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湖南省長沙市雅禮集團2025年初中學業質量測卷(二)九年級數學試題
1．（2025·長沙模擬）下列各數中，不是無理數的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】無理數的概念
【解析】【解答】解：A、是分數，故是有理數，故選項A符合題意；
B、是無理數，故選項B不符合題意；
C、是無理數，故選項C不符合題意；
D、是無理數，故選項D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】無限不循環小數為無理數，根據無理數的定義去甄別即可．
2．（2025·長沙模擬）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項A不符合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項B不符合題意；
C、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故選項C符合題意；
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項D不符合題意；
故答案為：C．
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖.根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐一判斷即可．
3．（2025·長沙模擬）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】同底數冪的除法；單項式乘多項式；完全平方公式及運用；合并同類項法則及應用
【解析】【解答】解：A．，原選項計算錯誤，故選項A不符合題意；
B．，原選項計算正確，故選項B符合題意；
C．，原選項計算錯誤，故選項C不符合題意；
D．，原選項計算錯誤，故選項D不符合題意．
故答案為：B．
【分析】根據合并同類項法則、同底數冪的除法法則、單項式乘以多項式以及完全平方公式的運算法則，逐項計算并進行判斷即可．
4．（2025·長沙模擬）以下列各組數為邊，能組成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．4，3，5 C．15，7，7 D．6，8，18
【答案】B
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：A、，不能組成三角形，故選項A不符合題意；
B、，可以組成三角形，故選項B符合題意；
C、，不能組成三角形，故選項C不符合題意；
D、，不能組成三角形，故選項D不符合題意.
故答案為：B．
【分析】三角形的兩邊之和大于第三邊， 兩邊之差小于第三邊，據此進行判斷即可．
5．（2025·長沙模擬）澳門官方公布的最新數據顯示，截至12月7日，2024年澳門累計入境旅客達3254.5萬人次．澳門旅游業相關人士預測，全年入境旅客量有望突破3300萬人次.3254.5萬用科學記數法表示正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：3254.5萬=3254.5×104＝3254.5×107，
故答案為：D．
【分析】當原數絕對值大于等于10時，科學記數法表示成的形式，其中，n為整數，n為原數字的整數位數－1.
6．（2025·長沙模擬）如圖，，，，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】垂線的概念；兩直線平行，內錯角相等；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴∠EDC=∠1=32°.
∵，
∴，
∴∠DCE=90°－∠EDC=58°.
故答案為：C．
【分析】根據平行線的性質可求得∠EDC的度數，再根據直角三角形內角互余，即可求得∠DCE的度數.
7．（2025·長沙模擬）如圖是根據某早餐店1日至5日每天的用水量（單位：噸）繪制成的折線統計圖．下列結論正確的是（　　）
A．平均數是5 B．眾數是6 C．中位數是10 D．方差是8
【答案】D
【知識點】平均數及其計算；中位數；方差；眾數
【解析】【解答】解：A、平均數為，故A錯誤，不符合題意；
B、根據題意，得眾數為，故B錯誤，不符合題意；
C、將數據按從小到大進行排列為，，，，，則中位數是，故C錯誤，不符合題意；
D、方差為，故D正確，符合題意；
故答案為∶D．
【分析】結合折線統計圖，根據平均數的計算，眾數、中位數的定義、方差的計算進行求解即可.
8．（2025·長沙模擬）一次函數的圖象經過第二、三、四象限，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：∵一次函數的圖象經過第二、三、四象限，
∴，
解①得：m＜2；解②得：m>1，
∴，
故答案為：C．
【分析】根據一次函數的圖象經過二、三、四象限可得，，分別解兩個不等式，即可求得m的取值范圍．
9．（2025·長沙模擬）如圖，在中，，，，是它的內切圓，用剪刀沿的切線剪一個，則的周長為（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知識點】切線長定理
【解析】【解答】解：設的內切圓切三邊于點、、，如圖，
∴，，.
設AF=x，則BF=AB－AF=5－x，
∴BH=BF=5－x，AG=AF=x，
∴CH=BC－BH=3－(5－x)，CG=AC－AG=4－x.
∴3－(5－x)=4－x，
解得：x=3.
∴AG=AF=3.
∵是的切線，
∴，，
∴△ADE的周長可以表示為：AD+DE+AE=AD+DM+EM+AENBDDF=AF+AG=3+3=6.
故答案為：B．
【分析】設的內切圓切三邊于點，由切線長定理可知，，.設AF=x，表示出BF的長，繼而可表示出CH和CG的長，于是可根據CH=CG得到方程，求解即可得AG和AF的長，再根據是的切線，可得，，于是可計算△ADE的周長.
10．（2025·長沙模擬）從，，，，中任取兩數作為，，使拋物線的開口向上，對稱軸在軸左側的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：∵拋物線的開口向上，對稱軸在y軸左側，
∴，，
∴；
畫樹狀圖如下：
∴共有20種等可能結果，其中滿足且的結果有2種結果，
∴使拋物線的開口向上，對稱軸在y軸左側的概率為．
故答案為：B．
【分析】首先根據題意得，，然后利用畫樹狀圖法列舉出所有可能的情況，以及滿足條件的結果數，最后利用概率公式求解即可．
11．（2025·長沙模擬）因式分解：　 　．
【答案】
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：原式；
故答案為：．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式法進行因式分解即可.
