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2024-2025學年第二學期七年級數學期末模擬卷（21）
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卷相應位置上）
1．下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，則實數的值（ ）
A． B． C．1 D．5
3．電影《哪吒之魔童鬧海》的熱映，推動了我國國產動畫電影發展，提升了中國文化影響力．對下列哪吒圖片的變換順序描述正確的是（ ）
A．軸對稱，平移，旋轉 B．旋轉，軸對稱，平移
C．軸對稱，旋轉，平移 D．平移，旋轉，軸對稱
4．若，則下列式子中錯誤的是（ 　）
A． B．
C． D．
5．下列命題：①如果，那么；②如果兩個角相等，那么這兩個角為同位角；③如果，那么；④如果與互補，那么，其中假命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．圖1是長方形紙條，，將紙條沿折疊成圖2，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
7．對定義一種新運算“※”，規定：（其中均為非零實數），若，，則的值是（ ）
A．13 B． C．11 D．
8．已知兩塊邊長都為的大正方形，兩塊邊長都為的小正方形和五塊長、寬分別是，的小長方形，按如圖所示的方式正好不重疊地拼成一個大長方形．已知拼成的大長方形周長為，圖中陰影部分四個正方形的面積之和為，則圖中每個小長方形的面積為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卷相應位置上）
9．已知，（m，n為正整數），則 ．
10．若，則 ．
11．清代詩人袁枚在《苔》中用“白日不到處，青春恰自來．苔花如米小，也學牡丹開”歌頌微小生命的堅韌與詩意．若苔花的花粉直徑約為米，將其用科學記數法表示為 ．
12．命題“如果，那么”的逆命題是 ．
13．不等式的最大整數解是 ．
14．已知 ，則a，b，c的大小關系是 ．（用“”連接）
15．如圖，將繞點順時針旋轉，得到，若，，則 ．
16．若不等式組的解集是，則 ．
17．如圖，直線向右平移至直線，與、相交，，，，則 ．
18．如圖，是我國古代數學重要的成就之一——“楊輝三角”或“賈憲三角”．該三角形圖表兩腰上的數都是1，其余每個數為它的上方（左右）兩數之和．事實上，這個圖表給出了（n為正整數）的展開式的系數規律．例如，此三角形中第2行中的2個數1，1，對應著展開式中各項的系數，此三角形中第3行中的3個數1，2，1，對應著展開式中各項的系數，若的展開式共有6項．那么各項的系數中最小的系數是 ．
三、解答題（本大題共10小題，共76分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（6分）計算：
(1)；
(2)．
20．（6分）解方程：
(1)
(2)
21．（6分）解不等式組：，并把解集表示在數軸上．
22．（8分）按要求在如圖所示的網格中完成畫圖（網格圖中每個小正方形的邊長均為個單位長度）．
(1)畫出將向上平移個單位長度，得到；
(2)畫出將繞點旋轉，得到；
(3)將沿某直線翻折，點的對應點是點，畫出翻折后的．
23．（8分）如圖是某住宅的平面結構示意圖及有關尺寸（墻壁厚度忽略不計，單位：）．
(1)求該住宅的面積（用含，的代數式表示）．
(2)該住宅的主人計劃把臥室以外的地面都鋪上地磚，其中衛生間的地面面積為．如果地磚的價格是每平方米80元，那么購買地磚至少需要花費多少元？
24．（8分）刀魚餛飩是江蘇江陰的特色美食，被譽為“初春第一鮮”．清明節前后是刀魚餛飩銷售的高峰，某電商平臺推出，兩種型號的刀魚餛飩禮盒，第一天售出禮盒8個、禮盒5個，總計收入1400元，第二天售出禮盒6個、禮盒10個，總計收入1800元；
(1)，兩種型號的刀魚餛飩禮盒每盒的售價分別是多少元？
(2)李叔叔在澄務工，清明假期計劃同時購買這兩種禮盒贈予親朋（，都需要購買），預算為1300元．請你幫助他設計預算資金恰好用完時的購買方案．
25．（8分）如圖，將沿直線向右平移a個單位到的位置．
(1)連接，當的周長為16，時，求四邊形的周長；
(2)已知的面積為12，．當所掃過的面積為18時，求a的值．
26．（10分）如果，那么我們規定．例如：因為，所以．
(1)根據上述規定，計算：______，______；
(2)記，，．探究、、三者之間的等量關系，并給出理由；
(3)若，則______．
27．（10分）閱讀理解：
定義：若一個方程（組）的解也是一個不等式（組）的解，我們稱這個方程（組）的解是這個不等式（組）的“友好解”．例如，方程的解是，同時也是不等式的解，則稱方程的解是不等式的“友好解”．
(1)試判斷方程的解是不是不等式的“友好解”？（ ）
