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甘肅省蘭州市紅古區2023-2024學年八年級下學期期末數學試題
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）
1．（2024八下·紅古期末）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解： A選項，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不選；
B選項，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不選；
C選項，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不選；
D選項，是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，當選。
故答案為：D．
【分析】本題主要考查中心對稱圖形的定義以及中心對稱圖形和軸對稱圖形的區別。
中心對稱圖形，即把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心；軸對稱圖形，是指在平面內沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形。按照定義進行分析即可。
2．（2024八下·紅古期末）一個不等式的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】在數軸上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：表示數軸上數字2的右邊部分，且包括數字2本身，因此在數字2處是實心點。
四個選項對應的圖中，只有C選項符合條件。
故答案為：C．
【分析】本題主要考查了不等式解集在數軸上的表示方法。
表示數軸上數字a的右邊部分，且包含數字a，因此數字a處是實心點；表示數軸上數字a的右邊部分，且不包含數字a，因此數字a處是空心點；表示數軸上數字a的左邊部分，且包含數字a，因此數字a處是實心點；表示數軸上數字a的左邊部分，且不包含數字a，因此數字a處是空心點；據此來進行判斷即可。
3．（2024八下·紅古期末）已知分式的值為0，則x的值為（　　）
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【知識點】分式有無意義的條件；分式的值為零的條件
【解析】【解答】解：∵分式的值為零，
∴，且，
解得：且，
綜合得出，．
故答案為：B．
【分析】本題主要考查了分式的值為零的條件和分式有意義的條件。分式的值為零且分式有意義的條件是：分子為0，分母不為0。據此列式求解即可。
4．（2024八下·紅古期末）下列四組線段中，能作為直角三角形三條邊的是（ ）
A．1，2， B．6，8，9 C．1，2， D．5，12，14
【答案】A
【知識點】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A選項，，因此可以作為直角三角形三條邊；
B選項，，不能作為直角三角形三條邊；
C選項，，不能作為直角三角形三條邊；
D選項，，不能作為直角三角形三條邊；
故答案為：A．
【分析】本題考查勾股定理逆定理的應用。
勾股定理的逆定理的具體內容是：如果三角形的三邊長a、b、c滿足條件a2+b2=c2，那么C邊所對的角是直角，這個三角形是直角三角形。利用勾股定理逆定理，逐一進行計算判斷即可。
5．（2024八下·紅古期末）如圖，在中，是延長線上的一點，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】平行四邊形的性質；鄰補角
【解析】【解答】解：在中，
。
，
故答案為：A．
【分析】本題考查平行四邊形的性質、補角的計算。
在中，根據平行四邊形的對應角相等可以得出，然后結合補角的計算公式即可得出答案。
6．（2024八下·紅古期末）如圖，一棵樹在一次強臺風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（　　）．
A．6米； B．9米； C．12米； D．15米.
【答案】B
【知識點】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如圖，
根據題意BC=3米，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故答案為：B
【分析】根據含30°的直角三角形性質即可求出答案.
7．（2024八下·紅古期末）用反證法證明，“在中，、對邊是、．若，則．”第一步應假設（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】反證法
【解析】【解答】解：根據反證法的步驟，得：第一步應假設不成立，即．
故答案為：C．
【分析】反證法的步驟：①假設結論不成立，②從假設出發推出矛盾，③假設不成立，則結論成立，據此判斷即可.