12．（2025·長沙模擬）某校在各年級開展合唱比賽，規定每支參賽隊伍的最終成績按歌曲內容占，演唱技巧占，精神面貌點考評．某參賽隊歌曲內容獲得90分，演唱技巧獲得95分，精神面貌獲得89分．則該參賽隊的最終成績是　 　分．
【答案】91.7
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【解答】解：由題意可知，該參賽隊的最終成績是：
（分）．
故答案為：91.7．
【分析】根據加權平均數的計算方法求解即可.
13．（2025·長沙模擬）如圖，是的內接正邊形的一邊，點在上，，則　 　．
【答案】8
【知識點】圓周角定理；圓內接正多邊形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
則，
∵是的內接正邊形的一邊，
∴，
故答案為：8．
【分析】根據圓周角定理可得，再結合，即可作答．
14．（2025·長沙模擬）已知點在反比例函數的圖象上，則實數的值為　 　．
【答案】
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式
【解析】【解答】解：點在反比例函數的圖象上，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】直接利用反比例函數圖象上點的坐標特征，把點坐標代入解析式并求解方程即可．
15．（2025·長沙模擬）圓錐的側面積為15π，底面半徑為3，則圓錐的高為 　 　．
【答案】4
【知識點】圓錐的計算
【解析】【解答】解：由題意知：展開圖扇形的弧長是2×3＝6，
設母線長為L，則有×6l＝15，
解得：l＝5，
∵由于母線，高，底面半徑正好組成直角三角形，
∴在直角△AOC中高AO＝＝4．
故答案為：4．
【分析】設母線長為l，再利用圓錐側面積的計算方法可得×6l＝15，求出l＝5，再利用勾股定理求出AO的長即可。
16．（2025·長沙模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點，是軸正半軸上的一個動點，是等腰直角三角形，，是點正上方一點，連接，若，則的長為　 　．
【答案】
【知識點】坐標與圖形性質；矩形的判定與性質；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：過點作于點，軸于點，如圖，
∴∠BNC=∠BNO=∠BMO=∠MON=90°，
∴∠NBC=90°－∠NCB=45°=∠NCB，且四邊形OMBN為矩形，
∴OM=BN=CN，ON=BM.
是等腰直角三角形，
，，
∵∠POA=∠AMB=90°，
，
，
，
，
，
，
∵，
故答案為：．
【分析】過點作于點，軸于點，證明∠NBC=∠NCB，四邊形OMBN為矩形，可得OM=BN=CN，ON=BM.證明△APO≌△BAM，可得得，OA=BM，于是可得ON=BM=OA=3，然后根據即可求解．
17．（2025·長沙模擬）計算：．
【答案】解：
．
【知識點】負整數指數冪；實數的絕對值；實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】先計算乘方、負整數指數冪、化簡二次根式、并且去絕對值，再合并同類項即可．
18．（2025·長沙模擬）先化簡，再求值：，其中．
【答案】解：
，
當時，原式．
【知識點】利用整式的混合運算化簡求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式和多項式乘多項式法則進行展開，計算整式的除法運算，再合并同類項進行化簡，最后把代入計算即可.
19．（2025·長沙模擬）我國生產的無人機暢銷世界，樹立了良好的品牌形象，在一座高架橋的修建過程中，需要測量一條河的寬度，工作人員使用無人飛機通過設備在P處測得M，N兩處的俯角分別為和，測得無人機離水平地面的高度為240米，若Q，M，N三點在同一條水平直線上，則這條河的寬度為多少米？（參考數據：，，結果保留整數）
【答案】解：記平行于MN的直線為PA，如圖所示：
∵，
∴，，
由題意得：△PQM和△PQN為直角三角形.
在Rt△PQM中，∠PQN=90°，∠PMQ=60°，
∴，
∴（米），
在Rt△PQN中，∠PQN=90°，∠PNQ=37°，
∵，
∴（米），
∴（米）．
答：這條河的寬度米．
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣仰角俯角問題；母子模型
【解析】【分析】記平行于MN的直線為PA，判斷△PQM和△PQN為直角三角形，然后分別在和中，利用銳角三角函數，求出QM和QN的長，然后計算出的長即可．
20．（2025·長沙模擬）為了響應市政府號召，某校開展了“創文明城市與我同行”活動周，活動周設置了“：文明禮儀，：生態環境，：交通安全，：衛生保潔”四個主題，每個學生選一個主題參與．為了解活動開展情況，學校隨機抽取了部分學生進行調查，并根據調查結果繪制了如下條形統計圖和扇形統計圖．
（1）本次隨機調查的學生人數是 人；
（2）在扇形統計圖中，“”所在扇形的圓心角等于 度；
（3）小明和小華各自隨機參加其中的一個主題活動，請用畫樹狀圖或列表的方式求他們恰好選中同一個主題活動的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）解：列表格如圖所示：
　 A B C D
A (A，A) (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (B，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (C，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) (D，D)
由表格可得，共有種等可能的結果，其中小明和小華恰好選中同一個主題活動的結果有種，
∴小明和小華恰好選中同一個主題活動的概率為．
【知識點】總體、個體、樣本、樣本容量；扇形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；簡單事件概率的計算
【解析】【解答】解：（1）本次隨機調查的學生人數是（人）；
故答案為：；
（2）
解：在扇形統計圖中，“”所在扇形的圓心角，
答案為：；
【分析】（）只知道A組人數占總數的百分比，故用組人數除以它對應的百分比即可求解；
（）用乘以組人數的占比即可求解；
（）畫出表格，根據表格數出所有的結果數以及滿足條件的結果數，再利用概率公式即可解答.