A．是 B．不是
(2)若關于、的方程組的解是不等式的“友好解”，求的取值范圍；
(3)當時，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整數值．
28．（12分）將一副三角板按如圖1所示放置在直線上，，，．若三角板固定不動，三角板繞點C以每秒順時針旋轉一周，旋轉時間為．
(1)當面積最大時，求t的值．
(2)如圖2，是的平分線，當t的值為____________時，．
(3)若在三角板旋轉的同時，三角板也繞點C以每秒順時針旋轉，平分，平分，在旋轉的過程中，的度數是否為定值？若是，求出這個值；若不是，說明理由．
答案與解析
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卷相應位置上）
1．下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了積的乘方與冪的乘方、同底數冪的除法，合并同類項，熟悉運算法則是解題的關鍵．
根據積的乘方與冪的乘方、同底數冪的除法法則解答．
【詳解】解：A、，故本選項錯誤；
B、，故本選項錯誤；
C、，故本選項錯誤；
D、，故本選項正確；
故選：D．
2．若，則實數的值（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】D
【分析】本題考查了多項式乘以多項式，掌握整式的乘法運算法則是關鍵．
根據整式的乘法運算計算，再根據等式左右兩邊判定即可求解．
【詳解】解：，，
∴，
解得，，
故選：D ．
3．電影《哪吒之魔童鬧海》的熱映，推動了我國國產動畫電影發展，提升了中國文化影響力．對下列哪吒圖片的變換順序描述正確的是（ ）
A．軸對稱，平移，旋轉 B．旋轉，軸對稱，平移
C．軸對稱，旋轉，平移 D．平移，旋轉，軸對稱
【答案】A
【分析】本題考查幾何變換的類型，解題的關鍵是讀懂圖象信息．
根據平移變換，旋轉變換，軸對稱變換的定義判斷即可．
【詳解】解：哪吒圖片的變換順序是軸對稱平移旋轉．
故選：A．
4．若，則下列式子中錯誤的是（ 　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了不等式的性質，掌握（1）不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變是解題的關鍵．
根據不等式的基本性質，進行判斷即可．
【詳解】解：由可得，故正確，不符合題意；
B、由可得，原寫法錯誤，符合題意；
C、由可得，故正確，不符合題意；
D、由可得，故正確，不符合題意；
故選：B．
5．下列命題：①如果，那么；②如果兩個角相等，那么這兩個角為同位角；③如果，那么；④如果與互補，那么，其中假命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查的是命題與定理，根據絕對值、同位角的概念、實數的大小比較、補角的概念判斷即可．正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．
【詳解】解：①如果，那么，故本小題命題是假命題；
②兩個角相等，這兩個角不一定是同位角，故本小題命題是假命題；
③如果，那么，是假命題，例如：，而；
④如果與互補，那么，是真命題；
故選：C．
6．圖1是長方形紙條，，將紙條沿折疊成圖2，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了折疊的性質，鄰補角的性質、平行線的性質等知識點．由折疊的性質可得，由平行線的性質可得，再根據鄰補角的性質即可解答．
【詳解】解：∵，
由折疊得，
∴，
∴．
故選：C．
7．對定義一種新運算“※”，規定：（其中均為非零實數），若，，則的值是（ ）
A．13 B． C．11 D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了解二元一次方程組．根據題意聯立二元一次方程組，解出的值，再代入運算中即可求解．
【詳解】解：由題意得：，
整理得，
得：，
把代入②得：，
∴，
則，
故選：B．
8．已知兩塊邊長都為的大正方形，兩塊邊長都為的小正方形和五塊長、寬分別是，的小長方形，按如圖所示的方式正好不重疊地拼成一個大長方形．已知拼成的大長方形周長為，圖中陰影部分四個正方形的面積之和為，則圖中每個小長方形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了完全平方公式的變形求值，掌握是解題的關鍵．
根據拼成的大長方形周長為，四個正方形的面積之和為，得到，，根據完全平方公式求出的值即可．
【詳解】解：大長方形周長為，
，
，
四個正方形的面積之和為，
，
，
，
，
，
故選：B．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卷相應位置上）
9．已知，（m，n為正整數），則 ．
