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廣東省卷（北師大版）2025年七年級下冊期末數學考試模擬卷
滿分120分 時間120分鐘
學校:___________ 姓名：___________ 班級：___________ 考號：___________
一、選擇題（共30分）
1．下列四個圖案中，是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
2．清代袁枚寫的詩《苔》中有這樣一句：“苔花如米小，也學牡丹開”．若苔花的花粉半徑約為米，則數據用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
3．一個不透明的袋子里裝有1個白球，2個紅球，3個黃球，它們除顏色外其余都相同，從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖所示，D，E分別是的邊上的點，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
5．一輛汽車從A地啟動，加速一段時間后保持勻速行駛，接近B地時開始減速，到達B地時恰好停止，如所示的哪一幅圖可以近似地刻畫出汽車在這段時間內的速度變化情況（　　）
A． B．
C． D．
6．如圖，在中，，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心的長為半徑畫弧，兩弧交于點，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
7．如圖，在中，，DE垂直平分AB，分別交AB、AC于點D、E，連接BE，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
8．如圖，射線OC是∠AOB的角平分線，D是射線OC上一點，DP⊥OA于點P，DP＝4，若點Q是射線OB上一點，OQ＝3，則△ODQ的面積是（　　）

A．3 B．4
C．5 D．6
9．已知，，則（ ）
A．4 B．8 C．11 D．20
10．如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為4、5、6、9，且相鄰兩根木條的夾角均可以調整，若調整木條的夾角時不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是（ ）

A．7 B．10 C．11 D．14
二、填空題（共15分）
11．如圖，在和中，點B，F，C，E在同一直線上，，，請添加一個條件，使得．添加的條件可以是 （只需寫一個，不添加輔助線）；

12．如圖,正三角形網格中,已有兩個小正三角形被涂黑,再將圖中其余小正三角形涂黑一個,使整個被涂黑的圖案構成一個軸對稱圖形的方法有 種.

13．如圖，在中，是邊上的中線，若，，則點D到的距離為 ．

14．如果，則的值是 ．
15．如圖，在等邊中，D，E分別為邊，的中點，，且P為上的動點，連接，，則的最小值為 ．

三、解答題（共75分）
16．（本題7分）計算．
17．（本題7分）如圖，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．求∠AGD的度數．
18．（本題7分）先化簡，再求值：，其中，．
19．（本題9分）如圖，在每個小正方形的邊長都為1的網格中有一個．
(1)作與關于直線成軸對稱的圖形（不寫作法）；
(2)作邊上的高（不寫作法）；
(3)求的面積．
20．（本題9分）兩地相距，甲于某日騎自行車從地出發駛往地，乙也于同日下午騎摩托車從地出發駛往地，在這個變化過程中，甲和乙所行駛的路程用變量表示，甲所用的時間用變量（時）表示，圖中折線和線段分別表示甲和乙所行駛的路程與的變化關系，請根據圖像回答：
(1)直接寫出：甲出發后__________小時，乙才開始出發；
(2)求乙行駛幾小時后追上甲，此時兩人距地還有多少千米？
(3)請分別求出甲，乙的行駛速度？
21．（本題9分）如圖1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于點D，點E是線段AD上的一點，若DE＝AB，DC＝AE．
(1)判斷CE與BE的關系是 ．
(2)如圖2，若點E在線段DA的延長線上，過點D在AD的另一側作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，連接CB，CE，BE，試說明（1）中結論是否成立，并說明理由．
22．（本題13分）用幾個小的長方形、正方形拼成一個大的正方形，然后利用兩種不同的方法計算這個大的正方形的面積，可以得到一個等式，例如：計算圖1的面積．把圖1看作一個大正方形． 它的面積是；如果把圖1 看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為，由此得到．

(1)如圖2，由幾個面積不等的小正方形和幾個小長方形拼成一個邊長為的正方形，從中你能發現什么結論？該結論用等式表示為 ．
(2)利用（1）中的結論解決以下問題：
已知，，求的值；
(3)如圖3，正方形邊長為a，正方形邊長為b，點D，G，C在同一直線上，連接、，若，，求圖3中陰影部分的面積．
23．（本題14分）【初步感知】
(1)如圖1，已知為等邊三角形，點D為邊上一動點（點D不與點B，點C重合）．以為邊向右側作等邊，連接．求證：；

【類比探究】
(2)如圖2，若點D在邊的延長線上，隨著動點D的運動位置不同，猜想并證明：

①與的位置關系為： ；
②線段、、之間的數量關系為： ；
【拓展應用】
(3)如圖3，在等邊中，，點P是邊上一定點且，若點D為射線上動點，以為邊向右側作等邊，連接、．請問：是否有最小值？若有，請直接寫出其最小值；若沒有，請說明理由．