（1）解：本次隨機調查的學生人數是；
故答案為：；
（2）解：在扇形統計圖中，“”所在扇形的圓心角，
答案為：；
（3）解：畫樹狀圖如圖所示：
由樹狀圖可得，共有種等可能的結果，其中小明和小華恰好選中同一個主題活動的結果有種，
∴小明和小華恰好選中同一個主題活動的概率為．
21．（2025·長沙模擬）如圖，是等腰直角三角形，，為邊上一點，，．
（1）證明：；
（2）若，求的度數．
【答案】（1）證明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．

【知識點】三角形內角和定理；三角形全等及其性質；等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）結合等腰三角形的性質，再利用即可證明，根據全等三角形的性質即可得結論；
（2）由得到，，證明∠ECD=90°，可得，最后根據平角的定義即可求解．
（1）證明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．（2025·長沙模擬）隨著哈爾濱市全力打造旅游城市政策的實施，哈爾濱這座歷史悠久的北方名城，吸引了國內外多方友人奔赴而來，極大促進了哈市經濟的發展，中央大街某商家抓住了這一商機，該商家決定購進甲 乙兩種紀念品進行銷售，若購進甲種紀念品1件和乙種紀念品2件共需要元；若購進甲種紀念品2件和乙種紀念品3件共需要元．
（1）求購進甲 乙兩種紀念品每件各需要多少元？
（2）該商場決定購進甲 乙兩種紀念品共件，若每件甲種紀念品的售價為元，每件乙種紀念品的售價為元，銷售完這件紀念品所獲得的利潤不低于元，則該商場最少購進甲種紀念品多少件？
【答案】（1）解：設購進甲種紀念品每件需要元，乙種紀念品每件需要元，
根據題意得：，
解得：．
答：購進甲種紀念品每件需要元，乙種紀念品每件需要元．
（2）設該商場購進a件甲種紀念品，則購進（100－a）件乙種紀念品，根據題意得：
，
解得：，
答：該商場最少購進甲種紀念品件．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設購進甲種紀念品每件需要元，乙種紀念品每件需要元，根據題意得等量關系“甲種紀念品的單價×1+乙種紀念品的單價×2＝，甲種紀念品的單價×2+乙種紀念品的單價×3＝”，據此列出關于、的方程組并求解即可；
（2）設該商場購進a件甲種紀念品，則購進(100－a)件乙種紀念品，利用“總利潤每件的銷售利潤銷售數量”，結合題意可列出關于的一元一次不等式，解之即可得出結論.
（1）解：設購進甲種紀念品每件需要元，乙種紀念品每件需要元，
根據題意得：，
解得：．
答：購進甲種紀念品每件需要元，乙種紀念品每件需要元．
（2）設該商場購進件甲種紀念品，則購進件乙種紀念品，
根據題意得：，
解得：，
的最小值為．
答：該商場最少購進甲種紀念品件．
23．（2025·長沙模擬）如圖，在平行四邊形中，連接，為邊上一點，連接并延長交的延長線于點，交于點，過點作交于點，．
（1）若，求的長；
（2）若，求平行四邊形的面積．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵BG+DG=BD=20，
∴．
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，，.
∵，可設DF=3x，FC=2x，
∴，
∵，
∴，即，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
【知識點】平行四邊形的性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊；相似三角形的性質-對應面積
【解析】【分析】（1）根據平行線分線段成比例得出，結合BG+DG=BD=20，即可求出的長；
（2）根據平行四邊形的性質得出，，，繼而可得出，，.設DF=3x，FC=2x，可得AB=CD=5x。由可計算出DM和CM的值，由可得，于是可得，由得，最后根據即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
24．（2025·長沙模擬）現將拋物線關于直線的對稱拋物線記為，關于點中心對稱的拋物線記為．
（1）當，，，時，求拋物線和的解析式；
（2）當，，時，若直線與拋物線，和有且只有4個交點，求的取值范圍；
（3）當，時，若拋物線的解析式為，請寫出拋物線的解析式．
【答案】（1）解：當，，，時，
∴，
∴頂點坐標為；
∵將拋物線關于直線的對稱拋物線記為，
則拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為；
∵關于點中心對稱的拋物線記為，
則拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：當，，時，
∴，頂點坐標為（2，﹣1）.
∴頂點坐標（2，﹣1）關于直線對稱的點坐標為（2，2m+1），關于點（0，m）對稱的點坐標為（﹣2，2m+1）.
，，.
∵ 直線與拋物線，和有且只有4個交點，
∴和有兩個交點A，B（點A在點B左側），且交點的縱坐標為m，直線與拋物線另外兩個交點C，D（點C在點D左側），
∴，，
∴，，，
∴m>﹣1，，，，，
可畫圖如下：
或
∵，即，
可得：m≠3.