【答案】6
【分析】本題考查了同底數冪的乘法的逆用，熟練掌握同底數冪的乘法的運算法則是解題的關鍵．利用同底數冪的乘法的逆用把化為已知的形式，然后將、整體代入計算即可．
【詳解】解：∵，（m，n為正整數），
∴．
故答案為：6．
10．若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了整式的混合運算和求值的應用，用了整體代入思想，即把當作一個整體來代入．
先算乘法，再合并同類項，最后整體代入求出即可．
【詳解】解：∵
∴
．
故答案為：．
11．清代詩人袁枚在《苔》中用“白日不到處，青春恰自來．苔花如米小，也學牡丹開”歌頌微小生命的堅韌與詩意．若苔花的花粉直徑約為米，將其用科學記數法表示為 ．
【答案】
【分析】本題考查了用科學記數法表示較小的數，用科學記數法表示較小的數，一般形式為，其中，為整數．
【詳解】解：．
故答案為：．
12．命題“如果，那么”的逆命題是 ．
【答案】如果，那么
【分析】本題考查了寫出命題的逆命題，交換原命題的題設與結論部分即可得到原命題的逆命題．
【詳解】解：命題“如果，那么”的逆命題是“如果，那么”，
故答案為：如果，那么．
13．不等式的最大整數解是 ．
【答案】4
【分析】本題主要考查了求一元一次不等式的最大整數解，按照移項，合并同類項的步驟求出不等式的解集，進而求出求最大整數解即可．
【詳解】解：
移項得：，
合并同類項得：，
∴不等式的最大整數解是4，
故答案為：4．
14．已知 ，則a，b，c的大小關系是 ．（用“”連接）
【答案】
【分析】利用有理數的乘方，零指數冪，負整數指數冪計算后比較大小．
本題考查了有理數的乘方，零指數冪，負整數指數冪，有理數的大小比較，解題的關鍵是掌握有理數的乘方，零指數冪，負整數指數冪，有理數的大小比較．
【詳解】解：∵，
且，
∴．
故答案為：．
15．如圖，將繞點順時針旋轉，得到，若，，則 ．
【答案】/度
【分析】本題考查了旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質是本題的關鍵．
由旋轉的性質可得，進而根據，即可求解．
【詳解】解：∵將繞點順時針旋轉，得到，
∴，
∵，，
∴，
故答案為：．
16．若不等式組的解集是，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了解一元一次不等式組，以及有理數的乘方，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．先求出兩個不等式的解集，再結合不等式組的解集求出、的值，繼而代入計算即可．
【詳解】解：由不等式組，
得，即．
，．
，．
．
故答案為：．
17．如圖，直線向右平移至直線，與、相交，，，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了平移的性質，平行線的性質，對頂角相等，解方程組，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
由平移性質可得，再由對頂角相等，平行線的性質得出，從列方程組，然后解出，再代入即可求解．
【詳解】解：∵直線向右平移至直線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案為：．
18．如圖，是我國古代數學重要的成就之一——“楊輝三角”或“賈憲三角”．該三角形圖表兩腰上的數都是1，其余每個數為它的上方（左右）兩數之和．事實上，這個圖表給出了（n為正整數）的展開式的系數規律．例如，此三角形中第2行中的2個數1，1，對應著展開式中各項的系數，此三角形中第3行中的3個數1，2，1，對應著展開式中各項的系數，若的展開式共有6項．那么各項的系數中最小的系數是 ．
【答案】
【分析】根據題意得到規律第n行有n項，且指數為序號減1，得到的展開式共有6項，得到，然后根據規律寫出的各項系數，進而比較求解即可．
【詳解】第1行有1項，；
第2行有2項，
第3行有3項，
第4行有4項，
…
∴第n行有n項，
∵的展開式共有6項
∴
根據題意得，
∴
∴各項系數分別為32，，80，，10，
∴最小的為．
故答案為：．
【點睛】此題考查了多項式乘多項式規律問題，中能依據“楊輝三角兩腰上的數都是1，其余每個數為它的上方（左右）兩數之和”寫出“楊輝三角”的第6行數是解題關鍵．
三、解答題（本大題共10小題，共96分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（8分）計算：
(1)；(2)．
【答案】(1) (2)
【分析】本題主要考查實數的混合運算，同底數冪的乘除法運算，積的乘方，冪的乘方運算，掌握實數的混合運算法則，整式的混合運算法則是解題的關鍵．
（1）先算零次冪，乘方，負指數冪的結果，再根據實數運算法則計算即可；
