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2024-2025學年第二學期七年級數學期末模擬卷（22）
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：130分）
學校： 年級： 姓名： 考號：
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分，每題均有四個選項，其中只有一個選項符合規定）
1．計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
2．博物館是歷史的見證者和收錄者，是人們直觀感受歷史脈絡，提升歷史認知的重要場所．以下四個博物館標識，其文字上方的圖案不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子中，為最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命題為假命題的是（ ）
A．對頂角相等
B．有一條公共邊，且互補的兩個角互為鄰補角
C．兩直線平行，內錯角相等
D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
5．嫦娥六號于2024年6月2日成功著陸在月球背面南極一艾特肯盆地預選著陸區，開啟人類探測器首次在月球背面實施的樣品采集任務．嫦娥六號采用了機械臂表取和鉆具鉆取兩種方式共采集樣品，假設機械臂表取采集的樣品數量比鉆具鉆取采集的樣品數量的4倍還多．若設機械臂表取樣品，鉆具鉆取樣品，則根據題意可列方程組為（ ）
A． B．
C． D．
6．若代數式，，則的值（ ）
A．一定是負數 B．一定是正數
C．一定不是負數 D．一定不是正數
7．如圖，將△ABC繞點B順時針旋一定角度后，得到，此時點A、B、在同一條直線上，若，則旋轉角的度數為（ ）
A． B． C． D．
8．不等式組的解集在數軸上表示為（ ）
A． B．
C． D．
9．將正方形，長方形按如圖所示方式拼在一起，，連結，，．記正方形的面積為，長方形的面積為，若要求出的面積，則需要知道（ ）
A． B． C． D．
第9題 第10題
10．如圖，將四邊形折疊，折痕為，連接并延長交延長線于點，若，，平分．則下列結論：①．②；③平分；④．其中錯誤的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
二、填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分，請把正確的答案填寫在答題卡相應的位置。）
11．已知，則 ．
12．在數軸上到原點的距離小于的點所表示的整數共有 個
13．將一張長方形紙片折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個三角形，為折痕，若，則的度數為 ．
14．公園里有一塊長為，寬為的長方形花壇，現在要把花壇四周均向外擴展，擴展后的長方形花壇的長為，寬為，則擴展后的長方形花壇的面積比擴展前的長方形花壇的面積增加了 ．
15．若不等式組至少有3個整數解，則a的取值范圍是 ．
16．如圖1是一個長為、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個大正方形，如圖2所示，請直接寫出之間的等量關系 ．

17．若多項式與的乘積中不含的項，則的值為 ．
18．在“折紙與平行”的拓展課上，老師布置了一個任務：如圖，有一張三角形紙片，，，點D是邊上的固定點．請在上找一點E，將紙片沿折疊（為折痕），點B落在點F處，使與三角形的一邊平行，則的度數為 ．
三、解答題（本大題共9個小題，共76分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
19．（5分）計算：
20．（8分）（1）已知和都是方程的解，求k與b的值．
（2）解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．
21．（6分）先化簡，再求值：
其中．
22．（9分）如圖，圖①、圖②、圖③都是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點均在格點（網格線的交點）上． 按要求分別在圖①、圖②、圖③中畫三角形．
(1)把ABC向上平移2個單位長度，得到．其中與、與是對應點． 在圖①中畫出；
(2)在圖②中畫出，使與ABC關于直線對稱；
(3)在圖③中畫出，使與ABC關于線段的中點成中心對稱．