故直線與拋物線，和有且只有4個交點時，的取值范圍為或．
（3）解：當，時，
∴，
∴拋物線的頂點坐標為，
∵拋物線的解析式為，
∵與關于直線 對稱，
∴，，，
∴與關于點中心對稱，
∴拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數y=ax²+bx+c與二次函數y=a（x-h）²+k的轉化；二次函數圖象的對稱變換
【解析】【分析】（1）首先將a，b，c的值代入并配方得到，然后根據軸對稱和關于點對稱的性質分別求出拋物線和的頂點坐標和二次項系數，即可得到和的解析式；
（2）根據題意分別求出，和的解析式，再根據直線與拋物線，和有且只有4個交點，可得和有兩個交點A，B（點A在點B左側），且交點的縱坐標為m，直線與拋物線另外兩個交點C，D（點C在點D左側），根據交點個數得，，；分別表示出A，B，C和D四點的橫坐標，并畫出圖形，再根據點A和點D不重合，可再確定一個m的取值范圍，即可得到答案.
（3）首先配方得到，求出拋物線的頂點坐標為，然后配方得到拋物線的解析式為，求出，，，進而求解即可．
（1）解：當，，，時，
∴，
∴頂點坐標為；
∵將拋物線關于直線的對稱拋物線記為，
∴拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為；
∵關于點中心對稱的拋物線記為，
∴拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：當，，時，
∴，
如圖所示，當時，直線與拋物線，和沒有交點；
如圖所示，當時，直線與拋物線，和有2個交點；
如圖所示，當時，直線與拋物線，和有4個交點；
如圖所示，當時，直線與拋物線，和有3個交點；
如圖所示，當時，直線與拋物線，和有4個交點；
綜上所述，若直線與拋物線，和有且只有4個交點，的取值范圍為或．
（3）解：當，時，
∴，
∴拋物線的頂點坐標為，
∵拋物線的解析式為，
∵將拋物線關于直線的對稱拋物線記為，
∴，，，
如圖所示，
∵關于點中心對稱的拋物線記為，
∴拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為．
25．（2025·長沙模擬）定義：若一個圓內接四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為圓正直四邊形．
（1）若四邊形為圓正直四邊形，請你判斷下列說法是否正確．（在題后相應的括號中，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
①四邊形一定是平行四邊形；（　　）
②四邊形可能是正方形；（　　）
③四邊形的四條邊的數量關系為．（　　）
（2）如圖①，四邊形是圓正直四邊形，的直徑交于點P，連接交于點E，連接，證明：；
（3）如圖②，在中，經過點A，B的交邊于點D，交于點E，連接，交于點F，若在四邊形的內部存在一點P，，，，且，交于點G，，，求的最小值．
【答案】（1）①×；②√；③√
（2）證明：連接，如圖，
∵是的直徑，
，
∵四邊形為圓正直四邊形，
，
，
，
，
∴．
（3）解：∵四邊形ABED是圓內接四邊形，
∴∠BAD+∠BED=180°，
又∵∠BED+∠CED=180°，
∴∠BAD=∠CED.
又∵∠DCE=∠BCA，
∴△DCE∽△BCA，
∴.
設DE=x，PD=y，
則AB=2DE=2x，PB=12－y，
∵，且
∴，
∴，，
∴，.
∵，
，
，
，
，
，
，
，即，
∴，
.
∴，，
∴，
，
，，
，
∴，
整理得：，
∴當y=6時，x2有最小值，最小值為，此時，
∴的最小值為：．
【知識點】圓與三角形的綜合；圓與函數的綜合
【解析】【解答】解：（1）如圖，若四邊形為圓正直四邊形，則，
，
.
若AB=BC，AD=DC，且AB≠CD，同樣有，
此時四邊形ABCD不是平行四邊形；故說法①錯誤；說法③正確；
當AB=BC=CD=AD時，四邊形ABCD是正方形，且同樣有，故說法②正確；
故答案為：①×；②√；③√.
【分析】（1）根據四邊形為圓正直四邊形，得出，根據勾股定理得出和，可得．再根據平行四邊形、正方形的性質即可判斷①②③即可．
（2）連接，根據圓周角定理得出，再根據圓正直四邊形的性質可得，于是可得，證得，利用相似三角形的性質即可得到結論.
