方公式計算即可.
8．計算：
（1） ；
（2）；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） 。
【答案】（1）解：
=x2-（7y）2
=x2-49y2.
（2）解：
=（0.2x）2-0.32
=0.04x2-0.09.
（3）解：
=（mn）2-（3n）2
=m2n2-9n2.
（4）解：
=（-2x）2-（3y）2
=4x2-9y2.
（5）解：
=
=x2-4y2.
（6）解：
=（-n）2-（5m）2
=n2-25m2.
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【分析】利用平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）分析求解即可.
9．計算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
【答案】（1）解：
=（2m）2-32
=4m2-9.
（2）解：
=x2+x+22-x2
=x+4.
（3）解：
=（3x）2-y2+xy+y2
=9x2-y2+xy+y2
=9x2+xy.
（4）解：
=a2--[（3a）2-（2b）2]
=a2-b2-9a2+4b2
=b2-8a2.
【知識點】平方差公式及應用；整式的混合運算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）分析求解即可；
（2）先利用單項式乘多項式的計算方法（先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加）和平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）展開，再合并同類項即可；
（3）先利用單項式乘多項式的計算方法（先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加）和平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）展開，再合并同類項即可；
（4）利用平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）分析求解即可.
10．計算：
（1） ；
（2） ；
（3）
（4） ；
（5） ；
（6） 。
【答案】（1）解：
=（2x）2+2×2x×5y+（5y）2
=4x2+20xy+25y2.
（2）解：
=
=m2-m+.
（3）解：
=（-2t）2+2×（-2t）×（-1）+（-1）2
=4t2+4t+1.
（4）解：
=
=x2+xy+y2.
（5）解：
=（7ab）2+2×7ab×2+22
=49a2b2+28ab+4.
（6）解：
=
=
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【分析】利用完全平方公式的定義及計算方法（兩個數的和或差的平方等于這兩個數的平方和與這兩個數積的2倍的和或差）分析求解即可.
11．一個圓的半徑為 ， 半徑減少 2 cm 后， 這個圓的面積減少多少
【答案】解：∵原來的圓的面積為：πr2cm2；半徑減少2cm后圓的面積為：π（r-2）2cm2.
∴減少的面積為：πr2-π（r-2）2=4πr-4π cm2.
【知識點】整式加、減混合運算的實際應用
【解析】【分析】先求出原來圓的面積和減少后的圓的面積，再列出算式求解即可.
12．計算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
【答案】（1）解：
=[（2x+y）+1][（2x+y）-1]
=（2x+y）2-12
=4x2+4xy+y2-1.
（2）解：
=x2-22-（x2-3x+x-3）
=x2-4-x2+2x+3
=2x-1.
（3）解：
=[（ab+1）+（ab-1）][（ab+1）-（ab-1）]
=2ab×2
=4ab.
（4）解：
=4x2-4xy+y2-4（x2+2xy-xy-2y2）
=4x2-4xy+y2-4x2-8xy+4xy+8y2
=9y2-8xy.
【知識點】平方差公式及應用；整式的混合運算
【解析】【分析】（1）先將原式變形為[（2x+y）+1][（2x+y）-1]，再利用平方差公式和完全平方公式計算即可；
（2）先利用平方差公式和多項式乘多項式的計算方法展開，再合并同類項即可；
（3）先利用平方差公式化簡，再計算即可；
（4）先利用完全平方公式和多項式乘多項式的計算方法展開，再合并同類項即可.
13．利用平方差公式計算：
（1） ；
（2） 。
【答案】（1）解：
=（1000+7）×（1000-7）
=10002-72
=999951.
（2）解：
=（110-2）×（110+2）
=1102-22
=12096.
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【分析】（1）先將原式變形為（1000+7）×（1000-7），再利用平方差公式計算即可；
（2）先將原式變形為（110-2）×（110+2），再利用平方差公式計算即可.
14．一個底面是正方形的長方體， 高為 6 cm ， 底面正方形邊長為 5 cm 。如果它的高不變，底面正方形邊長增加 ，那么它的體積增加多少？
【答案】解：根據題意可得：
6（a＋5）2 6×52，
＝150＋60a＋6a2 150，
＝6a2＋60a.
答：它的體積增加了（6a2＋60a）cm3．
【知識點】整式的混合運算
【解析】【分析】利用長方體的計算方法并利用現在長方體的體積減去原正方體的體積即可.
15．利用完全平方公式計算：
（1） ；
（2） 。
【答案】（1）解：=（60+3）2=602+2×60×3+32=3969.
（2）解：=（1000-2）2=10002-2×1000×2+22=996004.
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【分析】（1）先將原式變形為（60+3）2，再利用完全平方公式計算即可；
（2）先將原式變形為（1000-2）2，再利用完全平方公式計算即可.
16．借助幾何圖形可以直觀解釋平方差公式和完全平方公式， 其他乘法算式是否也可以用幾何圖形直觀解釋呢 請舉例說明你的思考。
【答案】解：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2.
如圖所示：
【知識點】多項式乘多項式；整式的混合運算
【解析】【分析】利用不同的計算方法表示同一個圖形的面積，再利用長方形的面積公式和多項式乘多項式的計算方法分析求解即可.
17． 計算：
（1） ；
（2） 。
【答案】（1）解：
=（an）2-b2
=a2n-b2.
（2）解：
=（a2-1）（a2+1）
=（a2）2-12
=a4-1.
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【分析】利用平方差公式的定義及計算方法（兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積）分析求解即可.
18． 觀察下列各式：
個位數字是 5 的兩位數平方后， 結果末尾的兩個數字有什么規律 為什么 你還能找到哪些類似的規律 試舉一例。
【答案】解：觀察下列各式：152＝225，252＝625，352＝1225，…個位數字是5的兩位數平方后，末尾的兩個數總是25．
理由如下：
設該兩位數是10n＋5，其中n是小于10的正整數，
∵（10n＋5）2＝100n2＋100n＋25
∴100n2＋100n的末尾兩個數都是0，
∴100n2＋100n＋25的末尾兩個數必是25，
∴（10n＋5）2的末尾兩個數總是25．
舉例：個位數字是5的三位數平方后，末尾的兩個數總是25．
【知識點】完全平方公式及運用；探索數與式的規律；探索規律-末尾數字規律
【解析】【分析】通過觀察等式之間的規律可得末位數字是5的兩位數平方后，末尾的兩個數總是25．
19． 計算： 。
【答案】解：
=[（a+b）2]2
=（a2+2ab+b2）2
=（a2+b2）2+2×（a2+b2）×2ab+（2ab）2
=a4+2a2b2+b4+4ab（a2+b2）+4a2b2
=a4+2a2b2+b4+4a3b+4ab3+4a2b2
=a4+6a2b2+4a3b+4ab3+b4.
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【分析】先將原式變形為[（a+b）2]2，再利用完全平方公式的定義及計算方法（兩個數的和或差的平方等于這兩個數的平方和與這兩個數積的2倍的和或差）分析求解即可.
20． 計算： 。
【答案】解：
=[（a+b）+c]2
=（a+b）2+2（a+b）c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【分析】先將原式變形為[（a+b）+c]2，利用完全平方公式的定義及計算方法（兩個數的和或差的平方等于這兩個數的平方和與這兩個數積的2倍的和或差）分析求解即可.
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