23．（8分）如圖，某城市廣場是一個長方形，長為米，寬為米．為了豐富市民文化生活，政府計劃在中間區域建一個長方形的音樂噴泉池（圖中陰影部分），音樂噴泉池的四周為市民活動區域，寬度分別為米、米（如圖所示）．
(1)求音樂噴泉池的占地面積（用含，的式子表示）．
(2)若，滿足，求該廣場音樂噴泉的面積．
(3)在（2）的條件下，音樂噴泉池建成后，需給市民活動區域鋪上地磚．若市民活動區域每平米鋪設地磚的費用為元，求市民活動區域鋪設地磚的費用
24．（8分）“太空育種”是種子被宇航員帶入太空，經歷一段太空環境后，再返回地球進行培育的育種方法，是將輻射、宇航、育種和遺傳等學科綜合的高新技術．經太空育種后的鮮花花期更長、花朵更鮮艷、價格也較高.我國培育成功的太空育種鮮花“延丹號”山丹丹單價為元盆，“太空玫瑰”單價為元盆．
(1)為美化環境，公園計劃購買這兩種太空育種鮮花共盆，若購買這兩種鮮花的總價為元，請計算購買“延丹號”山丹丹和“太空玫瑰”的盆數；
(2)若公園購買這兩種太空育種鮮花的預算資金只有元，所需購買兩種鮮花的總數仍為盆，則最多可購買“太空玫瑰”多少盆？
25．（10分）我們在學習《從面積到乘法公式》時，曾用兩種不同的方法計算同一個圖的面積，探索了單項式乘多項式的運算法則：（如圖1），多項式乘多項式的運算法則：（如圖2）以及完全平方公式：（如圖3）．
把幾個圖形拼成一個新的圖形，通過圖形面積的計算，常常可以得到一些等式，這是研究數學問題的一種常用方法．
(1)觀察圖4請你寫出、、之間的等量關系是_____；
(2)根據（1）中的結論，若，，求出的值；
(3)拓展應用：若，求出的值．
26．（10分）在數學老師的指導下，同學們進行了積極的數學探究性學習活動．
【思考與推理】老師提供了下列一組等式：
第一個等式：；
第二個等式：；
第三個等式：；
第四個等式：；
…
第n個等式可寫為：
老師引導同學們將這n個等式相加，做了如下推理：
整理得，
……
…
【類比推廣】根據上面等式的特點，同學們類比寫出下面一些等式．
第一個等式：；
第二個等式：；
第三個等式：；
第四個等式：；
……
【問題解決】
(1)請你完成【思考與推理】中省略的步驟．
(2)你能寫出【類比推廣】中的第5個等式：__________________________；猜想第n個等式：___________________，請你證明這個猜想．
(3)你能利用【思考與推理】的思路和成果，直接寫出關于的公式．
27．（12分）【問題背景】
同學們，我們一起觀察小豬的豬蹄，你會發現一個我們熟悉的幾何圖形（如圖1），我們就把這個圖形形象的稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數量關系．
（1）如圖（1），，為、之間一點，連接、，得到，試探究與，之間的數量關系，并說明理由．
【實際運用】
（2）消防云梯的示意圖如圖（2）所示，其由救援臺、延展臂（在的左側）、伸展主臂、支撐臂構成，在作業過程中，救援臺、車身及地面三者始終保持水平平行．為了參與一項高空救援工作，需要進行作業調整，如圖（3）．使得延展臂與支撐臂所在直線互相垂直，且，這時展角______°．
【深入探索】
（3）今年元宵節小美江邊觀賞燈光秀時，發現兩岸燈光在有規律的旋轉．如圖（4），射線從開始，繞點以10°每秒的速度逆時針旋轉，同時射線從開始，繞點以25°每秒的速度逆時針旋轉，直線與直線交于，若直線與直線相交所夾的銳角為45°，請求出運動時間秒（）的值．
答案與解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分，每題均有四個選項，其中只有一個選項符合規定,把答案用2B鉛筆填涂在答題卡相應的位置.）
1．計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了積的乘方計算，根據計算求解即可．
【詳解】解：，
故選：D．
2．博物館是歷史的見證者和收錄者，是人們直觀感受歷史脈絡，提升歷史認知的重要場所．以下四個博物館標識，其文字上方的圖案不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查軸對稱圖形識別．如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．根據定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A，文字上方的圖案是軸對稱圖形，不合題意；
B，文字上方的圖案不是軸對稱圖形，符合題意；
C，文字上方的圖案是軸對稱圖形，不合題意；
D，文字上方的圖案是軸對稱圖形，不合題意；