8．（2024八下·紅古期末）以下因式分解正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】因式分解的概念；因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：A選項，，選項錯誤；
B選項，，選項不是因式分解；
C選項，，選項正確；
D選項，，選項錯誤；
故答案為：C．
【分析】本題主要考查因式分解的判斷。
把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個因式分解。根據因式分解定義與方法，逐選項進行分析判斷即可。
9．（2024八下·紅古期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線經過兩點，則關于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】一次函數與不等式（組）的關系；一次函數的性質
【解析】【解答】解：∵直線經過兩點，
而函數圖象y隨x的增大而增大，
∴的解集是，
故答案為：A．
【分析】本題觀察圖形可以發現，該一次函數y隨x的增大而增大，而在B點對應的縱坐標是-3，所以在B點的右側永遠會大于-3，對應的自變量x=-1，因此得出答案是。
10．（2024八下·紅古期末）如圖，在中，的垂直平分線分別交，于，兩點，，的周長為9，則的周長為（　　）
A．6 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【知識點】線段垂直平分線的性質
【解析】【解答】解：∵的垂直平分線分別交，于，兩點，
∴，
∵的周長為9，即，
∴，
∴的周長，
故答案為：C．
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質。
首先根據垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可以推出，然后將△ABD的周長列式展開，最后再結合△ABC的周長計算公式，代入即可求出答案。
11．（2024八下·紅古期末）如圖，在中，，將繞著點順時針旋轉后，得到，且點在上，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】旋轉的性質；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：∵將繞著點順時針旋轉后得到，
，，
，
。
故答案為：B．
【分析】根據旋轉的性質，可以得到，，此時利用“等邊對等角”可以推出，最后由平角定義即可求出的度數。
12．（2024八下·紅古期末） 若整數使得關于的不等式組至少有2個整數解，且使得關于的分式方程有整數解，則滿足條件的整數之和為（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知識點】分式方程的解及檢驗；解分式方程；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式組，得：，
∵不等式組至少有2個整數解，
∴，解得，
分式方程兩邊乘以，得：，
∴，
∵分式方程有整數解，
∴，，
∴，且，
∵分式方程有整數解，
∴，
∴，0，1，3，
則所有整數a的和為，
故答案為：C
【分析】先根據不等式組的特殊解結合題意得到，再根據分式方程的解結合題意即可求解。
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）
13．（2024八下·紅古期末）如圖，在中，，于點D，若，則∠B的度數為　 　．
【答案】30
【知識點】直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：∵在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴。
故答案為：．
【分析】首先可以先求出∠DCB的度數，再由垂線的定義得到，最后根據直角三角形兩銳角互余即可求出∠B的度數。
14．（2024八下·紅古期末）如圖所示，∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，則∠MAB的度數為　 　．
【答案】20°
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，
∴∠AOM=∠BOM==20°，MA=MB．
在Rt△OAM和Rt△OBM中，MA=MB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM（HL），
∴∠AMO=∠BMO=70°，
在△AMN和△BMN中，AM=BM，∠AMO=∠BMO，MN=MN，
∴△AMN≌△BMN（SAS），
∴∠ANM=∠BNM=90°，
∴∠MAB=90°-70°=20°．
故答案為：20°.
【分析】本題主要考查角平分線的性質和全等三角形的判定與性質等知識。
首先利用角平分線的性質計算出∠AOM和∠BOM的度數，然后利用“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”直接得出MA=MB，隨后利用HL證明Rt△OAM≌Rt△OBM，即可得出∠AMO和∠BMO的度數；接著利用SAS證明出△AMN≌△BMN，得出∠ANM=∠BNM=90°，即可計算出∠MAB的度數。
15．（2024八下·紅古期末）如圖，連接正八邊形的對角線、，則的度數為　 　．
【答案】
【知識點】三角形的外角性質；圓周角定理；圓內接正多邊形
【解析】【解答】解：找到正八邊形的外接圓圓心O，連接，如圖所示，
∴OA=OH=OE，∠OHE=∠AEH，
∴∠AOH=2∠AEH，
∴，
∴。
故答案為：．
【分析】本題首先找到正八邊形的外接圓圓心，連接之后，首先可知OA=OH=OE，∠OHE=∠AEH，然后計算出圓心角AOH的度數之后，利用“三角形的外角等于和它不相鄰兩個內角和”計算即可。
16．（2024八下·紅古期末）已知不等式組的解都是關于x的不等式的解，則a的取值范圍是　 　．
