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貴州省畢節地區2023-2024學年下學期七年級數學【北師大版】期末試題【三】
1．（2024七下·畢節期末）第33屆夏季奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，下列巴黎奧運會項目圖標中，軸對稱圖形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
B、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
C、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
故答案為：B．
【分析】利用軸對稱圖形的定義（如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸）逐項分析判斷即可.
2．（2024七下·畢節期末）若三角形兩邊長分別為和，則第三邊長可能為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：設三角形的第三邊長為，
∵三角形兩邊長分別為和，
∴，
解得：，
故答案為：B．
【分析】設三角形的第三邊長為，然后根據三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即可求出a的取值范圍，據此得到答案.
3．（2024七下·畢節期末）石墨烯是一種納米材料，它的理論厚度僅為0.00000000034米，數據0.00000000034用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】科學記數法表示大于0且小于1的數
【解析】【解答】解：，
故答案為：D．
【分析】利用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原數左邊起第一個不為0的數字前面的“0”的個數決定，據此直接得到答案.
4．（2024七下·畢節期末）計算等于（　　）
A． B．4 C．1 D．
【答案】B
【知識點】同底數冪乘法的逆用；積的乘方運算的逆用
【解析】【解答】解：.
故答案為：B.
【分析】解題關鍵是將寫成，這樣可以利用同指數冪的相乘法則簡便運算.
5．（2024七下·畢節期末）在，，，是邊上的中線，若的周長為45，的周長是（　　）
A．47 B．43 C．38 D．25
【答案】B
【知識點】三角形的中線
【解析】【解答】解：如圖，
是邊上的中線，
，
的周長為45，，
，
，
，
的周長為：，
故答案為：B．
【分析】根據三角形中線的定義得，然后結合的周長得，據此即可求解.
6．（2024七下·畢節期末）小文去水果店買西瓜，如圖是稱西瓜所用的電子秤顯示屏上的數據，則其中的變量是（　　）
A．金額 B．數量 C．單價 D．金額和數量
【答案】D
【知識點】用表格表示變量間的關系
【解析】【解答】解：由題意可得，金額單價數量，單價不變，數量與金額是變化的量，
∴單價常量，數量與金額是變量，
故選：D．
【分析】本題考查函數定義中的變量與常量，其中變化的量叫變量，恒定不變的量叫常量，據此逐個分析判斷，即可得到答案．
7．（2024七下·畢節期末）如圖，，分別平分，過點且與垂直．若，，則的面積為（　　）
A．20 B．16 C．40 D．32
【答案】A
【知識點】三角形的面積；角平分線的性質；兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：過點作于點，如圖，
，，
∴，，
∴，
，
分別平分，
，
，
，
∵，
，
故答案為：A．
【分析】過點作于點，由平行線的性質和判定推出，然后根據角平分線的性質可得的長度，最后利用三角形的面積公式進行計算即可．
8．（2024七下·畢節期末）下列事件為必然事件的是（　　）
A．任意畫一個三角形，這個三角形內角和為
B．任意畫兩條直線，這兩條直線平行
C．任意畫兩個面積相等的三角形，這兩個三角形全等
D．任意畫一個五邊形，這個五邊形外角和為
【答案】A
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等及其性質；事件的分類；平面中直線位置關系；多邊形的外角和公式
【解析】【解答】解：A、任意畫一個三角形，這個三角形內角和為，是必然事件，故A符合題意；
B、任意畫兩條直線，這兩條直線平行，是隨機事件，故B不符合題意；
C、任意畫兩個面積相等的三角形，這兩個三角形全等，是隨機事件，故C不符合題意；
D、任意畫一個五邊形，這個五邊形外角和為900°，是不可能事件，故D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】根據三角形內角和定理可知A是必然事件；根據在同一平面內，兩直線平行或相交可知B是隨機事件；根據面積相等的兩三角形不一定全等可知B為隨機事件；根據多邊形外角和等于360°可知D是不可能事件.
9．（2024七下·畢節期末）如圖，，平分交于點D，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】鄰補角；角平分線的概念；兩直線平行，內錯角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案為：D．
【分析】根據兩直線平行，內錯角相等得，根據鄰補角的定義得，然后根據角平分線的定義得，據此即可求解.