故選B．
3．選：D
4．下列命題為假命題的是（ ）
A．對頂角相等
B．有一條公共邊，且互補的兩個角互為鄰補角
C．兩直線平行，內錯角相等
D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
【答案】B
【分析】本題考查了對角頂的性質，鄰補角的定義，兩直線平行內錯角相等，平行公理，判斷命題的真假，解答關鍵是熟悉上述知識，并能運用求解．
根據對頂角的性質可判斷A；根據鄰補角的定義可判斷B；根據平行線的性質可判斷C；根據平行公理可判斷D．
【詳解】對頂角相等這是對頂角的性質，它是真命題，故A不符合；
如圖，，但它們不是鄰補角，所以“有一條公共邊，且互補的兩個角互為鄰補角”是假命題，故B符合；
兩直線平行，內錯角相等，這是平行線的一條性質，它是真命題，故C不符合；
過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行是真命題，故D不符合．
故選：B．
5．嫦娥六號于2024年6月2日成功著陸在月球背面南極一艾特肯盆地預選著陸區，開啟人類探測器首次在月球背面實施的樣品采集任務．嫦娥六號采用了機械臂表取和鉆具鉆取兩種方式共采集樣品，假設機械臂表取采集的樣品數量比鉆具鉆取采集的樣品數量的4倍還多．若設機械臂表取樣品，鉆具鉆取樣品，則根據題意可列方程組為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，設機械臂表取樣品，鉆具鉆取樣品，根據兩種方式共采集樣品，可得方程，根據機械臂表取采集的樣品數量比鉆具鉆取采集的樣品數量的4倍還多，可得方程，據此列出方程組即可得到答案．
【詳解】解：由題意得，，
故選：C．
6．若代數式，，則的值（ ）
A．一定是負數 B．一定是正數
C．一定不是負數 D．一定不是正數
【答案】B
【分析】本題考查了整式的運算和配方法，做題的關鍵是配方法的靈活應用．依題意，求解，配方成完全平方公式求解即可．
【詳解】解：依題意可得：
，
，
，
的值一定是正數，
故選：B．
7．如圖，將△ABC繞點B順時針旋一定角度后，得到，此時點A、B、在同一條直線上，若，則旋轉角的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了旋轉的性質，熟練地掌握對應點與旋轉中心連線的夾角等于旋轉角是解題的關鍵．
根據旋轉的性質可知，用減去的度數再除以2即可求出旋轉角的度數．
【詳解】解：∵繞點B順時針旋轉，得到，
，
，
，
，
故選：A．
8．不等式組的解集在數軸上表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組、在數軸上表示不等式組的解集等知識，正確解該不等式組是解題關鍵．分別解兩個不等式，然后根據“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的原則確定該不等式組的解集，然后將其表示在數軸上即可．
【詳解】解：，
解不等式①，可得 ，
解不等式②，可得 ，
∴該不等式的解集為 ，
將其表示在數軸上如圖所示：
故選：B．
9．將正方形，長方形按如圖所示方式拼在一起，，連結，，．記正方形的面積為，長方形的面積為，若要求出的面積，則需要知道（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查完全平方公式與幾何的綜合應用，設，，分割法表示出陰影部分的面積，進行判斷即可．
【詳解】解：由題意，設，，
則：，，
∴的面積
；
故只需要知道即可求出的面積；
故選A．
10．如圖，將四邊形折疊，折痕為，連接并延長交延長線于點，若，，平分．則下列結論：①．②；③平分；④．其中錯誤的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】D
【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質，角平分線的定義，翻折的性質等知識，利用平行線的性質可得，從而得出，即可得出①正確，由平行線的性質和翻折的性質可知②正確；根據平行線的性質可得，若平分，則可證明，根據現有條件無法說明，從而得不到平分，故③錯誤；設，則，再利用翻折和平行線的性質表示出的度數，從而判斷④正確．
【詳解】解：，
，
，
，
，故①正確；
，
四邊形折疊，
，故②正確；
平分，
，
，
，
若平分，則，
∴，即，
根據現有條件無法說明，即不能說明，故得不到平分，故③錯誤；
設，
則，
，
，，
，故④正確，
綜上所述，錯誤的有③，
故選：D．