【答案】
【知識點】解一元一次不等式；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
不等式的解為，
∵不等式組的解都是關于x的不等式的解，
∴，即2a-1≥15，
解得，
故答案為：．
【分析】本題先求出不等式組的解集為，再解不等式的解，因為不等式組的解都是關于x的不等式 的解，即不等式的解一定在不等式組解的右側，因此列式，最后求解a即可。
三、解答題（本大題共12小題，共72分．解答時應寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟）
17．（2024八下·紅古期末）因式分解：
【答案】解：
=
=
=
【知識點】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】本題考查因式分解的運用。首先觀察元計算公式可以發現，利用完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2，其中a可以看做x2，b可以看做4y2，代入計算即可；然后再利用平方差公式進行分解即可。
18．（2024八下·紅古期末）解方程：．
【答案】解：
方程兩邊同時乘以x2-9，得：，
變形為-x2-3x-7=-x2+9，
解得：，
將代入原方程中進行檢驗，
經檢驗，是原分式方程的解，
∴方程的解．
【知識點】解分式方程
【解析】【分析】根據解分式方程的方程步驟，即去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，按照這些步驟進行求解，最后進行檢驗，以免產生增根。
19．（2024八下·紅古期末）解不等式組：
【答案】解：
不等式①變形為x+2＜2（3-x），解得：，
不等式②變形為8x+6＞3x-3，解得：，
∴不等式組的解集為．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】本題需要先求出兩個不等式的解，然后再根據 “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”，即可求出不等式組的解集。
20．（2024八下·紅古期末）如圖，，，求證：．
【答案】證明：，
∴△ABC和△ADC都是直角三角形，
在和中，
，
．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】本題主要考查全等三角形的判定。
兩個直角三角是否全等，可以利用直角三角形定理進行判定，即可得出證明結果。
21．（2024八下·紅古期末）先化簡，再求值：．其中．
【答案】解：
，
當時，原式．
【知識點】分式的化簡求值-直接代入
【解析】【分析】計算的時候，需要先把小括號內的式子通分，然后計算小括號里面的減法，然后把除法變成乘法并將除數進行因式分解后約分化簡，最后代值計算即可．
22．（2024八下·紅古期末）如圖，在四邊形中，，，點E在的延長線上，連接．若，平分，求證：為等邊三角形．
【答案】證明：∵，
∴=∠D，
∴，
∵，平分，
∴，
∴∠BCD=120°，∠B=60°，
的三個角都是60°，
∴為等邊三角形．
【知識點】平行線的性質；三角形內角和定理；等邊三角形的判定；角平分線的概念
【解析】【分析】首先利用“兩直線平行、同位角相等”，即可得出，此時利用“內錯角相等、兩直線平行”即可得出，然后利用角平分線和平行線性質，可以得出的三個角都是60°，此時即可得出等邊三角形證明結果。
23．（2024八下·紅古期末）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，的頂點都在格點上．
（1）將向下平移6個單位長度得到，請畫出；
（2）畫出關于點O的中心對稱圖形．
【答案】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：如圖所示，即為所求．

【知識點】坐標與圖形變化﹣平移；作圖﹣平移；中心對稱及中心對稱圖形；關于原點對稱的點的坐標特征
【解析】【分析】（1）分別將A、B、C三點向下移動6個單位，得到對應點的坐標，然后順次連接即可；
（2）根據（1）的畫圖結果，首先寫出的坐標，而關于原點成中心對稱的點橫縱坐標都互為相反數，因此可以找到對應點的坐標，順次連接即可．
（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：如圖所示，即為所求．
24．（2024八下·紅古期末）如圖，四邊形為平行四邊形，為上的一點，連接并延長，使，連接并延長，使，連接．為的中點，連接．求證：四邊形為平行四邊形．
【答案】證明：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∵，，
∴為的中位線，
∴，，
又∵為的中點，
∴=BC=AD，
∵AD∥BC∥FH，且=FH，
∴四邊形為平行四邊形．
【知識點】平行四邊形的判定與性質；三角形的中位線定理
【解析】【分析】首先由平行四邊形的性質得出AD與BC的關系，然后根據中位線定理可以得出，，再由為的中點，綜合利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”即可得出證明結果。
25．（2024八下·紅古期末）如圖，在平行四邊形中，過點A作于點E，且．
（1）求的度數；
（2）若，求和之間的距離．
【答案】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得。
（2）解：根據（1）的結論，可以得出，AE=BE，
∵AB=4，
∴AE2+BE2=AB2，解得，
∴，
∴，
∴，
設和之間的距離為h，
∴，
解得，
∴和之間的距離為6．
【知識點】三角形內角和定理；勾股定理；平行四邊形的性質；等腰直角三角形；面積及等積變換
【解析】【分析】（1）由平行四邊形對邊平行，并且利用“兩直線平行、同旁內角互補”可以得到，放到直角三角形ABE并利用三角形內角和可以得出，最后利用進行替換變形，即可計算出∠B的度數；