10．（2024七下·畢節期末）已知，，下列四個結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知識點】三角形全等及其性質
【解析】【解答】解：①，
，
，
，
，，
，
，
，故①正確；
②，
，
，故②正確；
③，
，
，
，故③正確；
④，無法證出，故④錯誤；
綜上所述，正確的結論有①②③，
故答案為：C．
【分析】①根據垂直的定義以及全等三角形對應角相等得，，從而得，進而得，即可判斷①正確；②根據同旁內角互補，兩直線平行，即可判斷②正確；③根據全等三角形對應邊相等得，由線段的和差關系即可判斷③正確；④由，無法證出，即可判斷錯誤.
11．（2024七下·畢節期末）如圖，中，，其中點D為的中點，若，，則陰影部分的面積是（　　）
A．56 B．28 C．14 D．無法確定
【答案】C
【知識點】三角形的面積；等腰三角形的性質-三線合一；三角形的中線
【解析】【解答】解：∵為的中點，，
∴，，
∴，
∴，
∵ ，D為的中點，
∴，
∵，
∴，
故答案為：C．
【分析】根據三角形中線的定義和性質先求出，，從而得，進而得，然后根據等腰三角形“三線合一”性質得，最后利用三角形面積公式進行求解.
12．（2024七下·畢節期末）已知，則的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
【答案】C
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【解答】解：∵（x-2021）2+（x-2025）2=34，
∴（x-2023+2）2+（x-2023-2）2=34，
∴（x-2023）2+4（x-2023）+4+（x-2023）2-4（x-2023）+4=34，
∴2（x-2023）2+8=34，
∴2（x-2023）2=26，
∴（x-2023）2=13.
故答案為：C.
【分析】把x-2021寫成x-2023+2的形式，把x-2025寫成x-2023-2的形式，然后根據完全平方公式把x-2023看成一個整體展開，合并同類項，解方程即可.
13．（2024七下·畢節期末）　 　．
【答案】
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【解答】解：原式
，
故答案為：，
【分析】本題考查了利用平方差公式計算，原式中利用平方差公式變成后，逐步利用平方差公式進行計算即可．
14．（2024七下·畢節期末）如圖，把小河里的水引到田地A處，若使水溝最短，則過點A向河岸l作垂線，垂足為點B，沿挖水溝即可，理由是　 　
【答案】垂線段最短
【知識點】垂線段最短及其應用
【解析】【解答】解：∵若使水溝最短，則過點A向河岸l作垂線，垂足為點B，沿挖水溝，
∴小河可以抽象為一條直線，而點A到直線的所有連線中，垂線段最短，
故答案為：垂線段最短．
【分析】本題考查了垂線段最短的應用， 根據在直線外一點與直線上任意一點的連線中，垂線段是最段，據此直接得到答案.
15．（2024七下·畢節期末）如圖，在中，、、分別是、、的中點，若的面積是，則　 　．
【答案】7
【知識點】三角形的中線
【解析】【解答】解：如圖，連接，，，
∵、、分別是、、的中點，
∴，，，
∴，，，
∵的面積是，
∴
，
故答案為：．
【分析】連接，，，根據三角形中線的性質：三角形的中線將三角形的面積分成相等的兩部分，得，，，據此即可求解.