二、填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分，請把正確的答案填寫在答題卡相應的位置。）
11．已知，則 ．
【答案】16
【分析】此題考查了同底數冪的除法運算，正確將原式變形是解題關鍵．直接利用同底數冪的除法運算法則計算得出答案．
【詳解】∵
∴．
故答案為：16．
12．5
13．將一張長方形紙片折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個三角形，為折痕，若，則的度數為 ．
【答案】
【分析】本題考查了折疊的性質，平行線的性質，平角定義，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
由折疊性質可知，，又，則，設，然后根據平角定義求出的值即可．
【詳解】解：由折疊性質可知，，
∵，
∴，
設，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
故答案為：．
14．公園里有一塊長為，寬為的長方形花壇，現在要把花壇四周均向外擴展，擴展后的長方形花壇的長為，寬為，則擴展后的長方形花壇的面積比擴展前的長方形花壇的面積增加了 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了多項式乘法在幾何圖形中的應用，根據長方形面積計算公式分別求出擴展前后圖形的面積，二者相減即可得到答案．
【詳解】解：
，
∴擴展后的長方形花壇的面積比擴展前的長方形花壇的面積增加了，
故答案為：．
15．若不等式組至少有3個整數解，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查根據一元一次不等式組解集的情況求參數，解題的關鍵是：熟練掌握一元一次不等式組的整數解, 先求出不等式組的解集，再根據恰有3個整數解，即可求解．
【詳解】解：不等式組，得：，
∵至少有3個整數解，3個整數解為：，，
∴，
故答案為：．
16．如圖1是一個長為、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個大正方形，如圖2所示，請直接寫出之間的等量關系 ．

【答案】
【分析】分別求出圖2中大正方形，陰影及小長方形的面積，即可得到等式．
【詳解】解：圖2中大正方形的面積為，陰影圖形的面積為，四個小長方形的面積為，
∴，
故答案為：．
17．若多項式與的乘積中不含的項，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了多項式乘法中的無關型問題，負整數指數冪，根據多項式乘以多項式的計算法則求出的展開結果，再根據結果中不含的項求出，據此代值計算即可得到答案．
【詳解】解：
，
∵多項式與的乘積中不含的項，
∴，
∴，
故答案為：．
18．在“折紙與平行”的拓展課上，老師布置了一個任務：如圖，有一張三角形紙片，，，點D是邊上的固定點．請在上找一點E，將紙片沿折疊（為折痕），點B落在點F處，使與三角形的一邊平行，則的度數為 ．
【答案】或或
【分析】本題考查折疊性質、平行線性質，熟練掌握折疊性質，利用分類討論思想，結合圖形進行角的運算是解答的關鍵．
分，，三種情況，利用折疊性質和平行線的性質求解即可．
【詳解】解：當時，如圖，則，
由折疊性質得：，
∴，
當時，如圖，則，
由折疊性質得：，
∴；
當時，如圖，則，
由折疊性質得：，
∴．
綜上，的度數為或或．
故答案為：或或．
三、解答題（本大題共8個小題，共76分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
19． 1
20．（6分）（1）已知和都是方程的解，求k與b的值．
（2）解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．
【答案】（1）；（2），在數軸上表示解集見數軸．
【分析】本題考查二元一次方程組，一元一次不等式（組）的解法，解題的關鍵是掌握不等式組解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．
（1）根據方程解的定義構造方程組，利用加減消元法求解可得；
（2）分別解出兩個不等式的解集，再根據“大小小大中間找”確定不等式組的解集即可．
【詳解】解：（1）把知和代入方程
，
解得 ；
（2）
解不等式，得：，
解不等式，得：，
則不等式組的解集為，
將不等式組的解集表示在數軸上如下：
21．（6分）先化簡，再求值：
其中．
【答案】，2
【分析】本題考查整式的混合運算，化簡求值，先根據整式的運算法則，乘法公式進行化簡，根據，利用非負性求出的值，再代入化簡后的整式中進行計算即可．