（2）由（1）的結論以及等腰直角三角形性質、勾股定理，計算可以得到AE、BE的長度，再根據條件即可求出的長，此時可以以BC為底、AE為高求出平行四邊形的面積，然后再根據等面積法以AB為底、h為高列式求h的值即可．
（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
設和之間的距離為h，
∴，
∴，
∴和之間的距離為6．
26．（2024八下·紅古期末）某水果店需要購進甘肅瓜州白蘭瓜和慶陽草果兩種水果，已知瓜州白蘭瓜的進價比慶陽蘋果高12元，用400元購進瓜州白蘭瓜與用160元購進慶陽蘋果的質量相等．
（1）每千克瓜州白蘭瓜和慶陽蘋果的進價各為多少元？
（2）若該水果店需要購進瓜州白蘭瓜和慶陽蘋果這兩種水果共200，總費用不超過2880元，最多購進瓜州白蘭瓜多少千克？（進貨量取整數）
【答案】（1）解：設慶陽蘋果的進價是x元/kg，則瓜州白蘭瓜的進價是元/kg，
，
解得，，
經檢驗，是原分式方程的解，
∴元/kg，
答：慶陽蘋果的進價是8元，則瓜州白蘭瓜的進價是20元；
（2）解：設購進瓜州白蘭瓜a千克，則購進慶陽蘋果千克，
∵總費用不超過2880元，因此可以列式為，
解得：，
∵進貨量取整數，
∴a最大為106千克，
答：最多購進瓜州白蘭瓜106千克．
【知識點】分式方程的實際應用；一元一次不等式的應用
【解析】【分析】（1）可以分別假設出慶陽蘋果和瓜州白蘭瓜的進價，因為“ 用400元購進瓜州白蘭瓜與用160元購進慶陽蘋果的質量相等 ”，因此可以列出分式方程，求解之后進行檢驗以免產生增根；
（2）可以分別假設購進瓜州白蘭瓜和慶陽蘋果的質量，根據題意列出不等式，求解之后取最大整數即可．
（1）解：設慶陽蘋果的進價是x元，則瓜州白蘭瓜的進價是元，
，
解得，，
經檢驗，是原分式方程的解，
∴，
答：慶陽蘋果的進價是8元，則瓜州白蘭瓜的進價是20元；
（2）設購進瓜州白蘭瓜a千克，則購進慶陽蘋果千克，
∵總費用不超過2880元，
∴，
解得：，
∵進貨量取整數，
∴a最大為106千克，
答：最多購進瓜州白蘭瓜106千克．
27．（2024八下·紅古期末）閱讀并解決問題．
對于形如這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成的形式．但對于二次三項式，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式中先加上一項，使它與的和成為一個完全平方式，再減去，整個式子的值不變，于是有：．像這樣，先添一個適當項，使式中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”，請用“配方法”解決以下問題．
（1）利用“配方法”分解因式：；
（2）19世紀的法國數學家蘇菲熱門解決了“把分解因式”這個問題：，請你把因式分解；
（3）若，求m和n的值．
【答案】（1）解：原式
（2）解：
（3）解：∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
【知識點】因式分解﹣公式法；因式分解的應用；因式分解-分組分解法
【解析】【分析】（1）給整式前兩項加上4可得到一個完全平方式，此時為保證整式大小不變，還得給后面的常數項減去4，恰好把這個二次三項式表示成兩個整式平方差的形式，可直接利用平方差公式分解因式；
（2）由于和分別是兩個平方式和的平方，且它們乘積的2倍即也是一個平方式，因此給原式加上再減去后可得到兩個整式的平方差，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（3）利用配方法可把等式的左邊表示成兩個非負數的和，由于它們的和為0，則每一個非負數都等于0．
28．（2024八下·紅古期末）在中，連接對角線，，分別是，的平分線，，交于點，為上一點，且.
（1）如圖1，若是等邊三角形，，求的面積；
（2）如圖2，若是等腰直角三角形，且，求證：.
【答案】（1）解：∵是等邊三角形，
∴，.
又∵，分別是，的平分線，
∴，，，
∴，∴.
在中，∵，，
∴，易得，，
∴，∴.
（2）證明：如圖，延長到點，使，連接.
∵是等腰直角三角形，且，，分別是，的平分線，
∴，，
∴，
∴，，
∴，∴.
∵，，∴，
∴，∴，
∴，∴.
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，∴.
∵，∴，
∴，∴四邊形是平行四邊形，
∴，∴.
【知識點】三角形的面積；等腰三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；平行四邊形的判定與性質；四邊形的綜合
【解析】【分析】（1）根據等邊△ACD的性質和角平分線的定義推知CG⊥AD，∠OAC=∠OCA；然后在Rt△AOG 中，求得AD、CG的長度，繼而求出△ACD的面積即可．
（2）如圖2中，延長OF到M，使得FM=OF，連接CM．只要證明AC=AM，OA=AG=CE即可解決問題。
1 / 1甘肅省蘭州市紅古區2023-2024學年八年級下學期期末數學試題
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）
1．（2024八下·紅古期末）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·紅古期末）一個不等式的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·紅古期末）已知分式的值為0，則x的值為（　　）
A．0 B． C．2 D．
4．（2024八下·紅古期末）下列四組線段中，能作為直角三角形三條邊的是（ ）
A．1，2， B．6，8，9 C．1，2， D．5，12，14
5．（2024八下·紅古期末）如圖，在中，是延長線上的一點，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·紅古期末）如圖，一棵樹在一次強臺風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（　　）．
A．6米； B．9米； C．12米； D．15米.