16．（2024七下·畢節期末）如圖，在中，平分若則　 　．
【答案】1
【知識點】三角形的面積；角平分線的性質
【解析】【解答】解：如圖，過點D作于點F，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：1．
【分析】過點D作于點F，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質推出，然后再利用三角形面積公式求解即可．
17．（2024七下·畢節期末）計算題
（1）；
（2）用乘法公式計算：
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知識點】平方差公式及應用；零指數冪；負整數指數冪
【解析】【分析】（1）先利用乘方、零指數冪、負整數指數冪進行化簡，然后再進行加減運算即可；
（2）直接利用平方差公式進行簡便運算.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2024七下·畢節期末）先化簡，再求值
（1），其中，．
（2）若x，y滿足，求的值．
【答案】（1）解：原式
，
當，時，原式；
（2）解：原式
，
，
，，
解得：，，
∴原式．
【知識點】完全平方公式及運用；平方差公式及應用；偶次方的非負性；絕對值的非負性；利用整式的混合運算化簡求值
【解析】【分析】（1）先利用完全平方公式、平方差公式進行化簡，然后代入a，b的值進行求解；
（2）先利用完全平方公式、平方差公式進行化簡，然后根據絕對值的非負性與偶次方的非負性求出x，y的值，將x，y的值代入化簡后的式子即可解題．
（1）解：
，
當，時，
原式；
（2）解：原式
．
，
，，
解得：，，
∴原式．
19．（2024七下·畢節期末）如圖，已知：平分平分，且．
求證：
【答案】證明：如圖，過點E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴．
【知識點】平行線的性質；角平分線的概念；豬蹄模型；平行公理的推論
【解析】【分析】過點E作，根據平行公理的推論得，然后根據平行線的性質得到，，，接下來根據角平分線的定義可得，即可求解．
20．（2024七下·畢節期末）如圖，是的平分線，，點E在上，連接、，過點D作，，垂足分別是F、G．
（1）求證：；
（2）求證：．
【答案】（1）證明：是的平分線，
，
在和中，
，
；
（2）證明：，
，
，即平分，
，，
∴，
在和中，
，
∴，
．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；角平分線的概念；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】（1）根據角平分線的定義可得，然后再根據全等三角形的判定得證；
（2）根據全等三角形的性質可得，從而根據等角的補角相等可得，進而根據角平分線的性質得
，于是推出，得．
（1）證明：是的平分線，
，
在和中，
，
；
（2）證明：，
，
，
，，，
，
．
21．（2024七下·畢節期末）在一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球個，白球個，黑球若干個，若從中任意摸出一個白球的概率是．
（1）求任意摸出一個球是黑球的概率；
（2）小明從盒子里取出個白球其他顏色球的數量沒有改變，使得從盒子里任意摸出一個球是紅球的概率為，請求出的值．
【答案】（1）解：紅球個，白球個，黑球若干個，從中任意摸出一個白球的概率是，
盒子中球的總數為：個，
故盒子中黑球的個數為：個；
任意摸出一個球是黑球的概率為：
（2）解：任意摸出一個球是紅球的概率為，
盒子中球的總量為：，
可以將盒子中的白球拿出個，
．
【知識點】簡單事件概率的計算
【解析】【分析】（1）根據題干：紅球個，白球個，黑球若干個，從中任意摸出一個白球的概率是，可求出盒子中總共有多少小球，進而可求出有多少黑球；
（2）根據題干：任意摸出一個球是紅球的概率為。可求出共有多少小球，即可得出可以取出多少個白球.
22．（2024七下·畢節期末）已知小明家距學校，一天，小明從家出發勻速步行前往學校，后，小明的爸爸發現他忘了帶數學書．于是，爸爸立即出發沿同一路線勻速追趕小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明與爸爸之間的距離與小明出發的時間之間的關系如圖所示，請解答下列問題：
（1）變量x，y中，自變量是________，因變量是________．
（2）小明步行的速度是________，爸爸的速度是________．
（3）爸爸出發________min追上小明，a的值為________．
（4）當小明與爸爸相距時，求小明出發的時間．
【答案】（1）x，y；
（2）75，150；
（3）6，18；
（4）解：設小明出發的時間為t，分以下三種情況討論：
①爸爸出發前相距，則；
②爸爸追上小明前相距，則，
解得：；
③爸爸返回時相距，則；
綜上所述，小明與爸爸相距時，小明出發的時間為min或或．
【知識點】一元一次方程的實際應用-工程問題；通過函數圖象獲取信息
【解析】【解答】解：（1）變量x，y中，自變量是x，因變量是y，
故答案為：x，y；
（2）根據題意，得小明的速度為：450÷6=75（m/min），
設爸爸的速度為x，
根據題意，得爸爸追上小明的時間為12-6=6（min），
∴6x-75×6=450，
解得：x=150，
∴爸爸的速度為150m/min，
故答案為：75，150；
（3）由（2）得爸爸出發6min追上小明，
此時兩人離家的距離為：12×75=900（m），
∴a的值為900÷150+12=18（min），
故答案為：6，18.