【詳解】解：
；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴原式．
22．（8分）如圖，圖①、圖②、圖③都是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點均在格點（網格線的交點）上． 按要求分別在圖①、圖②、圖③中畫三角形．
(1)把ABC向上平移2個單位長度，得到．其中與、與是對應點． 在圖①中畫出；
(2)在圖②中畫出，使與ABC關于直線對稱；
(3)在圖③中畫出，使與ABC關于線段的中點成中心對稱．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析
【分析】此題考查了平移、軸對稱、中心對稱的作圖，讀懂題意，準確作圖是關鍵．
（1）按照平移方式找到對應點，順次連接即可；
（2）按照對稱軸找對應點，順次連接即可；
（3）按照中心對稱的定義找到對應點，順次連接即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）如圖，即為所求，
（3）如圖，即為所求，
23．（9分）如圖，某城市廣場是一個長方形，長為米，寬為米．為了豐富市民文化生活，政府計劃在中間區域建一個長方形的音樂噴泉池（圖中陰影部分），音樂噴泉池的四周為市民活動區域，寬度分別為米、米（如圖所示）．
(1)求音樂噴泉池的占地面積（用含，的式子表示）．
(2)若，滿足，求該廣場音樂噴泉的面積．
(3)在（2）的條件下，音樂噴泉池建成后，需給市民活動區域鋪上地磚．若市民活動區域每平米鋪設地磚的費用為元，求市民活動區域鋪設地磚的費用
【答案】(1)音樂噴泉池的占地面積為
(2)
(3)市民活動區域鋪設地磚的費用為元
【分析】本題主要考查了整式乘法的應用，代數式求值，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
（1）根據題意列式，再根據多項式乘多項式計算即可；
（2）根據非負數的性質，得出，代入（1）的式子進行計算即可求解；
（2）先根據題意列式求出市民活動區域的面積，再列式計算求出鋪設地磚的費用即可，將，代入即可求解．
【詳解】（1）解：由題可得音樂噴泉池的占地面積為
．
答：音樂噴泉池的占地面積為．
（2）解：，
∴
解得： ，
∴
（3）解：由題可得市民活動區域的面積為
．
市民活動區域每平米鋪設地磚的費用為80元，
．
當時，
答：市民活動區域鋪設地磚的費用為元．
24．（8分）“太空育種”是種子被宇航員帶入太空，經歷一段太空環境后，再返回地球進行培育的育種方法，是將輻射、宇航、育種和遺傳等學科綜合的高新技術．經太空育種后的鮮花花期更長、花朵更鮮艷、價格也較高.我國培育成功的太空育種鮮花“延丹號”山丹丹單價為元盆，“太空玫瑰”單價為元盆．
(1)為美化環境，公園計劃購買這兩種太空育種鮮花共盆，若購買這兩種鮮花的總價為元，請計算購買“延丹號”山丹丹和“太空玫瑰”的盆數；
(2)若公園購買這兩種太空育種鮮花的預算資金只有元，所需購買兩種鮮花的總數仍為盆，則最多可購買“太空玫瑰”多少盆？
【答案】(1)購買“延丹號”山丹丹盆，購買“太空玫瑰”盆；
(2)最多可購買“太空玫瑰”盆．
【分析】此題主要考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系和不等關系，列出方程組和不等式．
（）設購買“延丹號”山丹丹盆，購買“太空玫瑰”盆，由題意得， 然后解方程組即可；
（）設購買“太空玫瑰”盆， 由題意得，然后解不等式，再檢驗即可．
【詳解】（1）解：設購買“延丹號”山丹丹盆，購買“太空玫瑰”盆，
由題意，得，
解得，
答：購買“延丹號”山丹丹盆，購買“太空玫瑰”盆；
（2）解：設購買“太空玫瑰”盆，
由題意，得，
解得，
因為為正整數，
所以的最大值為，
答：最多可購買“太空玫瑰”盆．
25．（10分）我們在學習《從面積到乘法公式》時，曾用兩種不同的方法計算同一個圖的面積，探索了單項式乘多項式的運算法則：（如圖1），多項式乘多項式的運算法則：（如圖2）以及完全平方公式：（如圖3）．
把幾個圖形拼成一個新的圖形，通過圖形面積的計算，常常可以得到一些等式，這是研究數學問題的一種常用方法．
(1)觀察圖4請你寫出、、之間的等量關系是_____；
(2)根據（1）中的結論，若，，求出的值；
(3)拓展應用：若，求出的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本題考查乘法公式與幾何圖形的關系，讀懂題意，數形結合是解決問題的關鍵．