7．（2024八下·紅古期末）用反證法證明，“在中，、對邊是、．若，則．”第一步應假設（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·紅古期末）以下因式分解正確的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·紅古期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線經過兩點，則關于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·紅古期末）如圖，在中，的垂直平分線分別交，于，兩點，，的周長為9，則的周長為（　　）
A．6 B．12 C．15 D．18
11．（2024八下·紅古期末）如圖，在中，，將繞著點順時針旋轉后，得到，且點在上，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
12．（2024八下·紅古期末） 若整數使得關于的不等式組至少有2個整數解，且使得關于的分式方程有整數解，則滿足條件的整數之和為（　　）
A． B． C．2 D．4
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）
13．（2024八下·紅古期末）如圖，在中，，于點D，若，則∠B的度數為　 　．
14．（2024八下·紅古期末）如圖所示，∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，則∠MAB的度數為　 　．
15．（2024八下·紅古期末）如圖，連接正八邊形的對角線、，則的度數為　 　．
16．（2024八下·紅古期末）已知不等式組的解都是關于x的不等式的解，則a的取值范圍是　 　．
三、解答題（本大題共12小題，共72分．解答時應寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟）
17．（2024八下·紅古期末）因式分解：
18．（2024八下·紅古期末）解方程：．
19．（2024八下·紅古期末）解不等式組：
20．（2024八下·紅古期末）如圖，，，求證：．
21．（2024八下·紅古期末）先化簡，再求值：．其中．
22．（2024八下·紅古期末）如圖，在四邊形中，，，點E在的延長線上，連接．若，平分，求證：為等邊三角形．
23．（2024八下·紅古期末）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，的頂點都在格點上．
（1）將向下平移6個單位長度得到，請畫出；
（2）畫出關于點O的中心對稱圖形．
24．（2024八下·紅古期末）如圖，四邊形為平行四邊形，為上的一點，連接并延長，使，連接并延長，使，連接．為的中點，連接．求證：四邊形為平行四邊形．
25．（2024八下·紅古期末）如圖，在平行四邊形中，過點A作于點E，且．
（1）求的度數；
（2）若，求和之間的距離．
26．（2024八下·紅古期末）某水果店需要購進甘肅瓜州白蘭瓜和慶陽草果兩種水果，已知瓜州白蘭瓜的進價比慶陽蘋果高12元，用400元購進瓜州白蘭瓜與用160元購進慶陽蘋果的質量相等．
（1）每千克瓜州白蘭瓜和慶陽蘋果的進價各為多少元？
（2）若該水果店需要購進瓜州白蘭瓜和慶陽蘋果這兩種水果共200，總費用不超過2880元，最多購進瓜州白蘭瓜多少千克？（進貨量取整數）
27．（2024八下·紅古期末）閱讀并解決問題．
對于形如這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成的形式．但對于二次三項式，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式中先加上一項，使它與的和成為一個完全平方式，再減去，整個式子的值不變，于是有：．像這樣，先添一個適當項，使式中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”，請用“配方法”解決以下問題．
（1）利用“配方法”分解因式：；
（2）19世紀的法國數學家蘇菲熱門解決了“把分解因式”這個問題：，請你把因式分解；
（3）若，求m和n的值．
28．（2024八下·紅古期末）在中，連接對角線，，分別是，的平分線，，交于點，為上一點，且.