（2）根據同底數冪的乘除法，積的乘方，冪的乘方運算，再合并同類項 即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．（8分）解方程：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【分析】本題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，會熟練運用代入消元法與加減消元法解方程組是解決問題的關鍵．
（1）方程組利用加減消元法求出解即可；
（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．
【詳解】（1）解：
得，，
將代入①得，
解得：
所以原方程組的解為：；
（2）解：
原方程組整理為：
得，
解得：，
將代入①得，
解得：
所以原方程組的解為：
21．（8分）解不等式組：，并把解集表示在數軸上．
【答案】，數軸表示見解答．
【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，表示在數軸上即可．
此題考查了在數軸上表示不等式的解集，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
【詳解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
∴原不等式組的解集為：
22．（8分）按要求在如圖所示的網格中完成畫圖（網格圖中每個小正方形的邊長均為個單位長度）．
(1)畫出將向上平移個單位長度，得到；
(2)畫出將繞點旋轉，得到；
(3)將沿某直線翻折，點的對應點是點，畫出翻折后的．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)見解析．
【分析】本題考查了基本作圖，根據平移的性質，軸對稱的性質，旋轉的性質正確畫出圖形是解題的關鍵．
（）利用平移的性質作圖即可；
（）利用旋轉的性質作圖即可；
（）利用軸對稱的性質作圖即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，即為所求；
（3）解：如圖，即為所求．
23．（10分）如圖是某住宅的平面結構示意圖及有關尺寸（墻壁厚度忽略不計，單位：）．
(1)求該住宅的面積（用含，的代數式表示）．
(2)該住宅的主人計劃把臥室以外的地面都鋪上地磚，其中衛生間的地面面積為．如果地磚的價格是每平方米80元，那么購買地磚至少需要花費多少元？
【答案】(1)該住宅的面積
(2)購買地磚至少需要花費4500元
【分析】本題考查了列代數式，整式加減的應用，有理數乘法的應用，理解題意并正確列式是解題關鍵．
（1）根據圖形列式計算即可；
（2）先根據衛生間的面積求出，再計算出臥室以外的面積，乘以地磚的價格求解即可．
【詳解】（1）解： 即該住宅的面積；
（2）解：由圖形可知，衛生間的面積為，
衛生間的地面面積為，
，
，
臥室1的面積為，
臥室2的面積為，
臥室以外的面積為，
（元）．
答：購買地磚至少需要花費4500元．
24．（10分）刀魚餛飩是江蘇江陰的特色美食，被譽為“初春第一鮮”．清明節前后是刀魚餛飩銷售的高峰，某電商平臺推出，兩種型號的刀魚餛飩禮盒，第一天售出禮盒8個、禮盒5個，總計收入1400元，第二天售出禮盒6個、禮盒10個，總計收入1800元；
(1)，兩種型號的刀魚餛飩禮盒每盒的售價分別是多少元？
(2)李叔叔在澄務工，清明假期計劃同時購買這兩種禮盒贈予親朋（，都需要購買），預算為1300元．請你幫助他設計預算資金恰好用完時的購買方案．
【答案】(1)型號禮盒每盒100元，型號禮盒每盒120元
(2)有兩種方案：型號禮盒購買7個，型號禮盒購買5個或型號禮盒購買1個，型號禮盒購買10個
【分析】本題主要考查了二元一次方程組以及二元一次方程的應用．
（1）設型號禮盒每盒元，型號禮盒每盒元，根據題意列出關于x，y的二元一次方程組求解即可得出答案．
（2）設購買型號禮盒購買個，型號禮盒購買個，根據題意列出關于m，n的二元一次方程，然后根據、為非負整數，得出，或，即可得出兩種方案．
【詳解】（1）解：設型號禮盒每盒元，型號禮盒每盒元，
根據題意，得
解得
答：型號禮盒每盒100元，型號禮盒每盒120元；
（2）解：設購買型號禮盒購買個，型號禮盒購買個，
由題意可得：，
∵、為非負整數，
∴，或，，
∴有兩種方案：型號禮盒購買7個，型號禮盒購買5個或型號禮盒購買1個，型號禮盒購買10個．
25．（10分）如圖，將沿直線向右平移a個單位到的位置．
(1)連接，當的周長為16，時，求四邊形的周長；
(2)已知的面積為12，．當所掃過的面積為18時，求a的值．
【答案】(1)20
(2)
【分析】本題考查的是平移的性質，熟記平移的性質是解本題的關鍵；
（1）如圖，連接，根據平移的性質可得，，再進一步求解即可；
（2）如圖，作于H，先求解，再結合所掃過面積即梯形的面積，進一步計算即可.