（3）由圓內接四邊形的性質可證明△DCE∽△BCA，于是有.設DE=x，PD=y，可表示出AB和PB的值，再結合，可表示出BE和AD的長；證明△APD∽△EPB，可得，繼而可證明，得出，于是可根據三角形內角和定理證得，利用勾股定理證出，分別把AB，DE，AD和BE的長代入，可得關于的等式，再根據二次函數最值即可求出最終結果．
（1）解：如圖，若四邊形為圓正直四邊形，則，
，
．
故四邊形不一定是平行四邊形；可能是正方形；
①四邊形一定是平行四邊形；（×）
②四邊形可能是正方形；（√）
③四邊形的四條邊的數量關系為．（√）
（2）證明：連接，如圖，
∵是的直徑，
，
∵四邊形為圓正直四邊形，
，
，
，
，
∴．
（3）解：∵，
，
，
，
，
，
，
即，
∴，
，
又 ∵，
∴，即，
，
，
，
四點共圓，
，
，
，
，
又 ∵，
設，則，
，
∴在中，，
，
則利用勾股定理可得，
在中，，
，
則利用勾股定理可得，
∵，
∴，
即有，
∴當時，取最小值，從而取最小值，最小值為，
即的最小值為：．
1 / 1湖南省長沙市雅禮集團2025年初中學業質量測卷(二)九年級數學試題
1．（2025·長沙模擬）下列各數中，不是無理數的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·長沙模擬）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·長沙模擬）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·長沙模擬）以下列各組數為邊，能組成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．4，3，5 C．15，7，7 D．6，8，18
5．（2025·長沙模擬）澳門官方公布的最新數據顯示，截至12月7日，2024年澳門累計入境旅客達3254.5萬人次．澳門旅游業相關人士預測，全年入境旅客量有望突破3300萬人次.3254.5萬用科學記數法表示正確的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·長沙模擬）如圖，，，，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·長沙模擬）如圖是根據某早餐店1日至5日每天的用水量（單位：噸）繪制成的折線統計圖．下列結論正確的是（　　）
A．平均數是5 B．眾數是6 C．中位數是10 D．方差是8
8．（2025·長沙模擬）一次函數的圖象經過第二、三、四象限，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·長沙模擬）如圖，在中，，，，是它的內切圓，用剪刀沿的切線剪一個，則的周長為（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．（2025·長沙模擬）從，，，，中任取兩數作為，，使拋物線的開口向上，對稱軸在軸左側的概率為（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·長沙模擬）因式分解：　 　．
12．（2025·長沙模擬）某校在各年級開展合唱比賽，規定每支參賽隊伍的最終成績按歌曲內容占，演唱技巧占，精神面貌點考評．某參賽隊歌曲內容獲得90分，演唱技巧獲得95分，精神面貌獲得89分．則該參賽隊的最終成績是　 　分．
13．（2025·長沙模擬）如圖，是的內接正邊形的一邊，點在上，，則　 　．
14．（2025·長沙模擬）已知點在反比例函數的圖象上，則實數的值為　 　．
15．（2025·長沙模擬）圓錐的側面積為15π，底面半徑為3，則圓錐的高為 　 　．
16．（2025·長沙模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點，是軸正半軸上的一個動點，是等腰直角三角形，，是點正上方一點，連接，若，則的長為　 　．
17．（2025·長沙模擬）計算：．
18．（2025·長沙模擬）先化簡，再求值：，其中．
19．（2025·長沙模擬）我國生產的無人機暢銷世界，樹立了良好的品牌形象，在一座高架橋的修建過程中，需要測量一條河的寬度，工作人員使用無人飛機通過設備在P處測得M，N兩處的俯角分別為和，測得無人機離水平地面的高度為240米，若Q，M，N三點在同一條水平直線上，則這條河的寬度為多少米？（參考數據：，，結果保留整數）
20．（2025·長沙模擬）為了響應市政府號召，某校開展了“創文明城市與我同行”活動周，活動周設置了“：文明禮儀，：生態環境，：交通安全，：衛生保潔”四個主題，每個學生選一個主題參與．為了解活動開展情況，學校隨機抽取了部分學生進行調查，并根據調查結果繪制了如下條形統計圖和扇形統計圖．
（1）本次隨機調查的學生人數是 人；
（2）在扇形統計圖中，“”所在扇形的圓心角等于 度；
（3）小明和小華各自隨機參加其中的一個主題活動，請用畫樹狀圖或列表的方式求他們恰好選中同一個主題活動的概率．
21．（2025·長沙模擬）如圖，是等腰直角三角形，，為邊上一點，，．
（1）證明：；
（2）若，求的度數．
22．（2025·長沙模擬）隨著哈爾濱市全力打造旅游城市政策的實施，哈爾濱這座歷史悠久的北方名城，吸引了國內外多方友人奔赴而來，極大促進了哈市經濟的發展，中央大街某商家抓住了這一商機，該商家決定購進甲 乙兩種紀念品進行銷售，若購進甲種紀念品1件和乙種紀念品2件共需要元；若購進甲種紀念品2件和乙種紀念品3件共需要元．
（1）求購進甲 乙兩種紀念品每件各需要多少元？
（2）該商場決定購進甲 乙兩種紀念品共件，若每件甲種紀念品的售價為元，每件乙種紀念品的售價為元，銷售完這件紀念品所獲得的利潤不低于元，則該商場最少購進甲種紀念品多少件？
23．（2025·長沙模擬）如圖，在平行四邊形中，連接，為邊上一點，連接并延長交的延長線于點，交于點，過點作交于點，．
（1）若，求的長；
（2）若，求平行四邊形的面積．
24．（2025·長沙模擬）現將拋物線關于直線的對稱拋物線記為，關于點中心對稱的拋物線記為．
（1）當，，，時，求拋物線和的解析式；
（2）當，，時，若直線與拋物線，和有且只有4個交點，求的取值范圍；
（3）當，時，若拋物線的解析式為，請寫出拋物線的解析式．
25．（2025·長沙模擬）定義：若一個圓內接四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為圓正直四邊形．
（1）若四邊形為圓正直四邊形，請你判斷下列說法是否正確．（在題后相應的括號中，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
①四邊形一定是平行四邊形；（　　）
②四邊形可能是正方形；（　　）
③四邊形的四條邊的數量關系為．（　　）
（2）如圖①，四邊形是圓正直四邊形，的直徑交于點P，連接交于點E，連接，證明：；
（3）如圖②，在中，經過點A，B的交邊于點D，交于點E，連接，交于點F，若在四邊形的內部存在一點P，，，，且，交于點G，，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】無理數的概念
【解析】【解答】解：A、是分數，故是有理數，故選項A符合題意；
B、是無理數，故選項B不符合題意；
C、是無理數，故選項C不符合題意；
D、是無理數，故選項D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】無限不循環小數為無理數，根據無理數的定義去甄別即可．
2．【答案】C
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項A不符合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項B不符合題意；
C、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故選項C符合題意；
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項D不符合題意；
故答案為：C．
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖.根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐一判斷即可．
3．【答案】B
【知識點】同底數冪的除法；單項式乘多項式；完全平方公式及運用；合并同類項法則及應用
【解析】【解答】解：A．，原選項計算錯誤，故選項A不符合題意；
B．，原選項計算正確，故選項B符合題意；
C．，原選項計算錯誤，故選項C不符合題意；
D．，原選項計算錯誤，故選項D不符合題意．
故答案為：B．
【分析】根據合并同類項法則、同底數冪的除法法則、單項式乘以多項式以及完全平方公式的運算法則，逐項計算并進行判斷即可．
4．【答案】B
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：A、，不能組成三角形，故選項A不符合題意；
B、，可以組成三角形，故選項B符合題意；
C、，不能組成三角形，故選項C不符合題意；
D、，不能組成三角形，故選項D不符合題意.