（1）如圖1，若是等邊三角形，，求的面積；
（2）如圖2，若是等腰直角三角形，且，求證：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解： A選項，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不選；
B選項，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不選；
C選項，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不選；
D選項，是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，當選。
故答案為：D．
【分析】本題主要考查中心對稱圖形的定義以及中心對稱圖形和軸對稱圖形的區別。
中心對稱圖形，即把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心；軸對稱圖形，是指在平面內沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形。按照定義進行分析即可。
2．【答案】C
【知識點】在數軸上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：表示數軸上數字2的右邊部分，且包括數字2本身，因此在數字2處是實心點。
四個選項對應的圖中，只有C選項符合條件。
故答案為：C．
【分析】本題主要考查了不等式解集在數軸上的表示方法。
表示數軸上數字a的右邊部分，且包含數字a，因此數字a處是實心點；表示數軸上數字a的右邊部分，且不包含數字a，因此數字a處是空心點；表示數軸上數字a的左邊部分，且包含數字a，因此數字a處是實心點；表示數軸上數字a的左邊部分，且不包含數字a，因此數字a處是空心點；據此來進行判斷即可。
3．【答案】B
【知識點】分式有無意義的條件；分式的值為零的條件
【解析】【解答】解：∵分式的值為零，
∴，且，
解得：且，
綜合得出，．
故答案為：B．
【分析】本題主要考查了分式的值為零的條件和分式有意義的條件。分式的值為零且分式有意義的條件是：分子為0，分母不為0。據此列式求解即可。
4．【答案】A
【知識點】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A選項，，因此可以作為直角三角形三條邊；
B選項，，不能作為直角三角形三條邊；
C選項，，不能作為直角三角形三條邊；
D選項，，不能作為直角三角形三條邊；
故答案為：A．
【分析】本題考查勾股定理逆定理的應用。
勾股定理的逆定理的具體內容是：如果三角形的三邊長a、b、c滿足條件a2+b2=c2，那么C邊所對的角是直角，這個三角形是直角三角形。利用勾股定理逆定理，逐一進行計算判斷即可。
5．【答案】A
【知識點】平行四邊形的性質；鄰補角
【解析】【解答】解：在中，
。
，
故答案為：A．
【分析】本題考查平行四邊形的性質、補角的計算。
在中，根據平行四邊形的對應角相等可以得出，然后結合補角的計算公式即可得出答案。
6．【答案】B
【知識點】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如圖，
根據題意BC=3米，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故答案為：B
【分析】根據含30°的直角三角形性質即可求出答案.
7．【答案】C
【知識點】反證法
【解析】【解答】解：根據反證法的步驟，得：第一步應假設不成立，即．
故答案為：C．
【分析】反證法的步驟：①假設結論不成立，②從假設出發推出矛盾，③假設不成立，則結論成立，據此判斷即可.
8．【答案】C
【知識點】因式分解的概念；因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：A選項，，選項錯誤；
B選項，，選項不是因式分解；
C選項，，選項正確；
D選項，，選項錯誤；
故答案為：C．
【分析】本題主要考查因式分解的判斷。
把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個因式分解。根據因式分解定義與方法，逐選項進行分析判斷即可。
9．【答案】A
【知識點】一次函數與不等式（組）的關系；一次函數的性質
【解析】【解答】解：∵直線經過兩點，
而函數圖象y隨x的增大而增大，
∴的解集是，
故答案為：A．
【分析】本題觀察圖形可以發現，該一次函數y隨x的增大而增大，而在B點對應的縱坐標是-3，所以在B點的右側永遠會大于-3，對應的自變量x=-1，因此得出答案是。
10．【答案】C
【知識點】線段垂直平分線的性質
【解析】【解答】解：∵的垂直平分線分別交，于，兩點，
∴，
∵的周長為9，即，
∴，
∴的周長，
故答案為：C．
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質。
首先根據垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可以推出，然后將△ABD的周長列式展開，最后再結合△ABC的周長計算公式，代入即可求出答案。
11．【答案】B
【知識點】旋轉的性質；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：∵將繞著點順時針旋轉后得到，
，，
，
。
故答案為：B．
【分析】根據旋轉的性質，可以得到，，此時利用“等邊對等角”可以推出，最后由平角定義即可求出的度數。
12．【答案】C
【知識點】分式方程的解及檢驗；解分式方程；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式組，得：，
∵不等式組至少有2個整數解，
∴，解得，
分式方程兩邊乘以，得：，
∴，
∵分式方程有整數解，
∴，，
∴，且，
∵分式方程有整數解，
∴，
∴，0，1，3，
則所有整數a的和為，
故答案為：C
【分析】先根據不等式組的特殊解結合題意得到，再根據分式方程的解結合題意即可求解。
13．【答案】30
【知識點】直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：∵在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴。
故答案為：．
【分析】首先可以先求出∠DCB的度數，再由垂線的定義得到，最后根據直角三角形兩銳角互余即可求出∠B的度數。
14．【答案】20°
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，
∴∠AOM=∠BOM==20°，MA=MB．
在Rt△OAM和Rt△OBM中，MA=MB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM（HL），
∴∠AMO=∠BMO=70°，
在△AMN和△BMN中，AM=BM，∠AMO=∠BMO，MN=MN，
∴△AMN≌△BMN（SAS），
∴∠ANM=∠BNM=90°，
∴∠MAB=90°-70°=20°．
故答案為：20°.