【分析】（1）根據函數圖象確定自變量和因變量即可；
（2）根據函數圖象中的點（6，450）計算出小明步行的速度，然后設爸爸的速度為x，求出爸爸追上小明的時間，從而列出關于x的方程，解方程即可；
（3）根據函數圖象中的點（12，0）可知兩人此時相遇，即可確定爸爸追上小明的時間以及的值；
（4）設小明出發的時間為t，根據題意可知分三種情況：①爸爸出發前相距；②爸爸追上小明前相距；③爸爸返回時相距；然后分別計算出相應的時間即可．
（1）解：變量x，y中，自變量是x，因變量是y，
故答案為：x，y．
（2）解：小明的速度為：m/min，
爸爸的速度為：，m/min，
故答案為：，；
（3）解：爸爸追上小明的時間min，
min，
故答案為：，；
（4）解：爸爸出發前相距的時間為min，
爸爸追上小明前相距的時間為
爸爸返回時相距的時間為：
綜上所述，小明與爸爸相距時，小明出發的時間為min或或．
23．（2024七下·畢節期末）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A，B，C均為格點（網格線的交點）．
（1）畫出關于直線l對稱的；
（2）在邊上找一點D，連接，使平分的面積，則D點的位置在 ．
（3）請在圖中l上畫出點P，使的和最小．
【答案】（1）解：如圖，即為所求；

（2）的中點上；
（3）解：如圖，點即為所求．
【知識點】軸對稱的性質；作圖﹣軸對稱；將軍飲馬模型-一線兩點（一動兩定）；三角形的中線
【解析】【解答】解：（2）∵三角形的中線將三角形的面積分成相等的兩部分，平分的面積，
∴點的位置在的中點上，
故答案為：的中點上.
【分析】（1）根據軸對稱的性質，先作出點，，關于直線的對稱點、、，然后順次連接對稱點即可求解；
（2）根據三角形中線的性質：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，據此即可求解；
（3）連接交直線于一點，根據軸對稱的性質得，從而可知當最小時，最小，進而根據兩點之間線段最短得的最小值為，即可求解.
（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：因為三角形的中線將三角形的面積分成相等的兩部分，所以找出邊的中點D，連接，則將的面積平分，因此則D點的位置在的中點上．
（3）解：如圖所示，連接交直線l于一點P，則點P即為所求．
連接，
∵與關于直線l對稱，
∴，
∴，
∴當最小時，最小，
∵兩點之間線段最短，
∴此時最小，即最小．
24．（2024七下·畢節期末）小明和小亮準備用所學數學知識測一池塘的長度，經過實地測量，繪制如下圖，點在直線l上（點F、C之間的距離為池塘的長度），點A、D在直線l的異側，且，，測得．
（1）求證：；
（2）若，，求池塘的長度．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴池塘的長為．
【知識點】全等三角形的應用
【解析】【分析】（1）根據兩直線平行，內錯角相等得，根據全等三角形判定得證；
（2）結合（1）的結論，根據全等三角形對應邊相等得，從而得的值，進而可求出的長.
（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴池塘的長為．
25．（2024七下·畢節期末）已知直線，，分別在直線，上，連接，平分．
（1）如圖1，連接，若平分，則的度數為______；
（2）如圖2，連接，若，求證：；
（3）如圖3，點為線段（端點除外）上的一個動點，過點作的垂線交于點，連接．若平分，問的度數是否會發生變化？若不發生變化，請直接寫出的度數；若會發生變化，請說明理由．
【答案】（1）90°
（2）證明：如圖，過點G作，
∵，
∴，
∴，
∴設，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：不發生變化，如圖，過點G作，
∵，
∴，
∴，
∴設，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的度數不發生變化．
【知識點】平行線的判定與性質；三角形內角和定理；角平分線的概念；豬蹄模型；平行公理的推論
【解析】【解答】解：（1）∵分別平分和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：90°.