故答案為：B．
【分析】三角形的兩邊之和大于第三邊， 兩邊之差小于第三邊，據此進行判斷即可．
5．【答案】D
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：3254.5萬=3254.5×104＝3254.5×107，
故答案為：D．
【分析】當原數絕對值大于等于10時，科學記數法表示成的形式，其中，n為整數，n為原數字的整數位數－1.
6．【答案】C
【知識點】垂線的概念；兩直線平行，內錯角相等；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴∠EDC=∠1=32°.
∵，
∴，
∴∠DCE=90°－∠EDC=58°.
故答案為：C．
【分析】根據平行線的性質可求得∠EDC的度數，再根據直角三角形內角互余，即可求得∠DCE的度數.
7．【答案】D
【知識點】平均數及其計算；中位數；方差；眾數
【解析】【解答】解：A、平均數為，故A錯誤，不符合題意；
B、根據題意，得眾數為，故B錯誤，不符合題意；
C、將數據按從小到大進行排列為，，，，，則中位數是，故C錯誤，不符合題意；
D、方差為，故D正確，符合題意；
故答案為∶D．
【分析】結合折線統計圖，根據平均數的計算，眾數、中位數的定義、方差的計算進行求解即可.
8．【答案】C
【知識點】一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：∵一次函數的圖象經過第二、三、四象限，
∴，
解①得：m＜2；解②得：m>1，
∴，
故答案為：C．
【分析】根據一次函數的圖象經過二、三、四象限可得，，分別解兩個不等式，即可求得m的取值范圍．
9．【答案】B
【知識點】切線長定理
【解析】【解答】解：設的內切圓切三邊于點、、，如圖，
∴，，.
設AF=x，則BF=AB－AF=5－x，
∴BH=BF=5－x，AG=AF=x，
∴CH=BC－BH=3－(5－x)，CG=AC－AG=4－x.
∴3－(5－x)=4－x，
解得：x=3.
∴AG=AF=3.
∵是的切線，
∴，，
∴△ADE的周長可以表示為：AD+DE+AE=AD+DM+EM+AENBDDF=AF+AG=3+3=6.
故答案為：B．
【分析】設的內切圓切三邊于點，由切線長定理可知，，.設AF=x，表示出BF的長，繼而可表示出CH和CG的長，于是可根據CH=CG得到方程，求解即可得AG和AF的長，再根據是的切線，可得，，于是可計算△ADE的周長.
10．【答案】B
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：∵拋物線的開口向上，對稱軸在y軸左側，
∴，，
∴；
畫樹狀圖如下：
∴共有20種等可能結果，其中滿足且的結果有2種結果，
∴使拋物線的開口向上，對稱軸在y軸左側的概率為．
故答案為：B．
【分析】首先根據題意得，，然后利用畫樹狀圖法列舉出所有可能的情況，以及滿足條件的結果數，最后利用概率公式求解即可．
11．【答案】
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：原式；
故答案為：．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式法進行因式分解即可.
12．【答案】91.7
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【解答】解：由題意可知，該參賽隊的最終成績是：
（分）．
故答案為：91.7．
【分析】根據加權平均數的計算方法求解即可.
13．【答案】8
【知識點】圓周角定理；圓內接正多邊形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
則，
∵是的內接正邊形的一邊，
∴，
故答案為：8．
【分析】根據圓周角定理可得，再結合，即可作答．
14．【答案】
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式
【解析】【解答】解：點在反比例函數的圖象上，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】直接利用反比例函數圖象上點的坐標特征，把點坐標代入解析式并求解方程即可．
15．【答案】4
【知識點】圓錐的計算
【解析】【解答】解：由題意知：展開圖扇形的弧長是2×3＝6，
設母線長為L，則有×6l＝15，
解得：l＝5，
∵由于母線，高，底面半徑正好組成直角三角形，
∴在直角△AOC中高AO＝＝4．
故答案為：4．
【分析】設母線長為l，再利用圓錐側面積的計算方法可得×6l＝15，求出l＝5，再利用勾股定理求出AO的長即可。
16．【答案】
【知識點】坐標與圖形性質；矩形的判定與性質；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：過點作于點，軸于點，如圖，
∴∠BNC=∠BNO=∠BMO=∠MON=90°，
∴∠NBC=90°－∠NCB=45°=∠NCB，且四邊形OMBN為矩形，
∴OM=BN=CN，ON=BM.