【分析】本題主要考查角平分線的性質和全等三角形的判定與性質等知識。
首先利用角平分線的性質計算出∠AOM和∠BOM的度數，然后利用“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”直接得出MA=MB，隨后利用HL證明Rt△OAM≌Rt△OBM，即可得出∠AMO和∠BMO的度數；接著利用SAS證明出△AMN≌△BMN，得出∠ANM=∠BNM=90°，即可計算出∠MAB的度數。
15．【答案】
【知識點】三角形的外角性質；圓周角定理；圓內接正多邊形
【解析】【解答】解：找到正八邊形的外接圓圓心O，連接，如圖所示，
∴OA=OH=OE，∠OHE=∠AEH，
∴∠AOH=2∠AEH，
∴，
∴。
故答案為：．
【分析】本題首先找到正八邊形的外接圓圓心，連接之后，首先可知OA=OH=OE，∠OHE=∠AEH，然后計算出圓心角AOH的度數之后，利用“三角形的外角等于和它不相鄰兩個內角和”計算即可。
16．【答案】
【知識點】解一元一次不等式；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
不等式的解為，
∵不等式組的解都是關于x的不等式的解，
∴，即2a-1≥15，
解得，
故答案為：．
【分析】本題先求出不等式組的解集為，再解不等式的解，因為不等式組的解都是關于x的不等式 的解，即不等式的解一定在不等式組解的右側，因此列式，最后求解a即可。
17．【答案】解：
=
=
=
【知識點】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】本題考查因式分解的運用。首先觀察元計算公式可以發現，利用完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2，其中a可以看做x2，b可以看做4y2，代入計算即可；然后再利用平方差公式進行分解即可。
18．【答案】解：
方程兩邊同時乘以x2-9，得：，
變形為-x2-3x-7=-x2+9，
解得：，
將代入原方程中進行檢驗，
經檢驗，是原分式方程的解，
∴方程的解．
【知識點】解分式方程
【解析】【分析】根據解分式方程的方程步驟，即去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，按照這些步驟進行求解，最后進行檢驗，以免產生增根。
19．【答案】解：
不等式①變形為x+2＜2（3-x），解得：，
不等式②變形為8x+6＞3x-3，解得：，
∴不等式組的解集為．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】本題需要先求出兩個不等式的解，然后再根據 “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”，即可求出不等式組的解集。
20．【答案】證明：，
∴△ABC和△ADC都是直角三角形，
在和中，
，
．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】本題主要考查全等三角形的判定。
兩個直角三角是否全等，可以利用直角三角形定理進行判定，即可得出證明結果。
21．【答案】解：
，
當時，原式．
【知識點】分式的化簡求值-直接代入
【解析】【分析】計算的時候，需要先把小括號內的式子通分，然后計算小括號里面的減法，然后把除法變成乘法并將除數進行因式分解后約分化簡，最后代值計算即可．
22．【答案】證明：∵，
∴=∠D，
∴，
∵，平分，
∴，
∴∠BCD=120°，∠B=60°，
的三個角都是60°，
∴為等邊三角形．
【知識點】平行線的性質；三角形內角和定理；等邊三角形的判定；角平分線的概念
【解析】【分析】首先利用“兩直線平行、同位角相等”，即可得出，此時利用“內錯角相等、兩直線平行”即可得出，然后利用角平分線和平行線性質，可以得出的三個角都是60°，此時即可得出等邊三角形證明結果。
23．【答案】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：如圖所示，即為所求．

【知識點】坐標與圖形變化﹣平移；作圖﹣平移；中心對稱及中心對稱圖形；關于原點對稱的點的坐標特征
【解析】【分析】（1）分別將A、B、C三點向下移動6個單位，得到對應點的坐標，然后順次連接即可；
（2）根據（1）的畫圖結果，首先寫出的坐標，而關于原點成中心對稱的點橫縱坐標都互為相反數，因此可以找到對應點的坐標，順次連接即可．
（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：如圖所示，即為所求．
24．【答案】證明：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∵，，