【分析】（1）根據角平分線的定義以及兩直線平行，同旁內角互補得到，然后由三角形內角和定理求出；
（2）過點G作，由平行公理推論得，由平行線的性質設，，從而得，，然后根據角平分線的定義得，進而利用三角形內角和定理求出，最后即可得證結論；
（3）過點G作，根據平行公理的推論得，根據平行線的性質設，
，從而得，然后根據角平分線的定義得，進而根據平行線的性質得，結合垂直的定義以及三角形內角和定理得，接下來根據角平分線的定義得，于是得到，即可得解．
1 / 1貴州省畢節地區2023-2024學年下學期七年級數學【北師大版】期末試題【三】
1．（2024七下·畢節期末）第33屆夏季奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，下列巴黎奧運會項目圖標中，軸對稱圖形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·畢節期末）若三角形兩邊長分別為和，則第三邊長可能為（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·畢節期末）石墨烯是一種納米材料，它的理論厚度僅為0.00000000034米，數據0.00000000034用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·畢節期末）計算等于（　　）
A． B．4 C．1 D．
5．（2024七下·畢節期末）在，，，是邊上的中線，若的周長為45，的周長是（　　）
A．47 B．43 C．38 D．25
6．（2024七下·畢節期末）小文去水果店買西瓜，如圖是稱西瓜所用的電子秤顯示屏上的數據，則其中的變量是（　　）
A．金額 B．數量 C．單價 D．金額和數量
7．（2024七下·畢節期末）如圖，，分別平分，過點且與垂直．若，，則的面積為（　　）
A．20 B．16 C．40 D．32
8．（2024七下·畢節期末）下列事件為必然事件的是（　　）
A．任意畫一個三角形，這個三角形內角和為
B．任意畫兩條直線，這兩條直線平行
C．任意畫兩個面積相等的三角形，這兩個三角形全等
D．任意畫一個五邊形，這個五邊形外角和為
9．（2024七下·畢節期末）如圖，，平分交于點D，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·畢節期末）已知，，下列四個結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
11．（2024七下·畢節期末）如圖，中，，其中點D為的中點，若，，則陰影部分的面積是（　　）
A．56 B．28 C．14 D．無法確定
12．（2024七下·畢節期末）已知，則的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
13．（2024七下·畢節期末）　 　．
14．（2024七下·畢節期末）如圖，把小河里的水引到田地A處，若使水溝最短，則過點A向河岸l作垂線，垂足為點B，沿挖水溝即可，理由是　 　
15．（2024七下·畢節期末）如圖，在中，、、分別是、、的中點，若的面積是，則　 　．
16．（2024七下·畢節期末）如圖，在中，平分若則　 　．
17．（2024七下·畢節期末）計算題
（1）；
（2）用乘法公式計算：
18．（2024七下·畢節期末）先化簡，再求值
（1），其中，．
（2）若x，y滿足，求的值．
19．（2024七下·畢節期末）如圖，已知：平分平分，且．
求證：
20．（2024七下·畢節期末）如圖，是的平分線，，點E在上，連接、，過點D作，，垂足分別是F、G．
（1）求證：；
（2）求證：．
21．（2024七下·畢節期末）在一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球個，白球個，黑球若干個，若從中任意摸出一個白球的概率是．
（1）求任意摸出一個球是黑球的概率；
（2）小明從盒子里取出個白球其他顏色球的數量沒有改變，使得從盒子里任意摸出一個球是紅球的概率為，請求出的值．
22．（2024七下·畢節期末）已知小明家距學校，一天，小明從家出發勻速步行前往學校，后，小明的爸爸發現他忘了帶數學書．于是，爸爸立即出發沿同一路線勻速追趕小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明與爸爸之間的距離與小明出發的時間之間的關系如圖所示，請解答下列問題：
（1）變量x，y中，自變量是________，因變量是________．
（2）小明步行的速度是________，爸爸的速度是________．
（3）爸爸出發________min追上小明，a的值為________．
（4）當小明與爸爸相距時，求小明出發的時間．
23．（2024七下·畢節期末）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A，B，C均為格點（網格線的交點）．
（1）畫出關于直線l對稱的；
（2）在邊上找一點D，連接，使平分的面積，則D點的位置在 ．
（3）請在圖中l上畫出點P，使的和最小．
24．（2024七下·畢節期末）小明和小亮準備用所學數學知識測一池塘的長度，經過實地測量，繪制如下圖，點在直線l上（點F、C之間的距離為池塘的長度），點A、D在直線l的異側，且，，測得．
（1）求證：；
（2）若，，求池塘的長度．
25．（2024七下·畢節期末）已知直線，，分別在直線，上，連接，平分．
（1）如圖1，連接，若平分，則的度數為______；
（2）如圖2，連接，若，求證：；
（3）如圖3，點為線段（端點除外）上的一個動點，過點作的垂線交于點，連接．若平分，問的度數是否會發生變化？若不發生變化，請直接寫出的度數；若會發生變化，請說明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
B、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
C、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
故答案為：B．
【分析】利用軸對稱圖形的定義（如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸）逐項分析判斷即可.