【詳解】（1）解：如圖，連接，
根據平移的性質可知，，
∵的周長為16，
∴，
∴，
∴四邊形的周長為．
（2）解：如圖，作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴所掃過面積即梯形的面積，
則，
解得：．
答：a的值為．
26．（10分）如果，那么我們規定．例如：因為，所以．
(1)根據上述規定，計算：______，______；
(2)記，，．探究、、三者之間的等量關系，并給出理由；
(3)若，則______．
【答案】(1)，
(2)，理由見解析
(3)
【分析】本題主要考查乘方，負整數指數冪，同底數冪的乘法，掌握其運算法則是關鍵．
（1）根據乘方，負整數指數冪的計算求解即可；
（2）根據冪的乘方運算的逆運算法則計算即可；
（3）根據題意，設，得到若，則，根據同底數冪的乘法運算代入計算即可求解．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
故答案為：；
（2）解：，理由如下，
記，，，
，
，
，
，
；
（3）解：如果，那么我們規定，
設，
，
若，則，
，
，即，
故答案為：．
27．（12分）閱讀理解：
定義：若一個方程（組）的解也是一個不等式（組）的解，我們稱這個方程（組）的解是這個不等式（組）的“友好解”．例如，方程的解是，同時也是不等式的解，則稱方程的解是不等式的“友好解”．
(1)試判斷方程的解是不是不等式的“友好解”？（ ）
A．是 B．不是
(2)若關于、的方程組的解是不等式的“友好解”，求的取值范圍；
(3)當時，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整數值．
【答案】(1)A
(2)
(3)4
【分析】本題考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根據方程組的解的情況，求參數的范圍，掌握“友好解”的定義，是解題的關鍵：
（1）求出方程的解，不等式的解集，根據“友好解”的定義，判斷即可；
（2）兩個方程相減后，結合不等式，得到關于k的不等式，求解即可；
（3）求出方程的解，不等式的解集，根據“友好解”的定義，求出m的范圍，進而求出m的最小整數值即可．
【詳解】（1）解：解得
，
解得
，
∴方程的解是同時也是不等式的解，
∴是“友好解”，
故選A．
（2）解，得，
∵關于、的方程組的解是不等式的“友好解”，
∴
解得．
（3）由，得
，解得．
由得
∵方程的解是不等式的“友好解”
∴，
解得，
∴的最小整數值為4
28．（12分）將一副三角板按如圖1所示放置在直線上，，，．若三角板固定不動，三角板繞點C以每秒順時針旋轉一周，旋轉時間為．
(1)當面積最大時，求t的值．
(2)如圖2，是的平分線，當t的值為____________時，．
(3)若在三角板旋轉的同時，三角板也繞點C以每秒順時針旋轉，平分，平分，在旋轉的過程中，的度數是否為定值？若是，求出這個值；若不是，說明理由．
【答案】(1)
(2)35或95
(3)的度數為定值，
【分析】本題考查了直角三角形的性質，旋轉的性質，角平分線的定義，平行線的性質，三角形的面積，熟練掌握它們的性質，能進行分類討論是解題的關鍵．
（1）根據當，此時的邊上的高最大，最大值為的長，用旋轉度數除以旋轉速度即可；
（2）根據平分求出和的度數，當時，分旋轉度數小于和大于兩種情況討論；
（3）用含t的代數式分別表示出旋轉后，，，的度數，再根據平分，平分，求出，，，，再求出的度數，即可求出的度數為定值．
【詳解】（1）解：如圖1，當繞點C順時針旋轉時，，此時的邊上的高最大，最大值為的長，
所以，此時面積最大．
因為，，
所以，當面積最大時，．
（2）如圖，
∵在中，，，平分，
∴，
∴．
當時，設交直線于點G，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
解得．
如圖：
當時，設交直線于點G，
∴．
，
∴，
∴，
∴繞點C再旋轉，
∴．
綜上所述，當t的值為35或95時，．
故答案為：35或95；
（3）的度數為定值，．理由如下：
如圖3，由題意，可知旋轉后，，，．
∵平分，平分，
∴，
∴．
∵，
∴．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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