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2025屆高三年級蘇州八校三模適應性檢測
數學試卷2025.5
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設全集，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知復數z滿足，則復數z對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若，，，則事件與事件滿足（ ）
A．互為對立事件 B． C． D．以上都不對
4．某公司對100名員工進行了工作量的調查，數據如表：
認為工作量大 認為工作量不大 合計
男士 40 20 60
女士 20 20 40
合計 60 40 100
若推斷“員工的性別與認為工作量大有關”，則這種推斷犯錯誤的概率不超過（ ）
附：
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．0.1 B．0.05 C．0.025 D．0.01
5．已知點是直線上的動點，過點引圓的兩條切線，，，為切點，當的最大值為時，的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
6．設函數，若在內恰有3個零點，則的取值不可以為（ ）
A． B． C． D．
7．已知函數，定義域為R的函數滿足，若函數與的圖象有四個交點，分別為，，，，則（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
8．已知拋物線，點M是拋物線上的動點，則M到直線和的距離之和的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．若，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，則下列說法正確的是（ ）
A．時，有唯一的零點 B．時，存在極小值
C．時，存在極大值 D．若，則的范圍為
11．如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，為側面內的動點（含邊界），則下列說法正確的是（ ）
A．使三棱錐體積取得最大值的點唯一
B．存在點，使得直線與的夾角為
C．時，點的軌跡是線段
D．平面時，點的軌跡長為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知數列的前項和為，，，則______．
13．已知9個數據的平均數為6，方差為4，現又加入一個新數據6，此時這10個數據的方差為______．
14．已知向量在向量上的投影向量為，若，則向量與夾角余弦值的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）如圖，正四棱錐，，，為側棱上的點，且．
（1）求證：；
（2）求異面直線與所成角的余弦值．
16．（15分）已知函數.
（1）當時，求的最小值；
（2）若對總成立，求實數a的取值范圍．
17.（15分）在中，角，，所對的邊分別為，，，的面積和周長分別為，，且.
（1）若，，求；
（2）若且，求的最大值．
18.（17分）已知橢圓：，為右頂點，為下焦點，延長交橢圓于另一點．
（1）求點的坐標；
（2）設橢圓在點處的切線為直線，求直線與所夾銳角的正切值；
（3）若直線與橢圓交于，兩點（異于），使得，求證：直線過定點．
19.（17分）現將個編號的小球隨機地放入個外觀、大小一樣的編號也為的盒子中，每個盒子中有且僅有一個小球．
（1）時，記小球編號與盒子編號相同的個數為，求的分布列；
（2）若號盒子中球的編號為，號盒子中球的編號為，號盒子中球的編號為，我們稱編號，，的小球處于一個閉環中．如編號的盒子中放入的小球編號依次是，，，，，，則共有個閉環，其中編號的小球是一個閉環．
據此，當時，回答下面兩個問題：
（ⅰ）求恰有3個閉環的概率；
（ⅱ）某幼兒園組織名編號的小朋友玩游戲，每個小朋友選擇個盒子打開，若這個盒子中有小球編號與自己編號一致，則認為游戲成功．每個小朋友在游戲過程中不能商量，且小朋友完成游戲后，由工作人員將盒子恢復原樣，下一個小朋友再開始游戲．如果你是帶隊老師，在游戲開始前，幫小朋友們制定一個策略，使得所有小朋友都成功的概率大于，并證明．
2025屆高三年級蘇州八校三模適應性檢測
數學試卷參考答案 2025.5
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C A A C D D
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．
題號 9 10 11
答案 ACD AC BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．24 13． 14．
四、解答題：本題共5小題，共77分．
15．（13分）（1）證明：連結交于點，連結，
因為正四棱錐，所以平面，
又平面，所以．
因為正四棱錐，所以四邊形是正方形，所以．
因為，，，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以．
（2）解：因為，，，所以以為原點建立空間直角坐標系，，，，，
所以
，
所以，
因此異面直線與所成角的余弦值為
16．（15分）解：（1）時，因為，所以，
所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，
在上單調遞增，所以．
（2）因為，所以等價于，
令，則，
由（1）得時，，
所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，
所以．
17．（15分）解：（1）因為，所以，
消去得，又因為，所以，
所以即．
（2）法一：因為，所以，即，
又因為，所以，化簡得，
因為即，所以．
因為，所以（當且僅當時取等號），
所以，因此，即的最大值為．
法二：在中，因為，所以，
由正弦定理得，
因為，所以，
即，
又，所以．
所以，所以（當且僅當時取等號），
所以，因此，即的最大值為．
18．（17分）解：（1）因為橢圓：即，所以，，
所以，
聯立直線與橢圓：，得，即，所以．
（2）因為點在軸下方，所以當時，，，
所以，因此切線直線，即
記直線、直線的傾斜角分別為、，則，，所以，
因此直線與所夾銳角的正切值為．
（3）證明：法一：因為，所以到，的距離相等，設該距離為．
設，則，所以，
兩邊平方得，，
將代入化簡得
設，同理可得，所以直線，
由得點，直線過定點．
法二：記直線、直線的傾斜角分別為、，
則，，
因為，所以，即，
所以．
因為直線斜率不存在時，由對稱性知不符合要求，所以設直線，與橢圓聯立得，設，則
結合化簡得，即，
所以時，過，不符合要求，舍去；
時，過定點．
綜上，直線過定點．
法三：記直線、直線的斜率分別為、，
因為，所以，即，
所以．
因為直線不經過點，所以可設直線，因為，所以，所以，即，所以，
代入得，
所以，因此直線過定點．
19．（17分）解：（1），1，2，4．
，，
，．
答：的分布列如上．
（2）記“恰有3個閉環”為事件，則
因為3個閉環含有的小球數為1，1，4的種數：，
含有的小球數為1，2，3的種數：，
含有的小球數為2，2，2的種數：，
所以．
答：恰有3個閉環的概率為．
（3）策略：每個小朋友從自己編號的盒子開始打開，看小球編號，再去打開編號為看到小球編號的盒子，以此類推，總共打開3個盒子．
證明：按照上面的策略，只要每個閉環中的小球個數不超過3，則每個小朋友就都能成功，這樣就等價于求每個閉環中的小球個數不超過3的概率．
恰有1個閉環中含有4個小球的種數：，
恰有1個閉環中含有5個小球的種數：，
恰有1個閉環中含有6個小球的種數：，
所以每個閉環中的小球個數不超過3的種數為：，
因此，每個閉環中的小球個數不超過3的概率為，即所有小朋友都成功的概率為，大于．

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