2．【答案】B
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：設三角形的第三邊長為，
∵三角形兩邊長分別為和，
∴，
解得：，
故答案為：B．
【分析】設三角形的第三邊長為，然后根據三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即可求出a的取值范圍，據此得到答案.
3．【答案】D
【知識點】科學記數法表示大于0且小于1的數
【解析】【解答】解：，
故答案為：D．
【分析】利用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原數左邊起第一個不為0的數字前面的“0”的個數決定，據此直接得到答案.
4．【答案】B
【知識點】同底數冪乘法的逆用；積的乘方運算的逆用
【解析】【解答】解：.
故答案為：B.
【分析】解題關鍵是將寫成，這樣可以利用同指數冪的相乘法則簡便運算.
5．【答案】B
【知識點】三角形的中線
【解析】【解答】解：如圖，
是邊上的中線，
，
的周長為45，，
，
，
，
的周長為：，
故答案為：B．
【分析】根據三角形中線的定義得，然后結合的周長得，據此即可求解.
6．【答案】D
【知識點】用表格表示變量間的關系
【解析】【解答】解：由題意可得，金額單價數量，單價不變，數量與金額是變化的量，
∴單價常量，數量與金額是變量，
故選：D．
【分析】本題考查函數定義中的變量與常量，其中變化的量叫變量，恒定不變的量叫常量，據此逐個分析判斷，即可得到答案．
7．【答案】A
【知識點】三角形的面積；角平分線的性質；兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：過點作于點，如圖，
，，
∴，，
∴，
，
分別平分，
，
，
，
∵，
，
故答案為：A．
【分析】過點作于點，由平行線的性質和判定推出，然后根據角平分線的性質可得的長度，最后利用三角形的面積公式進行計算即可．
8．【答案】A
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等及其性質；事件的分類；平面中直線位置關系；多邊形的外角和公式
【解析】【解答】解：A、任意畫一個三角形，這個三角形內角和為，是必然事件，故A符合題意；
B、任意畫兩條直線，這兩條直線平行，是隨機事件，故B不符合題意；
C、任意畫兩個面積相等的三角形，這兩個三角形全等，是隨機事件，故C不符合題意；
D、任意畫一個五邊形，這個五邊形外角和為900°，是不可能事件，故D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】根據三角形內角和定理可知A是必然事件；根據在同一平面內，兩直線平行或相交可知B是隨機事件；根據面積相等的兩三角形不一定全等可知B為隨機事件；根據多邊形外角和等于360°可知D是不可能事件.
9．【答案】D
【知識點】鄰補角；角平分線的概念；兩直線平行，內錯角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案為：D．
【分析】根據兩直線平行，內錯角相等得，根據鄰補角的定義得，然后根據角平分線的定義得，據此即可求解.
10．【答案】C
【知識點】三角形全等及其性質
【解析】【解答】解：①，
，
，
，
，，
，
，
，故①正確；
②，
，
，故②正確；
③，
，
，
，故③正確；
④，無法證出，故④錯誤；
綜上所述，正確的結論有①②③，
故答案為：C．
【分析】①根據垂直的定義以及全等三角形對應角相等得，，從而得，進而得，即可判斷①正確；②根據同旁內角互補，兩直線平行，即可判斷②正確；③根據全等三角形對應邊相等得，由線段的和差關系即可判斷③正確；④由，無法證出，即可判斷錯誤.
11．【答案】C
【知識點】三角形的面積；等腰三角形的性質-三線合一；三角形的中線
【解析】【解答】解：∵為的中點，，
∴，，
∴，
∴，
∵ ，D為的中點，
∴，
∵，
∴，
故答案為：C．
【分析】根據三角形中線的定義和性質先求出，，從而得，進而得，然后根據等腰三角形“三線合一”性質得，最后利用三角形面積公式進行求解.
12．【答案】C
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【解答】解：∵（x-2021）2+（x-2025）2=34，
∴（x-2023+2）2+（x-2023-2）2=34，
∴（x-2023）2+4（x-2023）+4+（x-2023）2-4（x-2023）+4=34，
∴2（x-2023）2+8=34，
∴2（x-2023）2=26，
∴（x-2023）2=13.