是等腰直角三角形，
，，
∵∠POA=∠AMB=90°，
，
，
，
，
，
，
∵，
故答案為：．
【分析】過點作于點，軸于點，證明∠NBC=∠NCB，四邊形OMBN為矩形，可得OM=BN=CN，ON=BM.證明△APO≌△BAM，可得得，OA=BM，于是可得ON=BM=OA=3，然后根據即可求解．
17．【答案】解：
．
【知識點】負整數指數冪；實數的絕對值；實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】先計算乘方、負整數指數冪、化簡二次根式、并且去絕對值，再合并同類項即可．
18．【答案】解：
，
當時，原式．
【知識點】利用整式的混合運算化簡求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式和多項式乘多項式法則進行展開，計算整式的除法運算，再合并同類項進行化簡，最后把代入計算即可.
19．【答案】解：記平行于MN的直線為PA，如圖所示：
∵，
∴，，
由題意得：△PQM和△PQN為直角三角形.
在Rt△PQM中，∠PQN=90°，∠PMQ=60°，
∴，
∴（米），
在Rt△PQN中，∠PQN=90°，∠PNQ=37°，
∵，
∴（米），
∴（米）．
答：這條河的寬度米．
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣仰角俯角問題；母子模型
【解析】【分析】記平行于MN的直線為PA，判斷△PQM和△PQN為直角三角形，然后分別在和中，利用銳角三角函數，求出QM和QN的長，然后計算出的長即可．
20．【答案】（1）
（2）
（3）解：列表格如圖所示：
　 A B C D
A (A，A) (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (B，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (C，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) (D，D)
由表格可得，共有種等可能的結果，其中小明和小華恰好選中同一個主題活動的結果有種，
∴小明和小華恰好選中同一個主題活動的概率為．
【知識點】總體、個體、樣本、樣本容量；扇形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；簡單事件概率的計算
【解析】【解答】解：（1）本次隨機調查的學生人數是（人）；
故答案為：；
（2）
解：在扇形統計圖中，“”所在扇形的圓心角，
答案為：；
【分析】（）只知道A組人數占總數的百分比，故用組人數除以它對應的百分比即可求解；
（）用乘以組人數的占比即可求解；
（）畫出表格，根據表格數出所有的結果數以及滿足條件的結果數，再利用概率公式即可解答.
（1）解：本次隨機調查的學生人數是；
故答案為：；
（2）解：在扇形統計圖中，“”所在扇形的圓心角，
答案為：；
（3）解：畫樹狀圖如圖所示：
由樹狀圖可得，共有種等可能的結果，其中小明和小華恰好選中同一個主題活動的結果有種，
∴小明和小華恰好選中同一個主題活動的概率為．
21．【答案】（1）證明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．

【知識點】三角形內角和定理；三角形全等及其性質；等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）結合等腰三角形的性質，再利用即可證明，根據全等三角形的性質即可得結論；
（2）由得到，，證明∠ECD=90°，可得，最后根據平角的定義即可求解．
（1）證明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．【答案】（1）解：設購進甲種紀念品每件需要元，乙種紀念品每件需要元，
根據題意得：，
解得：．
答：購進甲種紀念品每件需要元，乙種紀念品每件需要元．
（2）設該商場購進a件甲種紀念品，則購進（100－a）件乙種紀念品，根據題意得：
，
解得：，
答：該商場最少購進甲種紀念品件．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設購進甲種紀念品每件需要元，乙種紀念品每件需要元，根據題意得等量關系“甲種紀念品的單價×1+乙種紀念品的單價×2＝，甲種紀念品的單價×2+乙種紀念品的單價×3＝”，據此列出關于、的方程組并求解即可；
（2）設該商場購進a件甲種紀念品，則購進(100－a)件乙種紀念品，利用“總利潤每件的銷售利潤銷售數量”，結合題意可列出關于的一元一次不等式，解之即可得出結論.
（1）解：設購進甲種紀念品每件需要元，乙種紀念品每件需要元，
根據題意得：，
解得：．
答：購進甲種紀念品每件需要元，乙種紀念品每件需要元．
（2）設該商場購進件甲種紀念品，則購進件乙種紀念品，
根據題意得：，
解得：，
的最小值為．
答：該商場最少購進甲種紀念品件．
23．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵BG+DG=BD=20，
∴．
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，，.
∵，可設DF=3x，FC=2x，
∴，
∵，
∴，即，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
【知識點】平行四邊形的性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊；相似三角形的性質-對應面積
【解析】【分析】（1）根據平行線分線段成比例得出，結合BG+DG=BD=20，即可求出的長；
（2）根據平行四邊形的性質得出，，，繼而可得出，，.設DF=3x，FC=2x，可得AB=CD=5x。由可計算出DM和CM的值，由可得，于是可得，由得，最后根據即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：當，，，時，
∴，
∴頂點坐標為；
∵將拋物線關于直線的對稱拋物線記為，
則拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為；
∵關于點中心對稱的拋物線記為，
則拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：當，，時，
∴，頂點坐標為（2，﹣1）.