參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D A B C D B C
1．C
【分析】根據軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
【詳解】A、不是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一條直線，使它沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，即不滿足軸對稱圖形的定義．不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一條直線，使它沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，即不滿足軸對稱圖形的定義．不符合題意；
C、是軸對稱圖形，符合題意；
D、不是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一條直線，使它沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，即不滿足軸對稱圖形的定義．不符合題意．
故答案為：C．
【點睛】本題考查了軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．B
【分析】直接運用科學記數法的知識進行表示即可．
【詳解】解：，
故選：B．
【點睛】科學記數法是一種記數的方法。把一個數表示成a與的n次冪相乘的形式（，a不為分數形式，n為整數），這種記數法叫做科學記數法．
3．B
【分析】根據題目中總的球的個數和紅球個數，可以計算出從袋中任意摸出一個球是紅球的概率．
【詳解】解：由題意可得，
從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為，
故選：B．
【點睛】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數．
4．D
【分析】此題考查了全等三角形對應角相等的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，解題的關鍵是求出．
根據全等三角形對應角相等，得到，根據，求出，在利用直角三角形兩銳角互余求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故選D．
5．A
【分析】橫軸表示時間，縱軸表示速度，根據加速、勻速、減速的變化情況，進行選擇．
【詳解】解：汽車經歷加速、勻速、減速到達B地，
則符合題意的圖象為：

故選：A．
【點睛】本題主要考查了函數的圖象，注意橫縱軸表示的意義是解題的關鍵．
6．B
【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形的內角和定理，尺規作圖法，掌握角平分線的尺規作圖法是解題的關鍵．
根據作圖可知是角平分線，再利用三角形內角和定理即可求得．
【詳解】解：根據尺規作圖可知，是角平分線，
，
在中，，
，
，
故選．
7．C
【分析】由等腰三角形的性質和線段垂直平分線的性質可得各角之間的關系，從而可求解．
【詳解】解：，，
，．
垂直平分，
，
．
，
，
．
，
，
．
故選：C．
【點睛】此題主要考查線段的垂直平分線的性質和等腰三角形的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
8．D
【分析】過點D作DH⊥OB于點H，如圖，根據角平分線的性質可得DH=DP=4，再根據三角形的面積即可求出結果．
【詳解】解：過點D作DH⊥OB于點H，如圖，
∵OC是∠AOB的角平分線，DP⊥OA，DH⊥OB，
∴DH=DP=4，
∴△ODQ的面積=．
故選：D．

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，屬于基本題型，熟練掌握角平分線的性質定理是解題關鍵．
9．B
【分析】本題考查了完全平方公式的運用，代入求值，熟練掌握知識點是解題的關鍵．根據完全平方公式變形可得，代入求解即可．
【詳解】解： ，，，
，
故選：B．
10．C
【分析】根據三角形的三邊關系即可得到結論．
【詳解】解：由于相鄰兩顆螺絲的距離依次為4、5、6、9，
選、6、9作為三角形，則三邊長為、6、9，能構成三角形，此時任意兩顆螺絲的距離的最大值是；
選、4、9作為三角形，則三邊長為、4、9，能構成三角形，此時任意兩顆螺絲的距離的最大值是；
選、4、5作為三角形，則三邊長為、4、5，不能構成三角形，此情況不成立；
選、5、6作為三角形，則三邊長為、5、6，不能構成三角形，此情況不成立；
綜上所述，任意兩顆螺絲的距離的最大值是．
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵．
11．（答案不唯一）
【分析】根據全等三角形的判定定理進行求解即可．
【詳解】解：添加條件，
在和中，
，
∴，
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
12．3
【分析】根據軸對稱的概念作答．如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．
【詳解】解：選擇小正三角形涂黑，使整個被涂黑的圖案構成一個軸對稱圖形，

選擇的位置有以下幾種：1處，2處，3處，選擇的位置共有3處．
故答案為3．
考點：概率公式；軸對稱圖形．
13．4
【分析】根據中線的性質得到，再利用三角形的面積，結合點到直線的距離的概念求解即可．
【詳解】解：∵是邊上的中線，
∴，
∴，
∵，
∴點D到的距離為，
故答案為：4．
【點睛】本題考查了中線的性質，三角形的面積，點到直線的距離，解題的關鍵是掌握三角形的中線平分三角形的面積．
14．
【分析】本題考查同底數冪運算的題目，解答本題的關鍵是利用同底數冪的乘法和除法法則得到，然后解方程即可．
【詳解】解：∵，
∴，
解得，
故答案為：．
15．3
【分析】作點E關于的對稱點F，連接，交于點P，由，根據即可求得的最小值．
【詳解】解：如圖，作點E關于的對稱點F，連接，交于點P，
∵等邊中，D，E分別為邊，的中點，且等邊三角形為軸對稱圖形，