故答案為：C.
【分析】把x-2021寫成x-2023+2的形式，把x-2025寫成x-2023-2的形式，然后根據完全平方公式把x-2023看成一個整體展開，合并同類項，解方程即可.
13．【答案】
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【解答】解：原式
，
故答案為：，
【分析】本題考查了利用平方差公式計算，原式中利用平方差公式變成后，逐步利用平方差公式進行計算即可．
14．【答案】垂線段最短
【知識點】垂線段最短及其應用
【解析】【解答】解：∵若使水溝最短，則過點A向河岸l作垂線，垂足為點B，沿挖水溝，
∴小河可以抽象為一條直線，而點A到直線的所有連線中，垂線段最短，
故答案為：垂線段最短．
【分析】本題考查了垂線段最短的應用， 根據在直線外一點與直線上任意一點的連線中，垂線段是最段，據此直接得到答案.
15．【答案】7
【知識點】三角形的中線
【解析】【解答】解：如圖，連接，，，
∵、、分別是、、的中點，
∴，，，
∴，，，
∵的面積是，
∴
，
故答案為：．
【分析】連接，，，根據三角形中線的性質：三角形的中線將三角形的面積分成相等的兩部分，得，，，據此即可求解.
16．【答案】1
【知識點】三角形的面積；角平分線的性質
【解析】【解答】解：如圖，過點D作于點F，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：1．
【分析】過點D作于點F，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質推出，然后再利用三角形面積公式求解即可．
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知識點】平方差公式及應用；零指數冪；負整數指數冪
【解析】【分析】（1）先利用乘方、零指數冪、負整數指數冪進行化簡，然后再進行加減運算即可；
（2）直接利用平方差公式進行簡便運算.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：原式
，
當，時，原式；
（2）解：原式
，
，
，，
解得：，，
∴原式．
【知識點】完全平方公式及運用；平方差公式及應用；偶次方的非負性；絕對值的非負性；利用整式的混合運算化簡求值
【解析】【分析】（1）先利用完全平方公式、平方差公式進行化簡，然后代入a，b的值進行求解；
（2）先利用完全平方公式、平方差公式進行化簡，然后根據絕對值的非負性與偶次方的非負性求出x，y的值，將x，y的值代入化簡后的式子即可解題．
（1）解：
，
當，時，
原式；
（2）解：原式
．
，
，，
解得：，，
∴原式．
19．【答案】證明：如圖，過點E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴．
【知識點】平行線的性質；角平分線的概念；豬蹄模型；平行公理的推論
【解析】【分析】過點E作，根據平行公理的推論得，然后根據平行線的性質得到，，，接下來根據角平分線的定義可得，即可求解．
20．【答案】（1）證明：是的平分線，
，
在和中，
，
；
（2）證明：，
，
，即平分，
，，
∴，
在和中，
，
∴，
．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；角平分線的概念；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】（1）根據角平分線的定義可得，然后再根據全等三角形的判定得證；
（2）根據全等三角形的性質可得，從而根據等角的補角相等可得，進而根據角平分線的性質得
，于是推出，得．
（1）證明：是的平分線，
，
在和中，
，
；
（2）證明：，
，
，
，，，
，
．
21．【答案】（1）解：紅球個，白球個，黑球若干個，從中任意摸出一個白球的概率是，
盒子中球的總數為：個，
故盒子中黑球的個數為：個；
任意摸出一個球是黑球的概率為：
（2）解：任意摸出一個球是紅球的概率為，
盒子中球的總量為：，
可以將盒子中的白球拿出個，
．
【知識點】簡單事件概率的計算
【解析】【分析】（1）根據題干：紅球個，白球個，黑球若干個，從中任意摸出一個白球的概率是，可求出盒子中總共有多少小球，進而可求出有多少黑球；
（2）根據題干：任意摸出一個球是紅球的概率為。可求出共有多少小球，即可得出可以取出多少個白球.