∴頂點坐標（2，﹣1）關于直線對稱的點坐標為（2，2m+1），關于點（0，m）對稱的點坐標為（﹣2，2m+1）.
，，.
∵ 直線與拋物線，和有且只有4個交點，
∴和有兩個交點A，B（點A在點B左側），且交點的縱坐標為m，直線與拋物線另外兩個交點C，D（點C在點D左側），
∴，，
∴，，，
∴m>﹣1，，，，，
可畫圖如下：
或
∵，即，
可得：m≠3.
故直線與拋物線，和有且只有4個交點時，的取值范圍為或．
（3）解：當，時，
∴，
∴拋物線的頂點坐標為，
∵拋物線的解析式為，
∵與關于直線 對稱，
∴，，，
∴與關于點中心對稱，
∴拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數y=ax²+bx+c與二次函數y=a（x-h）²+k的轉化；二次函數圖象的對稱變換
【解析】【分析】（1）首先將a，b，c的值代入并配方得到，然后根據軸對稱和關于點對稱的性質分別求出拋物線和的頂點坐標和二次項系數，即可得到和的解析式；
（2）根據題意分別求出，和的解析式，再根據直線與拋物線，和有且只有4個交點，可得和有兩個交點A，B（點A在點B左側），且交點的縱坐標為m，直線與拋物線另外兩個交點C，D（點C在點D左側），根據交點個數得，，；分別表示出A，B，C和D四點的橫坐標，并畫出圖形，再根據點A和點D不重合，可再確定一個m的取值范圍，即可得到答案.
（3）首先配方得到，求出拋物線的頂點坐標為，然后配方得到拋物線的解析式為，求出，，，進而求解即可．
（1）解：當，，，時，
∴，
∴頂點坐標為；
∵將拋物線關于直線的對稱拋物線記為，
∴拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為；
∵關于點中心對稱的拋物線記為，
∴拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：當，，時，
∴，
如圖所示，當時，直線與拋物線，和沒有交點；
如圖所示，當時，直線與拋物線，和有2個交點；
如圖所示，當時，直線與拋物線，和有4個交點；
如圖所示，當時，直線與拋物線，和有3個交點；
如圖所示，當時，直線與拋物線，和有4個交點；
綜上所述，若直線與拋物線，和有且只有4個交點，的取值范圍為或．
（3）解：當，時，
∴，
∴拋物線的頂點坐標為，
∵拋物線的解析式為，
∵將拋物線關于直線的對稱拋物線記為，
∴，，，
如圖所示，
∵關于點中心對稱的拋物線記為，
∴拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為．
25．【答案】（1）①×；②√；③√
（2）證明：連接，如圖，
∵是的直徑，
，
∵四邊形為圓正直四邊形，
，
，
，
，
∴．
（3）解：∵四邊形ABED是圓內接四邊形，
∴∠BAD+∠BED=180°，
又∵∠BED+∠CED=180°，
∴∠BAD=∠CED.
又∵∠DCE=∠BCA，
∴△DCE∽△BCA，
∴.
設DE=x，PD=y，
則AB=2DE=2x，PB=12－y，
∵，且
∴，
∴，，
∴，.
∵，
，
，
，
，
，
，
，即，
∴，
.
∴，，
∴，
，
，，
，
∴，
整理得：，
∴當y=6時，x2有最小值，最小值為，此時，
∴的最小值為：．
【知識點】圓與三角形的綜合；圓與函數的綜合
【解析】【解答】解：（1）如圖，若四邊形為圓正直四邊形，則，
，
.
若AB=BC，AD=DC，且AB≠CD，同樣有，
此時四邊形ABCD不是平行四邊形；故說法①錯誤；說法③正確；
當AB=BC=CD=AD時，四邊形ABCD是正方形，且同樣有，故說法②正確；
故答案為：①×；②√；③√.
【分析】（1）根據四邊形為圓正直四邊形，得出，根據勾股定理得出和，可得．再根據平行四邊形、正方形的性質即可判斷①②③即可．
（2）連接，根據圓周角定理得出，再根據圓正直四邊形的性質可得，于是可得，證得，利用相似三角形的性質即可得到結論.
（3）由圓內接四邊形的性質可證明△DCE∽△BCA，于是有.設DE=x，PD=y，可表示出AB和PB的值，再結合，可表示出BE和AD的長；證明△APD∽△EPB，可得，繼而可證明，得出，于是可根據三角形內角和定理證得，利用勾股定理證出，分別把AB，DE，AD和BE的長代入，可得關于的等式，再根據二次函數最值即可求出最終結果．
（1）解：如圖，若四邊形為圓正直四邊形，則，
，
．
故四邊形不一定是平行四邊形；可能是正方形；
①四邊形一定是平行四邊形；（×）
②四邊形可能是正方形；（√）
③四邊形的四條邊的數量關系為．（√）
（2）證明：連接，如圖，
∵是的直徑，
，
∵四邊形為圓正直四邊形，
，
，
，
，
∴．
（3）解：∵，
，
，
，
，
，
，
即，
∴，
，
又 ∵，
∴，即，
，
，
，
四點共圓，
，
，
，
，
又 ∵，
設，則，
，
∴在中，，
，
則利用勾股定理可得，
在中，，
，
則利用勾股定理可得，
∵，
∴，
即有，
∴當時，取最小值，從而取最小值，最小值為，
即的最小值為：．
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