（1）如圖所示，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，從而根據大正方形的面積小正方形的面積4個長方形面積，代值求解即可得到答案；
（2）由（1）中得到的關系式，代值求解即可得到答案；
（3）由完全平方和公式，恒等變形后代值求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：，
，
故答案為：；
（2）解：由（1）可得，，
，
；
（3）解：
，
，
．
26．（10分）在數學老師的指導下，同學們進行了積極的數學探究性學習活動．
【思考與推理】老師提供了下列一組等式：
第一個等式：；
第二個等式：；
第三個等式：；
第四個等式：；
…
第n個等式可寫為：
老師引導同學們將這n個等式相加，做了如下推理：
整理得，
……
…
【類比推廣】根據上面等式的特點，同學們類比寫出下面一些等式．
第一個等式：；
第二個等式：；
第三個等式：；
第四個等式：；
……
【問題解決】
(1)請你完成【思考與推理】中省略的步驟．
(2)你能寫出【類比推廣】中的第5個等式：__________________________；猜想第n個等式：___________________，請你證明這個猜想．
(3)你能利用【思考與推理】的思路和成果，直接寫出關于的公式．
【答案】(1)詳見解析
(2)，，證明見解析
(3)，見解析
【分析】本題考查了整式的混合運算，數字類規律探索，熟練掌握各知識點，理解題意是解題的關鍵．
（1）根據等式的性質以及完全平方公式計算即可；
（2）根據已知的前4個等式總結出第5個等式，以及第n個等式的規律，并將等式左右兩邊利用多項式乘多項式展開即可證明相等；
（3）先通過，將等式中的從、、、依次取到時，就可得個等式，再累加即可，
【詳解】（1）解：剩余步驟為：，
∴，
∴；
（2）解：【類比推廣】中的第5個等式：；猜想第n個等式：，
證明：左邊，
右邊，
∵左邊右邊，
∴原式成立；
（3）解：，
當式中的從、、、依次取到時，就可得下列個等式：
，
，
，
，
，
將這個等式的左右兩邊分別相加得：，
即
．
27．（12分）【問題背景】
同學們，我們一起觀察小豬的豬蹄，你會發現一個我們熟悉的幾何圖形（如圖1），我們就把這個圖形形象的稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數量關系．
（1）如圖（1），，為、之間一點，連接、，得到，試探究與，之間的數量關系，并說明理由．
【實際運用】
（2）消防云梯的示意圖如圖（2）所示，其由救援臺、延展臂（在的左側）、伸展主臂、支撐臂構成，在作業過程中，救援臺、車身及地面三者始終保持水平平行．為了參與一項高空救援工作，需要進行作業調整，如圖（3）．使得延展臂與支撐臂所在直線互相垂直，且，這時展角______°．
【深入探索】
（3）今年元宵節小美江邊觀賞燈光秀時，發現兩岸燈光在有規律的旋轉．如圖（4），射線從開始，繞點以10°每秒的速度逆時針旋轉，同時射線從開始，繞點以25°每秒的速度逆時針旋轉，直線與直線交于，若直線與直線相交所夾的銳角為45°，請求出運動時間秒（）的值．
【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）3秒或9秒
【分析】本題主要考查了旋轉的定義、平行線的性質、三角形外角的性質、垂直的定義等知識點，靈活運用相關性質定理是解題的關鍵．
（1）如圖，過E點作，根據平行線的性質、角的和差以及等量代換即可解答；
（2）如圖：延長相交于點P，過P作，易得則、，由垂直的定義可得，然后根據角的和差以及平行線的性質即可解答；
（3）將直線的點M平移與直線的N點重合，然后根據題意分情況畫出圖形，根據旋轉的性質列出關于t的方程求解即可．
【詳解】解：（1），理由如下：
如圖，過E點作，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如圖：延長相交于點P，過P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）將直線的點M平移與直線的N點重合，
根據題意得，，
∴，
由題意可得：，
∴，解得：；
根據題意得，，
由題意可得：，
∴，
∴，解得：；
根據題意得，，
由題意可得：，
∴，
∴，解得：（不符合題意）；
綜上所述，運動時間秒為3或9．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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