22．【答案】（1）x，y；
（2）75，150；
（3）6，18；
（4）解：設小明出發的時間為t，分以下三種情況討論：
①爸爸出發前相距，則；
②爸爸追上小明前相距，則，
解得：；
③爸爸返回時相距，則；
綜上所述，小明與爸爸相距時，小明出發的時間為min或或．
【知識點】一元一次方程的實際應用-工程問題；通過函數圖象獲取信息
【解析】【解答】解：（1）變量x，y中，自變量是x，因變量是y，
故答案為：x，y；
（2）根據題意，得小明的速度為：450÷6=75（m/min），
設爸爸的速度為x，
根據題意，得爸爸追上小明的時間為12-6=6（min），
∴6x-75×6=450，
解得：x=150，
∴爸爸的速度為150m/min，
故答案為：75，150；
（3）由（2）得爸爸出發6min追上小明，
此時兩人離家的距離為：12×75=900（m），
∴a的值為900÷150+12=18（min），
故答案為：6，18.
【分析】（1）根據函數圖象確定自變量和因變量即可；
（2）根據函數圖象中的點（6，450）計算出小明步行的速度，然后設爸爸的速度為x，求出爸爸追上小明的時間，從而列出關于x的方程，解方程即可；
（3）根據函數圖象中的點（12，0）可知兩人此時相遇，即可確定爸爸追上小明的時間以及的值；
（4）設小明出發的時間為t，根據題意可知分三種情況：①爸爸出發前相距；②爸爸追上小明前相距；③爸爸返回時相距；然后分別計算出相應的時間即可．
（1）解：變量x，y中，自變量是x，因變量是y，
故答案為：x，y．
（2）解：小明的速度為：m/min，
爸爸的速度為：，m/min，
故答案為：，；
（3）解：爸爸追上小明的時間min，
min，
故答案為：，；
（4）解：爸爸出發前相距的時間為min，
爸爸追上小明前相距的時間為
爸爸返回時相距的時間為：
綜上所述，小明與爸爸相距時，小明出發的時間為min或或．
23．【答案】（1）解：如圖，即為所求；

（2）的中點上；
（3）解：如圖，點即為所求．
【知識點】軸對稱的性質；作圖﹣軸對稱；將軍飲馬模型-一線兩點（一動兩定）；三角形的中線
【解析】【解答】解：（2）∵三角形的中線將三角形的面積分成相等的兩部分，平分的面積，
∴點的位置在的中點上，
故答案為：的中點上.
【分析】（1）根據軸對稱的性質，先作出點，，關于直線的對稱點、、，然后順次連接對稱點即可求解；
（2）根據三角形中線的性質：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，據此即可求解；
（3）連接交直線于一點，根據軸對稱的性質得，從而可知當最小時，最小，進而根據兩點之間線段最短得的最小值為，即可求解.
（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：因為三角形的中線將三角形的面積分成相等的兩部分，所以找出邊的中點D，連接，則將的面積平分，因此則D點的位置在的中點上．
（3）解：如圖所示，連接交直線l于一點P，則點P即為所求．
連接，
∵與關于直線l對稱，
∴，
∴，
∴當最小時，最小，
∵兩點之間線段最短，
∴此時最小，即最小．
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴池塘的長為．
【知識點】全等三角形的應用
【解析】【分析】（1）根據兩直線平行，內錯角相等得，根據全等三角形判定得證；
（2）結合（1）的結論，根據全等三角形對應邊相等得，從而得的值，進而可求出的長.
（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴池塘的長為．
25．【答案】（1）90°
（2）證明：如圖，過點G作，
∵，
∴，
∴，
∴設，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：不發生變化，如圖，過點G作，
∵，
∴，
∴，
∴設，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的度數不發生變化．
【知識點】平行線的判定與性質；三角形內角和定理；角平分線的概念；豬蹄模型；平行公理的推論
【解析】【解答】解：（1）∵分別平分和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：90°.
【分析】（1）根據角平分線的定義以及兩直線平行，同旁內角互補得到，然后由三角形內角和定理求出；
（2）過點G作，由平行公理推論得，由平行線的性質設，，從而得，，然后根據角平分線的定義得，進而利用三角形內角和定理求出，最后即可得證結論；
（3）過點G作，根據平行公理的推論得，根據平行線的性質設，
，從而得，然后根據角平分線的定義得，進而根據平行線的性質得，結合垂直的定義以及三角形內角和定理得，接下來根據角平分線的定義得，于是得到，即可得解．
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