∴點F在線段上，且是的中點，，
∴，
∴，即的最小值為的長，且此時，
根據等邊三角形三邊上的高相等，即，
∴的最小值為3．
故答案為：3．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質，軸對稱的性質，掌握軸對稱求線段和最小值的方法是解題的關鍵．
16．
【分析】本題考查了實數的混合運算，負整數指數冪，零指數冪等運算，根據負整數指數冪，零指數冪，乘方等運算法則進行計算，再算加減法即可．
【詳解】解：
．
17．∠AGD的度數為110°．
【分析】此題要注意由EF∥AD，可得∠2=∠3，由等量代換可得∠1=∠3，可得DG∥BA，根據平行線的性質可得∠BAC+∠AGD=180°，即可求解．
【詳解】∵EF∥AD(已知)
∴∠2=∠3(兩直線平行，同位角相等)；
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠3(等量代換)；
∴DG∥AB(內錯角相等，兩直線平行).
∴(兩直線平行，同旁內角互補) ，
∵
∴
【點睛】考查平行線的判定與性質，常見的平行線的判定方法有：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行.
18．，
【分析】根據完全平方公式和平方差公式可以化簡題目中的式子，然后將、的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【詳解】解：
當，時，原式．
【點睛】本題考查整式的混合運算—化簡求值，解答本題的關鍵是明確整式化簡求值得方法．
19．(1)見解析
(2)見解析
(3)3
【分析】本題考查作圖﹣軸對稱變換，三角形的面積等知識，解題的關鍵是熟練掌握軸對稱變換的性質，屬于中考常考題型．
（1）分別作出D，E，F的對應點F，N，M即可．
（2）利用數形結合的思想解決問題即可．
（3）利用三角形的面積公式計算即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．
（2）解：如圖，線段即為所求．
（3）解：．
20．(1)1
(2)乙行駛小時后追上甲，此時兩人距地還有千米
(3)甲出發1小時之前的速度為20千米/時，甲出發1小時后的速度為10千米/時，乙的速度為25千米/時．
【分析】（1）觀察函數圖象得到甲出發后1小時，乙才開始出發；
（2）觀察函數圖象得到乙在時追上甲，此時兩人距離A地千米，即可；
（3）根據函數圖象得到乙用2小時走了50千米，甲前1小時走了20千米，后面3小時走了30千米，然后利用速度公式計算他們的速度，即可．
【詳解】（1）解：觀察圖象得：甲出發后1小時，乙才開始出發；
故答案為：1
（2）解：觀察圖象得：（小時），（千米）
∴乙行駛小時后追上甲，此時兩人距地還有千米；
（3）解：（千米/時），
（千米/時）
（千米/時）
∴甲出發1小時之前的速度為20千米/時，甲出發1小時后的速度為10千米/時，乙的速度為25千米/時．
【點睛】本題考查函數的圖象，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．
21．(1)CE＝BE且CE⊥BE
(2)成立，理由詳見解析
【分析】（1）根據已知條件即可證明，然后根據全等三角形的性質即可證明CE與BE的關系為垂直且相等；
（2）根據已知條件證明，然后根據全等三角形的性質進行等量代換即可得到結論；
【詳解】（1）解：CE＝BE且CE⊥BE，理由如下：
∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，
∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，
在△CDE和△EAB中，
∴，
∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，
∵∠EBA＋∠BEA＝90°，
∴∠CED＋∠BEA＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴CE＝BE且CE⊥BE．
（2）解：（1）中結論成立，理由如下：
∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，
∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，
在△CDE和△EAB中，
∴，
∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，
∵∠EBA＋∠BEA＝90°，
∴∠CED＋∠BEA＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴CE＝BE且CE⊥BE．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握并熟練使用相關知識，并注意解題中需注意的事項是本題的解題關鍵．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正方形的面積的兩種不同的計算方法，從而可得結論；
（2）把，代入（1）中公式可得答案；
（3）先求解，陰影部分的面積為：，再利用因式分解后整體代入求值即可．
【詳解】（1）解：正方形的面積可表示為：，
還可以表示為：，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，
∴（負根舍去），
∵陰影部分的面積為：
．
【點睛】本題考查的是多項式的乘法運算與圖形面積的關系，完全平方公式的應用，完全平方公式的變形的靈活應用，因式分解的應用，熟練的利用圖形面積建立代數公式是解本題的關鍵．
23．(1)見解析
(2) 平行
(3)有最小值，5
【分析】（1）由和是等邊三角形，推出，，，又因為，則，即，從而利用“”證明；
（2）①由（1）得，得出，，，則；
②因為，，所以；
（3）在上取一點，使得，連接，可證，，求得，得出是等邊三角形，則，即點E在角平分線上運動，在射線上截取，當點E與點C重合時，，進而解答此題．
【詳解】（1）證明：∵和是等邊三角形，
∴，，
，
∵，
∴
即
在和中，
，
∴；
（2）平行，，理由如下：
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）有最小值，理由如下：
如圖，在射線上取一點，使得，連接，

∵和是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
由三角形內角和為，可知：，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
即點E在的角平分線上運動，
在射線上截取，連接，
在和中，
，
，
∴，
則，
由三角形三邊關系可知，，
即當點E與點C重合，時，有最小值，
∵，
∴，
∴最小值為5．

【點睛】本題考查三角形綜合，全等三角形的判定，正確添加輔助線、掌握相關圖形的性質定理是解題的關鍵．

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