∴為的中位線，
∴，，
又∵為的中點，
∴=BC=AD，
∵AD∥BC∥FH，且=FH，
∴四邊形為平行四邊形．
【知識點】平行四邊形的判定與性質；三角形的中位線定理
【解析】【分析】首先由平行四邊形的性質得出AD與BC的關系，然后根據中位線定理可以得出，，再由為的中點，綜合利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”即可得出證明結果。
25．【答案】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得。
（2）解：根據（1）的結論，可以得出，AE=BE，
∵AB=4，
∴AE2+BE2=AB2，解得，
∴，
∴，
∴，
設和之間的距離為h，
∴，
解得，
∴和之間的距離為6．
【知識點】三角形內角和定理；勾股定理；平行四邊形的性質；等腰直角三角形；面積及等積變換
【解析】【分析】（1）由平行四邊形對邊平行，并且利用“兩直線平行、同旁內角互補”可以得到，放到直角三角形ABE并利用三角形內角和可以得出，最后利用進行替換變形，即可計算出∠B的度數；
（2）由（1）的結論以及等腰直角三角形性質、勾股定理，計算可以得到AE、BE的長度，再根據條件即可求出的長，此時可以以BC為底、AE為高求出平行四邊形的面積，然后再根據等面積法以AB為底、h為高列式求h的值即可．
（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
設和之間的距離為h，
∴，
∴，
∴和之間的距離為6．
26．【答案】（1）解：設慶陽蘋果的進價是x元/kg，則瓜州白蘭瓜的進價是元/kg，
，
解得，，
經檢驗，是原分式方程的解，
∴元/kg，
答：慶陽蘋果的進價是8元，則瓜州白蘭瓜的進價是20元；
（2）解：設購進瓜州白蘭瓜a千克，則購進慶陽蘋果千克，
∵總費用不超過2880元，因此可以列式為，
解得：，
∵進貨量取整數，
∴a最大為106千克，
答：最多購進瓜州白蘭瓜106千克．
【知識點】分式方程的實際應用；一元一次不等式的應用
【解析】【分析】（1）可以分別假設出慶陽蘋果和瓜州白蘭瓜的進價，因為“ 用400元購進瓜州白蘭瓜與用160元購進慶陽蘋果的質量相等 ”，因此可以列出分式方程，求解之后進行檢驗以免產生增根；
（2）可以分別假設購進瓜州白蘭瓜和慶陽蘋果的質量，根據題意列出不等式，求解之后取最大整數即可．
（1）解：設慶陽蘋果的進價是x元，則瓜州白蘭瓜的進價是元，
，
解得，，
經檢驗，是原分式方程的解，
∴，
答：慶陽蘋果的進價是8元，則瓜州白蘭瓜的進價是20元；
（2）設購進瓜州白蘭瓜a千克，則購進慶陽蘋果千克，
∵總費用不超過2880元，
∴，
解得：，
∵進貨量取整數，
∴a最大為106千克，
答：最多購進瓜州白蘭瓜106千克．
27．【答案】（1）解：原式
（2）解：
（3）解：∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
【知識點】因式分解﹣公式法；因式分解的應用；因式分解-分組分解法
【解析】【分析】（1）給整式前兩項加上4可得到一個完全平方式，此時為保證整式大小不變，還得給后面的常數項減去4，恰好把這個二次三項式表示成兩個整式平方差的形式，可直接利用平方差公式分解因式；
（2）由于和分別是兩個平方式和的平方，且它們乘積的2倍即也是一個平方式，因此給原式加上再減去后可得到兩個整式的平方差，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（3）利用配方法可把等式的左邊表示成兩個非負數的和，由于它們的和為0，則每一個非負數都等于0．
28．【答案】（1）解：∵是等邊三角形，
∴，.
又∵，分別是，的平分線，
∴，，，
∴，∴.
在中，∵，，
∴，易得，，
∴，∴.
（2）證明：如圖，延長到點，使，連接.
∵是等腰直角三角形，且，，分別是，的平分線，
∴，，
∴，
∴，，
∴，∴.
∵，，∴，
∴，∴，
∴，∴.
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，∴.
∵，∴，
∴，∴四邊形是平行四邊形，
∴，∴.
【知識點】三角形的面積；等腰三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；平行四邊形的判定與性質；四邊形的綜合
【解析】【分析】（1）根據等邊△ACD的性質和角平分線的定義推知CG⊥AD，∠OAC=∠OCA；然后在Rt△AOG 中，求得AD、CG的長度，繼而求出△ACD的面積即可．
（2）如圖2中，延長OF到M，使得FM=OF，連接CM．只要證明AC=AM，OA=AG=CE即可解決問題。
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